第一篇：例說不等式在解幾何題中的應用.doc

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例說不等式在解幾何題中的應用 作者：徐 塌

來源：《發明與創新(學生版)》2006年第08期

第二篇：解剖學在幾何證明題中的應用

“解剖學”在幾何證明題中的應用

咸安區白鶴中學游明勇

幾何的正面，是學生感到很難的一部分內容。它需把定理與圖形

靈活地結合起來，一些簡單的幾何圖形，孩比較容易找到切入點，但

對一些組合圖形，或圖形中的線，圖形較多時，我就采取“解剖學”

中的方法，把圖形先提出來，分析探究有關結論，再放進去，把不熟

悉的圖形，變成成熟的，學生就很容易找到切入點。

案例1》：如圖,?O1與?O2外切于P，AB切?O1于A，切?O2于

B，R1=4,R2=2，求AB的長。

老師提出問題：怎樣求AB的長呢？請學生邊讀題邊結合圖形，你能讀出哪些結論？有哪些輔助線？

生：（1）點O1,P,O2三點共線。

（2）連O1A,O2B 輔助線。

師：試連線，結合題中已知，你能得到哪些線段長？

生：O1O2=6,AO1=4,BO2=

2結合題中問題，觀察思考：題中怎樣求線的AB的長？讓學生自己動

手做后，老師再用另一種思路解:AB師：請把圖中點A,B,O1,O2四點對應的圖形

4提出來，結合初二基本圖形，你有所發現。O1 6

生：它就是：初二梯形中，已知上、下底長—腰長，求另一腰長。

反思：歸納：這樣，在幾何題證明中，避免其它線對思維的影響，可O2

適當地把部分圖像從原題中提出來進行分析，得出結論，還放回原題

進行解答。

案例2>：如圖，?O1與?O2都經過A, B兩點，過點A的直線CD

與?O1交于C，與?O2交于D，過點B的直線EF與?O1交與E，交?

M

E?圖（1）N（1）求證：CE//DF.（2）在圖（1）中，若CD與EF可以繞點A, B 轉動，當點C與點

E重合時，過點E作直線MN//DF。判斷直線MN與?O1的位

置關系，并證明你的結論。與?O2師：案例（1）中靈活應用，把題中部分“器官”提出來，進行分析，然后再放進去，你能用上述方法對案例（2）中第1小題進行分析嗎？

試試看。

生：抓住兩圓相交的基本輔助線，在不同圓中分別進行剖析，應用圓

內接四邊形性質，和平行線的判定方法，易證。CA

師：對于第（2）小題，圖形變了，已知，結論也有所改變：你能用

以上“解剖”的方法，把它們分開分拆，提出來，再放進去找聯系嗎？

生：可作如圖分解 ：

在圖（b）中可證：

再在圖（a）中，就是已知< ABE=

師生反思：因此，在幾何證明題中，當圖中的線較多或圖形較復雜時，可以使當地把部分圖形提出來，單個研究，防止，其他圖對思維的影

響，阻礙了思維的發展。因此，使當地采取“解剖的方法”，化難為

易，化繁為簡，化不熟悉為常規，采取“各個擊破”的思想，大大降

低了解題的難度，改變了大部分學生認為幾何難學的思想，在某一定

程度上，激發了學生求學的興趣。

第三篇：法向量在立體幾何解題中的應用

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法向量在立體幾何解題中的應用

作者：魏慶鼎

來源：《理科考試研究·高中》2013年第08期

高中數學教材引進了向量知識以后，為我們解決數學問題提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解決求立幾中的角和距離兩大問題中，是行之有效的方法，它解決了以前舊版教材立幾中的這兩個難點.在舊版教材中，運用幾何法解決這兩類問題，要通過“作”、“證”、“求”，既要有較強的空間想象能力，又要求學生對空間中，線、面之間的判定、性質等定理非常熟悉并能熟練應用，對學生，特別是中下水平的學生是一大難點.而現在向量法則很好解決了這個難點，所以它對人們研究立幾問題有著普及的意義.同時向量法對立幾中的線面平行和線面垂直、面面垂直和面面平行等位置關系的證明，也非常簡便.空間向量的引入使立體幾何的解題變得直觀、易懂.而“法向量”的靈活應用，給解決空間問題提供了一個很方便、實用的工具，會使我們在高考中快捷地解決立體幾何問題.以下是本人在教學過程中總結出來的關于“法向量”在立體幾何中的一些應用.現把教學中得到的這些方法進行歸類，供同行參考.4.用法向量求二面角平面角的大小

求二面角的平面角的大小可先求出兩個平面的法向量；則兩法向量的夾角與二面角的平面角相等或互補.此時，觀察二面角的平面角為銳角還是鈍角，視情況而定.（注：在證明面面平行或面面垂直時，也可采用此法.如兩面的法向量共線，即兩平面平行；如兩平面的法向量垂直，即兩平面垂直）從以上的一些例題中，我們不難看出“法向量”這一特殊工具在立體幾何的解題中的優越性.但在具體做題中，我們還應對不同的題型選擇更便捷的方法去做，視自己對知識掌握的情況而定.

第四篇：極限思想在解題中的應用

Email:hb_yuerf@sohu.com個人簡介：岳儒芳畢業于河北師范大學中學一級教師教育碩士

極限思想在解題中的應用

河北省石家莊市第十九中學岳儒芳

數學研究的對象可以是特殊的或一般的，可以是具體的或抽象的，可以是靜止的或運動的，可以是有限的或無限的，它們之間都是矛盾的對立統一．正是由于對象之間的對立統一，為我們解決這些對立統一事物提供了研究的方法．有限與無限相比，有限顯得具體，無限顯得抽象，對有限的研究往往先于對無限的研究，對有限個對象的研究往往有章法可循，并積累了一定的經驗．而對于無限個對象的研究，卻往往不知如何下手，顯得經驗不足．于是將對無限的研究就轉化成對有限的研究，就成了解決無限問題的畢經之路．反之當積累了解決無限問題的經驗之后，可以將有限問題轉化成無限問題來解決．這種無限化有限，有限化無限的解決數學問題的方法就是有限與無限的思想．

在數學教學過程中，雖然開始學習的數學都是有限的數學，但其中也包含有無限的成分，只不過沒有進行深入的研究．在學習有關數及其運算的過程中，對自然數、整數、有理數、實數、復數的學習都是研究有限個數的運算，但實際上各數集內元素的個數都是無限的，以上數集都是無限集．對圖形的研究，知道直線和平面都是可以無限延展的．在解析幾何中，還學習過拋物線的漸進線，已經開始有極限的思想體現在其中．學習了數列的極限和函數的極限之后，使中學階段對無限的研究又上了一個新臺階，集中體現了有限和無限的數學思想．使用極限的思想解決數學問題，比較明顯的是立體幾何中求球的體積和表面積，采用無限分割的方法來解決．實際上先進行有限次分割，然后再求和，求極限，我們認為，這是典型的有限與無限數學思想的應用．

函數是對運動變化的動態事物的描述，體現了變量數學在研究客觀事物中的重要作用．導數是對事物變化快慢的一種描述，并由此可進一步處理和解決函數的增減、極大、極小、最大、最小等實際問題，是研究客觀事物變化率和最優化問題的有力工具．通過學習和考查，可以體驗研究和處理不同對象所用的不同數學概念和相關理論以及變量數學的力量．

例1．函數y?log2x?logx(2x)的值域是（）

（A）(??,?1]（B）[3,??)（C）[?1,3]（D）(??,?1]?[3,??)

【分析】選D．

法1:用極限的思想．∵函數定義域為{x|x

當x?

12?0且x?1}．當x???時，y???，∴可排除B，C； 時，y??1，∴可排除A．故選D．

?log2x?1

log2x?1法2:函數變形為y

求出．

例2．過拋物線y

p，設t?log2x,則t?0，再作出“對勾”函數的圖象，數形結合即可?ax2(a?0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是 和q，則

1p?1

q等于（）

2a（A）4a（B）

【分析】選A．（C）2a（D）4a

（法1）取a?2（不可取a?1,否則，A，D兩項的值均等于4），得焦點F(0,的直線PQ∥x軸，易知p

?q?

14,1p?1q

?8?4?

218)，過F再作特殊位置，故選A．（選擇圖形的某一個特殊位置，可得到相關的數

或式的特殊關系，而特殊位置圖形的選擇往往又與選取適當的特殊值和特殊點有關．）

（法2）用極限的思想即：畫出圖形，使PQ繞點F旋轉，使點P與點O重合即可求出． 例3．設A1、A2是橢圓

A2P

2x

9?

y

?

1的長軸的兩個端點，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點，則直線A1P1與

交點的軌跡方程為（）（A）

x

9?

y

?

1（B）

y

?

x

?1

（C）

x

?

y

?1

（D）

y

?

x

?1

【分析】選C．（法1）設p1(3cos?,2sin?),P2(3osc

?,?2nis?)，由橢圓得A1(?3,0),?

A2(3,0)，直線A1P1為y?

?

3tan

?

2x?2tan

?2，直線A2P2為y

?

cot

?

x?2cot

?

3(cot?tan?tan

?)?，∴交點M中，x

?

cot

3cos?

2tan

?

?,y?

2?2tan??2tan?

cos?2，∴（x3)

?（y2)

?sec

??tan

??1,即

x

?

y

?1

．選C．

?0

(法2)利用極限的思想即當P1P2恰是短軸的兩個端點時，則兩直線無交點，即說明當x曲線方程無解．結合選項可判斷選C．

例4．直三棱柱ABC

B?APQC

?A1B1C1的體積為V

時，所求的，P、Q分別為側棱AA?,CC?上的點，且AP

A

1?C?Q，則四棱錐

C1的體積是（）

12V

B1

（A）（B）

3V

（C）

4V

（D）

5V

P

Q

【分析】選B．

（法1）用極限的思想，即令點P與點A1重合，點Q與C重合，則四棱錐

B?APQC

A

B

C

就變成三棱錐B?

APQ，再根據等體積法VB?APQ

?VP?ABC

即可求出．

（法2）可分別取AA?,CC?的中點P，Q，同時令三棱柱中所有棱長為2，很容易就可算出．

例

5、已知1?分析：令x

x?10，則(lgx)2,lgx2,lg(lg

?1，lgx

x)的大小關系為___________．

x)?0

?10，則(lgx)

2?2，lg(lg，?大小關系為

lg(lgx)?(lgx)

?lgx

．

例6、2005年10月15日，我國成功發射神州五號載人航天飛船，若飛船的運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，且其近地點距離地面為m千米，遠地點距地面n千米，則該飛船運行軌道的短軸長為（）[已知地球半徑為R千米]

（A）

(m?R)(n?R)

（B）

2(m?R)(n?R)

（C）mn（D）2mn

分析：選B．

考慮問題的極限情形，m

而將m

?n?0,?n?0,則符合題意的橢圓表現為圓，于是軌道的短軸長表現為圓的直徑2R，代入各選擇分支，僅有B適合，于是正確答案只能是B．

例

7、設n為自然數，求證不等式

19?125

???

1(2n?1)

?

．

時，不等式右邊是一個常量，而左邊從k變為

許多學生會利用數學歸納法證明，但是，當證明n

k?1

?k?1

時卻在不斷增大，證明難度較大．然而，把

1(2n?1)

1(2n?1)1（看成數列{an}，則上述不等式可轉化為數列求和，?

12n?119?125)

因此想到利用數列極限進行求解．因為

12(1?

13?13?15???

12n?1

?

12n?1)

?

22n?1，所以有下式：

???

1(2n?1)

1912

?

125lim

???

1(2n?1)

?，兩邊同時取極限，則

lim[

n???

]?

2n2n?1

?

．

n???

在上例中，將不等式的項與數列相聯系，用極限求和的方法為解決不等式證明問題拓寬了思路，簡便了計算過程．另外，極限思想與特殊化原則的結合，可對某些較復雜的問題極端化處理，使解題過程化難為易．因此，教師應該在課堂教學中幫助學生歸納和總結極限思想在解題中的運用，但不能把對極限的運用局限在解微積分的題目中，應該認識到，通過極限思想，能有效地將數學各部分內容系統地聯系起來，有利于學生從整體上把握數學的本質．

高考中對有限與無限的考查才剛剛起步，并且往往是在考查其他數學思想和方法的過程中同時考查有限與無限的思想．例如，在使用由特殊到一般的歸納思想時，含有有限與無限的思想；在使用數學歸納法證明時，解決的是無限的問題，體現的是有限與無限的思想，等等．隨著高中課程的改革，對新增內容的考查在逐步深入，必將加強對有限與無限思想的考查，設計出重點體現有限與無限思想的新穎試題．

第五篇：(no.1)2013年高中數學教學論文 柯西不等式在解題中的幾點應用 新人教版

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本文為自本人珍藏

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僅供參考

柯西不等式在解題中的幾點應用

摘要：本文利用怎樣運用柯西不等式解題的技巧，介紹了柯西不等式在解等式、不等式、極值、三角問題等方面的應用。

關鍵詞：柯西不等式、技巧、應用

一、引言

人民教育出版社高中《代數》下冊“不等式”一章的習題中有這樣一道題（P、15練習第2題）： 求證：ac+bd?a2?b2*c?d22這題用比較法是很容易證明的，這里用比值的方法來證明。

證明：當a=b=c(或c=d=0)時，顯然成立； 假設a+b?0 且c+dac?bda22222?0,則

ac?bda2?b2*acc2?d2?

2?b2*bdc?d2=a2?c2

cd2?ba22*?d222a2?b222*?d2=a2?b2*cc2?d?ba222?b*c2

?? ???d221?ac??2?2?22?a?bc?d222?1?bd????2??a2?b22c?d??2=1 故ac+bd?ac?bd?ac?bd?a2?b2*c2?d2

(1)式就是著名的柯西不等式的一個簡單特例。

柯西不等式的一般形式為：

對任意的實數a1,a2,?,an及b1,b2,?,bn有

n?n??n2??2???aibi????ai???bi?,?i?1i??i?1??i?1?2

(2)nnn或?i?1aibi??i?1ai*2?bi?12i,(3)其中等號當且僅當a1b1?a2b2???anbn時成立（當bk?0時，認為ak?0,1?k?n).柯西不等式有許多證明方法，這里就不作證明，僅就如何利用柯西不等式解題作一些介紹。

一、柯西不等式在解題中的應用

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1、利用柯西不等式證明恒等式 利用柯西不等式來證明恒等式，主要是利用其取等號的充分必要條件來達到目的，或者是利用柯西不等式進行夾逼的方法獲證。

例、已知a1?b2?b1?a2?1,求證：a2?b2?1。

證明：由柯西不等式，得

a1?b2?b1?a2?a?2?1?a2?2???b2?1?b?2???1

當且僅當b1?a2?1?ba2時，上式取等號，?ab?ab221?a2?1?b，2?1?a2?2??1?b?，?1。于是 a?b22、利用柯西不等式解無理方程（或方程組）用柯西不等式解無理方程，是先把方程的（含有無理式的）運用柯西不等式化為不等式，然后結合原方程把不等式又化成等式，在判定為等式后再利用柯西不等式取等號的特性，得到與原方程同解的且比原方程簡單的無理方程，進而得到簡單的整式方程，從而求得原方程的解。

例：解方程

x2?1x2??x1x1x22?1??21?x?1?22?2?1x?x?1?。

解：?x2???x?1??1?x?1?22

= x?2?1?x?1?2??x?1?

由柯西不等式知

x2?x1x2?1?x?1?2??x?1?2

?x?1x??x?1x即

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x2?1x2?1(x?1)2?(x?1)2?2?,x(x?1)

1?x2?1x12?(x?1)2?1(x?1)2

?2?x(x?1)1x(x?1)2當上式取等號時有x(x?1)?成立，即

x2?x?1?0（無實根）或x?x?1?0，即

x??1?25，經檢驗，原方程的根為

x??1?25

用柯西不等式解方程組，也同樣是利用柯西不等式取等號的條件，從而求得方程組的解。

例：解方程組

x?y?z?9x?w?6x4

2?x(y2?z2?w)?w(y222?w)?4862解：原方程組可化為

x?y?z?9x?w?6(x2

?z)(x22?y2?w)?4862運用柯西不等式得

(x2?y2?z)?2923?27, x?w?22622?18

兩式相乘，得

?x2?y2?z2???x2?w2??486

當且僅當x=y=z=w=3時取等號。故原方程組的解為x=y=z=w=3.3、柯西不等式證明不等式。

很多重要的不等式都可以由柯西不等式導出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常數的巧拆、結構的巧變、巧設數組等，下面略舉一、二說明怎樣利用柯西不等式證明不等式。例：設a,b,c為正數且不相等到，求證：

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2a?b?2b?c?2c?a?9a?b?c

這兩個常數進行巧拆，9=?1?1?1?2分析：我們利用9與2，2?a?b?c???a?b???b?c???c?a?

這樣就給我們利用柯西不等式提供了條件。證明

：?a?11??1?b?c??????a?bb?cc?a????a11??1?b???b?c???c?a???????b?cc?a??a?ba?b???2????????2??1b?c?2????2?c?a??????????1??a?b??c?a?2?????11??b?c??22?????1??c?a??2??? ?a?b?2a?b?b?c?1b?c???c?a????1?1?1??9?2a?b?2b?c?2c?a?9a?b?c? a,b,c各不相等，? 等號不可能成立，從而原不等式成立。

但是我們只要改變一下多項式的形態結?有些問題本身不具備運用柯西不等式的條件，構，認清其內在的結構特征，就可以達到利用柯西不等式解題的目的。下面略舉一例加以說明。

例：設a1?a2???an?an?1,求證：

1a1?a2?1a2?a3???1an?an?1?1an?1?a1?0

分析：這道題初看似乎無法使用柯西不等式，但改變其結構，我們不妨改為證：

?a1??111?an?1?????????1，a2?a3an?an?1??a1?a2證明：為了運用柯西不等式，我們將a1?an?1寫成

a1?an?1??a1?a2???a2?a3?????an?an?1?于是

??a1?n2?111?a2???a2?a3?????an?an?1?????????a?aa2?a3an?an?12?1?1.??? ?用心 愛心 專心 4

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即?111?a1?an?1????????a?aa2?a3an?an?12?11a1?a21a1?a2????1??，??1a2?a31???1an?an?11??1a1?an?11故a2?a3???an?an?1an?1?a1?0.我們進一步觀察柯西不等式，可以發現其特點是：不等式左邊是兩個因式這和，其中每一個因式都是項平方和，右邊是左邊中對立的兩兩乘積之和的平方，證題時，只要能將原題湊成此種形式，就可以引用柯西不等式來證明。

例：求證：x1?x2?證明：?22y1?y2?222?x12?y1???x2?y22?2.?x1?x2?22y1?y22?2?x1?x2?y1?y2?2?2??22??x21?x2?y1?y2

2??22?由柯西不等式得

?x21?x2?y1?y2??x1y1?x2y2222????2

其中等號當且僅當x1?ky1，x2?ky2 時成立。

?????x21?x222??y221?y222??x1y1?x2y2

2?x1?x2??y12y1?y2?2??x21?x22???y?21?y22??2?x?2.1y1?x2y2? ?x1?22??x2?y22?22x1?x2?y1?y2??x1?y1?2?x2?y2其中等號當且僅當x1?ky1，x2?ky2 時成立。

4、用柯西不等式證明條件不等式

n2n2n柯西不等式中有三個因式?ai，?bi，?aibi而一般題目中只有一個或兩個

i?1i?1i?1因式，為了運用柯西不等式，我們需要設法嵌入一個因式（嵌入的因式之和往往是定值），bi 具有廣泛的選擇余地，這也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中諸量ai，任意兩個元素 ai，aj（或bi，bj）的交換，可以得到不同的不等式，因此在證題時根據需要重新安排各量的位置，這種形式上的變更往往會給解題帶來意想不到的方便。這種變換也是運用柯西不等式的一種技巧，下面我們簡單舉例說明怎樣利用上述技巧運用柯西不等式來證明條件不等式。

例：已知a,b?R，a+b=1,x1,x2?R, 求證：?ax1?bx2???bx1?ax2??x1x2

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分析：如果對不等式左端用柯西不等式，就得不到所要證明的結論。若把第二個小括號內的前后項對調一下，情況就不同了。

證明：?ax1?bx2???bx1?ax2? =?ax1?bx2???ax2?bx1? ?a?x1x2?b2x1x2?2

=?a?b?x1x2?x1x2。例、設x1,x2,?,xn?R,求證：

x12?x2?xx3???xxn?xn2x1?x1?x2???xn

（1984年全國高中數學聯賽題）

證明：在不等式的左端嵌乘以因式?x2?x3???xn?x1?，也即嵌以因式

?x1??x2???xn?，由柯西不等式，得 x12x2?xx3???xxn?xn2x1??(x2?x3???xn?x1)

??x1?????x2???????x????2??x3??22222??x??x???????n?1???n???x????x?n?1??????x2???x3?2????xn???2x1?2???xn?xnx1??x1???

?x1????x2?x2?x2x32?x3???xn?1xn???x1?x2???xn?,于是x12x2?xx3???xxn?xn2x1?x1?x2???xn.5、利用柯西不等式求函數的極值

有些極值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當添加上常數項或和為常數的各項，就可以應用柯西不等式來解，這也是運用柯西不等式解題的技巧；而有些極值問題的解決需要反復利用柯西不等式才能達到目的，但在運用過程中，每運用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會出現錯誤。這多次反復運用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略舉例加以說明怎樣利用柯西不等式來求解一些極值問題。

例 設非負實數?1,?2????n滿足?1??2??????n?1,求

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?11??2??????_?n?1??1`??23??????n?n21??1????的最小值。（198

2n?1年西德數學奧林匹克度題）

解：易驗證

?11??2??????+1=

n1?(?1??2?????n)2??1?22??1

同理可得

?11??1??3??????+1=

n22??2,???,?1??2nn?1??????+1=

22??n

令y??11??2??????2_?n?1??1`??23??????n?n21??1????

n?1故y?n?2??1?22??2+????22??n

為了利用柯西不等式，注意到

(2?a1)?(2?a2)?????(2?an)?2n?(a1?a2?????an)?2n?1，12??112??2?(2n?1)(?+????12??n)

=?(2?a1)?(2?a2)?????(2?an)??(12??1?12??2+????12??n)

???2?a1????y?n??2n12?a12?2?a2?2n212?a2n2n?1.?????2?an?12?an????2?n22n?1,y?2n?1?n?1n等號當且公當a1?a2?????an?時成立，從而y有最小值

nn2n?1

例 設x1,x2,???,xn都是正數，n?2,且?xi?1,求證：

i?1nn ?i?1xi1?xi??i?1xi.（1989年全國數學冬令營試題）

n?1證明：令yi?1?xi(i?1,2,???n),由柯西不等式，得

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nnn(?i?1xi)2?n??i?1xi?n, 即 ?i?1xi?n.nnn同理，得(?i?1nyi)2?n??i?1yi?n??i?1(1?xi)?n(n?1)，即 ?yi?i?1n(n?1).又由柯西不等式，得

nn?i?1nyi??i?11yi2n?(?i?14yi?14)2?n

2yi故?i?11yi?n?1n?yin2，?i?1n(n?1)從而

n?i?1xi1?xinn?n??i?11?yiyin??i?11yin??i?1yi ?n(n?1)n

n?1nn?1??i?1xi.?n?16，利用柯西不等式解三角問題。

三角問題包括三角不等式，三角方程。三角極值等到，對于一些三角問題，我們為了給運用柯西不等式創造條件，經常引進一些待定的參數，其值的確定由題設或者由等號成立的充要條件共同確定，也有一些三角極值問題我們可以反復運用柯西不等式進行解決。

例 在?ABC中，求證：

sinA?sinB?5sinC?198?2201(201?3)40

證明：?sinA?sinB?5sinC

?2sin?2cos?2cosA?B2C2C2(coscosA?B22C2?10sinC2)C2cosC2A?B?5sin).(1?5sin當且僅當A=B時等號成立。

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令y?cosx(1?5sinx)(0?x??)2，于是引進參t?0,求

y2cos2x(1?5sinx)2的最值。

由柯西不等式，2y2?cos2x?1?5sinx?2?25cos2x??15?sinx???? =25?cosx??1t2?tsinx?? ?5?cos2?25?x????1?2??t2?2?t2?sinxt?2????5???

?25t2?1cos2x2xt2?t2?sin?.ab??a?b?2又由平均值不等式4,得

2222y2?25t?1?cosx?t?sin2x??t2???2? ?=?25t2?1??t2?1?24t2.（1）

當且僅當cos2x=t2?sin2x時等號成立。例、已知a,b為正常數，且0

3a2?3b2??3a2?3b2??sin2x?cos2x?

??3asinx?3bcosx?2等號成立的當且僅當sinxcosx3a?3b時；

即 x?arctg3ab 時，于是

3a2?3b2?3asinx?3bcosx

再由柯西不等式，得

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3a2?3b2b??a??? cosx??sinxb??a?bcosx?? sinxcosx?? ???3asinx?3?? 6a23sinx2asinx?6bcosxbcosx?2 ???a???b3??.??32等號成立也是當且僅當x?arctgab時。

3???a? 從而y??sinxcosx?ab232?b3?2?.??3?? 于是y?的最小值是?a?sinxcosx?ab232?b3?2?.?? 在許多問題中，如果我們能夠利用柯西不等式去解決，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新。

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