第一篇：證明：直角等于頓角

在我們的少年時代，有很多人都有這樣的經歷，在各種平面幾何問題中抓耳撓腮，證明來證明去，為了證明一個角是直角而浪費了精力，荒廢了青春。很多人因為不會證明平面幾何中關于直角的問題，與夢中的重點中學、大學失之交臂。可又有多少人知道，其實鈍角就等于直角。所有鈍角盡管看起來不一樣大，但是早在歐幾里得時代，偉大的古希臘數學家們就早已通過嚴格的數學證明了鈍角統統等于直角！歐幾里德的證明過程眾所周知，平面幾何的最經典著作當屬歐幾里得的《幾何原本》，當今所有的平面幾何課本都基本按照原本的框架講述。而關于鈍角等于直角的證明，其實就靜悄悄的隱藏在《幾何原本》的后記當中。下面貼出古希臘數學家給出的證明：如下圖，????為矩形，在矩形外選取一點?，使得?????。?、?分別為??、??中點，然后過?、?分別作垂線，兩條垂線相交于?。連接?與????四點，就形成了下圖，為了讓證明過程更清晰，已經把一些相等的線段染成了同一種顏色。（因為種種原因，圖可能畫的有點不太準確有點難看，請原諒。）現在開始偉大的證明：因?在??的垂直平分線上，故?????。因?在??的垂直平分上，故?????。因?????且????為矩形，故?????。至此，Δ???和Δ???的三邊都相等，根據“邊邊邊”（初中平面幾何里學的全等三角形判定條件之一），Δ???與Δ???全等。因此∠????∠???。上式兩邊分別減去∠???和∠???（因等腰三角形，這二角顯然相等），則可得出圖中α、β二角相等！顯然，α為直角，而β為鈍角！因此可以得出我們的結論：所有鈍角等于直角！一位中國數學家的聲音從古到今，幾乎所有國家的數學書上都白紙黑字的寫著鈍角等于直角。1949年新中國成立后，所有數學課本上則明確區分了鈍角和直角。同時，所有民國時期的數學課本均被銷毀。對平面幾何被如此猖狂的扭曲，大多數數學家選擇了沉默，只有一個人站了出來。趙四一，1909年6月31日生于廣州，1928-1936年就讀于南京國立中央大學數學系。年少時即表現出天才般的數學造詣，其博士論文《11維歐幾里得空間中的直角與鈍角的大小關系》引起國內外數學界的震驚。趙與同一時期在清華大學暫露頭角的華羅庚一起被認為是中國數學界的兩大青年才俊，并稱“南趙北華”。兩人成為惺惺相惜的摯友。建國后，華羅庚內斂、現實的性格使他在歷次運動中采取了隨波逐流、明哲保身的無奈態度。而趙四一固執的性格，讓他堅持真理、敢怒敢言、不向任何威權妥協。50年代末，趙四一無法接受所有數學課本上不把鈍角與直角等同的做法，堅持傳授所有鈍角等于直角的秘密，遭到國內數學家和各個大學的一致排擠。而此時華羅庚忍辱負重，違心地附和“數學要為工農兵的實際生產服務”，并多次暗示趙妥協，“留得青山在”，趙四一卻毫不動搖，繼續堅持著鈍角直角相等。但是趙四一依然堅持己見，四處宣傳、講演鈍角等于直角的觀點。但由于始終得不到支持，很少有人愿意相信他，甚至到最后幾乎沒有人聽他完整陳述自己的觀點。趙四一焦慮異常，患上了抑郁癥，最終選擇放棄生命，在1962年的4月1日，自殺了。想來據今天剛好整整半個世紀。在那個人人自危的年代，華羅庚強忍著心中的悲痛，一直不敢公開表達對趙四一的悼念之情。1979年夏天，華羅庚一個人來到趙四一的墓前。他的眼淚像斷了線的珠子一樣不停地流，“四一兄，我來晚了……”趙四一之后，中國再沒有人公開支持鈍角等于直角。后來也曾有民間團體將上面的證明用圖整合到徽標上，希望籍此暗語提醒世人“鈍角等于直角”的事實。甚至通過自殘等乖張怪異的舉動吸引注意，未料無人知其苦心。從此，鈍角等于直角的秘密也就漸漸不為人知了。

第二篇：《角與直角》說課稿

《角和直角》是新教材二年級第一學期的一個內容，教材分５個小題呈現這一內容。通過對教材的分析理解，以及學生的實際情況，我制定了以下教學目標

1、通過動手操作、觀察等活動，初步認識角，知道角的各部分名稱。

2、認識直角，能用紙折出直角，并能用已知的直角去驗證直角。

3、讓學生經歷從直觀到抽象的過程，形成初步的空間觀念，培養學生動手操作、觀察、比較等能力，4、讓學生逐步體驗數學與日常生活的密切聯系，激發學習數學的興趣。

新基礎教育認為，學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動。教師要以學生發展為本，遵循學生的年齡特點和學習數學的心理規律，站在學生的角度，結合教材內容的要求，去激活學生的生活經驗，去開發教學的育人資源。因此，我分4個層次來落實這幾個目標。

第一層次猜圖形。首先我了解了學生的認知情況，他們對平面圖形角是沒有概念的，他們認識的所謂的角，就是生活中物體突出的部分，這與平面圖形中的角差異是很大的。如何將生活中的角與平面圖形角建構起來，形成角的概念這是很重要的。因此利用學生熟悉的平面圖形：三角形、五角星、長方形、圓形。通過它們露在外面的角猜出這幾個圖形，從而初步建立角的概念。

第二層次研究角。把圖形中露在外面的角描下來，然后通過尋找共同點進一步掌握角的特點，認識角的各部分名稱。最后用一組判斷又一次加深了對角的認識。

第三層次是認識直角和直角符號。采用猜圖形中圓形，從一開始一致認為圓形身上找不到角，到讓學生動手在圓形上面折出角，老師引導學生對其中一種比較特殊的角的觀察（也就是和三角尺的直角一樣的角），這樣來認識直角的。而后指導學生如何標直角符號和普通角的符號，以及認識三角尺上的直角并會用這個直角進行驗證。驗證直角主要是通過學生自主學習去完成。接著找一找小朋友身邊是否有直角，這些對孩子們來說是有趣而且有成就感的。通過這樣的實踐活動感知體驗，學生利用三角尺進行判斷、檢驗，發現生活中的直角，進一步體會數學來源于生活，生活中處處有數學。

第三篇：《角和直角的初步認識

看《在 游 戲 中 擁 抱 數學》課堂實錄的感受 莫衛玲 今天一個偶然的機會拜讀了東莞市長安鎮霄邊小學鐘曉宇老師的《在 游 戲 中 擁 抱 數學》課堂設計與教學反思,讓我感到如沐春風,受益非淺。

《角和直角的初步認識》這個內容是三年級公開課的熱門內容，本人雖然沒有上過，但已經聽過幾位老師的課，但鐘曉宇老師的教學設計給我一種耳目一新的感受。雖然鐘老師自己已經進行了教學反思，但本人想結合自己的親身體驗談談自己的想法。

一、對主題圖的應用合理新穎。

對新教材中主題圖的應用，老師們經常會存在這樣的疑問：主題圖是不是一定要用？怎樣用？什么時候用最合適？其實，主題圖的應用應該是什么時候最需要用就什么時候用，鐘老師的這節《角和直角的初步認識》就給我們進行了一個很好的說明。以前的老師大多數都是把主題圖放在上課開始導入時運用，一般都是這樣設計的：今天，老師帶大家到我們的校園去玩玩（出示主題圖），大家看，我們的校園漂亮嗎？我們的校園里有什么呢？（學生回答略）你能發現其實我們的校園里有很多角，誰能把你的發現在告訴同學們？（學生回答）但鐘老師沒有完全按前人的做法，她是首先在課前游戲中與學生一起先復習學過的圖形，再在圖形中找角和判斷圖形中是否有角，讓學生在玩中領會到角的知識不是老師一下子變出來的，而是從他們熟知的數學知識中產生出來的。再引導學生說出在家中找到的角和角的知識，引導學生找生活中的角，讓學生明白到角也是來源于生活的。在以上兩個基礎上，鐘老師才以童話形式引導出主題圖，讓學生在角公主的家里把角公主找出來。這樣應用主題圖，改變了以往一開始就出現主題圖的單一方法，而且是在做好充分鋪墊的基礎上出現，讓學生先在心目中形成數學意識和生活意識的角，才引導學生學習角的知識，充分體現了新舊知識的過渡，讓學生在玩中愉快接受。

二、創設了一個童話式的數學世界

鐘老師這節數學課，給聽課的老師和學生創造了一個童話式的數學世界，讓聽課的人感到不是在上課，不是在學枯燥乏味的數學知識，而是在聽鐘老師講一個關于“角公主”的童話，從而使學生充分融入到童話世界中，在聽童話故事的同時，把數學知識也融會貫通了。這種做法非常符合低年級的同學愛聽童話故事的特點。

三、游戲貫穿課堂

整節課，鐘老師充分體現了新課標的理念，讓孩子在玩中學數學，創設了多個游戲，讓游戲貫穿課堂的始終。從課前的小游戲，讓學生根據要求判斷，然后做出拍拍手，跺跺腳，握手祝賀，刮鼻子等動作，符合低年級學生的愛玩愛動的特點，讓學生很快就融入到老師創設的情境中去。在教授新課時鐘老師也設計了“與角公主一起游戲”，“尋找教室里的直角將軍”等游戲，用游戲來應用新學的知識，讓學生在學中玩。在練習鞏固運用新知時，鐘老師更是設計了多樣的游戲，如：和學生一起做“快樂課中操”，讓學生在做操過程中領會到身體中也有角，人的不同動作形成大小不同的角；“聰明小判官”就是通過活動讓學生充分動腦筋想辦法判別兩個角的大小，認識到：“角的大小與邊的長短沒有關系”；“空間想象畫”、“名畫欣賞”、“擺一擺、比一比”、“聰明題”、“彩色圖畫——心中的角王國”等游戲活動，讓學生知游戲中學習，在活動中發展，創新。

四、德育和學科教育很好地結合和滲透

小學生的思想品德教育是無時、無處不在的，鐘老師的這節數學課就是一個很好的證明。在本節課中，鐘老師充分挖掘本節課的德育資源，充分結合本節課的教學內容對學生進行思想品德教育。如：

1、（電腦演示例題3）問：國旗、椅子和運動員身上有角嗎？它們都是什么角？

2、我們的國旗是無數革命先烈用鮮血染紅的，我們要尊敬、愛護國旗。看著鮮艷的五星紅旗，你想對它說些什么呢？

生1：我會對它說：國旗，國旗，我愛你！我一定會好好學習。生2：國旗，你是我們的驕傲！你看見了吧，我是一個好孩子，是媽媽的驕傲。

就能結合國旗中有直角的數學知識對學生進行尊敬、愛護國旗的教育，收到很好的教育效果。

鐘老師的這節課是一節非常成功的課，課的容量非常大，但鐘老師為學生創設了一個童話的數學世界，帶領學生在玩數學中學習新知，學生一點也不覺得累和煩，而是在開心快樂的情境中不知不覺中獲得了新知。把枯燥的數學知識變成生動活潑的學習資源，這正是我們數學老師所要學習的和提高的，這也更有待我們以后的進一步學習和研究

第四篇：角與直角 簡案

《角與直角》

第五篇：角與直角教學反思

《角與直角》教學反思

教學設計思路：

本節課是上海教育出版社出版的上海市九年義務教育課本《數學》二年級第一學期（試用本）P65—66：角與直角。我在設計時主要有以下7個環節：

1、在“通過動手操作，初步認識角。”環節：因為學生生活視角中找到的角其實很多都非數學角，而“實物角”中非“數學角”本質屬性的干擾太多，這不利于幫助學生建立起正確的、清晰地“數學角”的概念。所以，我根據學生的認知情況，通過學生用兩根小棒搭不同的圖形，然后在搭出的角的圖形上描出角，抽象概括出數學圖形“角”的共同特征，幫助學生初步建立角的概念，引發學生勇于探究的興趣。

2、在“觀察看書，知道角的各部分名稱。”環節：通過尋找共同點進一步掌握角的特點，認識角的各部分名稱。角的各部分名稱是數學中規定的，沒必要讓學生探究，通過讓學生自己看書認識角的頂點和邊，培養學生自主學習意識。

3、在“利用所學知識，判斷角”環節：判斷又一次加深了對角的認識。

4、在“聯系生活實際”環節：通過前面的教學環節讓學生在頭腦中初步形成比較準確的數學圖形“角”的概念后，再找一找“生活中的角”，讓學生帶著數學圖形“角：一個頂點兩條邊”的數學眼光，去發現附著在生活中生動、形象、立體的實物上的角。所以接著聯系學生生活實際，幫助學生理解知識，激發興趣、提高認知，培養能力。

5、在“利用三角尺，初步認識直角”環節：采用以老師引導學生對三角尺中一個比較特殊的角的觀察，這樣來認識直角的，從而培養學生動眼觀察與動手操作的能力。

6、在“會找直角，驗證直角”環節：通過學生自主探究學習去完成驗證直角的學習，在學生通過走出座位找教室中的直角和老師創設的情境中，對直角能有較深的認識，從而培養學生自主探究的學習方式。

7、在“動手折直角”環節：創設一個問題情境：在沒有三角尺或本子的情況下，怎么利用一張不規則的紙去測量直角？引發學生思考：如何折直角？學生帶著問題去尋找解決問題的方法就比教師直接要求學生折直角更有利于培養學生自主探究學習的能力。

教學反思：

“角和直角”一課是在學生認識了直線、射線、線段的基礎上展開的。

第一層次是通過學生動手操作、觀察等活動，初步認識角，知道角的各部分名稱。首先我分析了學生的認知情況，如何將生活中的角與平面圖形角建構起來，形成“角”的概念這是很重要的，因此我沒有采用實物引入，而是通過學生用兩根小棒搭不同的圖形，然后在搭出的角的圖形上描出角，抽象出角的平面圖形，初步建立角的概念。然后通過尋找共同點進一步掌握角的特點，認識角的各部分名稱。角的各部分名稱是數學中規定的，沒必要讓學生探究，所以我通過讓學生自己看書認識角的頂點和邊。最后用一組判斷又一次加深了對角的認識。

第二層次是認識直角。通過讓學生觀察生活中的角，引導學生對三角尺中一個比較特殊的角的觀察，這樣來認識直角的。而后的驗證直角主要是通過學生自主學習去完成。在這一層次里還有一個折直角的環節，經再三思考最后我還是把教材中這一內容往后移，在學生驗證完直角，對直角有了一個較深的認識以后，給學生創設一個情境，沒有直角三角尺，也沒有書本，只有這樣一張不規則的紙，怎么用它去測量這些物體的角是不是直角？學生帶著問題去尋找解決問題的方法，這比安排在前面就事論事的折直角要妥當，從中能培養學生自主探究的學習方式。

在課堂實施過程中，結合所跟班的學校上海市長寧實驗小學各位數學老師給我提出的建議，結合本人的反思，我覺得本課存在著這些需要調整的細節問題：

1、在搭圖形——描角——抽象概括出“角”——認識角各部分的名稱后，應當在黑板上板書：角有一個頂點，兩條直邊。以加深學生對角的認識。（我是安排在學生完成判斷題后出示在多媒體課件上，怎樣設計學生對角的印象不深刻）

2、多媒體的制作要更靈活一點。教師為學生提供生活中的物體圖片，讓學生找生活中的角時，學生每找到一個角，多媒體就應該能夠顯示出來。（在備課時我已經想到這一點，但由于本人制作多媒體課件的能力有限，不能達到這個目的。以后需要加強制作多媒體課件的能力。）

3、在利用三角板上的直角去驗證、尋找身邊的直角時，驗證方法一定要指導，或者借助學生錯誤的操作讓學生自我發現、自我糾正。（上課的班級學生能力非常強，表現非常出色，上課時沒有出現錯誤操作，所以我沒有注意到這一點）

4、在認識直角后，可以讓學生摸一摸直角，感知、區分直角的特殊，而不是只讓學生觀察，用口頭表述直角的樣子，因為學生很難用自己的語言表達清楚的。（上課時我讓學生觀察比較后口述直角的樣子，結果學生表達不清楚）