第十七章

勾股定理

單元測試

一、單選題

1．一個直角三角形兩邊長分別是和，則第三邊的長是（）

A．

B．或

C．或

D．

【答案】C

【解析】

記第三邊為c，然后分c為直角三角形的斜邊和直角邊兩種情況，利用勾股定理求解即可．解：記第三邊為c，若c為直角三角形的斜邊，則；

若c為直角三角形的直角邊，則．

故選：C．

【點睛】

本題考查了勾股定理，屬于基本題目，正確分類、熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．

2．△ABC的三邊為a、b、c，由下列條件不能判斷它是直角三角形的是（）

A．∠A:

∠B:

∠C

=3∶4∶5

B．∠A=∠B+∠C

C．a2=(b+c)(b-c)

D．a:b:c

=1∶2∶

【答案】A

【解析】

根據直角三角形的概念，角的特點和勾股定理的逆定理逐一判斷即可．解：根據直角三角形的兩銳角互余，可知180°×=75°＜90°，不是直角三角形，故正確；

根據三角形的內角和定理，根據∠A+∠B+∠C=180°，且∠A=∠B+∠C，可得∠A=90°，是直角三角形，故不正確；

根據平方差公式，化簡原式為a2=b2-c2，即a2+c2=b2，根據勾股定理的逆定理，可知是直角三角形，故不正確；

根據a、b、c的關系，可直接設a=x，b=2x，c=x，可知a2+c2=b2，可以構成直角三角形，故不正確.故選A.【點睛】

此題主要考查了直角三角形的判定，關鍵是根據三角形的兩銳角互余，三角形的內角和定理和勾股定理逆定理進行判斷即可.3．如圖，在直線l上有三個正方形m、q、n，若m、q的面積分別為5和11，則n的面積（）

A．4

B．6

C．16

D．55

【答案】C

【解析】

運用正方形邊長相等，再根據同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，然后證明△ACB≌△DCE，再結合全等三角形的性質和勾股定理來求解即可．解：由于m、q、n都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；

∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，∴∠BAC=∠DCE，且AC=CD，∠ABC=∠DEC=90°

∴△ACB≌△DCE（AAS），∴AB=CE，BC=DE；

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即Sn=Sm+Sq=11+5=16，∴正方形n的面積為16，故選C．

【點睛】

本題主要考查對全等三角形和勾股定理的綜合運用，關鍵是證明三角形全等．

4．若△ABC的三邊長分別為a、b、c且滿足（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0，則△ABC是（）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

首先根據三邊關系，進行轉換得出a2+b2=c2，即可判定△ABC直角三角形.（a+b）（a2+b2﹣c2）=0，∵a+b≠0，∴a2+b2﹣c2=0，即a2+b2=c2，∴△ABC直角三角形，故選：B．

【點睛】

此題主要考查利用三邊關系以及勾股定理逆定理，判定三角形的形狀，熟練掌握，即可解題.5．如圖，在中，平分交于點，平分，交于點，若，則（）

A．75

B．100

C．120

D．125

【答案】B

【解析】

根據角平分線的定義推出△ECF為直角三角形，然后根據勾股定理求得CE2+CF2=EF2．∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．

故選：B

【點睛】

本題考查角平分線的定義，直角三角形的判定以及勾股定理的運用．

6．如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面5m的B處撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部12m的A處，則旗桿折斷部分AB的高度是（）

A．5m

B．12m

C．13m

D．18m

【答案】C

【解析】

直接利用勾股定理即可得．由題意得：

則

故選：C．

【點睛】

本題考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理是解題關鍵．

7．將根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長度hcm，則h的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

【解析】

觀察圖形，找出圖中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．首先根據圓柱的高，知筷子在杯內的最小長度是8cm，則在杯外的最大長度是24-8=16cm；

再根據勾股定理求得筷子在杯內的最大長度是（如圖）AC==17，則在杯外的最小長度是24-17=7cm，所以h的取值范圍是7cm≤h≤16cm，故選C.【點睛】

本題考查了勾股定理的應用，注意此題要求的是筷子露在杯外的取值范圍．主要是根據勾股定理求出筷子在杯內的最大長度．

8．有下面的判斷：

①若△ABC中，a2＋b2≠c2，則△ABC不是直角三角形；

②△ABC是直角三角形，∠C=90°，則a2＋b2=c2；

③若△ABC中，a2－b2=c2，則△ABC是直角三角形；

④若△ABC是直角三角形，則(a＋b)(a－b)=c2.其中判斷正確的有()

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

【答案】B

【解析】

根據勾股定理及其逆定理依次判斷即可解答.①c不一定是斜邊，①錯誤；

②根據勾股定理可得②正確；

③根據勾股定理的逆定理可得③正確；

④若△ABC是直角三角形，a是斜邊，則（a+b）（a-b）=c2，④正確．

共2個正確．

故選B．

【點睛】

本題考查了勾股定理及其逆定理，熟練運用勾股定理及其逆定理是解決問題的關鍵．

9．如圖1，分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為、、；如圖2，分別以直角三角形三個頂點為圓心，三邊長為半徑向外作圓心角相等的扇形，面積分別為、、．其中，，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

如下圖1示，分別用AB、BC和AC表示、、,然后根據勾股定理得出、、的關系，可計算出；同理如下圖2所示，可得出、、的關系，進而計算出，計算即可得出答案.如圖1，，,根據勾股定理，有，∴,如圖2，設圓心角為θ°，，,同理可得,∴

故答案為C.【點睛】

本題主要考查勾股定理與代數求解之間的關系，熟知等邊三角形和扇形的面積公式是解答本題的關鍵.10．如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1，S2，則S1+S2的值為（）

A．16

B．17

C．18

D．19

【答案】B

【解析】

如圖

設正方形S2的邊長為x，根據等腰直角三角形的性質知，AC=BC，BC=CE=CD，∴AC=2CD，CD==2，∴EC2=22+22，即EC=；

∴S2的面積為=8；

∵S1的邊長為3，S1的面積為3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故選B．

11．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，點D是AB的中點，將△ACD沿CD翻折得到△ECD，連接AE，BE，則線段BE的長等于（）

A．

B．

C．

D．2

【答案】A

【解析】

試題解析：如圖延CD交AE與點H，作，垂足為F．

∵在中，∵D為AB的中點，∴AD=BD=DC．

∵

解得

由翻折的性質可知AC=CE，AD=DE，∵

∴

為直角三角形．

故選A．

12．如圖，P為等邊三角形ABC內的一點，且P到三個頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，則△ABC的面積為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

分析：將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，根據旋轉的性質得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，則△BPE為等邊三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延長BP，作AF⊥BP于點F．AP=3，PE=4，根據勾股定理的逆定理可得到△APE為直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度數，在直角△APF中利用三角函數求得AF和PF的長，則在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的長，進而求得三角形ABC的面積．

詳解：∵△ABC為等邊三角形，∴BA=BC，可將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，連EP，且延長BP，作AF⊥BP于點F．如圖，∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE為等邊三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．

∴∠APF=30°，∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=．

∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12．

則△ABC的面積是?AB2=?（25+12）=9+．

故選A．

點睛：本題考查了等邊三角形的判定與性質、勾股定理的逆定理以及旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．

二、填空題

13．己知三角形三邊長分別為，，則此三角形的最大邊上的高等于_____________.【答案】

【解析】

分析：根據勾股定理的逆定理可判斷三角形為直角三角形，然后根據直角三角形的面積求解即可.詳解：∵三角形三邊長分別為，∴

∴三角形是直角三角形

∴

∴高為

故答案為.點睛：此題主要考查了勾股定理的逆定理的應用，利用勾股定理的逆定理判斷此三角形是直角三角形是解題關鍵.14．如圖，滑竿在機械槽內運動，∠ACB為直角，已知滑竿AB長2.5米，頂點A在AC上滑動，量得滑竿下端B距C點的距離為1.5米，當端點B向右移動0.5米時，滑竿頂端A下滑________米．

【答案】0.5

【解析】

結合題意可知AB=DE=2.5米，BC=1.5米，BD=0.5米，∠C=90°，∴AC===2（米）.∵BD=0.5米，∴CD=2米，∴CE===1.5（米），∴AE=AC-EC=0.5（米）．

故答案為0.5.點睛：本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數學的關鍵．

15．如圖，在中，AB=AC=5，BC=6，點M為BC中點，于點N，則MN=____________

【答案】

【解析】

連接AM，根據等腰三角形三線合一的性質得到AM⊥BC，根據勾股定理求得AM的長，再根據直角三角形的面積公式即可求得MN的長．解：連接AM，∵AB＝AC，點M為BC中點，∴AM⊥CM，BM＝CM，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM＝3，在Rt△AMC中，AC＝5，CM＝3，∴根據勾股定理得：AM＝4，又S△AMC＝MN?AC＝AM?CM，∴MN＝．

故答案為：.【點睛】

本題綜合運用了等腰三角形的三線合一，勾股定理．特別注意結論：直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊．

16．如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，正方形A，B，C的面積分別是8cm2，10cm2，14cm2，則正方形D的面積是__________cm2．

【答案】17

【解析】

試題解析：根據勾股定理可知，∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．

∴正方形D的面積=49-8-10-14=17（cm2）.17．如圖，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，請按照圖中所標注的數據，計算圖中實線所圍成的圖形的面積S是___________．

【答案】50

【解析】

易證△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH即可求得AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，即可求得梯形DEFH的面積和△AEF，△ABG，△CGB，△CDH的面積，即可解題．∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°，∴∠BAG=∠AEF，∵在△AEF和△BAG中，∴△AEF≌△BAG，（AAS）

同理△BCG≌△CDH，∴AF=BG=3，AG=EF=6，GC=DH=4，BG=CH=3，∵梯形DEFH的面積=(EF+DH)?FH=80，S△AEF=S△ABG=AF?AE=9，S△BCG=S△CDH=CH?DH=6，∴圖中實線所圍成的圖形的面積S=80-2×9-2×6=50，故答案為：50．

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質，本題中求證△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH是解題的關鍵．

18．在一個長為8分米，寬為5分米，高為7分米的長方體上，截去一個長為6分米，寬為5分米，深為2分米的長方體后，得到一個如圖所示的幾何體．一只螞蟻要從該幾何體的頂點A處，沿著幾何體的表面到幾何體上和A相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是________分米．

【答案】；

13或

【解析】

試題分析：把立體圖展開可得

①

根據側面展開圖可由兩點之間，線段最短，知AB最短，故根據勾股定理可求得AB=13分米；

②根據立體圖形可知把AC，BE向外展開，得到直角邊長為5+1+=7，把中間凹面展開可得到直角邊為6+2+2=10，然后根據勾股定理可求得最短距離為；

③同②的方式，得到兩直角邊分別為11和6，然后根據勾股定理求得最短距離為=．

考點：立體圖形的側面展開圖，兩點之間，線段最短，勾股定理

19．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為20

dm,3

dm,2

dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點的最短路程是__________dm.【答案】25

【解析】

先將圖形平面展開，再用勾股定理根據兩點之間線段最短進行解答即可．如圖所示．

∵三級臺階平面展開圖為長方形，長為20，寬為（2+3）×3，∴螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．

設螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25．

故答案為25．

【點睛】

本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據題意判斷出長方形的長和寬即可解答．

20．如圖，在由單位正方形組成的網格圖中標有AB，CD，EF，GH四條線段，其中能構成一個直角三角形三邊的線段是________．

【答案】AB，EF，GH

【解析】

【解析】

本題應先計算出各線長度，再根據勾股定理逆定理進行判斷．AB2=22+22=8，CD2=42+22=20，EF2=12+22=5，GH2=32+22=13，所以AB2+EF2=GH2．

故其中能構成一個直角三角形三邊的線段是AB，EF，GH．

故答案為：AB，EF，GH．

【點睛】

本題考查勾股定理的逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，已知每條邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．

21．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC

=3，BC

=4，AB=5，BD平分∠ABC，如果M、N分別為BD、BC上的動點，那么CM+MN的最小值是____．

【答案】2.4

【解析】

過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M，過點M作MN⊥BC于N，則CE即為CM＋MN的最小值，再根據三角形的面積公式求出CE的長，即為CM＋MN的最小值．

解：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M，過點M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于點E，MN⊥BC于N，∴MN＝ME，∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN的最小值．

∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴AB?CE＝

BC?AC，即5CE＝3×4

∴CE＝2.4．

即CM＋MN的最小值為2.4．

故答案為2.4

【點睛】

本題考查的知識點是軸對稱－最短路線問題，解題關鍵是畫出符合條件的圖形.22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于點E，交CB于點F，則CF的長是________________.【答案】1.5

【解析】

連接DF，由勾股定理求出AB=5，由等腰三角形的性質得出∠CAF

=∠DAF，由SAS證明△ADF≌△ACF，得出CF=DF，∠ADF=∠ACF=∠BDF=90°，設CF=DF=x，則BF=4-x，在Rt△BDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．連接DF，如圖所示：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理求得AB=5，∵AD=AC=3，AF⊥CD，∴∠CAF

=∠DAF，BD=AB-AD=2，在△ADF和△ACF中，∴△ADF≌△ACF（SAS），∴∠ADF=∠ACF=90°，CF=DF，∴∠BDF=90°，設CF=DF=x，則BF=4-x，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2=BF2，即x2+22=（4-x）2，解得：x=1.5；

∴CF=1.5；

故答案為1.5．

【點睛】

本題考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質，證明△ADF≌△ACF得到CF=DF，在Rt△BDF中利用勾股定理列方程是解決問題的關鍵．

23．已知：如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為A（7，0），C（0，4），點D的坐標為（5，0），點P在BC邊上運動.當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為______________.【答案】(2，4)或（3，4）

【解析】

【解析】

當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，考慮到BD

OA=7，∵D的坐標為（5，0），∴OD=5，∴AD=2，∵四邊形OABC是矩形，∴∠A=90°，∴ＢＤ＝＝２＜５＝ＯＤ，故有三種情況：

OD=PD或OD=OP或者OP=PD，①當OD=PD時，p（2，4）或P（8，4）（舍去）

②當OD=OP時，PC=

=

=3.故此時點P的坐標為（3，4）.③當OP=PD時，P(,4)（舍去）.故答案為：（2，4）或（3，4）．

【點睛】

本題考查了等腰三角形的判定和性質，勾股定理的運用等知識，以及分類討論的數學思想，注意考慮問題要全面.24．在銳角三角形ABC中．BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分別是邊BD，BC上的動點，則CM＋MN的最小值是____．

【答案】4

【解析】

過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M′作M′N′⊥BC于N′，則CE即為CM+MN的最小值，再根據BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由銳角三角函數的定義即可求出CE的長．解：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M′作M′N′⊥BC于N′，則CE即為CM+MN的最小值，∵BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE=BC?cos45°=×=4．

∴CM+MN的最小值為4．

【點睛】

本題考查了軸對稱最短路線問題，難度較大,根據題意作出輔助線，構造出等腰直角三角形，利用銳角三角函數的定義求解是解答此題的關鍵．三、解答題

25．如圖，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中點，MD⊥AB于D，求證：.【答案】見解析

【解析】

連接AM得到三個直角三角形，運用勾股定理分別表示出AD2、AM2、BM2進行代換就可以最后得到所要證明的結果．證明：連接MA，∵MD⊥AB，∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2，∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2

∵M為BC中點，∴BM=MC．

∴AD2=AC2+BD2

【點睛】

本題考查了勾股定理，三次運用勾股定理進行代換計算即可求出結果，另外準確作出輔助線也是正確解出的重要因素．

26．如圖，在△ABC中，CD是AB邊上高，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．

（1）求△ABC的周長．

（2）判斷△ABC的形狀并加以證明．

【答案】（1）60；（2）直角三角形，證明見解析.【解析】

（1）利用勾股定理可求出AC，BC的長，即可求出△ABC的周長；

（2）利用勾股定理的逆定理即可證明．解：（1）∵CD是AB邊上高，∴∠CDA=∠CDB=90°，∴AC==20，BC==15，∵AB=AD+BD=25，∴△ABC的周長=AB+BC+AC=25+20+15=60；

（2）△ABC是直角三角形，理由如下：

202+152=252，即AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．

【點睛】

本題主要考查了勾股定理以及其逆定理的運用；熟練掌握勾股定理與勾股定理的逆定理是解決問題的關鍵．

27．已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．動點P從點A出發，沿AB向點B運動，動點Q從點B出發，沿BC向點C運動，如果動點P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同時出發，設運動時間為t(s)，解答下列問題：

(1)t為______時，△PBQ是等邊三角形？

(2)P，Q在運動過程中，△PBQ的形狀不斷發生變化，當t為何值時，△PBQ是直角三角形？說明理由．

【答案】(1)12；(2)當t為9或時，△PBQ是直角三角形，理由見解析.【解析】

（1）根據等邊三角形的性質解答即可；

（2）分兩種情況利用直角三角形的性質解答即可．(1)要使，△PBQ是等邊三角形，即可得：PB=BQ，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．

∴AB=36cm，可得：PB=36-2t，BQ=t，即36-2t=t，解得：t=12

故答案為；12

(2)當t為9或時，△PBQ是直角三角形，理由如下：

∵∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm

∴AB=2BC=18×2=36(cm)

∵動點P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出發

∴BP=AB-AP=36-2t，BQ=t

∵△PBQ是直角三角形

∴BP=2BQ或BQ=2BP

當BP=2BQ時，36-2t=2t

解得t=9

當BQ=2BP時，t=2(36-2t)

解得t=

所以，當t為9或時，△PBQ是直角三角形．

【點睛】

此題考查了等邊三角形的判定和含30°角的直角三角形的性質，關鍵是含30°角的直角三角形的性質的逆定理解答．

28．如圖，正方形網格MNPQ中，每個小方格的邊長都相等，正方形ABCD的頂點在正方形MNPQ的4條邊的小方格頂點上．

(1)設正方形MNPQ網格內的每個小方格的邊長為1，求：

①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面積；

②正方形ABCD的面積．

(2)設MB＝a，BQ＝b，利用這個圖形中的直角三角形和正方形的面積關系，你能驗證已學過的哪一個數學公式或定理嗎？

【答案】（1）①S△ABQ＝6，S△BCM＝6，S△CDN＝6，S△ADP＝6；②S正方形ABCD＝25；（2）驗證了勾股定理，證明過程詳見解析.【解析】

【解析】

（1）①根據直角三角形的面積公式即可得出結果；

②由題意得出S正方形ABCD=S正方形MNPQ﹣4S△ABQ，即可得出結果；

（2）顯然根據面積能夠驗證勾股定理．（1）①∵網格中每個小正方形的邊長為1，由圖可知AQ=3，BQ=4，∠Q=90°，∴S△ABQAQ?BQ=6；同理S△BCM=S△CDN=S△ADP=6．

②∵MQ=7，∴S正方形MNPQ=72=49，∴S正方形ABCD=S正方形MNPQ﹣4S△ABQ=49﹣4×6=25．

（2）驗證勾股定理．

驗證：在△BCM和△ABQ中，∵BM=AQ，∠M=∠Q，CM=BQ，∴△BCM≌△ABQ（SAS），同理△CDN≌△DAP≌△BCM．

∵S正方形ABCD=S正方形MNPQ﹣4S△ABQ

∴AB2=（a+b）2﹣4ab，即AB2=a2+b2．

設AB=c，得：c2=a2+b2（勾股定理）．

【點睛】

本題考查了勾股定理的證明、正方形的性質以及面積的計算、三角形面積的計算；掌握正方形和三角形面積的計算方法是解決問題的關鍵．

29．如圖(1),在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c，若∠C=90°，則有a2+b2=c2；如圖(2)，△ABC為銳角三角形時，小明猜想a2+b2>c2，理由如下：

設CD=x，在Rt△ADC中，AD2=b2-x2，在Rt△ADB中,AD2=c2-(a-x)2，則b2-x2=c2-(a-x)2，所以a2+b2=c2+2ax，因為a>0，x>0，所以2ax>0，所以a2+b2>c2，所以當△ABC為銳角三角形時a2+b2>c2.所以小明的猜想是正確的.(1)請你猜想,當△ABC為鈍角三角形時，a2+b2與c2的大小關系；

(2)證明你猜想的結論是否正確.【答案】(1)a2+b2

【解析】

（1）根據題意可猜測：當△ABC為鈍角三角形時，a2+b2與c2的大小關系為：a2+b2＜c2；

（2）過點A作AD⊥BC于點D；然后設CD=x，分別在Rt△ADC與Rt△ADB中，表示出AD2，即可證得結論．（1）當△ABC為鈍角三角形時，a2+b2與c2的大小關系為：a2+b2＜c2；

（2）如圖3，過點A作AD⊥BC于點D，設CD=x．

在Rt△ADC中，AD2=b2﹣x2．在Rt△ADB中，AD2=c2﹣（a+x）2，∴b2﹣x2=c2﹣（a+x）2，∴a2+b2=c2﹣2ax．

∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2+b2＜c2，∴當△ABC為鈍角三角形時，a2+b2＜c2．

【點睛】

本題考查了勾股定理．注意理解題意是解答此題的關鍵．

30．如圖①，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1、S2、S3表示，則不難證明S1=S2+S3

.(1)

如圖②，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之間有什么關系？(不必證明)

(2)

如圖③，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你確定S1、S2、S3之間的關系并加以證明；

(3)

若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正多邊形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你猜想S1、S2、S3之間的關系?.【答案】（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3；（3）S1=S2+S3

【解析】

【解析】

（1）根據勾股定理即可得到結論；（2）根據圓的面積公式及勾股定理得出S1、S2、S3之間的關系即可；（3）利用等邊三角形的面積公式以及勾股定理即可得到結論.（1）如圖②，在Rt△ABC中，利用勾股定理得AB2＝AC2＋BC2，即S1＝S2＋S3.（2）如圖①，在Rt△ABC中，利用勾股定理得AB2＝AC2＋BC2，則，故S1＝S2＋S3.（3）如圖③，以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，在Rt△ABC中，利用勾股定理得AB2＝AC2＋BC2，則，故S1＝S2＋S3.【點睛】

本題重點考查了勾股定理，即在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，本題的解題關鍵在于熟練掌握勾股定理的內容，分析題中各面積的關系.31．（1）問題發現：如圖1，△ABC與△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，則線段AE、BD的數量關系為_______，AE、BD所在直線的位置關系為________；

（2）深入探究：在（1）的條件下，若點A，E，D在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，請判斷∠ADB的度數及線段CM，AD，BD之間的數量關系，并說明理由；

（3）解決問題：如圖3，已知△ABC中，AB=7，BC=3，∠ABC=45°，以AC為直角邊作等腰直角△ACD，∠CAD=90°，AC=AD，連接BD，則的長為

．

【答案】（1）相等，垂直；（2）AD=2CM+BD；（3）或7﹣3

【解析】

（1）結論：AE＝BD，AE⊥BD．如圖1中，延長AE交BD于點H，AH交BC于點O．只要證明△ACE≌△BCD（SAS），即可解決問題；

（2）結論：AD＝2CM+BD，只要證明△ACE≌△BCD（SAS），即可解決問題；

（3）分兩種情形分別畫出圖形，構造全等三角形解決問題即可；（1）結論：AE＝BD，AE⊥BD．

理由：如圖1中，延長AE交BD于點H，AH交BC于點O．

∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠BOH+∠CBD＝90°

∴∠AHB＝90°，∴AE⊥BD．

故答案是：AE＝BD，AE⊥BD．

（2）結論：AD＝2CM+BD，理由：如圖2中，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠BDC＝∠AEC＝135°．

∴∠ADB＝∠BDC﹣∠CDE＝135°﹣45°＝90°；

在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM．

∴AD＝DE+AE＝2CM+BD．

（3）情形1：如圖3﹣1中，在△ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，連接EA、EB、EC．

∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，∴△EAC≌△BAD（SAS），∴BD＝CE．

∵AE＝AB＝7，∴BE＝，∠ABE＝∠AEB＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，∴EC＝，∴BD＝CE＝．

情形2：如圖3﹣2中，作AE⊥AB交BC的延長線于E，則△ABE是等腰直角三角形，同法可證：△EAC≌△BAD（SAS），∴BD＝CE，∵AB＝AE＝7，∴BE＝7，∴EC＝BE＝CB＝7﹣3，綜上所述，BD的長為或7﹣3．

【點睛】

考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題.