第一篇：選修4-1 幾何證明選講第2講 圓周角定理與圓的切線

第【復習指導】 2講 圓周角定理與圓的切線

本講復習時，牢牢抓住圓的切線定理和性質定理，以及圓周角定理和弦切角等有關知識，重點掌握解決問題的基本方法.基礎梳理

1．圓周角定理

(1)

(2)(3)圓周角定理的推論

①同弧(或等弧)上的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ②半圓(或直徑)所對的圓周角是90°；90°的圓周角所對的弦是直徑．

2．圓的切線

(1)直線與圓的位置關系

(2)①切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑．

②切線的判定定理

過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．

(3)切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線長相等．

3．弦切角

(1)

(2)弦切角定理及推論

①定理：弦切角的度數等于所夾弧的度數的一半．

②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等．

雙基自測

1．如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點P，則BP長為________．

解析 連接CP.由推論2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定

理知，AC2＝

AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如圖所示，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點分別為B、C，D是優弧BC上的點，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 連接OB、OC，則OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，1∴∠BDC＝2BOC＝50°.答案 50°

3．(2011·廣州測試(一))如圖所示，CD是圓O的切線，切點為C，點

A、B在圓O上，BC＝1，∠BCD＝30°，則圓O的面積為________．

解析 連接OC，OB，依題意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC，因此△BOC是等邊三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圓O的半徑為1，所以圓O的面積為π×12＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次調研)如圖，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC為直徑的圓交AC邊于點D，AD＝2，則∠C的大小為________．

解析 連接BD，則有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕頭調研)如圖，MN是圓O的直徑，MN的延長線與圓

O上過點P的切線PA相交于點A，若∠M＝30°，AP＝23，則

圓O的直徑為________．

解析 連接OP，因為∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因為PA切圓O于P，所以OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝

答案

4考向一 圓周角的計算與證明

【例1】?(2011·中山模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點P，若ABAP3tan 60°＝2，故圓O的直徑為4.tan ∠AOP＝3，CD＝1，則sin∠APB＝________.[審題視點] 連結AD，BC，結合正弦定理求解．

解析 連接AD，BC.因為AB是圓O的直徑，所以∠

ADB＝∠ACB＝90°.又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：CDAD＝＝sin∠DACsin∠ACD

ABsin∠ABDAD1AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝3sin∠ABDsin∠ABD

2以cos∠DAP＝32.2又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝32.2答案

32解決本題的關鍵是尋找∠APB與∠DAP的關系以及AD與AB的關系．

【訓練1】 如圖，點A，B，C是圓O上的點，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于________．

解析 連接AO，OB.因為∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB為等邊三角形，故圓O的半徑r＝OA＝AB＝4，圓O的面積S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推論的應用

【例2】?如圖，梯形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，過B引⊙O的切線分別交DA、CA的延長線于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，則EF的長為________．

[審題視點] 先證明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等條件轉化為線 段之間的比例關系，從而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.BEAB又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴AC＝BC.EFBEABEF又AE∥BC，∴AF＝AC，∴BC＝AF.，又AD∥BC，∴AB＝CD，CDEF5EF3015∴AB＝CD，∴BCAF86EF＝8415答案 4

(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關系，從

而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小．

(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉化；關于圓周上的點，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角．

【訓練2】(2010·新課標全國)如圖，已知圓上的弧AC＝BD，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.證明(1)因為AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因為EC與圓相切于點C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.BCCD(2)因為∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BEBC

即BC2＝BE×CD.高考中幾何證明選講問題(二)

從近兩年的新課標高考試題可以看出，圓的切線的有關知識是重點考查對象，并且多以填空題的形式出現．

【示例】?(2011·天津卷)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長為________．

第二篇：【高考精品復習】選修4-1 幾何證明選講 第2講 圓周角定理與圓的切線

第【高考會這樣考】 2講 圓周角定理與圓的切線

考查圓的切線定理和性質定理的應用．

【復習指導】

本講復習時，牢牢抓住圓的切線定理和性質定理，以及圓周角定理和弦切角等有關知識，重點掌握解決問題的基本方法

.基礎梳理

1．圓周角定理

(1)

(2)

(3)圓周角定理的推論

①同弧(或等弧)上的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ②半圓(或直徑)所對的圓周角是90°；90°的圓周角所對的弦是直徑．

2．圓的切線

(1)直線與圓的位置關系

(2)①切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑．

②切線的判定定理

過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．

(3)切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線長相等．

3．弦切角

(1)

(2)弦切角定理及推論 ①定理：弦切角的度數等于所夾弧的度數的一半．

②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等．

雙基自測

1．如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC

為直徑的圓與斜邊交于點P，則BP長為________．

解析 連接CP.由推論2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定

理知，AC2＝

AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如圖所示，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點分別為B、C，D

是優弧BC上的點，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 連接OB、OC，則OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠

BAC＝100°，1∴∠BDC＝2∠BOC＝50°.答案 50°

3．(2011·廣州測試(一))如圖所示，CD是圓O的切線，切點為C，點A、B在圓O上，BC＝1，∠BCD＝30°，則圓O的面積為________．

解析 連接OC，OB，依題意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝

60°，又OB＝OC，因此△BOC是等邊三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圓O的半徑為1，所以圓O的面積為π×12＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次調研)如圖，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC為直徑的圓交AC邊于點D，AD＝2，則∠C的大

小為________．

解析 連接BD，則有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕頭調研)如圖，MN是圓O的直徑，MN的延長線與

圓O上過點P的切線PA相交于點A，若∠M＝30°，AP＝3，則圓O的直徑為________．

解析 連接OP，因為∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因為PA切圓O于P，所以

AP23OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝＝tan 60°2，故圓

O的直徑為4.tan ∠AOP答案

4考向一 圓周角的計算與證明

【例1】?(2011·中山模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點P，若AB＝3，CD＝1，則sin∠APB＝________.[審題視點] 連結AD，BC，結合正弦定理求解．

解析 連接AD，BC.因為AB是圓O的直徑，所以∠

ADB＝∠ACB＝90°.CDAD又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝sin∠DACsin∠ACD

ABsin∠ABDAD1＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝3sin∠ABDsin∠ABD

2所以cos∠DAP＝

32.2又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝2.答案

2解決本題的關鍵是尋找∠APB與∠DAP的關系以及AD與AB的關系．

【訓練1】 如圖，點A，B，C是圓O上的點，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于________．

解析 連接AO，OB.因為∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB為等邊三角形，故圓O的半徑r＝OA＝AB＝4，圓O的面積S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推論的應用

【例2】?如圖，梯形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，過B引⊙O的切線分別交DA、CA的延長線于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，則EF的長為________．

[審題視點] 先證明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等條件轉化為線 段之間的比例關系，從而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，BEAB∴△EAB∽△ABC，∴AC＝BC.EFBEABEF又AE∥BC，∴AFACBCAF又AD∥BC，∴AB＝CD，CDEF5EF∴AB＝CD，∴BC＝AF，∴8＝6，3015∴EF＝84.15答案 4

(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小．

(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉化；關于圓周上的點，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角．

【訓練2】(2010·新課標全國)如圖，已知圓上的弧AC＝BD，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.證明(1)因為AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因為EC與圓相切于點C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因為∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，BCCD所以△BDC∽△ECB，故BE＝BC，即BC2＝BE×CD

.高考中幾何證明選講問題(二)

從近兩年的新課標高考試題可以看出，圓的切線的有關知識是重點考查對象，并且多以填空題的形式出現．

【示例】?(2011·天津卷)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長為________．

第三篇：幾何證明選講第二講：圓周角與弦切角

幾何證明選講

第二講 圓周角與弦切角

一．考綱要求

掌握圓的切線的判定定理及性質定理；理解圓周角定理及其推論；理解弦切角定理及其推論；

二．知識梳理

1.圓周定理

圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓周角的一半。

圓心角定理：圓心角的度數等于它所對弧的度數。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。

2.圓的切線的性質及判定定理

切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑。

推論1：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點。

推論2：經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。

切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

3.弦切角的性質

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。

4.垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

5.三角形的五心

(1)內心：三條角平分線的交點，也是三角形內切圓的圓心。性質：到三邊距離相等。

(2)外心：三條中垂線的交點，也是三角形外接圓的圓心。性質：到三個頂點距離相等。

(3)重心：三條中線的交點。性質：三條中線三等分點，到頂點距離為到對邊中點距離2倍

(4)垂心：三條高所在直線的交點。

(5)旁心：三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。性質：到三邊的距離相等。

三．診斷練習

1、下列命題中錯誤的是()

（A）過一個圓的直徑兩端點的兩條切線互相平行

（B）直線AB與⊙O相切于點A，過O作AB的垂線，垂足必是A

（C）若同一個圓的兩條切線互相平行，則連結切點所得的線段是該圓的直徑

（D）圓的切線垂直于半徑

2、圖1中圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的直徑為．

3、如圖2，AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點，PC切⊙O于點C，PC=3，PB=1，則⊙O的半徑為．

4、如圖3，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于點A，∠BAC=60°，則∠ADB的度數為

O · B A P O

圖3 C 圖

2-1-

四．范例導析

例1 AE是半圓的一條弦，C是弧AE的中點，弦AE交PC、CB于D、F。

A

CP?AB于P求證：AD

例

2AP2?CDAB是⊙O的直徑，MN 切⊙O的直徑與P，AD?MN于D,求證：?AD?AB

N

例3如圖所示，AB是圓O的直徑，AC是弦，?BAC的平分線AD交圓O于點D，DE?AC，交AC的延長線于點E，OE交AD于點F．

（1）求證：DE是圓O的切線；

（2）若

ACAB?25，求AFDF的值．

五.鞏固練習

1.(2011年高考廣東卷理科15)（幾何證明選講選做題）如圖，過圓O外一點P分別作圓的切線和割線交圓于A,B。且PB

得BC?5?7，C是圓上一點使?，?BAC??APB，則AB.2.(2011年高考湖南卷理科11)如圖，A,E是半圓周上的兩個三等分點，直徑BC=4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點F，則的AF長為.3.如圖，EB、EC是⊙O的兩條切線，B、C是切點，A、D是⊙O上的兩點．如果?E?460，?DCF?320，則?A的大小為_________．

4.（2009·遼寧卷）已知?ABC中，AB?ACAC上的，D是?ABC外接圓劣弧?點（不與點A，C重合），延長BD至E（如圖所示）．

（1）求證：AD的延長線平分?CDE；

（2）若?BAC?30?，?ABC中BC邊上的高為2?3，求?ABC外接圓的面積

第四篇：【創新方案】2013年高考數學一輪復習幾何證明選講 第2講 圓周角定理與圓的切線教案 理 新人教版選修4-1

第2講 圓周角定理與圓的切線

【2013年高考會這樣考】

考查圓的切線定理和性質定理的應用．

【復習指導】

本講復習時，牢牢抓住圓的切線定理和性質定理，以及圓周角定理和弦切

角等有關知識，重點掌握解決問題的基本方法

.基礎梳理

1．圓周角定理

(1)圓周角：頂點在圓周上且兩邊都與圓相交的角．

(2)圓周角定理：圓周角的度數等于它所對弧度數的一半．

(3)圓周角定理的推論

①同弧(或等弧)上的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ②半圓(或直徑)所對的圓周角是90°；90°的圓周角所對的弦是直徑．

2．圓的切線

(1)直線與圓的位置關系

(2)①切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑．

②切線的判定定理

過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．

(3)切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線長相等．

3．弦切角

(1)弦切角：頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊與圓相交的角．

(2)弦切角定理及推論

①定理：弦切角的度數等于所夾弧的度數的一半．

②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等．

雙基自測

1．如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點P，1則BP長為________．

解析 連接CP.由推論2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC＝

2AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如圖所示，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點分別為B、C，D是優弧BC

上的點，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 連接OB、OC，則OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，1∴∠BDC＝∠BOC＝50°.2答案 50°

3．(2011·廣州測試(一))如圖所示，CD是圓O的切線，切點為C，點A、B在圓O上，BC＝1，∠BCD＝30°，則圓O的面積為________．

解析 連接OC，OB，依題意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC，因此△BOC是等邊三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圓O的半徑為1，所以圓O的面積為π×1＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次調研)如圖，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC為直徑的圓交AC邊于點D，AD＝2，則∠C的大小為________．

解析 連接BD，則有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠

2A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕頭調研)如圖，MN是圓O的直徑，MN的延長線與圓O上過點P的切線PA相交于點A，若∠M＝30°，AP＝23，則圓O的直徑為________．

解析 連接OP，因為∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因為PA切圓O于P，所以OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝

答案

APtan ∠AOP2

2，故圓O的直徑為4.tan 60°

考向一 圓周角的計算與證明

【例1】?(2011·中山模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點P，若AB＝3，CD＝1，則sin∠APB＝________.[審題視點] 連結AD，BC，結合正弦定理求解．

解析 連接AD，BC.因為AB是圓O的直徑，所以∠ADB＝∠ACB＝90°.又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝＝sin∠DACsin∠ACDsin∠ABDCDADADABsin∠ABD12＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAPcos∠DAP＝sin∠ABD3

3又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝

答案

2解決本題的關鍵是尋找∠APB與∠DAP的關系以及AD與AB的關系．

【訓練1】 如圖，點A，B，C是圓O上的點，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于22.3________．

解析 連接AO，OB.因為∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB為等邊三角形，故圓O的半徑r＝OA＝AB＝4，圓O的面積S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推論的應用

【例2】?如圖，梯形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，過B引⊙O的切線分別交DA、CA的延長線于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，則EF的長為________．

[審題視點] 先證明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等條件轉化為線

段之間的比例關系，從而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴

又AE∥BC，∴BEAB.ACBCEFBEABEF＝.AFACBCAF

又AD∥BC，∴AB＝CD，∴AB＝CD，∴

∴EF＝

答案 CDEF5EF，∴，BCAF863015＝8415 4

(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關系，從而證明

三角形全等或相似，可求線段或角的大小．

(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉化；關于圓周上的點，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角．

【訓練2】(2010·新課標全國)如圖，已知圓上的弧AC＝BD，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.證明(1)因為AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因為EC與圓相切于點C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因為∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故即BC2＝BE×CD

.BCCD，BEBC

高考中幾何證明選講問題(二)

從近兩年的新課標高考試題可以看出，圓的切線的有關知識是重點考查對象，并且多以填空題的形式出現．

【示例】?(2011·天津卷)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長為________．

第五篇：幾何證明選講專題

幾何證明選講

幾何證明選講專題

一、基礎知識填空：

1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段_________.推論1: 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必______________.推論2: 經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線________________.2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的________________成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段___________.3.相似三角形的性質定理：相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于______；相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于_______________； 相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上_______與_________的比例中項.5.圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的____________的一半.圓心角定理：圓心角的度數等于_______________的度數.推論1：同弧或等弧所對的圓周角_________；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧_______.o推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是____；90的圓周角所對的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的______________.6.圓內接四邊形的性質定理與判定定理：

圓的內接四邊形的對角______；圓內接四邊形的外角等于它的內角的_____.如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點______；如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點_________.7.切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的__________.推論：經過圓心且垂直于切線的直線必經過_______；經過切點且垂直于切線的直線必經過______.切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的________.8.相交弦定理:圓內兩條相交弦，_____________________的積相等.割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線，_____________的兩條線段長的積相等.切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是__________的比例中項.切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長____；

圓心和這點的連線平分_____的夾角.二、經典試題：

1.(梅州一模文)如圖所示，在四邊形ABCD中，EFFG+=． EF//BC，FG//AD，則D BCAD

C

2.(廣州一模文、理)在平行四邊形ABCD中，點E在邊AB上，且AE：EB=1：2，DE與AC交于

點F，若△AEF的面積為6cm2，則△ABC的面積為

B cm2．

3.(廣州一模文、理)如圖所示，圓O上

一點C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的半徑等于．

4.(深圳二模文)如圖所示，從圓O外一點P 作圓O的割線PAB、PCD，AB是圓O的直徑，若PA=4，PC=5，CD=3，則∠CBD=__ 第1頁

5.(廣東文、理)已知PA是圓O的切線，切點為A，PA=2.AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點B，PB=1，則圓O的半徑R=_______.6.(廣東文、理)如圖所示，圓O的直徑

AB=6，C圓周上一點，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點 D、E，則∠DAC＝，線段AE的長為

三、基礎訓練： 1.(韶關一模理)

如圖所示，PC切⊙O于

點C，割線

PAB經過圓心O，弦CD⊥AB于 點E，PC=4，PB=8，則CD=________.2.(深圳調研文)如圖所示，從圓O外一點A 引圓的切線AD和割線ABC，已知AD=

AC=6，圓O的半徑為3，則圓心O到AC的距 離為________.3.(東莞調研文、理)如圖所示,圓O上一

點C

在直徑AB上的射影為D，CD=4，則圓O的半徑等于．

4.(韶關調研理)如圖所示，圓O是

△ABC的外接圓，過點C的切線交AB的延長線于點D，CD=AB=BC=3.則BD的長______，AC的長_______．5.(韶關二模理)如圖，⊙O′和

⊙O相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延長線于N，MN=3，NQ=15，則 PN＝______．

6.(廣州二模文、理)如圖所示, 圓的內接

△ABC的∠C的平分線CD延長后交圓于點E，連接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，則線段.N7.（湛江一模文）如圖，四邊形ABCD內接

于⊙O，BC是直徑，MN切⊙O于A，∠MAB=25則∠D=___.8.(湛江一模理)如圖，在△ABC中，D 是AC的中點，E是BD的中點，AE交BC

BF=于F，則

FC

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9.(惠州一模理)如圖：EB、EC是⊙O的兩

條切線，B、C是切點，A、D是⊙O上兩點，如果∠E＝460，∠DCF＝320，則∠A的度數是.10.(汕頭一模理)如圖，AB是圓O的直徑，直線CE和圓O相切于點C，AD⊥CE于D，若AD=1，∠ABC=300，則圓O的面積是______.11.(佛山一模理)如圖，AB、CD是圓O的兩條弦，C

且AB是線段CD的中垂線，已知AB=6，CD=25，則線段AC的長度為．

12.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，E是AB的中點，EF交BD于G，交AC于H.若 AD=5，BC=7，則GH=________.13.如圖，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D.C

AD=2，AC= 25，則AB=____

14.如圖，PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的 割線，且PB=

B

1PABC，則的值是________.2PB

15.如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于A、B兩點，割線

PCD經過圓心O，PE是⊙O的切線。已知PA=6，AB=7，PO=12，則PE=____O的半徑是_______.3答 案

二、經典試題：

1.1 ；2.72；3.5 ；4.30o；5.；6.30°，3.三、基礎訓練：

243

.5.3..3.5.4.4，522116..7.115o.8..9.99O.10.4?.25

11..12.1.13.10，4.14..15.4, 8.1.第3頁