第一篇：牛頓幾何三大定理及證明

牛頓三大定理

牛頓定理1：完全四邊形兩條對(duì)邊的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，三點(diǎn)共線。這條直線叫做這個(gè)四邊形的牛頓線。

證明：四邊形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中點(diǎn)M,AC中點(diǎn)L,EF中點(diǎn)N。取BE中點(diǎn)P,BC中點(diǎn)R,PN∩CE=Q

R,L,Q共線，QL/LR=EA/AB，M,R,P共線。RM/MP=CD/DE，N,P,Q共線，PN/NQ=BF/FC 三式相乘得:QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC 由梅涅勞斯定理QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1 由梅涅勞斯定理的逆定理知:L,M,N三點(diǎn)共線 故牛頓定理1成立

牛頓定理2圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線。

證明：設(shè)四邊形ABCD是⊙I的外切四邊形，E和F分別是它的對(duì)角線AC和BD的中點(diǎn)，連接EI只需證它過(guò)點(diǎn)F，即只需證△BEI與△DEI面積相等。

顯然，S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE，而S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID。注意兩個(gè)式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四邊形ABCD，S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四邊形ABCD。即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移項(xiàng)得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中點(diǎn)，S△CEI=S△AEI，故S△BIC-S△CEI-S△BCE=S△ADE-S△AIE-S△AID，即S△BEI=△DEI，而F是BD中點(diǎn)，由共邊比例定理EI過(guò)點(diǎn)F即EF過(guò)點(diǎn)I，故結(jié)論成立。證畢。

牛頓定理3圓的外切四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)和以切點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形對(duì)角線交點(diǎn)重合。

證明 設(shè)四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA與內(nèi)切圓分別切于點(diǎn)E,F,G,H.首先證明,直線AC,EG,FH交于一點(diǎn).設(shè)EG,FH分別交AC于點(diǎn)I,I'.顯然∠AHI‘=∠BFI ’ 因此易知 AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI' 故 AI'/CI'=AH/CF.同樣可證:AI/CI=AE/CG又AE=AH,CF=CG.故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.從而I,I'重合.即直線AC,EG,FH交于一點(diǎn).同理可證:直線BD,EG,FH交于一點(diǎn).因此直線AC,BD,EG,FH交于一點(diǎn).

第二篇：幾何證明定理

幾何證明定理

一.直線與平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一條直線如果平行于平面內(nèi)的一條直線,那么這條直線與這個(gè)平面平行.2.應(yīng)用:反證法(證明直線不平行于平面)

二.平面與平面平行的(判定)

1.判定定理:一個(gè)平面上兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

2.關(guān)鍵：判定兩個(gè)平面是否有公共點(diǎn)

三.直線與平面平行的(性質(zhì))

1.性質(zhì)：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)該直線的任一與此平面的交線與該直線平行2.應(yīng)用：過(guò)這條直線做一個(gè)平面與已知平面相交，那么交線平行于這條直線

四.平面與平面平行的(性質(zhì))

1.性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么他們的交線平行

2.應(yīng)用：通過(guò)做與兩個(gè)平行平面都相交的平面得到交線，實(shí)現(xiàn)線線平行

五：直線與平面垂直的(定理)

1.判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

2.應(yīng)用：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)所有的直線(線面垂直→線線垂直)

六.平面與平面的垂直(定理)

1.一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直

(或者做二面角判定)

2.應(yīng)用:在其中一個(gè)平面內(nèi)找到或做出另一個(gè)平面的垂線,即實(shí)現(xiàn)線面垂直證面面垂直的轉(zhuǎn)換

七.平面與平面垂直的(性質(zhì))

1.性質(zhì)一:垂直于同一個(gè)平面的兩條垂線平行

2.性質(zhì)二:如果兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直

3.性質(zhì)三:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面內(nèi)的直線,在第一個(gè)平面內(nèi)(性質(zhì)三沒(méi)什么用,可以不用記)

以上,是立體幾何的定理和性質(zhì)整理.是一定要記住的基本！

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)

35推論1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

40逆定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合42定理1關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形

43定理2如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線

44定理3兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上

45逆定理如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a+b=c

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系a+b=c，那么這個(gè)三角形是直角三角形

48定理四邊形的內(nèi)角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)×180°

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對(duì)角相等

53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對(duì)邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對(duì)角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對(duì)邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個(gè)角都是直角

61矩形性質(zhì)定理2矩形的對(duì)角線相等

62矩形判定定理1有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。

第三篇：高中幾何證明定理

高中幾何證明定理

一.直線與平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一條直線如果平行于平面內(nèi)的一條直線,那么這條直線與這個(gè)平面平行.2.應(yīng)用:反證法(證明直線不平行于平面)

二.平面與平面平行的(判定)

1.判定定理:一個(gè)平面上兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

2.關(guān)鍵：判定兩個(gè)平面是否有公共點(diǎn)

三.直線與平面平行的(性質(zhì))

1.性質(zhì)：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)該直線的任一與此平面的交線與該直線平行2.應(yīng)用：過(guò)這條直線做一個(gè)平面與已知平面相交，那么交線平行于這條直線

四.平面與平面平行的(性質(zhì))

1.性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么他們的交線平行

2.應(yīng)用：通過(guò)做與兩個(gè)平行平面都相交的平面得到交線，實(shí)現(xiàn)線線平行

五：直線與平面垂直的(定理)

1.判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

2.應(yīng)用：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)所有的直線(線面垂直→線線垂直)

六.平面與平面的垂直(定理)

1.一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直

(或者做二面角判定)

2.應(yīng)用:在其中一個(gè)平面內(nèi)找到或做出另一個(gè)平面的垂線,即實(shí)現(xiàn)線面垂直證面面垂直的轉(zhuǎn)換

七.平面與平面垂直的(性質(zhì))

1.性質(zhì)一:垂直于同一個(gè)平面的兩條垂線平行

2.性質(zhì)二:如果兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直

3.性質(zhì)三:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面內(nèi)的直線,在第一個(gè)平面內(nèi)(性質(zhì)三沒(méi)什么用,可以不用記)

以上,是立體幾何的定理和性質(zhì)整理.是一定要記住的基本!。

想要變-態(tài)的這里多的是--

歐拉定理&歐拉線&歐拉公式(不一樣)

九點(diǎn)圓定理

葛爾剛點(diǎn)

費(fèi)馬定理(費(fèi)馬點(diǎn)(也叫做費(fèi)爾馬點(diǎn)))

海倫-公式

共角比例定理

張角定理

帕斯卡定理

曼海姆定理

卡諾定理

芬斯勒-哈德維格不等式(幾何的)

外森匹克不等式(同上)

琴生不等式(同上)

塞瓦定理

梅涅勞斯定理

斯坦納定理

托勒密定理

分角線定理(與角分線定理不同)

斯特瓦爾特定理

切點(diǎn)弦定理

西姆松定理。

第四篇：初一常用幾何證明的定理

初一常用幾何證明的定理總結(jié)

平面直角坐標(biāo)系各個(gè)象限內(nèi)和坐標(biāo)軸的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)規(guī)律：

（1）x軸將坐標(biāo)平面分為兩部分，x軸上方的縱坐標(biāo)為正數(shù)；x軸下方的點(diǎn)縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)。即第一、二象限及y軸正方向（也稱y軸正半軸）上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正數(shù)；第三、四象限及y軸負(fù)方向（也稱y軸負(fù)半軸）上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)。

反之，如果點(diǎn)P（a，b）在x軸上方，則b>0；如果P（a，b）在x軸下方，則b<0。

(2)y軸將坐標(biāo)平面分成兩部分，y軸左側(cè)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)；y軸右側(cè)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正數(shù)。即第二、三象限和x軸的負(fù)半軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)；第一、四象限和x軸正半軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正數(shù)。

（3）規(guī)定坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）

（4

(5)

第五篇：初一常用幾何證明的定理總結(jié)

初一常用幾何證明的定理總結(jié)

平面直角坐標(biāo)系各個(gè)象限內(nèi)和坐標(biāo)軸的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)規(guī)律：

（1）x軸將坐標(biāo)平面分為兩部分，x軸上方的縱坐標(biāo)為正數(shù)；x軸下方的點(diǎn)縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)。即第一、二象限及y軸正方向（也稱y軸正半軸）上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正數(shù)；第三、四象限及y軸負(fù)方向（也稱y軸負(fù)半軸）上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)。

反之，如果點(diǎn)P（a，b）在x軸上方，則b>0；如果P（a，b）在x軸下方，則b<0。(2)y軸將坐標(biāo)平面分成兩部分，y軸左側(cè)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)；y軸右側(cè)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正數(shù)。即第二、三象限和x軸的負(fù)半軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)；第一、四象限和x軸正半軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正數(shù)。

（3）規(guī)定坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）（4(5)

對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征：

（1）關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。如點(diǎn)P（x 1，y 1）與Q（x 2，y 2）?x1＝x

2關(guān)于x軸對(duì)稱，則?反之也成立。如P（2，－3）與Q（2，3）關(guān)于x軸對(duì)稱。

y?y?0?12

（2）關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)：縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。如點(diǎn)P（x 1，y 1）與Q（x 2，y 2）?y1＝y(tǒng)2

關(guān)于y軸對(duì)稱，則?反之也成立。如P（2，－3）與Q（－2，－3）關(guān)于y軸對(duì)稱。

?x1?x2?0

（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)：縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)都互為相反數(shù)。如點(diǎn)P（x 1，y 1）與Q（x 2，y 2）關(guān)?x1+x2?0

于原點(diǎn)對(duì)稱，則?反之也成立。如P（2，－3）與Q（－2，3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

y?y?0?12