第一篇：(no.1)2013年高中數學教學論文 反證法在幾何問題中的應用 新人教版

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反證法在幾何問題中的應用

反證法是一種非常重要的數學方法，它在幾何的應用極為廣泛，在平面幾何、立體幾何、解析幾何都有應用，本文選擇幾個有代表性的應用，舉例加以介紹。

一、證明幾何量之間的關系

例1：已知：四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，EF?12(AB?CD)。

求證：AB//CD。

證明：假設AB不平行于CD。如圖，連結AC，取AC的中點G，連結EG、FG。∵E、F、G分別是AD、BC、AC的中點，∴GE//CD，GE?12CD；GF//AB，GF?12AB。

∵AB不平行于CD，∴GE和GF不共線，GE、GF、EF組成一個三角形。∴GE?GF?EF ① 但GE?GF?12(AB?CD)?EF ②

DEGCF①與②矛盾。AB∴AB//CD

例2：直線PO與平面?相交于O，過點O在平面?內引直線OA、OB、OC，?POA??POB??POC。

求證：PO??。

證明：假設PO不垂直平面?。

作PH??并與平面?相交于H，此時H、O不重合，連結OH。由P作PE?OA于E，PF?OB于F，P根據三垂線定理可知，HE?OA，HF?OB。∵?POA??POB，PO是公共邊，∴Rt?POE?Rt?POF ∴OE?OF

A又OH?OH

E∴Rt?OFH?Rt?OEH

O∴?FOH??EOH HF因此，OH是?AOB的平分線。CBa同理可證，OH是?AOC的平分線。

但是，OB和OC是兩條不重合的直線，OH不可能同時是?AOB和?AOC的平分線，產生矛盾。∴PO??。

例3：已知A、B、C、D是空間的四個點，AB、CD是異面直線。求證：AC和BD是異面直線。

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證明：假設AC和BD不是異面直線，那么AC和BD在同一平面內。

因此，A、C、B、D四點在同一平面內，這樣，AB、CD就分別有兩個點在這個平面內，則AB、CD在這個平面內，即AB和CD不是異面直線。這與已知條件產生矛盾。

所以，AC和BD是異面直線

上面所舉的例子，用直接證法證明都比較困難，尤其是證兩條直線是異面直線，常采用反證法。

二、證明“唯一性”問題

在幾何中需要證明符合某種條件的點、線、面只有一個時，稱為“唯一性”問題。例3：過平面?上的點A的直線a??，求證：a是唯一的。證明：假設a不是唯一的，則過A至少還有一條直線b，b?? ∵a、b是相交直線，∴a、b可以確定一個平面?。設?和?相交于過點A的直線c。∵a??，b??，∴a?c，b?c。

這樣在平面?內，過點A就有兩條直線垂直于c，這與定理產生矛盾。所以，a是唯一的。

例4：試證明：在平面上所有通過點(2,0)的直線中，至少通過兩個有理點（有理點指坐標x、y均為有理數的點）的直線有一條且只有一條。

證明：先證存在性。

因為直線y?0，顯然通過點(2,0)，且直線y?0至少通過兩個有理點，例如它通過(0,0)和(1,0)。這說明滿足條件的直線有一條。

再證唯一性。

假設除了直線y?0外還存在一條直線y?kx?b（k?0或b?0）通過點(2,0)，且該直線通過有理點A(x1,y1)與B(x2,y2)，其中x1、y1、x2、y2均為有理數。

因為直線y?kx?b通過點(2,0)，所以b??2k，于是y?k(x?通過A(x1,y1)與B(x2,y2)兩點，所以y1?k(x1?y?k(x?2)，①

2)，且k?0。又直線2)②

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①－②，得y1?y2?k(x1?x2)。③

因為A、B是兩個不同的點，且k?0，所以x1?x2，y1?y2，由③，得k?y1?y2x1?x2，且k是不等于零的有理數。

由①，得2?x1?y1k。

此式的左邊是無理數，右邊是有理數，出現了矛盾。

所以，平面上通過點(2,0)的直線中，至少通過兩個有理點的直線只有一條。

綜上所述，滿足上述條件的直線有一條且只有一條。

關于唯一性的問題，在幾何中有，在代數、三角等學科中也有。這類題目用直接證法證明相當困難，因此一般情況下都采用間接證法。即用反證法或同一法證明，用反證法證明有時比同一法更方便。

三、證明不可能問題

幾何中有一類問題，要證明某個圖形不可能有某種性質或證明具有某種性質的圖形不存在。它們的結論命題都是以否定形式出現的，若用直接證法證明有一定的困難。而它的否定命題則是某個圖形具有某種性質或具有某種性質的圖形存在，因此，這類問題非常適宜用反證法。

例5：求證：拋物線沒有漸近線。

證明：設拋物線的方程是y?2px(p?0)。

假設拋物有漸近線，漸近線的方程是y?ax?b，易知a、b都不為0。因為漸近線與拋物線相切于無窮遠點，于是方程組

(1)?y2?2px

?(2)?y?ax?b2的兩組解的倒數都是0。

將（2）代入（1），得

ax22?2(ab?p)x?b2?0（3）

設x1、x2是（3）的兩個根，由韋達定理，可知

2(ab?p)a2x1?x2??，x1?x2?ba22

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則1x1?1x2?x1?x2x1x2ab22??2(ab?p)b2?0，（4）

1x1?1x2?1x1x2??0，（5）

由（4）、（5），可推得p?0，這于假設p?0矛盾。

所以，拋物線沒有漸近線。

關于不可能問題是幾何中最常見也是非常重要的一種類型。由于它的結論是以否定形式出現，采用直接證法有困難，所以這類問題一般都使用反證法加以證明。

四、證明“至少存在”或“不多于”問題

在幾何中存在一類很特殊的問題，就是證明具有某種性質的圖形至少有一個或不多于幾個。由于這類問題能找到直接論證的理論根據很少，用直接證法有一定困難。如果采用反證法，添加了否定結論這個新的假設，就可以推出更多的結論，容易使命題獲證。

例6：已知：四邊形ABCD中，對角線AC=BD=1。

求證：四邊形中至少有一條邊不小于

22。

證明：假設四邊形的邊都小于

22，由于四邊形中至少有一個角不是鈍角（這一結論也可用反證法證明），不妨設?A?90，根據余弦定理，得BD∴BD220?AD2?AB2?2AD?AB?cosA，?AD2?AB2，2222即BD?AD2?AB2?()?(2)2?1。

這與已知四邊形BD=1矛盾。所以，四邊形中至少有一條邊不小于

22。

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第二篇：(no.1)2013年高中數學教學論文 幾何畫板在中學數學教學中的應用

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幾何畫板在中學數學教學中的應用

當今世界日益信息化，信息日益網絡化。教育信息化正在成為社會信息化的重要組成部分，技術發展的趨勢是不言而喻的。以前，我們對數學以及數學教學的認識總是和黑板粉筆或者紙筆聯系在一起，人們局限在有限的空間中，能力受到很大的限制。計算機使人腦得以大大的擴展和延伸，同時為數學教學和數學學習提供了廣闊的空間。下面僅就幾何畫板輔助數學教學中的問題談談幾點思考。

一、問題與思考

1、《幾何畫板》在輔助數學教學中的特點

問題與解決是數學的心臟。提出問題并解決問題是數學發展的原動力。由于各種原因，今天的中學數學教材中，難以體現出“問題與解決”的韻味，也沒有機會讓中學生接觸豐富的數學遺產。問題提出的唐突化，過度的公式化、形式化及解題的模式化，使數學失去了原有的魅力。至使部分學生錯誤地認為數學只是符號與公式的組合，難以激發他們學習數學的熱情和興趣。而《幾何畫板》的精髓是：動態地保持了幾何圖形中內在的、恒定不變的幾何關系及幾何規律。它的最大特點是：讓學生自己動手按給定的數學規律和關系來制作圖形（或圖像、表格），從中觀察事物的現象，通過類比和分析提出問題，還可進行實驗來驗證問題的真與假，從而發現恒定不變的幾何規律，以及十分豐富的數學圖像的內在美、對稱美。學生可以駕駛《幾何畫板》這一葉扁舟，在數學發展的歷史長河中漫游，興之所至，或探蹤尋源，或蕩舟而過。這是其它的教學媒體所辦不到的，也是一般CAI軟件功能所不及的。

數學課堂教學的特點是：具有很強的邏輯性和系統性以及高度的抽象性和概括性。現代教學媒體GSP（《幾何畫板》的簡稱）能化靜態為動態，化抽象為具體，能夠寓趣味性、技巧性和知識性于一體。傳統的數學教學方法，基本上是信息的單向傳輸，即“講、練、評”三位一體的教學模式，反饋處于不自覺狀態中，不利于分層次教學、因材施教，不易激發學生的求知欲和興趣。在教學中通過使用《幾何畫板》，感受到GSP在數學教學中有著獨特魅力，與傳統教學手段或一般CAI軟件不能相比的。《幾何畫板》在教學中的輔助作用

計算機輔助教學，是隨著計算機技術的發展而形成的現代教育技術。被視為電化教育的最高形式，隨著我國中小學CAI 的進展，一批好的CAI軟件已進入學校，最近我校將《幾何畫板》引入數學課堂教學，從中體會到GSP在數學教學中有以下主要作用。

（1）有助于提高課堂效率，增大知識的覆蓋面。能給學生以更多的操作機會，培養學生的動手動腦的能力。

（2）有助于提高課堂教學效果，由于情況的快速反饋，老師的講課時更具有針對性，并能及時調整教學內容和節奏。

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（3）有助于培養學生敏捷思維和觀察問題、分析問題、解決問題的能力。利用現代化的教育手段進行快速訓練，有助于個性特長的培養和發揮。

二、幾何畫板在解析幾何中的應用

（一）橢圓的畫法

1、由橢圓的標準方程繪制橢圓

2、bx2y2a2?x2，只需確原理：由于橢圓的標準方程為：2?2?1，可得表達式y??aab定變量x和參數a、b的值即可。步驟如下：

①建立直角坐標系；

②在x軸上取一點C，度量其坐標并分離出它的橫坐標改名為a，類似地，在y軸上取一點D，度量出它的坐標并分離出它的縱坐標改名為b；a、b分別是橢圓在x軸、y軸上的截距；

③在x軸上取一點E，度量出點E的坐標并分離出它的橫坐標改名為x；

④計算y的值，通過 “度量—計算”，得到ba2?x2的值； a⑤繪出x、y的坐標點F； ⑥選擇點E、F，執行“作圖——軌跡”，得到上半橢圓；⑦最后通過“變換——反射”得到下半橢圓。

2、根據圓錐曲線的第二定義繪制橢圓 原理：由圓錐曲線的第二定義：平面內與一個定點的距離和它到一條直線的距離的比是常數e的點的軌跡是圓錐曲線，定點叫做圓錐曲線的焦點，定直線叫做圓錐曲線的準線。常數e叫做圓錐曲線的離心率，當0?e?1時為橢圓。

①建立直角坐標系；

②畫一條射線CD，在射線上畫一點E，使點E在點D的右側； ③度量CD、CE的長度，計算出

CE的值，該名為e=0.73； CD④在x軸的正半軸畫一點F，畫直線GH，找出直線GH與y軸的交點I，在直線GH上任取一點J，連接線段IJ；

⑤以F為圓心，IJ為半徑畫圓，度量出線段IJ的長度；

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⑥計算出⑦選擇IJIJ的值，如=7.12cm eeIJ=7.12cm，執行“圖像——繪制度量值”，使屏幕出現一條與x軸垂直且與y軸eIJ距離等于=7.12cm的直線（虛線m）；

e⑧用“選擇”工具作出直線m與圓F的交點K、L；

⑨用“選擇”工具雙擊y軸，把y軸標記成反射鏡面，再選擇直線m，執行“變換—反射”，得到直線m關于y軸對稱的直線m’；

⑩同時選擇點J和點K，執行“作圖—軌跡”，屏幕上（第一象限）出現點K的軌跡，類似地，分別選擇點J和點L、點J和點M，點J和點N，作出點L、M、N的軌跡； 移動點E的位置，使離心率0

3、根據橢圓的參數方程繪制橢圓

?x?acost原理：橢圓的參數方程為：?（t為參數），在坐標系中確定參數t和常量a、y?bsint?b，注意這里的t為弧度，應更改參數為弧度制。

①建立直角坐標系；

②在x軸上任取一點C，度量其坐標和橫坐標，改為a=6.30； ③在y軸上任取一點D，度量其坐標和縱坐標，改為b=2.88； ④在屏幕下方畫一圓，在圓上任取一點G，構造弧FG，填充扇形EFG； ⑤度量扇形EFG的弧度，該為t=-0.88?弧度；

⑥計算：a*cost=-5.06,改為x=-5.06；b*sint=-1.72,改為y=-1.72； ⑦選擇x=-5.06，y=-1.72，執行“圖表—繪制點（x，y）”，畫出點H；

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⑧依次選擇點G、H，執行“構造—軌跡”，即得到橢圓。

（二）直線與圓錐曲線的交點的幾何構造

（三）如圖：直線GE是過平面任意一點G和橢圓上任意一點E，求作直線和橢圓的交點F，在幾何畫板中，不能直接找出直線和橢圓的交點，這里通過幾何的思路找出直線和橢圓交點的一般方法。

幾何構造（1）思路分析

先請了解一下橢圓弦的幾何性質。如圖：EF是橢圓的弦，其延長線交準線于P，的延長線交準線于Q，則F1P平分∠QF1E。

想一想：如果已知P、E、F1,你能否作出點如果您注意到點F是兩條直線的交點，只要

F？ 作EFF1關于直線QF1的對稱點E?，則直線PE和直線E?F1的交點就是F。我們就用這樣的想法來構造直線與橢圓的交點。

（2）操作步驟： ①畫橢圓 ；

②畫直線GE , E為橢圓上一點；

③畫橢圓的準線 ；度量點A的橫坐標，并把度量結果的標簽分別改為a=5.57；度量點B的縱坐標，并把度量結果的標簽分別改為b=2.78；計算a2?b2

a2并把度量結果的標簽分別改為c=4.82；再計算，作出橢圓的左準線；

c④畫直線GE與橢圓的另一交點 ；畫線段F1P，點P是直線GE和準線的交點→對點E作反射變換（線段F1P）得到E?→畫直線（E?，F1）→畫交點F（直線GE，直線E?F1）

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國中小學教學領域，使教學改革發生根本的變化。

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第三篇：(no.1)2013年高中數學教學論文 柯西不等式在解題中的幾點應用 新人教版

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柯西不等式在解題中的幾點應用

摘要：本文利用怎樣運用柯西不等式解題的技巧，介紹了柯西不等式在解等式、不等式、極值、三角問題等方面的應用。

關鍵詞：柯西不等式、技巧、應用

一、引言

人民教育出版社高中《代數》下冊“不等式”一章的習題中有這樣一道題（P、15練習第2題）： 求證：ac+bd?a2?b2*c?d22這題用比較法是很容易證明的，這里用比值的方法來證明。

證明：當a=b=c(或c=d=0)時，顯然成立； 假設a+b?0 且c+dac?bda22222?0,則

ac?bda2?b2*acc2?d2?

2?b2*bdc?d2=a2?c2

cd2?ba22*?d222a2?b222*?d2=a2?b2*cc2?d?ba222?b*c2

?? ???d221?ac??2?2?22?a?bc?d222?1?bd????2??a2?b22c?d??2=1 故ac+bd?ac?bd?ac?bd?a2?b2*c2?d2

(1)式就是著名的柯西不等式的一個簡單特例。

柯西不等式的一般形式為：

對任意的實數a1,a2,?,an及b1,b2,?,bn有

n?n??n2??2???aibi????ai???bi?,?i?1i??i?1??i?1?2

(2)nnn或?i?1aibi??i?1ai*2?bi?12i,(3)其中等號當且僅當a1b1?a2b2???anbn時成立（當bk?0時，認為ak?0,1?k?n).柯西不等式有許多證明方法，這里就不作證明，僅就如何利用柯西不等式解題作一些介紹。

一、柯西不等式在解題中的應用

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1、利用柯西不等式證明恒等式 利用柯西不等式來證明恒等式，主要是利用其取等號的充分必要條件來達到目的，或者是利用柯西不等式進行夾逼的方法獲證。

例、已知a1?b2?b1?a2?1,求證：a2?b2?1。

證明：由柯西不等式，得

a1?b2?b1?a2?a?2?1?a2?2???b2?1?b?2???1

當且僅當b1?a2?1?ba2時，上式取等號，?ab?ab221?a2?1?b，2?1?a2?2??1?b?，?1。于是 a?b22、利用柯西不等式解無理方程（或方程組）用柯西不等式解無理方程，是先把方程的（含有無理式的）運用柯西不等式化為不等式，然后結合原方程把不等式又化成等式，在判定為等式后再利用柯西不等式取等號的特性，得到與原方程同解的且比原方程簡單的無理方程，進而得到簡單的整式方程，從而求得原方程的解。

例：解方程

x2?1x2??x1x1x22?1??21?x?1?22?2?1x?x?1?。

解：?x2???x?1??1?x?1?22

= x?2?1?x?1?2??x?1?

由柯西不等式知

x2?x1x2?1?x?1?2??x?1?2

?x?1x??x?1x即

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x2?1x2?1(x?1)2?(x?1)2?2?,x(x?1)

1?x2?1x12?(x?1)2?1(x?1)2

?2?x(x?1)1x(x?1)2當上式取等號時有x(x?1)?成立，即

x2?x?1?0（無實根）或x?x?1?0，即

x??1?25，經檢驗，原方程的根為

x??1?25

用柯西不等式解方程組，也同樣是利用柯西不等式取等號的條件，從而求得方程組的解。

例：解方程組

x?y?z?9x?w?6x4

2?x(y2?z2?w)?w(y222?w)?4862解：原方程組可化為

x?y?z?9x?w?6(x2

?z)(x22?y2?w)?4862運用柯西不等式得

(x2?y2?z)?2923?27, x?w?22622?18

兩式相乘，得

?x2?y2?z2???x2?w2??486

當且僅當x=y=z=w=3時取等號。故原方程組的解為x=y=z=w=3.3、柯西不等式證明不等式。

很多重要的不等式都可以由柯西不等式導出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常數的巧拆、結構的巧變、巧設數組等，下面略舉一、二說明怎樣利用柯西不等式證明不等式。例：設a,b,c為正數且不相等到，求證：

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2a?b?2b?c?2c?a?9a?b?c

這兩個常數進行巧拆，9=?1?1?1?2分析：我們利用9與2，2?a?b?c???a?b???b?c???c?a?

這樣就給我們利用柯西不等式提供了條件。證明

：?a?11??1?b?c??????a?bb?cc?a????a11??1?b???b?c???c?a???????b?cc?a??a?ba?b???2????????2??1b?c?2????2?c?a??????????1??a?b??c?a?2?????11??b?c??22?????1??c?a??2??? ?a?b?2a?b?b?c?1b?c???c?a????1?1?1??9?2a?b?2b?c?2c?a?9a?b?c? a,b,c各不相等，? 等號不可能成立，從而原不等式成立。

但是我們只要改變一下多項式的形態結?有些問題本身不具備運用柯西不等式的條件，構，認清其內在的結構特征，就可以達到利用柯西不等式解題的目的。下面略舉一例加以說明。

例：設a1?a2???an?an?1,求證：

1a1?a2?1a2?a3???1an?an?1?1an?1?a1?0

分析：這道題初看似乎無法使用柯西不等式，但改變其結構，我們不妨改為證：

?a1??111?an?1?????????1，a2?a3an?an?1??a1?a2證明：為了運用柯西不等式，我們將a1?an?1寫成

a1?an?1??a1?a2???a2?a3?????an?an?1?于是

??a1?n2?111?a2???a2?a3?????an?an?1?????????a?aa2?a3an?an?12?1?1.??? ?用心 愛心 專心 4

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即?111?a1?an?1????????a?aa2?a3an?an?12?11a1?a21a1?a2????1??，??1a2?a31???1an?an?11??1a1?an?11故a2?a3???an?an?1an?1?a1?0.我們進一步觀察柯西不等式，可以發現其特點是：不等式左邊是兩個因式這和，其中每一個因式都是項平方和，右邊是左邊中對立的兩兩乘積之和的平方，證題時，只要能將原題湊成此種形式，就可以引用柯西不等式來證明。

例：求證：x1?x2?證明：?22y1?y2?222?x12?y1???x2?y22?2.?x1?x2?22y1?y22?2?x1?x2?y1?y2?2?2??22??x21?x2?y1?y2

2??22?由柯西不等式得

?x21?x2?y1?y2??x1y1?x2y2222????2

其中等號當且僅當x1?ky1，x2?ky2 時成立。

?????x21?x222??y221?y222??x1y1?x2y2

2?x1?x2??y12y1?y2?2??x21?x22???y?21?y22??2?x?2.1y1?x2y2? ?x1?22??x2?y22?22x1?x2?y1?y2??x1?y1?2?x2?y2其中等號當且僅當x1?ky1，x2?ky2 時成立。

4、用柯西不等式證明條件不等式

n2n2n柯西不等式中有三個因式?ai，?bi，?aibi而一般題目中只有一個或兩個

i?1i?1i?1因式，為了運用柯西不等式，我們需要設法嵌入一個因式（嵌入的因式之和往往是定值），bi 具有廣泛的選擇余地，這也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中諸量ai，任意兩個元素 ai，aj（或bi，bj）的交換，可以得到不同的不等式，因此在證題時根據需要重新安排各量的位置，這種形式上的變更往往會給解題帶來意想不到的方便。這種變換也是運用柯西不等式的一種技巧，下面我們簡單舉例說明怎樣利用上述技巧運用柯西不等式來證明條件不等式。

例：已知a,b?R，a+b=1,x1,x2?R, 求證：?ax1?bx2???bx1?ax2??x1x2

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分析：如果對不等式左端用柯西不等式，就得不到所要證明的結論。若把第二個小括號內的前后項對調一下，情況就不同了。

證明：?ax1?bx2???bx1?ax2? =?ax1?bx2???ax2?bx1? ?a?x1x2?b2x1x2?2

=?a?b?x1x2?x1x2。例、設x1,x2,?,xn?R,求證：

x12?x2?xx3???xxn?xn2x1?x1?x2???xn

（1984年全國高中數學聯賽題）

證明：在不等式的左端嵌乘以因式?x2?x3???xn?x1?，也即嵌以因式

?x1??x2???xn?，由柯西不等式，得 x12x2?xx3???xxn?xn2x1??(x2?x3???xn?x1)

??x1?????x2???????x????2??x3??22222??x??x???????n?1???n???x????x?n?1??????x2???x3?2????xn???2x1?2???xn?xnx1??x1???

?x1????x2?x2?x2x32?x3???xn?1xn???x1?x2???xn?,于是x12x2?xx3???xxn?xn2x1?x1?x2???xn.5、利用柯西不等式求函數的極值

有些極值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當添加上常數項或和為常數的各項，就可以應用柯西不等式來解，這也是運用柯西不等式解題的技巧；而有些極值問題的解決需要反復利用柯西不等式才能達到目的，但在運用過程中，每運用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會出現錯誤。這多次反復運用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略舉例加以說明怎樣利用柯西不等式來求解一些極值問題。

例 設非負實數?1,?2????n滿足?1??2??????n?1,求

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?11??2??????_?n?1??1`??23??????n?n21??1????的最小值。（198

2n?1年西德數學奧林匹克度題）

解：易驗證

?11??2??????+1=

n1?(?1??2?????n)2??1?22??1

同理可得

?11??1??3??????+1=

n22??2,???,?1??2nn?1??????+1=

22??n

令y??11??2??????2_?n?1??1`??23??????n?n21??1????

n?1故y?n?2??1?22??2+????22??n

為了利用柯西不等式，注意到

(2?a1)?(2?a2)?????(2?an)?2n?(a1?a2?????an)?2n?1，12??112??2?(2n?1)(?+????12??n)

=?(2?a1)?(2?a2)?????(2?an)??(12??1?12??2+????12??n)

???2?a1????y?n??2n12?a12?2?a2?2n212?a2n2n?1.?????2?an?12?an????2?n22n?1,y?2n?1?n?1n等號當且公當a1?a2?????an?時成立，從而y有最小值

nn2n?1

例 設x1,x2,???,xn都是正數，n?2,且?xi?1,求證：

i?1nn ?i?1xi1?xi??i?1xi.（1989年全國數學冬令營試題）

n?1證明：令yi?1?xi(i?1,2,???n),由柯西不等式，得

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nnn(?i?1xi)2?n??i?1xi?n, 即 ?i?1xi?n.nnn同理，得(?i?1nyi)2?n??i?1yi?n??i?1(1?xi)?n(n?1)，即 ?yi?i?1n(n?1).又由柯西不等式，得

nn?i?1nyi??i?11yi2n?(?i?14yi?14)2?n

2yi故?i?11yi?n?1n?yin2，?i?1n(n?1)從而

n?i?1xi1?xinn?n??i?11?yiyin??i?11yin??i?1yi ?n(n?1)n

n?1nn?1??i?1xi.?n?16，利用柯西不等式解三角問題。

三角問題包括三角不等式，三角方程。三角極值等到，對于一些三角問題，我們為了給運用柯西不等式創造條件，經常引進一些待定的參數，其值的確定由題設或者由等號成立的充要條件共同確定，也有一些三角極值問題我們可以反復運用柯西不等式進行解決。

例 在?ABC中，求證：

sinA?sinB?5sinC?198?2201(201?3)40

證明：?sinA?sinB?5sinC

?2sin?2cos?2cosA?B2C2C2(coscosA?B22C2?10sinC2)C2cosC2A?B?5sin).(1?5sin當且僅當A=B時等號成立。

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令y?cosx(1?5sinx)(0?x??)2，于是引進參t?0,求

y2cos2x(1?5sinx)2的最值。

由柯西不等式，2y2?cos2x?1?5sinx?2?25cos2x??15?sinx???? =25?cosx??1t2?tsinx?? ?5?cos2?25?x????1?2??t2?2?t2?sinxt?2????5???

?25t2?1cos2x2xt2?t2?sin?.ab??a?b?2又由平均值不等式4,得

2222y2?25t?1?cosx?t?sin2x??t2???2? ?=?25t2?1??t2?1?24t2.（1）

當且僅當cos2x=t2?sin2x時等號成立。例、已知a,b為正常數，且0

3a2?3b2??3a2?3b2??sin2x?cos2x?

??3asinx?3bcosx?2等號成立的當且僅當sinxcosx3a?3b時；

即 x?arctg3ab 時，于是

3a2?3b2?3asinx?3bcosx

再由柯西不等式，得

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3a2?3b2b??a??? cosx??sinxb??a?bcosx?? sinxcosx?? ???3asinx?3?? 6a23sinx2asinx?6bcosxbcosx?2 ???a???b3??.??32等號成立也是當且僅當x?arctgab時。

3???a? 從而y??sinxcosx?ab232?b3?2?.??3?? 于是y?的最小值是?a?sinxcosx?ab232?b3?2?.?? 在許多問題中，如果我們能夠利用柯西不等式去解決，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新。

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第四篇：關注反證法在立體幾何證明題中的應用

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關注反證法在立體幾何證明題中的應用 作者：王健

來源：《數理化學習·高三版》2012年第10期

第五篇：分析法在立體幾何問題中應用

分析法在立體幾何問題中應用

立體幾何在高中是一個難點，特別是添輔助線，讓很多同學無從下手.雖然證明題的思路是非常明確的，比如要證明線面平行，只要在平面中找到一條直線與已知直線平行即可；要證明兩條異面直線垂直，只要構造一個包含其中一條直線的平面與另一條直線垂直即可，但是如何去尋找所需要的直線與平面呢？幸好空間向量的引入，使得立體幾何也可以轉化成代數問題進行計算，不需要添加輔助線，只要能建立適當的空間直角坐標系，通過計算即可解決立體幾何的問題.但事與愿違，那些沒有數量關系的幾何問題不可能利用空間向量來解決，因此如何添加輔助線的可操作性的方法便呼之欲出.接下來，利用分析法討論兩類問題：如何添加輔助線和建立適當空間直角坐標系.一、分析法解決輔助線問題

例1 在正方體ABCD?A1B1C1D1中，求證：B1D?平面ACD1.分析：要證明B1D?平面ACD1，只要證明B1D垂直于平面ACD1內的兩條相交直線.利用分析法，可以將B1D?平面ACD1看成是已知條件，則根據線面垂直的定義，有B1D垂直于平面ACD1內的所有直線，所以只要選取其中的兩條來證明即可.接下來問題就轉化成為證明B1D?AC和B1D?CD1，即兩條異面直線垂直，常用的方法就是構造線面垂直.先來證明B1D?AC.利用分析法，B1D?AC可以看成是已知條件，由于A、C、D處于下底面，只要過D有一條垂直垂直于AC的直線即可，因為底面是一個正方形，故對角線互相垂直，所以只要連接BD，就應有AC?平面BB1D.這樣問題就轉化為證明AC?平面

BB1D.由于AC?BD,AC?B1B，即可證明.然后同理可證B1D?CD1.證明過程略.A

D1 C

1B1

A1

D

C

B

評注：其實這個題，如果用三垂線定理，應該是比較容易想到連接BD，因為BD是B1D在下表面內的射影。但由于課改后，在必修2中對三垂線定理只字不提，增大了此類題目的難度.類似地，《普通高中課程標準實驗教科書》（人教版）數學必修2的73頁上有這樣一個探究題：如圖，直四棱柱ABCD?ABCD（側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，AC?BD?

'

'

'

'

'

'

'

'

'B

D

B

分析：連接A'C'，只要A'C'?B'D'，就有A'C?B'D'.C

例2 如圖，ABCD是平行四邊形，S是平面ABCD外一點，M為SC的中點.求證：SA//平面MDB.S

M

D C

A

B

分析：要證明SA//平面MDB，只要在平面MDB中找到一條直線與SA平行.利用分析法，可以將SA//平面MDB看成已知條件，根據線面平行的性質定理，過SA的平面只要與平面MDB相交，則SA與交線平行.題目中包含SA有兩個平面只有平面SAB和平面SAD，而這兩個平面與平面MDB的交線在這個幾何體的外面，不太好找.我們可以改變策略，在四棱錐中構作一個包含SA的平面.根據確定平面的公理2的推論：一條直線和直線外一點可以唯一確定一個平面，我們選取點C，連接AC交BD于O，構作平面SAC，它與平面MDB的交線是OM，故只要證明SA//OM.由于底面是平行四邊形，M是SC的中點，易得

SA//OM.證明過程略.評注：由于線面平行的話，直線上所有點到平面的距離相等，而且垂直于同一個平面的兩條直線平行，兩條平行直線也可確定一個平面，有時也利用平行四邊形構作平面.如下題.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M、N分別是A1B、AC上的點，A1M?AN.求證：MN//平面BB1C1C.二、分析法建立空間直角坐標系

利用空間向量解決立體幾何問題有著無比的優越性，因此逐漸成為高考的熱點之一.新課改也處處體現向量方法的重要性.在必修2的最后一章，介紹了空間直角坐標系，重點要求掌握空間直角坐標系中點的坐標的確定，以及空間向量的模長，從而掌握空間向量的數量積來解決長度與角度的問題.而空間直角坐標系是將幾何問題轉化為代數問題的關鍵，所以如何建立空間直角坐標系就顯得猶為重要.接下來，利用分析法談談建立空間直角坐標系的問題.例3 四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC?底面ABCD，已知?ABC?45?，AB?

2，BC?

SA?SB?

（1）求證：SA?BC；

（2）求直線SD與平面SAB所成角的大小.S

C

B

D

A

分析：要建立空間直角坐標系，最好有一個線面垂直.先來分析下底面，由于下底面是?ABC?45?的平行四邊形，且AB?

2，BC?故連接AC，有?ABC是已?CAB為直角的等腰直角三角形.取BC的中點為O，連接AO，則AO?BC

.利用分析法，將SA?BC看成已知條件，所以應有BC?平面SAO，則SO?BC.因為側面SBC?底面ABCD，根據面面垂直的定義，有SO?底面ABCD.故可取O為原點，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，OS所在的直線為z軸建立空間直角坐標系.證明過程略.附：分析法得到意想不到的結果

1.設a,b,c都為正數，求證：abc?(a?b?c)(b?c?a)(c?a?b).分析：由于a,b,c都為正數，當a?b?c?0,b?c?a?0,c?a?b?0時，可以將a,b,c看成是三角形的三邊.由不等式的右邊聯想到海倫公式，有

abc(a?b?c)?(a?b?c)(b?c?a)(c?a?b)(a?b?c)?16S

abca?b?c?16?r()

4R2

得R?2r（其中R,r分別為三角形的外接圓與內切圓的圓心）2.在數列{an}中，已知an?ln2.解Sn?ln下先證明ln

12?ln1

23?ln1

nn?1，Sn是{an}的前n項和，求證：Sn?

n

1n

.???ln

12n1

?ln(??)?ln，n?123n?1n?11，只證lnx?x，令f(x)?lnx?x(0?x?1)，n?1n?1n?111?x

?0，又0?x?1，得f?(x)?0，∴f(x)為增函數，則f?(x)??1?

xx

?，令x?

得f(x)?f(1)?ln1?1??1?0，即lnx?x?0，有lnx?x，于是ln

1n?1

?

1n?1

?

1n

.3.設函數f(x)?lnx?px?1(p?R)，（1）求f(x)極值點；

（2）當p?0時，若對于任意的x?0，恒有f(x)?0，求p的取值范圍；（3）證明：當n?N，n?2時，ln22

?

ln33

???

lnnn

?

2n?n?12(n?1)。

解：（1）f(x)的定義域為(0,??)。當p?0時，f?(x)?

1x

?p?0，f(x)在其定義域上是增函數，故沒有極值點。

當p?0時，若x?(0,)，則f?(x)?

p1p

11?pxx

?0

；若x?(,??)，則f?(x)?

p

11?pxx

?0，于

是f(x)有極小值點x?。

1p

（2）由（1）知，p?0時，f(x)有極小值點f()?ln

p

1p，由于f(x)在其定義域上只

1p

有一個極值點，因此f(x)的最大值為f()?ln

p

。所以f(x)?0?ln?0?p?1。

1x

（3）由（2）知，當p?1，x?0時，f(x)?0?lnx?x?1?

于是

ln22

lnxx

?1?。

?

ln33

???

lnnn

?(1?

12)?(1?

13)???(1?

1n

1n)

?(n?1)?(又當n?N，n?2時，12

?

???)。

1n

?

?

1(n?1)n

13?14

?

1n

?

1n?1

1n131，于是

1n?1)?1n

?

???

1n

?（12

13)?()???（12

?

12)

?

1n?1，∴

ln22

?

ln33

???

lnnn

?(n?1)?(????

?(n?1)?(?

n?1)?

2n?n?12(n?1)，即

ln22

?

ln33

???

lnnn

?

2n?n?12(n?1)。

評析：導數進入中學數學后，為中學不等式證明提供了一個強大工具。正因為如此，通過構造函數并利用導數證明不等式已成為高考數學試題中一道亮麗的風景線。本題第（2）問實際上已經作出暗示，對比待證不等證式與第（2）問所得結論，證明思路自然生成。