第一篇：真命題與公理、定理

真命題與公理、定理

初學幾何的同學，對真命題、公理、定理之間的區別與聯系容易混淆。現作如下辨析，供同學們參考。

真命題就是正確的命題，即如果命題的題設成立，那么結論一定成立。如： ①兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。

②如果a＞b，b＞c那么a＞c。

③對頂角相等。

公理是人們在長期實踐中總結出來的、正確的命題，它不需要用其他的方法來證明，初一幾何中我們過的主要公理有：

①經過兩點有一條直線，并且只有一條直線。

②經過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行。

③同位角相等，兩直線平行。

④兩直線平行，同位角相等。

公理的正確性是在實踐中得以證實的，是被大家公認的，不再需要其他的證明，并且它可以作為證明其他真命題的依據。如應用公理③可以推導出“內錯角相等，兩直線平行”和“同旁內角互補，兩直線平行”。

定理是根據公理或已知的定理推導出來的真命題。這些真命題都是最基本的和常用的，所以被人們選作定理。還有許多經過證明的真命題沒有被選作定理。所以，定理都是真命題，而真命題不都是定理。例如：“若∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3”，這就是一個真命題，但不能說是定理。

總之，公理和定理都是真命題，但有的真命題既不是公理。也不是定理。公理和定理的區別主要在于：公理的正確性不需要用推理來證明，而定理需要證明。

第二篇：命題與證明之公理定理

公理和定理

教學要求：了解公理與定理到概念，以及他們之間的內在聯系；了解公理與定理都是真命題，它們都是推理論證的依據；掌握教材十條公理和已學過的定理。

重點難點

十條公理和已學過的定理。

一 選擇題（每小題5分，共25分）下面命題中：

（1）旋轉不改變圖形的形狀和大小，（2）軸反射不改變圖形的形狀和大小

（3）連接兩點的所有線中，線段最短，（4）三角形的內角和等于180°

屬于公理的有（）

A1個B2個C3個D4個下面關于公理和定理的聯系說法不正確的是（）

A 公理和定理都是真命題，B公理就是定理，定理也是公理，C 公理和定理都可以作為推理論證的依據D公理的正確性不需證明，定理的正確性需證明 3推理：如圖∵ ∠AOC=∠BOD，∴∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB,這個推理的依據是（）

A 等量加等量和相等，B等量減等量差相等C 等量代換 D 整體大于部分推理：如圖：∵∠A=∠ACD,∠B=∠BCD,(已知)∴AD=CD,CD=DB(等腰三角形的性質)AD=DB()

括號里應填的依據是（）

A 旋轉不改變圖形的大小 B

C等量代換 D 5（）

A 兩條直線被第三條直線所

截，若同位角相等，則這兩條 直線平行

B 線段垂直平分線上的點到線段 4題圖 兩個端點的距離相等 3題圖

C平行四邊形的對角線互相平分

D對頂角相等

∴

二 填空題（每小題5分，共25分）人們在長期實踐中總結出來的公認的真命題，作為證明的原始依據，稱這些真命題為____運用基本定義和公理通過推理證明是真的命題叫_______;

7定理： “直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”的逆定理是：___________________ _______________________________________;____________________________________________________是定理“兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行”的逆定理如圖，Rt△ABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到△DEF，下面結論中

（1）△ABC≌△DEF,（2）∠DEF=90°，(3)AC=DF(4)AC∥DF(5)EC=CF 正確的是______________(填序號)，你判斷的依據是_______________________________________要使平行四邊形ABCD成為一個菱形，需要添加一個條件，那么你添加的是 _____________,依據是______

三 解答題（3×12+14=50分）11 仔細觀察下面推理，填寫每一步用到的公理或定理 如圖：在平行四邊形ABCD中，CE⊥AB，E

為垂足，如果∠A=125°，求∠BCE

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形(已知)

∴AD∥BC（）∵∠A=125°（已知）∴∠B=180°-125°=55°（）

∵△BEC是直角三角形（已知）∴∠BCE=90°-55°=35°()如圖將△AOB繞點O逆時針旋轉90°，得到△A’OB’若A點

11題圖

A

D

D

BE

CF

B

C

9題圖

10題圖

為（a,b）,則B點的坐標

為

（13題圖），你用到的依.據是________________________________________________

13如圖所示，在直角坐標系xOy中，A(一l，5)，B(一3，0)，C(一4，3)．根據軸反射的定義和性質完成下面問題：(1)在右圖中作出△ABC關于y軸的軸對稱圖形△A′B′C′；(2)寫出點C關于y軸的對稱點C′的坐標

14如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于O，用所學公理、定理、定義說明（1）△ABC≌△ADC,(2)OB=OD,AC⊥BD

第三篇：高中數學立體幾何模塊公理定理

高中數學立體幾何模塊公理定理匯編

Hzoue/2009-12-12

公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．

A?l，B?l，且A?α，B?α?l?α．（作用：證明直線在平面內）

公理2 過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面．（作用：確定平面）推論 ①直線與直線外一點確定一個平面．

②兩條相交直線確定一個平面．

③兩條平行直線確定一個平面．

公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線． P?α，且P?β?α?β＝l，且P?l．（作用：證明三點/多點共線）

公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行．（平行線的傳遞性）空間等角定理 空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補． 線面平行判定定理平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行． 面面平行判定定理 一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行． 推論 一個平面內兩條相交直線與另一個平面內的兩條直線分別平行，則這兩個平面平行． 線面平行性質定理 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任意平面與此平面的交線與該直線平行． 面面平行性質定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，則它們的交線平行． 線面垂直判定定理 一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面平行． 三垂線定理 如果平面內一條直線和平面的一條斜線的射影垂直，則它和這條斜線垂直． 逆定理 如果平面內一條直線與平面的一條斜線垂直，則它和這條直線的射影垂直． 射影定理 從平面外一點出發的所有斜線段中，若斜線段長度相等則射影相等，斜線段較長則射影較長，斜線段較短則射影較短． 面面垂直判定定理 一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．

線面垂直性質定理1 如果一條直線垂直于一個平面，則它垂直于平面內的所有直線． 線面垂直性質定理2 垂直于同一個平面的兩條直線平行．

面面垂直性質定理1 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直． 面面垂直性質定理2 兩個平面垂直，過一個平面內一點與另一個平面垂直的直線在該平面內．

第四篇：命題與定理教案

設計者：重慶西藏中學

聶志

19.1 命題與定理

教學目標

1、知識與技能：（1）了解命題的含義；（2）對命題的概念有正確的理解（3）會區分命題的條件和結論,并會對命題進行改寫，（4）知道判斷一個命題是假命題的方法，（5）了解公理,定理的含義

2、過程與方法： 結合實例讓學生意識到證明的必要性，培養學生說理有據，有條理地表達自己想法的良好意識。

3、情感、態度與價值觀： 初步感受公理化方法對數學發展和人類文明的價值。重點與難點

1、重點： 找出命題的條件（題設）和結論，會進行改寫

2、難點： 命題概念的理解。教學過程:

一、復習引入

我們已經學過一些圖形的特性，如“三角形的內角和等于180度”，“等腰三角形兩底角相等”等。根據我們已學過的圖形特性，試判斷下列句子是否正確。

1、如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；

2、兩直線平行，同位角相等；

3、同旁內角相等，兩直線平行；

4、平行四邊形的對角線相等；

5、直角都相等。

二，自主學習，探究新知

（一）命題、真命題與假命題

學生思考回答后，教師給出答案：根據已有的知識可以判斷出句子1、2、5是正確的，句子3、4是錯誤的。像這樣可以判斷出它是正確的還是錯誤的句子叫做命題，正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題。

強調：命題是一個表判斷的句子，是一個陳述句。命題有真假之分。

（二）命題的組成和改寫

在數學中，許多命題是由題設（或已知條件）、結論兩部分組成的。題設是已知事項；結論是由已知事項推出的事項，這樣的命題常可寫成“如果.......，那么.......”的形式。用“如果”開始的部分就是題設，而用“那么”開始的部分就是結論。例如，在命題1中，“兩個角是對頂角”是題設，“這兩個角相等”就是結論。

有的命題的題設與結論不十分明顯，可以將它寫成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的題設和結論了。例如，命題5可寫成“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等。”

實例探究（小組間交流合作，解決問題）問題1（例1）：把命題“三個角都相等的三角形是等邊三角形”改寫成“如果.......，那么.......”的形式，并分別指出命題的題設和結論。

學生回答后，教師總結：這個命題可以寫成“如果一個三角形的三個角都相等，那么這個三角形是等邊三角形”。這個命題的題設是“一個三角形的三個角都相等”，結論是“這個三角形是等邊三角形”。

問題2：把下列命題寫成“如果.....，那么......”的形式，并說出它們的條件和結論，再判斷它是真命題，還是假命題。（1）對頂角相等；

（2）如果a＞ b,b＞ c, 那么a=c；

設計者：重慶西藏中學

聶志

（3）菱形的四條邊都相等；（4）全等三角形的面積相等。

學生小組交流后回答，學生回答后，師生互評

（1）條件：如果兩個角是對頂角；結論：那么這兩個角相等，這是真命題。（2）條件：如果a＞ b,b＞ c；結論：那么a=c；這是假命題。

（3）條件：如果一個四邊形是菱形；結論：那么這個四邊形的四條邊相等。這是真命題。（4）條件：如果兩個三角形全等；結論：那么它們的面積相等，這是真命題。

（三）假命題的證明

教師講解：要判斷一個命題是真命題，可以用邏輯推理的方法加以論證；而要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個例子，說明該命題不成立，即只要舉出一個符合該命題題設而不符合該命題結論的例子就可以了，在數學中，這種方法稱為“舉反例”。

例如，要證明命題“一個銳角與一個鈍角的和等于一個平角”是假命題，只要舉出一個反例：60度角是銳角，100度角是鈍角，但它們的和不是180度即可。(四)公理

數學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據，這樣的真命題叫做公理。我們已經知道下列命題是真命題：

一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等；

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行； 全等三角形的對應邊、對應角相等。在本書中我們將這些真命題均作為公理。

（五）定理

教師引導學生通過舉反例來說明下面兩題中歸納出的結論是錯誤的。從而說明證明的重要性。

1、教師講解：請大家看下面的例子： 當n=1時，（n2-5n+5)2=1;當n=2時，（n2-5n+5)2=1； 當n=3時，（n2-5n+5)2=1。

我們能不能就此下這樣的結論：對于任意的正整數（n2-5n+5)2的值都是1呢？ 實際上我們的猜測是錯誤的，因為當n=5時，（n2-5n+5)2=25。

2、教師再提出一個問題讓學生回答：如果a=b,那么a2=b2.由此我們猜想：當a＞ b時，a2＞ b2。這個命題是真命題嗎？

［答案：不正確，因為3＞-5，但3 2 ＜（-5）2］

教師總結：在前面的學習過程中，我們用觀察、驗證、歸納、類比等方法，發現了很多幾何圖形的性質。但由前面兩題我們又知道，這些方法得到的結論有時不具有一般性。也就是說，由這些方法得到的命題可能是真命題，也可能是假命題。

教師講解：數學中有些命題可以從公理出發用邏輯推理的方法證明它們是正確的，并且可以進一步作為推斷其他命題真假的依據，這樣的真命題叫做定理。

例如，有了“三角形的內角和等于180°”這條定理后，我們還可以證明刻畫直角三角形的兩個銳角之間的數量關系的命題：直角三角形的兩個銳角互余。教師板書證明過程。

教師講解：此命題可以用來作為判斷其他命題真假的依據，因此我們把它也作為定理。定理的作用不僅在于它揭示了客觀事物的本質屬性，而且可以作為進一步確認其他命題真假的依據。

設計者：重慶西藏中學

聶志

強調：公理不需要證明，定理需要證明，定理由公理推出，它們都是真命題，都可以作為其他命題證明的依據

三，展示提升，鞏固新知（學生先做，師生互評）

1.課本P65練習第1、2題。2.課本P66練習第1、2題。

四.歸納小結(學生總結，補充)

1、什么叫命題？什么叫真命題？什么叫假命題？

2、命題都可以寫成“如果.....，那么.......”的形式。

3、要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例就行了。

4.在長期實踐中總結出來為真命題的命題叫做公理。5.用邏輯推理的方法證明它們是正確的命題叫做定理。

6.本節課你還有哪些疑惑？

五.檢測反饋

小組間交流本節課還存在的問題，相互解決，老師巡視點撥

六.作業布置 訓練案P125

第五篇：命題與定理教案

命題與定理

第一課時

教學內容：命題 教學目標：了解命題、定義的含義；對命題的概念有正確的理解。會區分命題的題設和結論。知道判斷一個命題是假命題的方法。

教學重點：找出命題的題設和結論。教學難點：命題概念的理解。教學過程：

一、復習引入：

我們已經學過一些圖形的特性，如“三角形的內角和等于180°”、“等腰三角形的兩個底角相等”等．根據我們學過的圖形特性，試判斷下列句子是否正確．（1）如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；（2）兩直線平行，同位角相等；（3）同旁內角相等，兩直線平行；（4）平行四邊形的對角線相等；（5）直角都相等．

二、探究新知

（一）命題、真命題和假命題 學生回答后給出答案：句子（1）、（2）、（5）是正確的，句子（3）、（4）是錯誤的．引出概念：可以判斷它是正確的或是錯誤的句子叫做命題（proposition）．正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題．

在數學中，許多命題是由題設（或已知條件）、結論兩部分組成的．題設是已知事項；結論是由已知事項推出的事項．這樣的命題常可寫成“如果??，那么??”的形式．用“如果”開始的部分就是題設，而用“那么”開始的部分就是結論．例如，在命題（1）中，“兩個角是對頂角”是題設，“這兩個角相等”是結論．

有的命題的題設與結論不十分明顯，將它寫成“如果??，那么??”的形式，也可分清它的題設與結論．例如，命題（5）可寫成“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”．

（二）例題選講

例1：把命題“三個角都相等的三角形是等邊三角形”改寫成“如果??，那么??”的形式，并分別指出命題的題設與結論．

解：這個命題可以寫成“如果一個三角形的三個角都相等，那么這個三角形是等邊三角形”．這個命題的題設是“一個三角形的三個角都相等”，結論是“這個三角形是等邊三角形”．

例2：指出下列命題的題設和結論，并把它改寫成“如果??那么??”的形式，它們是真命題還是假命題？

（1）對頂角相等；

（2）如果a＞b，b＞c，那么a＝c；

（3）兩角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等；（4）菱形的四條邊都相等；（5）全等三角形的面積相等。

（三）假命題的證明

要判斷一個命題是真命題，可以用邏輯推理的方法加以論證；而要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個例子，說明該命題不成立，即只要舉出一個符合該命題題設而不符合該命題結論的例子就可以了．在數學中，這種方法稱為“舉反例”．例如，要證明命題“一個銳角與一個鈍角的和等于一個平角”是假命題，只需舉出一個反例“某一銳角與某一鈍角的和不是180°”即可．

三、課堂練習

P65

第1、2題

四、總結

1、命題、真命題和假命題的含義；

2、區分命題題設、結論的方法；

3、判斷假命題的方法。

五、作業

P67 習題 19．1

第1、2題 教學后記：

第二課時

教學內容：公理、定理

教學目標：

1、了解命題、公理、定理的含義；理解證明的必要性。

2、結合實例讓學生意識到證明的必要性，培養學生說理有據，有條理地表達自己想法的良好意識。

3、初步感受公理化方法對數學發展和人類文明的價值。

教學重點：知道什么是公理，什么是定理。教學難點：理解證明的必要性。教學過程：

一、復習引入：

上節課我們研究了要證明一個命題是假命題，只要舉出一個符合該命題題設而不符合該命題結論的反例就可以了，這節課，我們將研究怎樣證明一個命題是真命題。

二、探究新知

（一）公理

數學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據，這樣的真命題叫做公理（axioms）．

我們已經知道下列命題是真命題：

一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等；

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行； 全等三角形的對應邊、對應角分別相等． 我們將這些真命題均作為公理．

（二）定理

判斷下列命題是否正確：（1）當n=1時，（n2-5n+1）2=1;

當n=2時，（n2-5n+1）2=1

22當n=3時，（n2-5n+1）=1是否是對于任意的正整數n，（n2-5n+1）都等于1呢？（n=5時,（n2-5n+1）2=25）

(2)如果a=b,那么a2=b2.于是猜想：當a＞b時a2＞b2這個命題正確嗎？

數學中有些命題可以從公理或其他真命題出發，用邏輯推理的方法證明它們是正確的，并且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據，這樣的真命題叫做定理（theorem）．

（三）證明過程

例如，有了“三角形的內角和等于180°”這條定理后，我們還可以證明刻畫直角三角形的兩個銳角之間的數量關系的命題：

直角三角形的兩個銳角互余．

已知： 如圖19.1.1，在Rt△ABC中，∠C＝90°.求證： ∠A＋∠B＝90°． 證明∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的內角和等于180°），又∠C＝90°，∴ ∠A＋∠B＝90°．

圖19.1.1 此命題可以用來作為判斷其他命題真假的依據，因此我們把它也作為定理．

定理的作用不僅在于它揭示了客觀事物的本質屬性，而且可以作為進一步確認其他命題真假的依據．

三、課堂練習

四、總結：公理、定理的含義

五、作業： 教學后記：