第一篇：初一數學中的公理定理

（一）學過的公理：

1、直線公理：兩點確定一條直線。

2、線段公理：兩點之間，線段最短。

3、垂線公理：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

4、平行公理：過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。

5、平行線判定公理：同位角相等，兩直線平行。

6、平行線性質公理：兩直線平行，同位角相等。

7、全等三角形性質公理：全等三角形對應邊相等，對應角相等

（二）學過的定理及推論

1、三角形內角和定理：三角形內角和等于180° ? 推論1：直角三角形兩銳角互余

? 推論2：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。? 推論3：三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內角。

2、公理：兩點之間，線段最短。? 定理：三角形兩邊之和大于第三邊 ? 推論：三角形兩邊之差小于第三邊。

3、補角的性質：同角或等角的補角相等

4、余角的性質：同角或等角的補角相等

5、對頂角的性質：對頂角相等

6、垂線的性質：直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短。

7、平行線公理推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。

8、平行線判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行，簡記為：同位角相等，兩直線平行。? 定理1：內錯角相等，兩直線平行。? 定理2：同旁內角互補，兩直線平行

9、平行線性質公理：兩直線平行，同位角相等。? 定理1：兩直線平行，內錯角相等。? 定理2：兩直線平行，同旁內角互補。? 推論：垂直于同一直線的兩直線的互相平行。

第二篇：高中數學立體幾何模塊公理定理

高中數學立體幾何模塊公理定理匯編

Hzoue/2009-12-12

公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．

A?l，B?l，且A?α，B?α?l?α．（作用：證明直線在平面內）

公理2 過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面．（作用：確定平面）推論 ①直線與直線外一點確定一個平面．

②兩條相交直線確定一個平面．

③兩條平行直線確定一個平面．

公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線． P?α，且P?β?α?β＝l，且P?l．（作用：證明三點/多點共線）

公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行．（平行線的傳遞性）空間等角定理 空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補． 線面平行判定定理平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行． 面面平行判定定理 一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行． 推論 一個平面內兩條相交直線與另一個平面內的兩條直線分別平行，則這兩個平面平行． 線面平行性質定理 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任意平面與此平面的交線與該直線平行． 面面平行性質定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，則它們的交線平行． 線面垂直判定定理 一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面平行． 三垂線定理 如果平面內一條直線和平面的一條斜線的射影垂直，則它和這條斜線垂直． 逆定理 如果平面內一條直線與平面的一條斜線垂直，則它和這條直線的射影垂直． 射影定理 從平面外一點出發的所有斜線段中，若斜線段長度相等則射影相等，斜線段較長則射影較長，斜線段較短則射影較短． 面面垂直判定定理 一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．

線面垂直性質定理1 如果一條直線垂直于一個平面，則它垂直于平面內的所有直線． 線面垂直性質定理2 垂直于同一個平面的兩條直線平行．

面面垂直性質定理1 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直． 面面垂直性質定理2 兩個平面垂直，過一個平面內一點與另一個平面垂直的直線在該平面內．

第三篇：高二數學 立體幾何的概念、公理、定理

立體幾何的概念、公理、定理

王 春 老師 編輯 2007-12-20

一．寫出以下公理、定理，并根據圖形寫出它們的條件與結論。

（一）立體幾何三公理

公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內。A∈a，B∈aA∈a，B∈a

公理

2a?bA耷ab=a,A a aìa a

公理3：經過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面。

A、B、C不在同一直線上

T有且只有一個平面α，使A∈α，B∈α，C∈α

推論

1：經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面。

∈a A?a T有且只有一個平面a，使 ìa

推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面。

a∩b＝ATìa 有且只有一個平面a，使ìa

推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面。

a∥b＝AT有且只有一個平面a，使ìa ìa

（二）空間直線

公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。c

a

b a∥Tb∥a//c 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。

AB//A/B/

?BAC B/A/C/

//AC//ACT

推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等。

用心 愛心 專心116號編輯

Zishi2007-12-20

異面直線判定定理：用平面內一點與平面外一點的直線，A∈a

P?a l與a異面 aìa

（三）直線和平面

T

直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和 這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

l

ab?

a//b bìa a?a

T

a//a

aìa

直線和平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。

ab

?

a//aa?bbaìb

?

T

a//b

直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么

baa燙a,ba

a//b a?bOb^a轣cab^b? c^a,c^

T

定理 ：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直這個平面。

a

定理：一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。

α∥βl⊥α

l⊥β

直線與平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

a

b

a^a

b^

b

T

a//b

?

射影定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；（3）垂線段比任何一條斜線段都短。

三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。

Zishi2007-12-20

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PA^aPA^a

aaìa定理：aì

轣POa逆定理：

AO^a

PO^a

轣AOa

（四）平面與平面

兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

推論：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行另一個平面的兩條相交直線，那么這兩個平面平行。

a燙a,baa?b

O

a//b,b//b

定理Ta//b

?

b///推論

a?bO

a燙a,baa/燙b,b/

a//a/,b//b/a?bO

?Ta//b

/

b

/

定理：垂直于同一直線的兩個平面平行。定理：平行于同一平面的兩個平面平行。

a

a^a a^b

T

a//b

a//b

g//b

Ta//g

?

兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么交線平行。

a//b

a?gaTa//bb?gb

兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面

互相垂直。

a^aaìb

T

a

a^b

?

兩個平面垂直的性質定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直

線垂直于另一個平面。a^b

a?b CD

轣ABb ABìa

AB^CD

定理：如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內。a^b P?a

尢aaP?a

a^b

Zishi2007-12-20

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二、概念與性質

（一）空間兩直線的位置關系：空間兩條直線只有三種位置關系：平行、相交、異面

1、異面直線的定義：不同在任何一個平面內的兩條直線。

（二）直線和平面的位置關系： 直線和平面只有三種位置關系：在平面內、與平面相交、與平面平行

1、直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么我們就說這條直線和這個平面平行。

2、直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面 的垂線，平面叫做直線a的垂面。

（三）兩個平面的位置關系：平行、相交

1、兩個平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點。

2、兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。

（四）角

1．兩異面直線所成的角：過空間任意一點引兩條直線分別平行

ba

b'a'

（或重合）于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）。范圍為(0°，90°]

2、直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內的射影 所成的銳角。

所成的角為0°角。直線和平面所成角的取值范圍為 [0°，90°]

（2）最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內任一條直線所成角中的最小角。

（3）若斜線與平面所成的角為α，其在此平面內的射影與平面內的一 條直線所成的為β，斜線與這條直線所成的角為γ則cosγ＝cosα·cosβ

3、二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為 [0°，180°]

（1）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。（2）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

（五）距離

1、兩點的距離：連結兩點的線段的長度。

B

A?

a（1）規定：a、直線與平面垂直時，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內，2、平行平面間距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離。

3、兩異面直線間距離: 兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度。

4、兩異面直線上兩點的距離：若兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA'的長度為d．在直線a、b上分別取點E、F，設，A'E＝m，AF＝n，則

Zishi2007-12-20

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5、點到平面的距離．從平面外一點引一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離。

6、平行直線和平面的距離：直線上任意一點到平面的距離。

（六）棱柱

1、棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。

2、棱柱的性質

（1）側棱都相等，側面是平行四邊形

（2）兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形

（3）過不相鄰的兩條側棱的截面（對角面）是平行四邊形

（七）棱錐

1、棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐

2、棱錐的性質：

（1）側棱交于一點。側面都是三角形

（2）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方

3、正棱錐

（1）正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，并且頂點在底面內的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。（2）正棱錐的性質：

①各側棱交于一點且相等，各側面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。②多個特殊的直角三角形

4、a、相對棱互相垂直的正三棱錐的頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。b、側棱相等的棱錐的頂點在底面的射影為底面三角形的外心。

c、側面與底面所成的二面角相等的棱錐的頂點在底面的射影為底面三角形的內心。

（八）多面體歐拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=

2（九）正多面體只有五種：正四、六、八、十二、二十面體。

（十）球

1、球面：到定點的距離等于定長的點的軌跡。

2、球體：與定點的距離等于或小于定長的點的集合．

3、經度：某地點的經度就是經過這點的經線和地軸確定的半平面與本初子午線與地軸確定的半平面所成二面角的平面角的度數．

4、緯度：某地的緯度就是經過這點的球半徑和赤道平面所成的角度．

5、兩點的球面距離：球面上兩點之間的最短連線的長度，就是經過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度。

6、定理：球心與小圓的圓心的連線與小圓所在的平面垂直。

437、球的表面積：S球面=4pR8、體積公式：V球=pR9、V圓錐=

Zishi2007-12-20

133

pRV圓柱=pR333

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第四篇：數學公理

過兩點有且只有一條直線兩點之間線段最短同角或等角的補角相等同角或等角的余角相等過一點有且只有一條直線和已知直線垂直直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短平行公理 經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行同位角相等，兩直線平行內錯角相等，兩直線平行同旁內角互補，兩直線平行

12兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內錯角相等兩直線平行，同旁內角互補定理 三角形兩邊的和大于第三邊推論 三角形兩邊的差小于第三邊三角形內角和定理 三角形三個內角的和等于180°推論1 直角三角形的兩個銳角互余推論2 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和推論3 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角全等三角形的對應邊、對應角相等

22邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等邊邊邊公理(SSS)有三邊對應相等的兩個三角形全等斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等27 定理1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等定理2 到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角）

推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合33 推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）

推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形

推論 2 有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半38 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

第五篇：真命題與公理、定理

真命題與公理、定理

初學幾何的同學，對真命題、公理、定理之間的區別與聯系容易混淆。現作如下辨析，供同學們參考。

真命題就是正確的命題，即如果命題的題設成立，那么結論一定成立。如： ①兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。

②如果a＞b，b＞c那么a＞c。

③對頂角相等。

公理是人們在長期實踐中總結出來的、正確的命題，它不需要用其他的方法來證明，初一幾何中我們過的主要公理有：

①經過兩點有一條直線，并且只有一條直線。

②經過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行。

③同位角相等，兩直線平行。

④兩直線平行，同位角相等。

公理的正確性是在實踐中得以證實的，是被大家公認的，不再需要其他的證明，并且它可以作為證明其他真命題的依據。如應用公理③可以推導出“內錯角相等，兩直線平行”和“同旁內角互補，兩直線平行”。

定理是根據公理或已知的定理推導出來的真命題。這些真命題都是最基本的和常用的，所以被人們選作定理。還有許多經過證明的真命題沒有被選作定理。所以，定理都是真命題，而真命題不都是定理。例如：“若∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3”，這就是一個真命題，但不能說是定理。

總之，公理和定理都是真命題，但有的真命題既不是公理。也不是定理。公理和定理的區別主要在于：公理的正確性不需要用推理來證明，而定理需要證明。