第一篇：關注反證法在立體幾何證明題中的應用

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關注反證法在立體幾何證明題中的應用 作者：王健

來源：《數理化學習·高三版》2012年第10期

第二篇：分析法在立體幾何問題中應用

分析法在立體幾何問題中應用

立體幾何在高中是一個難點，特別是添輔助線，讓很多同學無從下手.雖然證明題的思路是非常明確的，比如要證明線面平行，只要在平面中找到一條直線與已知直線平行即可；要證明兩條異面直線垂直，只要構造一個包含其中一條直線的平面與另一條直線垂直即可，但是如何去尋找所需要的直線與平面呢？幸好空間向量的引入，使得立體幾何也可以轉化成代數問題進行計算，不需要添加輔助線，只要能建立適當的空間直角坐標系，通過計算即可解決立體幾何的問題.但事與愿違，那些沒有數量關系的幾何問題不可能利用空間向量來解決，因此如何添加輔助線的可操作性的方法便呼之欲出.接下來，利用分析法討論兩類問題：如何添加輔助線和建立適當空間直角坐標系.一、分析法解決輔助線問題

例1 在正方體ABCD?A1B1C1D1中，求證：B1D?平面ACD1.分析：要證明B1D?平面ACD1，只要證明B1D垂直于平面ACD1內的兩條相交直線.利用分析法，可以將B1D?平面ACD1看成是已知條件，則根據線面垂直的定義，有B1D垂直于平面ACD1內的所有直線，所以只要選取其中的兩條來證明即可.接下來問題就轉化成為證明B1D?AC和B1D?CD1，即兩條異面直線垂直，常用的方法就是構造線面垂直.先來證明B1D?AC.利用分析法，B1D?AC可以看成是已知條件，由于A、C、D處于下底面，只要過D有一條垂直垂直于AC的直線即可，因為底面是一個正方形，故對角線互相垂直，所以只要連接BD，就應有AC?平面BB1D.這樣問題就轉化為證明AC?平面

BB1D.由于AC?BD,AC?B1B，即可證明.然后同理可證B1D?CD1.證明過程略.A

D1 C

1B1

A1

D

C

B

評注：其實這個題，如果用三垂線定理，應該是比較容易想到連接BD，因為BD是B1D在下表面內的射影。但由于課改后，在必修2中對三垂線定理只字不提，增大了此類題目的難度.類似地，《普通高中課程標準實驗教科書》（人教版）數學必修2的73頁上有這樣一個探究題：如圖，直四棱柱ABCD?ABCD（側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，AC?BD?

'

'

'

'

'

'

'

'

'B

D

B

分析：連接A'C'，只要A'C'?B'D'，就有A'C?B'D'.C

例2 如圖，ABCD是平行四邊形，S是平面ABCD外一點，M為SC的中點.求證：SA//平面MDB.S

M

D C

A

B

分析：要證明SA//平面MDB，只要在平面MDB中找到一條直線與SA平行.利用分析法，可以將SA//平面MDB看成已知條件，根據線面平行的性質定理，過SA的平面只要與平面MDB相交，則SA與交線平行.題目中包含SA有兩個平面只有平面SAB和平面SAD，而這兩個平面與平面MDB的交線在這個幾何體的外面，不太好找.我們可以改變策略，在四棱錐中構作一個包含SA的平面.根據確定平面的公理2的推論：一條直線和直線外一點可以唯一確定一個平面，我們選取點C，連接AC交BD于O，構作平面SAC，它與平面MDB的交線是OM，故只要證明SA//OM.由于底面是平行四邊形，M是SC的中點，易得

SA//OM.證明過程略.評注：由于線面平行的話，直線上所有點到平面的距離相等，而且垂直于同一個平面的兩條直線平行，兩條平行直線也可確定一個平面，有時也利用平行四邊形構作平面.如下題.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M、N分別是A1B、AC上的點，A1M?AN.求證：MN//平面BB1C1C.二、分析法建立空間直角坐標系

利用空間向量解決立體幾何問題有著無比的優越性，因此逐漸成為高考的熱點之一.新課改也處處體現向量方法的重要性.在必修2的最后一章，介紹了空間直角坐標系，重點要求掌握空間直角坐標系中點的坐標的確定，以及空間向量的模長，從而掌握空間向量的數量積來解決長度與角度的問題.而空間直角坐標系是將幾何問題轉化為代數問題的關鍵，所以如何建立空間直角坐標系就顯得猶為重要.接下來，利用分析法談談建立空間直角坐標系的問題.例3 四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC?底面ABCD，已知?ABC?45?，AB?

2，BC?

SA?SB?

（1）求證：SA?BC；

（2）求直線SD與平面SAB所成角的大小.S

C

B

D

A

分析：要建立空間直角坐標系，最好有一個線面垂直.先來分析下底面，由于下底面是?ABC?45?的平行四邊形，且AB?

2，BC?故連接AC，有?ABC是已?CAB為直角的等腰直角三角形.取BC的中點為O，連接AO，則AO?BC

.利用分析法，將SA?BC看成已知條件，所以應有BC?平面SAO，則SO?BC.因為側面SBC?底面ABCD，根據面面垂直的定義，有SO?底面ABCD.故可取O為原點，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，OS所在的直線為z軸建立空間直角坐標系.證明過程略.附：分析法得到意想不到的結果

1.設a,b,c都為正數，求證：abc?(a?b?c)(b?c?a)(c?a?b).分析：由于a,b,c都為正數，當a?b?c?0,b?c?a?0,c?a?b?0時，可以將a,b,c看成是三角形的三邊.由不等式的右邊聯想到海倫公式，有

abc(a?b?c)?(a?b?c)(b?c?a)(c?a?b)(a?b?c)?16S

abca?b?c?16?r()

4R2

得R?2r（其中R,r分別為三角形的外接圓與內切圓的圓心）2.在數列{an}中，已知an?ln2.解Sn?ln下先證明ln

12?ln1

23?ln1

nn?1，Sn是{an}的前n項和，求證：Sn?

n

1n

.???ln

12n1

?ln(??)?ln，n?123n?1n?11，只證lnx?x，令f(x)?lnx?x(0?x?1)，n?1n?1n?111?x

?0，又0?x?1，得f?(x)?0，∴f(x)為增函數，則f?(x)??1?

xx

?，令x?

得f(x)?f(1)?ln1?1??1?0，即lnx?x?0，有lnx?x，于是ln

1n?1

?

1n?1

?

1n

.3.設函數f(x)?lnx?px?1(p?R)，（1）求f(x)極值點；

（2）當p?0時，若對于任意的x?0，恒有f(x)?0，求p的取值范圍；（3）證明：當n?N，n?2時，ln22

?

ln33

???

lnnn

?

2n?n?12(n?1)。

解：（1）f(x)的定義域為(0,??)。當p?0時，f?(x)?

1x

?p?0，f(x)在其定義域上是增函數，故沒有極值點。

當p?0時，若x?(0,)，則f?(x)?

p1p

11?pxx

?0

；若x?(,??)，則f?(x)?

p

11?pxx

?0，于

是f(x)有極小值點x?。

1p

（2）由（1）知，p?0時，f(x)有極小值點f()?ln

p

1p，由于f(x)在其定義域上只

1p

有一個極值點，因此f(x)的最大值為f()?ln

p

。所以f(x)?0?ln?0?p?1。

1x

（3）由（2）知，當p?1，x?0時，f(x)?0?lnx?x?1?

于是

ln22

lnxx

?1?。

?

ln33

???

lnnn

?(1?

12)?(1?

13)???(1?

1n

1n)

?(n?1)?(又當n?N，n?2時，12

?

???)。

1n

?

?

1(n?1)n

13?14

?

1n

?

1n?1

1n131，于是

1n?1)?1n

?

???

1n

?（12

13)?()???（12

?

12)

?

1n?1，∴

ln22

?

ln33

???

lnnn

?(n?1)?(????

?(n?1)?(?

n?1)?

2n?n?12(n?1)，即

ln22

?

ln33

???

lnnn

?

2n?n?12(n?1)。

評析：導數進入中學數學后，為中學不等式證明提供了一個強大工具。正因為如此，通過構造函數并利用導數證明不等式已成為高考數學試題中一道亮麗的風景線。本題第（2）問實際上已經作出暗示，對比待證不等證式與第（2）問所得結論，證明思路自然生成。

第三篇：法向量在立體幾何解題中的應用

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法向量在立體幾何解題中的應用

作者：魏慶鼎

來源：《理科考試研究·高中》2013年第08期

高中數學教材引進了向量知識以后，為我們解決數學問題提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解決求立幾中的角和距離兩大問題中，是行之有效的方法，它解決了以前舊版教材立幾中的這兩個難點.在舊版教材中，運用幾何法解決這兩類問題，要通過“作”、“證”、“求”，既要有較強的空間想象能力，又要求學生對空間中，線、面之間的判定、性質等定理非常熟悉并能熟練應用，對學生，特別是中下水平的學生是一大難點.而現在向量法則很好解決了這個難點，所以它對人們研究立幾問題有著普及的意義.同時向量法對立幾中的線面平行和線面垂直、面面垂直和面面平行等位置關系的證明，也非常簡便.空間向量的引入使立體幾何的解題變得直觀、易懂.而“法向量”的靈活應用，給解決空間問題提供了一個很方便、實用的工具，會使我們在高考中快捷地解決立體幾何問題.以下是本人在教學過程中總結出來的關于“法向量”在立體幾何中的一些應用.現把教學中得到的這些方法進行歸類，供同行參考.4.用法向量求二面角平面角的大小

求二面角的平面角的大小可先求出兩個平面的法向量；則兩法向量的夾角與二面角的平面角相等或互補.此時，觀察二面角的平面角為銳角還是鈍角，視情況而定.（注：在證明面面平行或面面垂直時，也可采用此法.如兩面的法向量共線，即兩平面平行；如兩平面的法向量垂直，即兩平面垂直）從以上的一些例題中，我們不難看出“法向量”這一特殊工具在立體幾何的解題中的優越性.但在具體做題中，我們還應對不同的題型選擇更便捷的方法去做，視自己對知識掌握的情況而定.

第四篇：解剖學在幾何證明題中的應用

“解剖學”在幾何證明題中的應用

咸安區白鶴中學游明勇

幾何的正面，是學生感到很難的一部分內容。它需把定理與圖形

靈活地結合起來，一些簡單的幾何圖形，孩比較容易找到切入點，但

對一些組合圖形，或圖形中的線，圖形較多時，我就采取“解剖學”

中的方法，把圖形先提出來，分析探究有關結論，再放進去，把不熟

悉的圖形，變成成熟的，學生就很容易找到切入點。

案例1》：如圖,?O1與?O2外切于P，AB切?O1于A，切?O2于

B，R1=4,R2=2，求AB的長。

老師提出問題：怎樣求AB的長呢？請學生邊讀題邊結合圖形，你能讀出哪些結論？有哪些輔助線？

生：（1）點O1,P,O2三點共線。

（2）連O1A,O2B 輔助線。

師：試連線，結合題中已知，你能得到哪些線段長？

生：O1O2=6,AO1=4,BO2=

2結合題中問題，觀察思考：題中怎樣求線的AB的長？讓學生自己動

手做后，老師再用另一種思路解:AB師：請把圖中點A,B,O1,O2四點對應的圖形

4提出來，結合初二基本圖形，你有所發現。O1 6

生：它就是：初二梯形中，已知上、下底長—腰長，求另一腰長。

反思：歸納：這樣，在幾何題證明中，避免其它線對思維的影響，可O2

適當地把部分圖像從原題中提出來進行分析，得出結論，還放回原題

進行解答。

案例2>：如圖，?O1與?O2都經過A, B兩點，過點A的直線CD

與?O1交于C，與?O2交于D，過點B的直線EF與?O1交與E，交?

M

E?圖（1）N（1）求證：CE//DF.（2）在圖（1）中，若CD與EF可以繞點A, B 轉動，當點C與點

E重合時，過點E作直線MN//DF。判斷直線MN與?O1的位

置關系，并證明你的結論。與?O2師：案例（1）中靈活應用，把題中部分“器官”提出來，進行分析，然后再放進去，你能用上述方法對案例（2）中第1小題進行分析嗎？

試試看。

生：抓住兩圓相交的基本輔助線，在不同圓中分別進行剖析，應用圓

內接四邊形性質，和平行線的判定方法，易證。CA

師：對于第（2）小題，圖形變了，已知，結論也有所改變：你能用

以上“解剖”的方法，把它們分開分拆，提出來，再放進去找聯系嗎？

生：可作如圖分解 ：

在圖（b）中可證：

再在圖（a）中，就是已知< ABE=

師生反思：因此，在幾何證明題中，當圖中的線較多或圖形較復雜時，可以使當地把部分圖形提出來，單個研究，防止，其他圖對思維的影

響，阻礙了思維的發展。因此，使當地采取“解剖的方法”，化難為

易，化繁為簡，化不熟悉為常規，采取“各個擊破”的思想，大大降

低了解題的難度，改變了大部分學生認為幾何難學的思想，在某一定

程度上，激發了學生求學的興趣。

第五篇：立體幾何證明

立體幾何證明

高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關系：

線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

四個判定定理：

①若平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

②如果一個平面內有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。

③如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。

④如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

從平面拓展到空間的角相等或互補的判定定理：

空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。

四個性質定理：

①一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行。

②兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行。

③垂直于同一平面的兩條直線平行。

④兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

標準只要求對于四個性質定理用綜合幾何的方法加以證明。對于其余的定理，在選修2的“空間向量與立體幾何”中利用向量的方法予以證明。

(2)立體幾何初步這部分，我們希望能使學生初步感受綜合幾何的證明。在處理證明時，要充分發揮幾何直觀的作用，而不是形式上的推導。例如，平行于同一平面的二直線平行的證明方法，有的老師就是采用了一種很