第一篇：高中數(shù)學聯(lián)賽中常見的幾何定理

梅涅勞斯定理 ：

梅涅勞斯（Menelaus）定理是由古希臘數(shù)學家梅涅勞斯首先證明的。他指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。證明：

過點A作AG‖BC交DF的延長線于G

AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG

三式相乘得：

AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=

1它的逆定理也成立：若有三點F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，則F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。

塞瓦定理：

在△ABC內(nèi)任取一點O，直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=

1證法簡介

（Ⅰ）本題可利用梅涅勞斯定理證明：

∵△ADC被直線BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①

而由△ABD被直線COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

（Ⅱ）也可以利用面積關(guān)系證明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點:

設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）

/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點。

可用塞瓦定理證明的其他定理;

三角形三條中線交于一點（重心）:如圖5 D , E分別為BC , AC 中點 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=

1且因為AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三條中線交于一點塞瓦定理推論（趙浩杰定理）：

設(shè)E是△ABD內(nèi)任意一點，AE、BE、DE分別交對邊于C、G、F，則(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）則(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K為未知參數(shù)）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數(shù)）

由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=

1所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1（塞瓦定理推論）

托勒密(Ptolemy)定理指出，圓內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。原文：圓內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。

一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。）

在任意四邊形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD

因為△ABE∽△ACD

所以 BE/CD=AB/AC,即BE〃AC=AB〃CD(1)

而∠BAC=∠DAE，∠ACB=∠ADE

所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED〃AC=BC〃AD(2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB〃CD+AD〃BC

又因為BE+ED≥BD

（僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”）所以命題得證

復(fù)數(shù)證明

用a、b、c、d分別表示四邊形頂點A、B、C、D的復(fù)數(shù)，則AB、CD、AD、BC、A

C、BD的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到復(fù)數(shù)恒等式：(a ? b)(c ? d)+(a ? d)(b ? c)=(a ? c)(b ? d)，兩邊取模，運用三角不等式得。等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。四點不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。在AC上取一點K，使得∠ABK = ∠CBD； 因為∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK〃BD = AB〃CD，且CK〃BD = BC〃DA； 兩式相加，得(AK+CK)〃BD = AB〃CD + BC〃DA； 但AK+CK = AC，因此AC〃BD = AB〃CD + BC〃DA。證畢。

三、托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：AC〃BD＝AB〃CD＋AD〃BC．

證明：如圖1，過C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC〃BP=AD〃BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC〃DP=AB〃CD ②。①＋②得 AC(BP＋DP)=AB〃CD＋AD〃BC．即AC〃BD=AB〃CD＋AD〃BC．

推論

1.任意凸四邊形ABCD，必有AC〃BD≤AB〃CD+AD〃BC，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。

2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內(nèi)接于一圓。

推廣

托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小于另外一組對邊的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。

簡單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模，得不等式AC〃BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB〃CD+BC〃AD

注意：

1.等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。

2.四點不限于同一平面。

平面幾何里的歐拉定理：

定理內(nèi)容

設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d^2=R^2-2Rr．

證明：

O、I分別為⊿ABC的外心與內(nèi)心．

連AI并延長交⊙O于點D，由AI平分ÐBAC，故D為弧BC的中點．連DO并延長交⊙O于E，則DE為與BC垂直的⊙O的直徑．

由圓冪定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA〃ID．（作直線OI與⊙O交于兩點，即可用證明）

但DB=DI（可連BI，證明ÐDBI=ÐDIB得），故只需證2Rr=IA〃DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．

而這個比例式可由⊿AFI∽⊿EBD證得．故得R2-d2=2Rr，即證．

第二篇：高中數(shù)學聯(lián)賽幾何定理

高中數(shù)學聯(lián)賽幾何定理

梅涅勞斯定理

BFAECD???1。FAECBD

BFAECD?1，逆定理：一直線截△ABC的三邊BC,CA,AB或其延長線于D,E,F若??FAECBD一直線截△ABC的三邊BC,CA,AB或其延長線于D,E,F則

則D,E,F三點共線。

塞瓦定理

BDCEAF??=1。在△ABC內(nèi)任取一點O,直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則

托勒密定理

ABCD為任意一個圓內(nèi)接四邊形，則AB?CD?AD?BC?AC?BD。

逆定理：若四邊形ABCD滿足AB?CD?AD?BC?AC?BD，則A、B、C、D四點共圓

西姆松定理

過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。

相關(guān)的結(jié)果有：

（1）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點為線段PH的中點，且這點在九點圓上。

（2）兩點的西姆松線的交角等于該兩點的圓周角。

(3）若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關(guān)。

（4）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。斯特瓦爾特定理

設(shè)已知△ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有AB·DC+AC·BD-AD·BC＝BC·DC·BD。22

2三角形旁心

1、旁切圓的圓心叫做三角形的旁心。

2、與三角形的一邊及其他兩邊的延長線都相切的圓叫做三角形的旁切圓。

費馬點

在一個三角形中，到3個頂點距離之和最小的點叫做這個三角形的費馬點。

(1)若三角形ABC的3個內(nèi)角均小于120°，那么3條距離連線正好平分費馬點所在的周角。所以三角形的費馬點也稱為三角形的等角中心。

(2)若三角形有一內(nèi)角不小于120度，則此鈍角的頂點就是距離和最小的點。

判定（1）對于任意三角形△ABC，若三角形內(nèi)或三角形上某一點E,若EA+EB+EC有最小值,則E為費馬點。費馬點的計算

（2）如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于120°，這個內(nèi)角的頂點就是費馬點；如果3個內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對3邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點。

九點圓：三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點（連結(jié)三角形各頂點與垂心所得三線段的中點）九點共圓。通常稱這個圓為九點圓（nine-point circle），歐拉線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。

幾何不等式

1托勒密不等式:任意凸四邊形

ABCD四點共圓時取等號。ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當且僅當

2埃爾多斯—莫德爾不等式:設(shè)P是ΔABC內(nèi)任意一點，P到ΔABC三邊BC,CA,AB的距離分別為PD=p,PE=q,PF=r，記PA=x,PB=y,PC=z。則 x+y+z≥2(p+q+r)3外森比克不等式:設(shè)△ABC的三邊長為a、b、c,面積為S,則a2+b2+c2≥4S 4歐拉不等式:設(shè)△ABC外接圓與內(nèi)切圓的半徑分別為R、r，則R≥2r,當且僅當△ABC為正三角形時取等號。

圓冪

假設(shè)平面上有一點P，有一圓O，其半徑為R，則OP^2-R^2即為P點到圓O的冪；可見圓外的點對圓的冪為正，圓內(nèi)為負，圓上為0；

根軸

1在平面上任給兩不同心的圓，則對兩圓圓冪相等的點的集合是一條直線，這條線稱為這兩個圓的根軸。

2另一角度也可以稱兩不同心圓的等冪點的軌跡為根軸。

相關(guān)定理

1，平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線；

2，若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線；

3，若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內(nèi)公切線；

4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三個圓心不共線的圓，它們兩兩的根軸或者互相平行，或者交于一點，這一點叫做它們的根心；

第三篇：高中數(shù)學聯(lián)賽平面幾何定理

①雞爪定理：設(shè)△ABC的內(nèi)心為I，∠A內(nèi)的旁心為J，AI的延長線交三角形外接圓于K，則KI=KJ=KB=KC。

由內(nèi)心和旁心的定義可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2 ∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ 同理，∠ICJ=90° ∵∠IBJ+∠ICJ=180°

∴IBJC四點共圓，且IJ為圓的直徑 ∵AK平分∠BAC ∴KB=KC（相等的圓周角所對的弦相等）

又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB ∴KB=KI ∵IBJC四點共圓 且 KB=KI=KC ∴點K是四邊形IBJC的外接圓的圓心（只有圓心滿足與圓周上超過三個以上的點的距離相等）∴KB=KI=KJ=KC 雞爪定理逆定理：設(shè)△ABC中∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于K。在AK及延長線上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的內(nèi)部，J在△ABC的外部。則I是△ABC的內(nèi)心，J是△ABC的旁心。證明：利用同一法可輕松證明該定理的逆定理。

取△ABC的內(nèi)心I'和旁心J’，根據(jù)定理有KB=KC=KI'=KJ' 又∵KB=KI=KJ ∴I和I'重合，J和J’重合 即I和J分別是內(nèi)心和旁心。

②蝴蝶定理：設(shè)S為圓內(nèi)弦AB的中點，過S作弦EF和CD。設(shè)CF和DE各相交AB于點M和N，則S是MN的中點。

過O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足為L、T，連接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF 證法1:霍納證法

∴ES/CS=ED/FC 根據(jù)垂徑定理得：LD=ED/2，F(xiàn)T=FC/2 ∴ES/CS=EL/CT 又∵∠E=∠C ∴△ESL∽△CST ∴∠SLN=∠STM ∵S是AB的中點所以O(shè)S⊥AB ∴∠OSN=∠OLN=90°

∴O，S，N，L四點共圓，（一中同長）同理，O，T，M，S四點共圓

∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON ∴∠SON=∠SOM ∵OS⊥AB ∴MS=NS ③西姆松定理：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線上的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。

證明一：△ABC外接圓上有點P，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PD⊥AB于D，分別連FE、FD、BP、CP.易證P、B、D、F和P、F、C、E分別共圓，（四點共圓）

在PBDF圓內(nèi)，∠DBP+∠DFP=180度，在ABPC圓內(nèi)∠ABP+∠ACP =180度，∴∠DFP=∠ACP ①，在PFCE圓內(nèi) ∠PFE=∠PCE②

而∠ACP+∠PCE=180°③ ∴∠DFP+∠PFE=180°④，即D、F、E共線。反之，當D、F、E共線時，由④→②→③→①可見A、B、P、C共圓。④九點圓：三角形三邊的中點，三高的垂足和三個歐拉點(連結(jié)三角形各頂點與垂心所得三線段的中點)九點共圓。作圖如下:△ABC的BC邊垂足為D，BC邊中點為L，AC邊垂足為E，AC邊中點為M,AB邊垂足為F，AB邊中點為N, 垂心為H，AH,BH,CH中點分別為P,Q,R(思路：以PL為直徑，其它任意某點，去證P某L為90°)證明:(由中位線)PM∥CH，LM∥AB，又CH⊥AB∴PM⊥LM，又PD⊥LD ∴PMDL共圓。

(由中位線)PR∥AC，LR∥BH，BH⊥AC，所以PR⊥LR ∴PMRDL五點共圓。PE為Rt△AHE斜邊中線 ∴∠PEA=∠PAE 同理∠LEC=∠LCE所以∠PEL=180°—∠ADC ∴∠LEP等于90°

∴PEMRDL六點共圓，PL為直徑，同理PFNQL五點共圓,PL為直徑 ∴PEMRDLQNF九點共圓，PL為直徑，PL中點(設(shè)為V)就是圓心 下證 九點圓的圓心在垂心與外心連線的中點

O為外心，OL平行等于AH一半(小定理)所以O(shè)L平行等于PH OLPH為平行四邊形，V是PL中點，就是OH中點。

⑤托勒密定理：圓內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。

在任意凸四邊形ABCD中(如右圖)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,連接DE.則△ABE∽△ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD(1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD, 所以△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD(2)(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因為BE+ED≥BD(僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”)⑥三弦定理：圓上一點A,引出三條弦AB(左)、AC(右)、及中間弦AD,BC與AD交于P，則： ABsin∠CAP +ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。

證明如下;連BD、CD, 由圓的相交弦定理→△ABP∽△CDP→AB/CD=AP/CP→AB·CP=CD·AP→

AB·CP-CD·AP=0→同理→AC·BP-BD·AP=0, 所以有AB(AB·CP-CD·AP)=0, AC(AC·BP-BD·AP)=0,兩式相加→AB·AB·CP + AC·AC·BP=AB·CD·AP +AC·BD·AP=AP(AB·CD+AC·BD)=AP·BC·AD⑴(托氏定理)。

由AC外分∠BAP, 由《分角定理》→(sin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC)·(AB/AP), →

(ABsin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC)·(AB·AB/AP)⑵, 同理有, 由AB外分∠CAP, 由《分角定理》→(ACsin∠BAP/ sin∠BAC)=(BP/BC)·(AC·AC/AP)⑶, 由⑵+⑶→

(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP)/ sin∠BAC=(AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP,由⑴→

(AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP=AD, 所以(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP)/ sin∠BAC=AD, 所以,ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。證畢。

第四篇：高中數(shù)學聯(lián)賽

高中數(shù)學聯(lián)賽

全國高中數(shù)學聯(lián)賽（一試）所涉及的知識范圍不超出教育部2000年《全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱》。

全國高中數(shù)學聯(lián)賽(加試)在知識方面有所擴展，適當增加一些教學大綱之外的內(nèi)容，所增加內(nèi)容是：

1．平面幾何

幾個重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形旁心、費馬點、歐拉線；

幾何不等式；

幾何極值問題；

幾何中的變換：對稱、平移、旋轉(zhuǎn)；

圓的冪和根軸：

面積方法，復(fù)數(shù)方法，向量方法，解析幾何方法。

2．代數(shù)

周期函數(shù)，帶絕對值的函數(shù)；

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函數(shù)；

遞歸，遞歸數(shù)列及其性質(zhì)，一階、二階線性常系數(shù)遞歸數(shù)列的通項公式；第二數(shù)學歸納法；

均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函數(shù)及其應(yīng)用；

復(fù)數(shù)及其指數(shù)形式、三角形式，歐拉公式，棣莫弗定理，單位根；多項式的除法定理、因式分解定理，多項式的相等，整系數(shù)多項式的有理根*，多項式的插值公式*；

n次多項式根的個數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實系數(shù)多項式虛根成對定理；函數(shù)迭代，求n次迭代*，簡單的函數(shù)方程*。

3．初等數(shù)論

同余，歐幾里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程組，高斯函數(shù)[x]，費馬小定理，格點及其性質(zhì)，無窮遞降法*，歐拉定理*，孫子定理*。

4．組合問題

圓排列，有重復(fù)元素的排列與組合，組合恒等式；

組合計數(shù)，組合幾何；

抽屜原理；

容斥原理；

極端原理；

圖論問題；

集合的劃分；

覆蓋；

平面凸集、凸包及應(yīng)用*。

有*號的內(nèi)容加試中暫不考，但在冬令營中可能考。

注：上述大綱在2006年第十四次普及工作會上討論通過

第五篇：高中數(shù)學相關(guān)定理

2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試數(shù)學（文）復(fù)習資料2013.5.26

高中數(shù)學相關(guān)定理、公式及結(jié)論證明

（一）三角函數(shù)部分。

一、兩角和（差）的余弦公式證明。

內(nèi)容：cos(???)?cos?cos??sin?sin?,cos(???)?cos?cos??sin?sin?

證明：

①如圖（1），在單位圓中設(shè)P（cos?,sin?）,Q（cos?,-sin?）

則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?

?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（1）

②如圖（2），在單位圓中設(shè)P（cos?,sin?）,Q（cos?,sin?）

則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?

?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（2）

二、兩角和（差）的正弦公式證明。

內(nèi)容：sin(???)?sin?cos??cos?sin?,sin(???)?sin?cos??cos?sin?

證明：

sin(???)?cos[?

2?(???)]?cos[(?

2??)??]?cos(?

2??)cos??sin(?

2??)sin?

?sin?cos??cos?sin?

sin(???)?cos[?

2?(???)]?cos[(?

2??)??]?cos(?

2??)cos??sin(?

2??)sin?

?sin?cos??cos?sin?

三、兩角和（差）的正切公式證明。內(nèi)容：tan(???)?

證明： tan??tan?1?tan?tan?，tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?

sin?cos?

tan(???)?

sin(???)cos(???)

?

sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?

?

cos?cos?cos?cos?cos?cos?

??

cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?

?

tan??tan?1?tan?tan?

sin?cos?

tan(???)?

sin(???)cos(???)

?

sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?

?

cos?cos?cos?cos?cos?cos?

??

cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?

?

tan??tan?1?tan?tan?

四、半角公式證明。內(nèi)容：sin

?2??

1?cos?,cos

?

2??

1?cos?,tan

?2

?

1?cos?1?cos?

?

2sin?1?cos?

?

1?cos?2sin?

??cos2??1?2sin?

證明：由二倍角公式? 2

??cos2??2cos??

1?2?cos??1?2sin???2

??用?代替2?，得?，得sin2

?cos??2cos2??1?2?

sin?cos

?cos?,cos

?2

??

?cos?

?2

tan

?2

sin?cos

?2

?2cos?2cos

?2

?2

?2

?2

?

2sin?1?cos?，tan

?2

sin?cos

?2

sin?cos

?2

?2sin?2sin

?2

?2

?2

?2

?

1?cos?2sin?

五、正弦定理證明。

內(nèi)容：在?ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，則證明：①如圖（3），在Rt?ABC中，sinA?

?

asinAbc,?

bsinB

?

csinC

.ac,sinB?

asinA

?

bsinB

?c，?C?90?,sinC?1.?

asinA

?

bsinB

?

csinC

.圖（3）

②如圖（4），在銳角?ABC中，以B為原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標系，作AC??y軸于點C?，易知BA和CA在軸上的射影均為BC?

?C?bsinC??

?

2?B)?csinB,bsinB

?

csinC,同理

asinA

?

bsinB

?

asinA

?

bsinB

?

csinC

.圖（4）

③如圖（5），在鈍角?ABC中，以C為原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標系，作AC??y軸于點C?，易知BA和CA在軸上的射影均為CC?

?B?csinB?C?

?

?2)?bsinC,bsinBasinA

??

csinCbsinB,同理?

c

asinA

?

bsinB

?

sinC

.圖（5）

六、余弦定理證明。

?a2?b2?c2?2bccosA

?

2?ABC內(nèi)容：在中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，則?b?a2?c2?2accosB

?222

c?a?b?2abcosC?

證明：如圖（6），在?ABC中，a?a?BC

?(AC?AB)(AC?AB)

??2AC?AB?

?2

?2AC?ABcosA?2

?b?c?2bccosA圖（6）

222

??a?b?c?2bccosA

同理可證：?2 22

??c?a?b?2abcosC

（二）平面向量部分。

一、平面向量基本定理。

內(nèi)容：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意一向量a，存在唯一一對 實數(shù)?1,?2，使得a??1e1??2e2.證明：如圖（7），過平面內(nèi)一點O，作OA?e1,OB?e2,OC?a，過點C分別作直 線OA和直線OB的平行線，交OA于點M，交OB于點N，有且只有一組實數(shù)，使

得OM??1OA,ON??2OB圖（7）

?OC?OM?ON?OC??1OA??2OB

即a??1e1??2e2.二、共線向量定理。

內(nèi)容：如圖（8），A,B,C為平面內(nèi)的三點，且A,B不重合，點P為平面內(nèi)任一點，若C在直線AB上，則有

PC??PA?(1??)PB

證明：由題意，BC與BA共線，?BC??BA

BC?PC?PB,BA?PA?PB?PC?PB??(PA?PB)

圖（8）

化簡為：PC??PA?(1??)PB

三、平行向量定理。

內(nèi)容：若兩個向量（與坐標軸不平行）平行，則它們相應(yīng)的坐標成比例；若兩個向量相對應(yīng)的坐標成比例，則兩向量平行。

證明：設(shè)a,b是非零向量，且a?(x1,y1),b?(x2,y2)若a//b，則存在實數(shù)?使a??b，且由平面向量基本定理可知

x1i?y1j??(x2i?y2j)??x2i??y2j.?x1??x2①，y1??y2②

①?y2?②?x2得：x1y2?x2y1?0

若y1?0,y2?0（即向量a,b不與坐標軸平行）則

x1y

1?x2y

2（三）立體幾何部分。

一、三垂線定理及其逆定理。

內(nèi)容：在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

三垂線定理的逆定理：如果平面內(nèi)一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

證明：已知：如圖（9），直線l與平面?相交與點A，l在?上的射影OA垂直于a,a??

求證：l⊥a

證明：過P作PO垂直于?

∵PO⊥α∴PO⊥a

又a⊥OA，PO∩OA=O ∴a⊥平面POA

∴a⊥l圖（9）

（四）解析幾何部分。

一、點到直線距離公式證明。

內(nèi)容：已知直線l:Ax?By?C?0,直線外一點M(x0,y0).則其到直線l的距離為d?

Ax

?ByA

?C。

?B

證明：如圖（10），設(shè)直線l:Ax?By?C?0,直線外一點M(x0,y0).直線上一點P(x,y).可得直線的 一個方向向量為v?(?B,A),設(shè)其法向量為n?(s,t)則v?n??Bs?At?0，可得直線一法向量為n?(A,B),n的單位向量為n0?

?（AA

?B,A

B

?B)圖（10）

由題意，點M到直線的距離為PM在n0上的射影，所以，d???

A(x0?x)?B(y0?y)

A

?B

?

Ax

?By

0

2?(Ax?By)?B

②

A

因為點P(x,y)在直線上，所以C??(Ax?By)①

Ax

?ByA

所以，把①代入②中，得d?

00

?C

?B

（五）數(shù)列部分

一、等差數(shù)列前n項和公式證明。

內(nèi)容：?an?是等差數(shù)列，公差為d，首項為a1，Sn為其n前項和，則Sn?a1n?證明：由題意，Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)?.......?(a1?(n?1)d)① 反過來可寫為：Sn?an?(an?d)?(an?2d)?.......?(an?(n?1)d)②

①+②得：2Sn?a1?n?a1?n.......?a1?n

???????????

n個

n(n?1)

d?

n(a1?an)

所以，Sn?

n(a1?an)

③，把an?a1?(n?1)d代入③中，得Sn?a1n?

二、等比數(shù)列前n項和公式證明。

n(n?1)

d?

n(a1?an)

?na1,(q?1)

?n

內(nèi)容：?an?是等比數(shù)列，公比為q，首項為a1，Sn為其n前項和，則Sn=?a1?anq a1(1?q)

?,(q?1)?

1?q1?q?

證明：Sn?a1?a1q?a1q?.......?a1qqS

n

2n?

1①

n

?a1q?a1q

?a1q

?.......?a1q②

n

①—②得：(1?q)Sn?a1?a1q，當q?1時，Sn?

a1?a1q1?q

n

?

a1(1?q)1?q

n

③

把an?a1q

n?1

代入③中，得Sn?

a1?anq1?q

當q?1時。很明顯Sn?na1

?na1,(q?1)

?n

所以，Sn=?a1?anq a1(1?q)

?,(q?1)?

1?q1?q?

（六）函數(shù)和導(dǎo)數(shù)部分

一、換底公式證明。內(nèi)容：log

N?

loglog

aa

Nb

b

(N,a,b?0;a,b?1)

證明：設(shè)log

a

N?X,log

a

b?Y，則b?a,N?a

YX

?log

b

N?log

a

Y

a

X

?

XY

log

a

a?

XY

?

loglog

aa

Nb