第一篇：職高高一學生在數學解題中的（最終版）

職高高一學生在數學解題中的

常見錯誤剖析

在職高學生的數學解題過程中，我們常見到一些錯誤的解法。引發這些錯誤的原因是什么？教學中應采取哪些措施減少或避免這些錯誤的發生？這是值得廣大職高數學教師研究的一個問題。本文結合高一學生在解題過程中常見的錯誤解法，試舉幾個例子以剖析，并提出了相應的教學對策與廣大職高數學教師探討。

一、基本概念的模糊引起錯解

數學基本概念的模糊是引起職高學生解題錯誤的一個重要原因。

例１．已知sinα=3，且α是第二象限角，求cosα

52錯解：∵ cos2α=1－sin2α

3)=

∴ cosα=1?sin2?=1?(54 5

又∵α是第二象限角，∴cosα＜0

∴ cosα= －

4，5剖析：引起本題解答錯誤的主要原因是混淆了平方根與算術平方根的概念，題目中要求的是符合一定條件的平方根，而學生求得的是算術平方根。最后一步得出的結論更反映了學生概念上的模糊。

教學對策：平方根和算術平方根這兩個之間既有聯系又有區別，職高學生雖然已經學過這兩個概念，但不少職高學生對它們的理解還是比較模糊的。因此，在教學中要重視對這兩個概念的復習。在具體解題教學中，對于求平方根的問題，可要求學生先出兩個平方

2根，然后再根據題目條件得出符合題意的結論。對于求算術平方根的問題，先運用公式a＝｜a｜，然后再用絕對值的定義去掉絕對值符號。使學生養成良好的解題習慣，這樣能大大減少錯誤的發生。

例２．解不等式 ｜x－1|＞3 錯解：原不等式等價于

?x?1?3x?1

3解得

?x?2x4

所以原不等式的解集為｛x｜x＜－2或x＞4｝

剖析：引起本題解答錯誤的主要原因是學生對邏輯連結詞“或”和“且”的概念的混亂。解答中不等式x－1＜－3與x－1＞3之間本應該用邏輯聯結“或” 來聯結，而學生卻用了“且”，最后的答案中聯結詞卻又改成了“或”。說明學生對邏輯聯結詞“或”與“且” 的運用是非常隨意的。

教學對策：邏輯連結詞“或”與“且”的正確運用是職高數學教學上的一個難點。生活中經常用的“或”與邏輯中的“或”是有一定區別的，而職高學生卻往往不加以區別，另外，學生在平時解題時對式子與式子之間的邏輯連結詞的運用往往不太注意，甚至干脆不用。因此，在教學中要根據學生的實際認識水平，通過實際例子的分析，逐步引導學生對概念的理解，并且要求學生在平時解題中要重視對邏輯連結詞的正確運用，逐步提高運用它們的水平。

二、忽略變形的等價性引起錯解

忽略變形的等價性是引起職高學生解題錯誤的另一個重要原因。

2x?1例3．解不等式 x?3＞0

錯解：不等式兩邊同乘以x－3，得

12x＋1＞0

得

x＞－

2∴原不等式的解集為｛x｜x＞－2｝

剖析：不等式兩邊同乘以一個代數式（值不為零）時應考慮代數式值的符號，不然容易導致非同解變形。引起本題解答錯誤的主要原因是學生沒有考慮代數式x－3值的符號，錯誤地認為x－3是一個正數，使得出的不等式與原不等式不是同解不等式。

教學對策：在解分式不等式的教學中，教師要強調不等式兩邊同時乘以一個相同的代數式時，應首先判定代數式值的符號，符號為正時得出的不等式的方向不變，符號為負時得出的不等式方向改變，符號無法確定時不要隨便在不等式兩邊乘代數式。應把不等式的一邊化為零后，采用符號討論的辦法或化為同解的整式不等式求解，從而使學生養成解分式不等式的良好習慣。

三、忽視隱含條件引起錯解

由于忽視題中的隱含條件而引起錯解，在職高學生的解題中經常發生，例4．已知函數y＝mx2＋(m－1)x＋m的圖像與x軸有兩個不同的交點，求m的取值范圍.錯解：根據題意得 Δ＝（m－1）２－4m２＞0

整理得，（m＋1）（3m－1）＜0

解得

1－1＜m＜3

剖析：因為函數的圖像與x軸有兩個不同的交點，所以此函數必定是二次函數。引起本題解答錯誤的主要原因是學生在審題中忽視了題目中的隱含條件m≠0。同時只有當m≠0時，才有判別式的存在。所以本題解答的錯誤是雙重的。

教學對策：在二次函數的教學中，首先要向學生強調二次函數的定義有兩部分構成，①表達式為y＝ax２＋bx＋c，②二次項系數a≠0。其次要告訴學生在解形如y＝ax２＋bx＋c的函數問題時，一定要分a＝0和a≠0兩種情況來考慮，當a＝0且b≠0時此函數為一次函數，當a≠0時此函數為二次函數。另外，在解題時要求學生要細閱讀題中文字，搞清題中是否有隱含條件，如函數是否可以是一次函數？是二次函數時開口方向是否確定？等等。以逐步提高學生解題的正確率。

2008-7-1

第二篇：談分類討論方法在數學解題中的應用

談分類討論方法在數學解題中的應用

【摘要】分類討論是貫穿整個中學數學的一種重要的解題方法，是對問題進行局部攻堅，再突破全局的解題策略。

【關鍵詞】分類討論；方法；解題；應用

【中圖分類號】g623.5【文獻標識碼】a【文章編號】2095-3089（2012）12-0248-02

分類討論是一種重要的數學思想方法，幾乎涉及中學數學內容的各個部分，不僅在探索解題思路方面有著重要作用，而且在提高學生的素質，培養學生良好的數學思維品質方面也有重要的作用。分類討論是在“合中分，分中合”的辯證思想指導下，運用各種數學手段，吧整體化為局部，把復雜問題化為簡單問題，以便“分而治之”、“各個擊破” 也就是是對問題進行局部攻堅，再突破全局的解題方法或策略。

第三篇：在高中物理解題中培養學生的非邏輯思維能力

在高中物理解題中培養學生的非邏輯思維能力

摘要：非邏輯思維的重要性已經為越來越多的人所認可，然而對非邏輯思維的研究目前還處于很不成熟的階段，如何有效的提高非邏輯思維能力一直是個沒有很好解決的問題。本文試圖通過高中物理解題培養學生的非邏輯思維能力，并結合實例，提出了一些具體建議。

關鍵詞：非邏輯思維；物理解題；想象；直覺；靈感

非邏輯思維是相對于邏輯思維而言的，是指用通常的邏輯程序無法說明和解釋的那部分思維活動，主要有想象、聯想、直覺、靈感和逆向思維等表[1]現形式。非邏輯思維是創新思維的重要組成部分，它在創新過程中往往起著關鍵作用。科學史上許多真正的重大發現都離不開非邏輯思維。甚至有人認為，“科學發現是一個非邏輯思維過程[2]”。非邏輯思維的重要作用已經為大多數人所認可。

然而，長期以來我們都高度重視對學生邏輯思維能力的培養，卻忽視了非邏輯思維。培養學生非邏輯思維能力的途徑是多種多樣的。對于高中生來說，解題幾乎是學習物理每天都要做的事情。在解題中運用非邏輯思維，不僅很多時候可以簡單快捷的解決問題，而且可以突破常規，培養學生的非邏輯思維能力，開發學生的創造潛力，提高學生素質，使解題真正成為素質教育的一部分。通過解題培養學生的非邏輯思維能力無疑是一條值得一試的途徑。下面從想象、聯想、直覺、靈感和逆向思維五個方面，分別通過舉例說明如何在高中物理解題中運用非邏輯思維，以培養學生的非邏輯思維能力。

一.發揮想象，變通思路

愛因斯坦說過:“想象力比知識更重要，因為知識是有限的,而想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉。”想象，作為一種直觀的、形象的思維，是科學家從事科學研究的重要手段[3]。在物理解題過程中，想象更是一種不可或缺的思維方式。

物理過程圖景想象就是經常要用到的一種想象。學生對題目所涉及的物理過程，在頭腦中必須有一幅清晰的圖景，才有可能著手解題。

例1從離地面高為h處有自由下落的甲物體，同時在它的正下方的地面上有乙物體以初速度v0豎直上拋，要使兩物體在空中相碰，則做豎直上拋運動的物體的初速度v0應滿足的條件是？（不計空氣阻力，兩物體均看作質點）若要乙物體在下落過程中與甲物體相碰，則v0又應滿足條件是？

該題以自由下落與豎直上拋的兩物體在空中相碰創設物理情景，涉及的可能物理過程圖景有：1.乙物體在上升過程中和甲物體對碰；2.乙物體上升到最高點后又下落，在下落過程中被甲物體追上，和甲物體發生碰撞；3.乙物體上升到

最高點又下落，整個過程都沒有和甲物體相碰。

學生如果不能想象出這些物理過程圖景，就無法切入問題進行解答。明白這些物理過程圖景后，運用運動學的知識，就可以對題目進行解答了。具體的解答過程在此不作贅述。

輔助性想象是物理解題過程中可能用到的另一種想象。這種想象比物理過程圖景想象更具有思維跳躍性，也更具有創造性。有些問題用常規的方法解答非常繁雜，適當輔助以想象之后就變得簡單明，可“想”而知。還有些問題按照常規的邏輯思維可能永遠都找不到解答的方法，就不妨大膽想象，說不定會柳暗花明。

例2 如圖1所示，在球心為O、半徑為a、帶電量為Q的均勻帶電球體內偏心挖去一個半徑為b的小球（球心為0’），OO’=c，挖去小球后剩下部分仍然帶電均勻。在OO’連線上距O為r（r>>a）處有一點電荷，帶電量為q，試求該點電荷受到的電場力。

按照常規的思維，是把帶電體等效為點電荷，然后利用庫侖定律求解。但是偏心挖去小球后的帶電體形狀不規則，要找它的幾何中心顯然是一件很繁雜的事情。如果我們把空腔想象成一個同時帶有等量異種電荷的球形帶電體，接下來按照邏輯方法，把大球和小球都等效成點電荷，利用庫侖定律求他們對點電荷q的合力，問題便迎刃而解了。具體過程如下：

b3由題設，易知所挖去的小球帶電量為q+=3Q。設空腔中同時帶有

ab3b3q+=3Q和q-=-3Q的電荷量，則

aa大球帶電體對點電荷q的電場力為：F1=k小球球帶電體對點電荷q的電場力為：

Qq 2rqq-b3Qq F2=k=-k322(r+c)a(r+c)1b3故所求點電荷受到的電場力為：F=F1+F2=kQq[2-3].ra(r+c)2例3 如圖2（a）所示，有一塊均勻的半圓形薄電阻合金片P，先接在電極A、B之間，測得其電阻為R，然后按圖2（b）接在電極C、D之間，這時P的電阻為多少？

按照常規的邏輯思路，很多學生可能對這道題無法入手。如果想

象兩電極之間本來存著一整塊圓形的電阻片，半圓形電阻片是由圓形電阻片切割而來的，然后運用串、并聯的有關知識進行組合分割，問題就巧妙的解決了。如圖3所示，可一目了然，P的電阻為4R。

二.展開聯想，類比遷移

聯想是科學研究的又一種重要的思維方式。當人們碰到完全陌生的問題時，往往很難找到解決的方法。他山之石，可以攻玉，此時若能仔細觀察，并結合自己的經驗展開合理的聯想，靈活遷移，常常能夠事半功倍。在物理解題過程中有效的展開聯想，不僅可以駕輕就熟的解決問題，還可以鍛煉思維能力，形成良好的思維習慣。

例4 如圖4所示，有一平直公路MN，在到公路的垂直距離AC=30km處有一倉庫A，公路上有一卸貨點B，與C相距L=100km.一輛貨車從A點出發，在公路外的平地上行駛速度v1=40km/h，在公路上行駛速度為v2=50km/h.則貨車從A到B運動的最短時間為多少？

這是一道運動學的題目，然而，直接運用運動學的知識很難解出這道題。如果聯想到光的全反射規律，就豁然開朗了：車在平地和公路上的運動可設想為光線從光密介質（n1）進入光疏介質（n2）的傳播，且正好處于全反射的臨界狀態（如圖5），由費馬原理，光線總是沿著最短光程（即耗時最短的路徑）傳播，就可以巧妙而簡潔地求出貨車運動的最短時間了。具體過程如下：

根據光的折射定律，而 AO=434vsina4得 sina=，cosa=，tana=.=1=，553sin90°v25AC=50km，CO=ACtana=40km，OB=BC-CO=60km.cosa所以 tmin=AOOB+=2.45h.v1v2例5 如圖6所示，在光滑水平面上停放有表面光滑的弧形小車，另一質量與小車質量相同的鐵塊，以速度v從小車右端水平向左沿圓弧軌道向上滑動，到達某一高度后，又沿軌道下滑。則鐵塊剛離開軌道時作怎樣的運動？（）

A．向右作平拋運動

B．向左作平拋運動

C．自由落體運動

D．無法確定

對于這樣的題目，很多學生可能覺得所學的知識用不上，無法作出判斷。然而，仔細觀察題目的條件之后，會發現題目所涉及的物理過程具有以下兩個特點：1.系統的機械能不變；2.鐵塊和小車的質量相等。這和我們所熟悉的“兩等質量小球完全彈性碰撞”模型類似。一聯想到“兩等質量小球完全彈性碰撞”模型，馬上就會得出“交換速度”的結論。由于“碰撞”前小車靜止，所以“交換速度”后鐵塊的水平速度為0，即作自由落體運動，選C項。

三.直覺洞察，直擊結論

直覺思維是個體在面對問題時，以個體的整體知識結構為根據，不經過邏輯

[4]思維，而直接地、迅速地獲得結論的思維過程。直覺思維通常以跳躍的、概要的方式跳過邏輯程序，徑直指向最后的結論，從整體上對事物的性質、聯系作出結論性的判斷[5]。科學史上很多重大發現和突破，都發端于直覺思維。愛因斯坦曾說：“物理學家的最高使命是要得到那些普通的基本定律，而通向這些定律并沒有邏輯的思路，只有通過那種以對經驗共鳴的理解為依據的直覺，才能得到這些定律。”

當問題的前景錯綜復雜、撲朔迷離的時候，敏銳的直覺往往能夠幫助研究者迅速鎖定目標，指明研究方向。在物理解題過程中，鼓勵學生大膽進行直覺預測，不僅可以高效的解決問題，達到“一望而知”的效果，還可以堅定學生的直覺信念，培養良好的思維品質。

例6 有兩個金屬小球，固定在兩個位置上，現給兩個小球提供的總電量為Q.問兩個小球的電量如何分配時兩球間的庫侖力最大？

對于這道題，很多學生可能先會想到當只有一個小球帶電時，兩球帶電量差異最大，庫侖力為零。至此，有些學生會直覺到兩球電量相等，即兩球帶電量差異最小時庫侖力最大，進而進行邏輯驗證。

“兩球帶電量差異最大，庫侖力為零”和“兩球帶電量差異最小時庫侖力最小”之間并無必然的邏輯關系。但這種直覺是非常可貴的，它直接從無數可能的結果中鎖定了目標，為嚴格的邏輯運算提供了積極的先導作用，使一個求解題變成了求證題。

然而，需要指出的是，并非所有的直覺都是正確的，直覺質量的高低依賴于學生原有的經驗儲備和知識儲備[6]，以及學生已具備的思維品質。只有正確的直覺才能促進問題的解決。于是，對直覺必須進行邏輯驗證或實踐檢驗。

四．靈感啟發，出奇制勝

靈感是指人們在問題面前調動全部智慧進行探索，使精神處于極度緊張狀態，再由某種偶然因素的激發，而對問題的解決突然產生富有創造性的思路[7]。靈感思維具有很強的突發性和高度的思維跳躍性，其創造性是其他思維所無法比擬的。它往往能使問題的解決發生突破性的進展，對問題的解決起關鍵性作用。

人們在實踐中獲得大量感性認識，經過理性認識的加工處理形成信息儲存起來，以此來“誘導”靈感的發生。當信息儲存到一定程度，某一刺激就會引起靈感的爆發，從而加深對問題的認識和解決。[8]在物理教學中，我們除了要使學生積累豐富的“信息”，還要向學生提供必要的“刺激”，以引起學生“靈感的爆

發”。設計一些需要高度的思維跳躍性才能解決的習題，就能產生這樣的“刺激”，從而點燃學生思維的火花，開發學生的創造性。

例7 如圖7所示，長為L、質量為M的小船停在靜水中，一個質量為m的人立在船頭，若不計水的阻力，人從船頭走到船尾的過程中，船和人對地的位移各是多少？

在該題中，由人和船組成的系統在水平方向上始終不受外力作用，水平方向上動量時刻守恒，可用動量守恒定律解答。但是不知道人和船的速度，無法直接運用動量守恒定律。一些理論基礎扎實、思維活躍的學生可能會“靈機一動”：用位移代替速度。這是完全可以的，因為在任意時刻都有mv人-Mv船=0，所以mv人-Mv船=0（v人和v船表示平均速度），又因為時間相等，給上式每項乘上時間t后，就可以用位移代替速度了。即

ms人-Ms船=0，又

s人+s，L船=馬上可以得到s船=mLML,s人=.m+Mm+M五．逆向思維，另辟蹊徑

逆向思維就是在分析、處理問題時，從習慣思維（正向思維）相反的方向去探索、研究，從而解決問題的一種思維方法。[9]運用逆向思維往往能使我們另辟蹊徑，迅速有效的找到解決問題的鑰匙。在物理解題中靈活運用逆向思維，不僅可以巧妙高效的解決問題，而且能夠促進學生深刻理解物理知識，擺脫思維定勢，鍛煉學生的創造性思維能力。

例8 一個豎直上拋運動的物體，到達最高點的最后1秒內上升的高度是它上升最大高度的1/ 5，試求它上升的最大高度。（g取10m/s2.）

按正向思維解題，該題運算過程較為繁瑣。如果考慮到豎直上拋運動的上升階段與自由落體運動是可逆的，設想時間反演，則可運用逆向思維進行思考：豎直上拋運動到達最高點的最后 1 秒內上升的高度，恰好等于自由落體最初 1 秒內下落的高度。于是，所求的最大高度

11h=5?gt25創10?1225m

22這就大大簡化了解題過程，讓學生體會到了物理中的簡單美，激發學生的思考興趣和創新欲望。需要注意的是，并非所有問題都具有可逆性。

在物理解題中培養學生的非邏輯思維能力，要注意幾個問題：

1.由非邏輯思維得到的結論不一定都是正確的。不同人對同一問題的非邏輯思維結論也往往大相徑庭。這是由非邏輯思維所固有的跳躍性和不嚴格性決定 的。因此，對由非邏輯思維得出的結論，需要進行邏輯驗證或實踐檢驗。

2.非邏輯思維要以邏輯思維為基礎。想象和聯想不是胡思亂想，直覺和靈感并非空穴來風，逆向思維也不是簡單的“反過來想”就行了。失去邏輯思維這個基礎，非邏輯思維只能是無源之水、無本之木。高質量的非邏輯思維是以豐富的經驗儲備和知識儲備為后盾的，必然有高質量的邏輯思維支撐。具備高質量邏輯思維的人不一定具備高質量非邏輯思維，但是具備高質量非邏輯思維的人必然具備高質量邏輯思維。所以，在培養學生的非邏輯思維能力的時候，要著眼于學生的邏輯思維能力。

3.非邏輯思維必須結合邏輯思維，才能最終解決問題。單憑非邏輯思維是解決不了問題的，非邏輯思維只是為問題的解決提供一種思路，或者取得一種突破，要最終解決問題，還得依賴邏輯思維。

總之，在物理解題中注入非邏輯因素，可以使學生在加深理解物理知識的同時，提高非邏輯思維能力，培養良好的思維品質，增強創造力。

參考文獻：

[1] 陶國富.馬克思主義創新思維之非邏輯思維[J].馬克思主義研究，2010，（6）：86—91.[2] 劉玉濤，張培富.科學發現與非邏輯思維[J].科學情報開發與經濟，2004，14（5）：173—174.[3] 張敏.論科學想象[J].學習與探索，1987，（1）：37—43.[4] 張志藝.中學物理教育中直覺思維能力的培養[D].福州：福建師范大學，2005，6.[5] 陳錫恩.淺議高中生直覺思維能力的培養[J].遼寧教育學院學報，1999，16（5）：80—82.[6] 鄭青岳.直覺思維與物理解題[J].課程·教材·教法，1996，（6）：34—39.[7] 王功仁，黎紅.淺議物理解題中靈感的產生[J].物理教師，1998，19（6）：22—24.[8] 楊貴哲，傅玉生，呂國忱.靈感的新視角[J].東北師大學報（哲學社會科學版），1991，（6）：22—27.[9] 毛國永.趣談逆向思維[J].物理教學探討，2009，（6）：8—9.Training Students’ Non-logical Thinking by High

School Physical Exercise

Wu Lin-tao Abstract: The importance of non-logical thinking has been realized by more and more people.However, the study of non-logical thinking is still very immature at present.It is always a non-well-solved problem that how to improve non-logical thinking ability effectively.This paper tries to train students’ non-logical thinking by high school physical exercise.And some proposals are offered with instances.Key words: non-logical thinking;physical exercise;imagination;intuition;inspiration

第四篇：高考數學解題中的通性通法

高考數學解題中的通性通法

對于中學階段用于解答數學問題的方法，可將其分為三類：

（1）具有創立學科功能的方法.如公理化方法、模型化方法、結構化方法，以及集合論方法、極限方法、坐標方法、向量方法等.在具體的解題中，具有統帥全局的作用.（2）體現一般思維規律的方法.如觀察、試驗、比較、分類、猜想、類比、聯想、歸納、演繹、分析、綜合等.在具體的解題中，有通性通法、適應面廣的特征，常用于思路的發現與探求.（3）具體進行論證演算的方法.這又可以依其適應面分為兩個層次：第一層次是適應面較寬的求解方法，如消元法、換元法、降次法、待定系數法、反證法、同一法、數學歸納法（即遞推法）、坐標法、三角法、數形結合法、構造法、配方法等等；第二層次是適應面較窄的求解技巧，如因式分解法以及因式分解里的“裂項法”、函數作圖的“描點法”、以及三角函數作圖的“五點法”、幾何證明里的“截長補短法”、“補形法”、數列求和里的“裂項相消法”等.我們知道，數學是關于數與形的科學，數與形的有機結合是數學解題的基本思想.數學是關于模式的科學，這反映了在數學解題時，需要進行“模式識別”，需要構建標準的模型.往往遇到的問題是標準模型里的參數是需要待定的，這說明待定系數法屬于解題的通性通法.數學是一種符號，引入符號可以將自然語言轉換為符號語言，通過中間量的代換，就能將復雜問題簡單化.數學解題就是一系列連續的化歸與轉化，將復雜問題簡單化、陌生問題熟悉化，其消元、減少參變元的個數是常用的方法.在代數式的變形中，則往往要分離出非負的量，配方技術是經常使用且很奏效的方法.數形轉換、待定系數、變量代換、消元、配方法等是中學數學解題的通性通法.把幾何的直觀推理、代數的有序推理、解題的通性通法與具體的案例結合起來，整體把握數學解題的通性通法，抓住通性通法的本質，科學有效地實施解題分析、解題思維鏈的形成、解題后的反思與優化，從而通過有限問題的訓練來獲得解答無限問題的解題智慧.

第五篇：高一數學名詞全解

高一數學名詞全解

1.集合：把一些元素組成的總體

2.元素：研究對象

3.N：全體非負整數組成的集合稱為非負整數集（或自然數集）

4.N*或N+：所有正整數組成的集合稱為正整數集

5.Z:全體整數組成的集合稱為整數集

6.