第一篇：實數的連續性公理證明確界存在定理

實數的連續性公理證明確界存在定理

定理一實數基本定理（戴德金實數連續性定理）實數系R按戴德金連續性準這是連續的，即對R的任意分劃A|B，都存在唯一的實數r，它大于或等于下類A的每一實數。小于或等于上類B中的每一個實數。

定理二單調有界有極限 單調上升（下降）有上（下）界的數列必有極限存在。

定理三確界定理 在實數系R內，非空的有上（下）界的數集必有上（下）確界存在。

定理四區間套定理 設 是一個區間套，則必有唯一的實數r，使得r包含在所有的區間套里，即。

定理五Borel有限覆蓋定理 實數閉區間 的任一個覆蓋E，必存在有限的子覆蓋。

定理六Bolzano-Weierstrass緊致性定理 有界數列必有收斂子數列。

定理七Cauchy收斂原理 在實數系中，數列 有極限存在的充分必要條件是：任給 >0，存在N，當n>N，m>N時，有。

定理一 — 三是對實數連續性的描述，定理四 — 定理六是對實數閉區間的緊致性的描

述，定理七是對實數完備性的描述。上述七個定理都描述了實數的連續性（或稱完備性），它們都是等價的。下面給出其等價性的證明：

定理一 定理二：設數列 單調上升有上界。令B是 全體上界組成的集合，即

B=，而A=RB,則A|B是實數的一個分劃。事實上，由 有上界知B不

空。又 單調上升，故，即A不空。由A=RB知A、B不漏。又，則，使，即A、B不亂。故A|B是實數的一個分劃。根據實數基本定理，存在唯一的 使得對任意，任意，有。下證。事實上，對，由于，知，使得。又 單調上升。故當n>N時，有。注意到，便有。故當n>N時有，于是。這就證明了。若 單調下降有下界，則令，則 就單調上升有上界，從而有極限。設極限為r，則

。定理二證完。

定理二 定理三：只需證明在實數系R內，非空的有上界的數集必有上確界存在。設數集

X非空，且有上界。則，使得對，有。又 R是全序集，對，與 有且只有一個成立。故 ,有 與 有且只有一個成立。故r是X的上界與r不是X的上界有且只有一個成立。X有上界，實數是X的上界。若不存在實數不是X的上界，則由上知，實數都是X的上界，這顯然與X非空矛

盾。故，使得 不是X的上界，是X的上界。則 使得。

用 的中點 二等分，如果 是X的上界，則取

；如果 不是X的上界，則取。繼續用

二等分，如果 是X的上界，則取 ；如果

不是X的上界，則取。如此繼續下去，便得到兩串序列

。其中 都不是X的上界且單調上升有上界（例如），都是X的上界且

單調下降有下界（例如）。并且（當 時）。由 單調上升

有上界知有 存在，使得。下證。①事實上，對，當 時有。又 都不是X上界 對每一個，使得。故對，使得。②若，使得，則由 知。故，使得。又 都是X的上界，故對 有。而，故，這是不可能的。故對，有。綜上①、②即有。即X

有上確界存在。

定理三 定理四：由條件知集合 非空，且有上界（例如）。故由確

界定理知A有上確界，記為。則對，有。同理可知集合有下確界，記為。則對，有。又，由上可知。兩邊取極限，令 有。又顯然。否則

由于 是A的上確界，則，使得 ；同理，使得，則有

。又由區間套的構造可知，對，記k=max（n,m），則有

。故有，矛盾。故必有。故，記為r。則對，有。下證具有這一性質的點是唯一的。用反證法，如果還有另一，使得

。由于 對一切n成立，故 ,令，得，與 矛盾。故這樣的r是唯一的，即存在唯一的實數r，使得r

包含在所有的區間里，即。

定理四 定理五：用反證法。設E是區間 的一個覆蓋，但 沒有E的有限子覆蓋。

記，二等分，則必有一區間沒有E的有限子覆蓋（否則把兩區間的E的有限子覆蓋的元素合起來構成一新的集合E’,則E’是 的E的有限子覆蓋，即 有

E的有限子覆蓋與反證假設矛盾），記其為。二等分，則必有一區間沒有E的有限子覆蓋，記為。如此繼續下去，得到一組實數的閉區間序列，滿足(i)；

(ii)。故 構成一個區間套，且每個 都沒有

E的有限子覆蓋。則由區間套定理有存在唯一的實數r，使得。又

由覆蓋的定義有，使得，即。又由上區間套定理的證明

可知，其中。故，使得，使得。設，則，即有 覆蓋。這與 沒

有E的有限子覆蓋的構造矛盾，故 必有E的有限子覆蓋。

定理五 定理六：設數列 有界，即實數 a,b，且a

反證法，如果 無收斂子數列，則對，使得只有有限

個。（如果不然，即，對，有 中有無限

個。選定，再選，使。這是辦得到的，因

為 包含數列的無限多項。再取，使。如此繼續下

去，便得到 的一子數列。令，則有。

又，與反證假設矛盾）。又以這樣的作為元素組成的集合顯然是 的一覆蓋，記為E。則由Borel有限覆蓋定理知 有E的有限子覆蓋。而E中的每個元素都只包含 的有限項，有限個有限的數相加仍為有限

數，故 只包含 的有限項。這與 矛盾，故 必有收斂子數

列，即有界數列必有收斂子數列。

定理六 定理七：必要性：設在實數系中，數列 有極限存在，則，使得只要，有（記）。因此只要，就有

。必要性得證。

充分性：設在實數系中，數列 滿足：，當

時，有，即 是基本列。先證 是有界的。事實上，取，則，使得當 時，有。取定一，則

有。取，則有。這就證明了 是有界的。再證明 有極限存在。由

Bolzano-Weierstrass緊致性定理可知 有子數列，使得 存在，記為a。下證

。事實上，由題設知，當 時，有。

又，只要，就有。取，則只要，選取，就有。這就證

明了。即 有極限存在。充分性得證。

綜上，定理七證完。

定理七 定理一：對任意給定的實數R的分劃A|B，A、B非空，可任取點

。又 分劃滿足不亂。用 的中點 二等分，如果，則取 ；如果。則取

。（分劃滿足不漏，對任意實數，或者屬于A，或者屬于B。故

或。）繼續用 二等分，如果，則取

；如果，則取。如此繼續下去，便得到兩串序列。其中 單調上升有上界（例如），單調下降有

下界（例如），并且（當 時）。下面用柯西收斂原理來證明

存在。事實上如果不然，則，，有。

不妨設，由 單調上升有。對 上式都成立

（），取，并把所得的不等式相加得。其中

k為不等式的個數。故，當 時。而由N的取法可知對每一個

k都有相應的N’與之對應，即有相應的 與之對應。故對，使得

。即 無界，與 有界矛盾。故 存在，記為r。下證對，有。這等價于證明對，有。事實上，由 知，使。故。而對，由

知。故，使。從而，這就證明了，即證明了實

數基本定理。

綜上，這就證明了這七個定理是等價的。而從證明過程來看：定理二 定理三的方法

可用于定理二 定理四及定理四 定理三；定理七 定理一的方法可運用于定理七 定

理二，定理二 定理四，定理四 定理一。而這并不構成邏輯循環，因為我們已用十進小

數證明了實數基本定理。而這其實是用無限不循環小數方法來定義無理數。事實上我們還可

以用戴德金分割法、康托基本序列法或魏爾斯特拉斯的單調有界序列法來定義無理數，這都

能構成反映實數本質的實數公理系統。