第一篇：2017-2018學年八年級數學《勾股定理》 單元測試
2017-2018學年八年級數學《勾股定理》 單元測試（1）
一、選擇題（共13小題）
1．如圖，點E在正方形ABCD內，滿足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是（）
A．48 B．60 C．76 D．80 2．如圖是我國古代數學家趙爽在為《周髀算經》作注解時給出的“弦圖”，它解決的數學問題是（）
A．黃金分割 B．垂徑定理 C．勾股定理 D．正弦定理
3．如圖，△ABC中，D為AB中點，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，則BE的長度為何？（）
A．10 B．11 C．12 D．13 4．下列四組線段中，能組成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4
C．a=2，b=4，c=5
D．a=3，b=4，c=5 5．下列各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，6．一直角三角形的兩邊長分別為3和4．則第三邊的長為（）
第1頁（共20頁）
A．5 B． C． D．5或
7．設a、b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6，斜邊長為2.5，則ab的值是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 8．如圖，若∠A=60°，AC=20m，則BC大約是（結果精確到0.1m）（）
A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m 9．如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，點M、N分別在邊AD、BC上，連接BM、DN．若四邊形MBND是菱形，則等于（）
A． B． C． D．
10．如圖，正六邊形ABCDEF中，AB=2，點P是ED的中點，連接AP，則AP的長為（）
A．2 B．4 C． D．
11．如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值（）A．只有1個 B．可以有2個
C．有2個以上，但有限 D．有無數個
12．在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．過點C作直線l∥AB，P為直線l上一點，且AP=AB．則點P到BC所在直線的距離是（）A．1 B．1或 C．1或
D．
或
第2頁（共20頁）
13．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面積是（）
A． B． C．2 D．
二、填空題（共15小題）
14．如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（﹣6，0）、（0，8）．以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交x正半軸于點C，則點C的坐標為 ．
15．在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，點D在BC邊上，連接AD，若tan∠CAD=，則BD的長為 ．
16．我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1））．圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若正方形EFGH的邊長為2，則S1+S2+S3= ．
17．如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于 ．
第3頁（共20頁）
18．如圖，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，則AE= ．
19．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是 ．
20．在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，則邊AC的長為 ．
21．如圖，矩形ABCD中，E是BC的中點，矩形ABCD的周長是20cm，AE=5cm，則AB的長為 cm．
22．如圖，我國古代數學家得出的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構成的大正方形，若小正方形與大正方形的面積之比為1：13，則直角三角形較短的直角邊a與較長的直角邊b的比值為 ．
第4頁（共20頁）
第14章 勾股定理
參考答案與試題解析
一、選擇題（共13小題）
1．如圖，點E在正方形ABCD內，滿足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是（）
A．48 B．60 C．76 D．80 【考點】勾股定理；正方形的性質．
【分析】由已知得△ABE為直角三角形，用勾股定理求正方形的邊長AB，用S陰影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE求面積．
【解答】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100，∴S陰影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE，=AB2﹣×AE×BE =100﹣×6×8 =76． 故選：C．
【點評】本題考查了勾股定理的運用，正方形的性質．關鍵是判斷△ABE為直角三角形，運用勾股定理及面積公式求解．
2．如圖是我國古代數學家趙爽在為《周髀算經》作注解時給出的“弦圖”，它解決的數學問題是（）
第5頁（共20頁）
A．黃金分割 B．垂徑定理 C．勾股定理 D．正弦定理 【考點】勾股定理的證明． 【專題】幾何圖形問題．
【分析】“弦圖”，說明了直角三角形的三邊之間的關系，解決了勾股定理的證明． 【解答】解：“弦圖”，說明了直角三角形的三邊之間的關系，解決的問題是：勾股定理． 故選：C．
【點評】本題考查了勾股定理的證明，勾股定理證明的方法最常用的思路是利用面積證明．
3．如圖，△ABC中，D為AB中點，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，則BE的長度為何？（）
A．10 B．11 C．12 D．13 【考點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線．
【分析】根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質可求出AB的長，再根據勾股定理即可求出BE的長． 【解答】解：∵BE⊥AC，∴△AEB是直角三角形，∵D為AB中點，DE=10，∴AB=20，∵AE=16，∴BE==12，第6頁（共20頁）
故選C．
【點評】本題考查了勾股定理的運用、直角三角形的性質：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，題目的綜合性很好，難度不大．
4．下列四組線段中，能組成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4
C．a=2，b=4，c=5
D．a=3，b=4，c=5 【考點】勾股定理的逆定理．
【分析】根據勾股定理的逆定理對各選項進行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵12+22=5≠32，∴不能構成直角三角形，故本選項錯誤； B、∵22+32=13≠42，∴不能構成直角三角形，故本選項錯誤； C、∵22+42=20≠52，∴不能構成直角三角形，故本選項錯誤； D、∵32+42=25=52，∴能構成直角三角形，故本選項正確． 故選D．
【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關鍵．
5．下列各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，【考點】勾股定理的逆定理．
【分析】根據勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形判定則可．
【解答】解：A、12+22≠32，不能組成直角三角形，故錯誤； B、22+32≠42，不能組成直角三角形，故錯誤； C、42+52≠62，不能組成直角三角形，故錯誤； D、12+（故選D．
【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷．
6．一直角三角形的兩邊長分別為3和4．則第三邊的長為（）
第7頁（共20頁），）2=（）2，能夠組成直角三角形，故正確．
A．5 B． C． D．5或
【考點】勾股定理． 【專題】分類討論．
【分析】本題中沒有指明哪個是直角邊哪個是斜邊，故應該分情況進行分析． 【解答】解：（1）當兩邊均為直角邊時，由勾股定理得，第三邊為5，（2）當4為斜邊時，由勾股定理得，第三邊為故選：D．
【點評】題主要考查學生對勾股定理的運用，注意分情況進行分析．
7．（2013?德宏州）設a、b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6，斜邊長為2.5，則ab的值是（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3，【考點】勾股定理． 【專題】壓軸題．
【分析】由該三角形的周長為6，斜邊長為2.5可知a+b+2.5=6，再根據勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值．
【解答】解：∵三角形的周長為6，斜邊長為2.5，∴a+b+2.5=6，∴a+b=3.5，①
∵a、b是直角三角形的兩條直角邊，∴a2+b2=2.52，② 由①②可得ab=3，故選D．
【點評】本題考查了勾股定理和三角形的周長以及完全平方公式的運用．
8．如圖，若∠A=60°，AC=20m，則BC大約是（結果精確到0.1m）（）
第8頁（共20頁）
A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m 【考點】勾股定理；含30度角的直角三角形．
【分析】首先計算出∠B的度數，再根據直角三角形的性質可得AB=40m，再利用勾股定理計算出BC長即可．
【解答】解：∵∠A=60°，∠C=90°，∴∠B=30°，∴AB=2AC，∵AC=20m，∴AB=40m，∴BC=故選：B．
【點評】此題主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性質，關鍵是掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．
9．如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，點M、N分別在邊AD、BC上，連接BM、DN．若四邊形MBND是菱形，則等于（）=
=
=20
≈34.6（m），A． B． C． D．
【考點】勾股定理；菱形的性質；矩形的性質．
【分析】首先由菱形的四條邊都相等與矩形的四個角是直角，即可得到直角△ABM中三邊的關系． 【解答】解：∵四邊形MBND是菱形，第9頁（共20頁）
∴MD=MB．
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°．
設AB=x，AM=y，則MB=2x﹣y，（x、y均為正數）． 在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=（2x﹣y）2，解得x=y，∴MD=MB=2x﹣y=y，∴==．
故選：C．
【點評】此題考查了菱形與矩形的性質，以及直角三角形中的勾股定理．解此題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用．
10．如圖，正六邊形ABCDEF中，AB=2，點P是ED的中點，連接AP，則AP的長為（）
A．2 B．4 C． D．
【考點】勾股定理．
【分析】連接AE，求出正六邊形的∠F=120°，再求出∠AEF=∠EAF=30°，然后求出∠AEP=90°并求出AE的長，再求出PE的長，最后在Rt△AEP中，利用勾股定理列式進行計算即可得解． 【解答】解：如圖，連接AE，在正六邊形中，∠F=×（6﹣2）?180°=120°，∵AF=EF，∴∠AEF=∠EAF=（180°﹣120°）=30°，∴∠AEP=120°﹣30°=90°，AE=2×2cos30°=2×2×=
2，第10頁（共20頁）
∵點P是ED的中點，∴EP=×2=1，在Rt△AEP中，AP=故選：C．
=
=
．
【點評】本題考查了勾股定理，正六邊形的性質，等腰三角形三線合一的性質，作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．
11．如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值（）A．只有1個 B．可以有2個
C．有2個以上，但有限 D．有無數個 【考點】勾股定理；相似三角形的判定與性質． 【專題】分類討論．
【分析】兩條邊長分別是6和8的直角三角形有兩種可能，即已知邊均為直角邊或者8為斜邊，運用勾股定理分別求出第三邊后，和另外三角形構成相似三角形，利用對應邊成比例即可解答． 【解答】解：根據題意，兩條邊長分別是6和8的直角三角形有兩種可能，一種是6和8為直角邊，那么根據勾股定理可知斜邊為10；另一種可能是6是直角邊，而8是斜邊，那么根據勾股定理可知另一條直角邊為．
所以另一個與它相似的直角三角形也有兩種可能，第一種是第二種是故選：B．
【點評】本題考查了勾股定理和三角形相似的有關知識．本題學生常常漏掉第二種情況，是一道易錯題．
第11頁（共20頁）
，解得x=5；，解得x=
．所以可以有2個．
12．在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．過點C作直線l∥AB，P為直線l上一點，且AP=AB．則點P到BC所在直線的距離是（）A．1 B．1或 C．1或
D．
或
【考點】勾股定理；平行線之間的距離；等腰直角三角形． 【專題】壓軸題．
【分析】如圖，延長AC，做PD⊥BC交點為D，PE⊥AC，交點為E，可得四邊形CDPE是正方形，則CD=DP=PE=EC；等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，所以，可求出BC=1，AB=在直角△AEP中，可運用勾股定理求得DP的長即為點P到BC的距離． 【解答】解：①如圖，延長AC，做PD⊥BC交點為D，PE⊥AC，交點為E，∵CP∥AB，∴∠PCD=∠CBA=45°，∴四邊形CDPE是正方形，則CD=DP=PE=EC，∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=1，AB=AP，∴AB=∴AP=； =，又AB=AP；所以，∴在直角△AEP中，（1+EC）2+EP2=AP2 ∴（1+DP）2+DP2=（解得，DP=
②如圖，延長BC，作PD⊥BC，交點為D，延長CA，作PE⊥CA于點E，同理可證，四邊形CDPE是正方形，∴CD=DP=PE=EC，同理可得，在直角△AEP中，（EC﹣1）2+EP2=AP2，∴（PD﹣1）2+PD2=（解得，PD=故選D．
第12頁（共20頁））2，；）2，；
【點評】本題考查了勾股定理的運用，通過添加輔助線，可將問題轉化到直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了學生的空間想象能力．
13．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面積是（）
A． B． C．2 D．
【考點】勾股定理；含30度角的直角三角形． 【專題】計算題．
【分析】如圖，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F．構建矩形AEFD和直角三角形，通過含30度角的直角三角形的性質求得AE的長度，然后由三角形的面積公式進行解答即可． 【解答】解：如圖，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F．設AB=AD=x． 又∵AD∥BC，∴四邊形AEFD是矩形，∴AD=EF=x．
在Rt△ABE中，∠ABC=60°，則∠BAE=30°，第13頁（共20頁）
∴BE=AB=x，∴DF=AE==x，在Rt△CDF中，∠FCD=30°，則CF=DF?cot30°=x． 又∵BC=6，∴BE+EF+CF=6，即x+x+x=6，解得 x=2 ∴△ACD的面積是： AD?DF=x×故選：A．
x=
×22=，【點評】本題考查了勾股定理，三角形的面積以及含30度角的直角三角形．解題的難點是作出輔助線，構建矩形和直角三角形，目的是求得△ADC的底邊AD以及該邊上的高線DF的長度．
二、填空題（共15小題）
14．如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（﹣6，0）、（0，8）．以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交x正半軸于點C，則點C的坐標為（4，0）．
【考點】勾股定理；坐標與圖形性質．
【分析】首先利用勾股定理求出AB的長，進而得到AC的長，因為OC=AC﹣AO，所以OC求出，繼而求出點C的坐標．
【解答】解：∵點A，B的坐標分別為（﹣6，0）、（0，8），∴AO=6，BO=8，∴AB= =10，第14頁（共20頁）
∵以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，∴AB=AC=10，∴OC=AC﹣AO=4，∵交x正半軸于點C，∴點C的坐標為（4，0），故答案為：（4，0）．
【點評】本題考查了勾股定理的運用、圓的半徑處處相等的性質以及坐標與圖形性質，解題的關鍵是利用勾股定理求出AB的長．
15．在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，點D在BC邊上，連接AD，若tan∠CAD=，則BD的長為 6 ．
【考點】勾股定理；等腰直角三角形；銳角三角函數的定義．
【分析】根據等腰直角三角形的性質可求AC，BC的長，在Rt△ACD中，根據銳角三角函數的定義可求CD的長，BD=BC﹣CD，代入數據計算即可求解． 【解答】解：如圖，∵在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9∴CA2+CB2=AB2，∴CA=CB=9，∵在Rt△ACD中，tan∠CAD=，∴CD=3，∴BD=BC﹣CD=9﹣3=6． 故答案為：6．，【點評】綜合考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理，銳角三角函數的定義，線段的和差關系，難度不大．
16．我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1））．圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若正方形EFGH的邊長為2，則S1+S2+S3= 12 ．
第15頁（共20頁）
【考點】勾股定理的證明．
【分析】根據八個直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=KG，CF=DG=KF，再根據S1=（CG+DG）2，S2=GF2，S3=（KF﹣NF）2，S1+S2+S3=12得出3GF2=12． 【解答】解：∵八個直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG=KG，CF=DG=KF，∴S1=（CG+DG）2 =CG2+DG2+2CG?DG =GF2+2CG?DG，S2=GF2，S3=（KF﹣NF）2=KF2+NF2﹣2KF?NF，∴S1+S2+S3=GF2+2CG?DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF?NF=3GF2=12，故答案是：12．
【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，用到的知識點是勾股定理和正方形、全等三角形的性質，根據已知得出S1+S2+S3=3GF2=12是解題的難點．
17．如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于 6 ．
【考點】勾股定理的證明．
【分析】根據面積的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可． 【解答】解：∵AB=10，EF=2，第16頁（共20頁）
∴大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，∴四個直角三角形面積和為100﹣4=96，設AE為a，DE為b，即4×ab=96，∴2ab=96，a2+b2=100，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，∴a+b=14，∵a﹣b=2，解得：a=8，b=6，∴AE=8，DE=6，∴AH=8﹣2=6． 故答案為：6．
【點評】此題考查勾股定理的證明，關鍵是應用直角三角形中勾股定理的運用解得ab的值．
18．如圖，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，則AE= 3 ．
【考點】勾股定理；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質．
【分析】根據等腰三角形的性質可知：兩腰上的高相等所以AD=BE=4，再利用勾股定理即可求出AE的長．
【解答】解：∵在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，∴AD=BE=4，∵AB=5，∴AE=故答案為：3．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質以及勾股定理的運用，題目比較簡單．
=3，第17頁（共20頁）
19．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是 10 ．
【考點】勾股定理．
【分析】根據正方形的面積公式，結合勾股定理，能夠導出正方形A，B，C，D的面積和即為最大正方形的面積．
【解答】解：根據勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，即S3=2+5+1+2=10． 故答案是：10．
【點評】本題考查了勾股定理的應用．能夠發現正方形A，B，C，D的邊長正好是兩個直角三角形的四條直角邊，根據勾股定理最終能夠證明正方形A，B，C，D的面積和即是最大正方形的面積．
20．在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，則邊AC的長為 2【考點】勾股定理． 【專題】計算題．
【分析】根據勾股定理列式計算即可得解． 【解答】解：∵∠C=90°，AB=7，BC=5，∴AC=故答案為：2
．
=．
=2．
第18頁（共20頁）
【點評】本題考查了勾股定理的應用，是基礎題，作出圖形更形象直觀．
21．如圖，矩形ABCD中，E是BC的中點，矩形ABCD的周長是20cm，AE=5cm，則AB的長為 4 cm．
【考點】勾股定理；矩形的性質．
【分析】設AB=x，則可得BC=10﹣x，BE=BC=即求出了AB的長．
【解答】解：設AB=x，則可得BC=10﹣x，∵E是BC的中點，∴BE=BC=，）2=52，在Rt△ABE中，利用勾股定理可得出x的值，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+（解得：x=4． 即AB的長為4cm． 故答案為：4．
【點評】本題考查了矩形的性質及勾股定理的知識，解答本題的關鍵是表示出AB、BE的長度，利用勾股定理建立方程．
22．如圖，我國古代數學家得出的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構成的大正方形，若小正方形與大正方形的面積之比為1：13，則直角三角形較短的直角邊a與較長的直角邊b的比值為 ．
第19頁（共20頁）
【考點】勾股定理的證明． 【專題】計算題．
【分析】根據勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，即可得到ab的值，然后根據（a+b）2=a2+2ab+b2即可求得（a+b）的值；則易求b：a． 【解答】解：∵小正方形與大正方形的面積之比為1：13，∴設大正方形的面積是13，邊長為c，∴c2=13，∴a2+b2=c2=13，∵直角三角形的面積是
=3，又∵直角三角形的面積是ab=3，∴ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25，∴a+b=5．
∵小正方形的面積為（b﹣a）2=1，∴b=3，a=2，∴=． 故答案是：．
【點評】本題考查了勾股定理以及完全平方公式，正確表示出直角三角形的面積是解題的關鍵．
第20頁（共20頁）
第二篇：八年級數學專題-勾股定理
第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理
第1課時 勾股定理(1)
了解勾股定理的發現過程，理解并掌握勾股定理的內容，會用面積法證明勾股定理，能應用勾股定理進行簡單的計算．
重點
勾股定理的內容和證明及簡單應用．
難點
勾股定理的證明．
一、創設情境，引入新課
讓學生畫一個直角邊分別為3
cm和4
cm的直角△ABC，用刻度尺量出斜邊的長．
再畫一個兩直角邊分別為5和12的直角△ABC，用刻度尺量出斜邊的長．
你是否發現了32＋42與52的關系，52＋122與132的關系，即32＋42＝52，52＋122＝132，那么就有勾2＋股2＝弦2.對于任意的直角三角形也有這個性質嗎？
由一學生朗讀“畢達哥拉斯觀察地面圖案發現勾股定理”的傳說，引導學生觀察身邊的地面圖形，猜想畢達哥拉斯發現了什么？
拼圖實驗，探求新知
1．多媒體課件演示教材第22～23頁圖17.1－2和圖17.1－3，引導學生觀察思考．
2．組織學生小組合作學習．
問題：每組的三個正方形之間有什么關系？試說一說你的想法．
引導學生用拼圖法初步體驗結論．
生：這兩組圖形中，每組的大正方形的面積都等于兩個小正方形的面積和．
師：這只是猜想，一個數學命題的成立，還要經過我們的證明．
歸納驗證，得出定理
(1)猜想：命題1：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.(2)是不是所有的直角三角形都有這樣的特點呢？這就需要對一個一般的直角三角形進行證明．到目前為止，對這個命題的證明已有幾百種之多，下面我們就看一看我國數學家趙爽是怎樣證明這個定理的．
①用多媒體課件演示．
②小組合作探究：
a．以直角三角形ABC的兩條直角邊a，b為邊作兩個正方形，你能通過剪、拼把它拼成弦圖的樣子嗎？
b．它們的面積分別怎樣表示？它們有什么關系？
c．利用學生自己準備的紙張拼一拼，擺一擺，體驗古人趙爽的證法．想一想還有什么方法？
師：通過拼擺，我們證實了命題1的正確性，命題1與直角三角形的邊有關，我國把它稱為勾股定理．
即在我國古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾，長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦．
二、例題講解
【例1】填空題．
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，則c＝________；
(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，則c＝________；
(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，則a＝________，b＝________；
(4)一個直角三角形的三邊為三個連續偶數，則它的三邊長分別為________；
(5)已知等邊三角形的邊長為2
cm，則它的高為________cm，面積為________cm2.【答案】(1)17(2)(3)6 8(4)6，8，10(5)
【例2】已知直角三角形的兩邊長分別為5和12，求第三邊．
分析：已知兩邊中，較大邊12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應分兩種情況分別進行計算．讓學生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想．
【答案】或13
三、鞏固練習
填空題．
在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)如果a＝7，c＝25，則b＝________；
(2)如果∠A＝30°，a＝4，則b＝________；
(3)如果∠A＝45°，a＝3，則c＝________；
(4)如果c＝10，a－b＝2，則b＝________；
(5)如果a，b，c是連續整數，則a＋b＋c＝________；
(6)如果b＝8，a∶c＝3∶5，則c＝________．
【答案】(1)24(2)4(3)3(4)6(5)12
(6)10
四、課堂小結
1．本節課學到了什么數學知識？
2．你了解了勾股定理的發現和驗證方法了嗎？
3．你還有什么困惑？
本節課的設計關注學生是否積極參與探索勾股定理的活動，關注學生能否在活動中積極思考、能夠探索出解決問題的方法，能否進行積極的聯想(數形結合)以及學生能否有條理地表達活動過程和所獲得的結論等．關注學生的拼圖過程，鼓勵學生結合自己所拼得的正方形驗證勾股定理． 第2課時 勾股定理(2)
能將實際問題轉化為直角三角形的數學模型，并能用勾股定理解決簡單的實際問題．
重點
將實際問題轉化為直角三角形模型．
難點
如何用解直角三角形的知識和勾股定理來解決實際問題．
一、復習導入
問題1：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需要多長的梯子？
師生行為：
學生分小組討論，建立直角三角形的數學模型．
教師深入到小組活動中，傾聽學生的想法．
生：根據題意，(如圖)AC是建筑物，則AC＝12
m，BC＝5
m，AB是梯子的長度，所以在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132，則AB＝13
m.所以至少需13
m長的梯子．
師：很好！
由勾股定理可知，已知兩直角邊的長分別為a，b，就可以求出斜邊c的長．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知，已知斜邊與一條直角邊的長，就可以求出另一條直角邊的長，也就是說，在直角三角形中，已知兩邊就可求出第三邊的長．
問題2：一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3
m、寬2.2
m的長方形薄木板能否從門框內通過？為什么？
學生分組討論、交流，教師深入到學生的數學活動中，引導他們發現問題，尋找解決問題的途徑．
生1：從題意可以看出，木板橫著進，豎著進，都不能從門框內通過，只能試試斜著能否通過．
生2：在長方形ABCD中，對角線AC是斜著能通過的最大長度，求出AC，再與木板的寬比較，就能知道木板是否能通過．
師生共析：
解：在Rt△ABC中，根據勾股定理AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.因此AC＝≈2.236.因為AC>木板的寬，所以木板可以從門框內通過．
二、例題講解
【例1】如圖，山坡上兩棵樹之間的坡面距離是4米，則這兩棵樹之間的垂直距離是________米，水平距離是________米．
分析：由∠CAB＝30°易知垂直距離為2米，水平距離是6米．
【答案】2 6
【例2】教材第25頁例2
三、鞏固練習
1．如圖，欲測量松花江的寬度，沿江岸取B，C兩點，在江對岸取一點A，使AC垂直江岸，測得BC＝50米，∠B＝60°，則江面的寬度為________．
【答案】50米
2．某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達地點B
200米，結果他在水中實際游了520米，求該河流的寬度．
【答案】約480
m
四、課堂小結
1．談談自己在這節課的收獲有哪些？會用勾股定理解決簡單的應用題；會構造直角三角形．
2．本節是從實驗問題出發，轉化為直角三角形問題，并用勾股定理完成解答．
這是一節實際應用課，過程中要充分發揮學生的主導性，鼓勵學生動手、動腦，經歷將實際問題轉化為直角三角形的數學模型的過程，激發了學生的學習興趣，鍛煉了學生獨立思考的能力． 第3課時 勾股定理(3)
1．利用勾股定理證明：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．
2．利用勾股定理，能在數軸上找到表示無理數的點．
3．進一步學習將實際問題轉化為直角三角形的數學模型，并能用勾股定理解決簡單的實際問題．
重點
在數軸上尋找表示，，…這樣的表示無理數的點．
難點
利用勾股定理尋找直角三角形中長度為無理數的線段．
一、復習導入
復習勾股定理的內容．
本節課探究勾股定理的綜合應用．
師：在八年級上冊，我們曾經通過畫圖得到結論：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．你們能用勾股定理證明這一結論嗎？
學生思考并獨立完成，教師巡視指導，并總結．
先畫出圖形，再寫出已知、求證如下：
已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求證：△ABC≌△A′B′C′.證明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根據勾股定理，得BC＝，B′C′＝.又AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
師：我們知道數軸上的點有的表示有理數，有的表示無理數，你能在數軸上表示出所對應的點嗎？
教師可指導學生尋找像長度為，，…這樣的包含在直角三角形中的線段．
師：由于要在數軸上表示點到原點的距離為，，…，所以只需畫出長為，，…的線段即可，我們不妨先來畫出長為，，…的線段．
生：長為的線段是直角邊都為1的直角三角形的斜邊，而長為的線段是直角邊為1和2的直角三角形的斜邊．
師：長為的線段能否是直角邊為正整數的直角三角形的斜邊呢？
生：設c＝，兩直角邊長分別為a，b，根據勾股定理a2＋b2＝c2，即a2＋b2＝13.若a，b為正整數，則13必須分解為兩個平方數的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，則a＝2，b＝3，所以長為的線段是直角邊長分別為2，3的直角三角形的斜邊．
師：下面就請同學們在數軸上畫出表示的點．
生：步驟如下：
1．在數軸上找到點A，使OA＝3.2．作直線l垂直于OA，在l上取一點B，使AB＝2.3．以原點O為圓心、以OB為半徑作弧，弧與數軸交于點C，則點C即為表示的點．
二、例題講解
【例1】飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4800米處，過了10秒后，飛機距離這個男孩頭頂5000米，飛機每小時飛行多少千米？
分析：根據題意，可以畫出如圖所示的圖形，A點表示男孩頭頂的位置，C，B點是兩個時刻飛機的位置，∠C是直角，可以用勾股定理來解決這個問題．
解：根據題意，得在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5000米，AC＝4800米．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，即50002＝BC2＋48002，所以BC＝1400米．
飛機飛行1400米用了10秒，那么它1小時飛行的距離為1400×6×60＝504000(米)＝504(千米)，即飛機飛行的速度為504千米/時．
【例2】在平靜的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一陣風吹來，水草被吹到一邊，草尖齊至水面，已知水草移動的水平距離為6分米，問這里的水深是多少？
解：根據題意，得到上圖，其中D是無風時水草的最高點，BC為湖面，AB是一陣風吹過水草的位置，CD＝3分米，CB＝6分米，AD＝AB，BC⊥AD，所以在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋3)2＝AC2＋62，AC2＋6AC＋9＝AC2＋36，∴6AC＝27，AC＝4.5，所以這里的水深為4.5分米．
【例3】在數軸上作出表示的點．
解：以為長的邊可看作兩直角邊分別為4和1的直角三角形的斜邊，因此，在數軸上畫出表示的點，如下圖：
師生行為：
由學生獨立思考完成，教師巡視指導．
此活動中，教師應重點關注以下兩個方面：
①學生能否積極主動地思考問題；
②能否找到斜邊為，另外兩條直角邊為整數的直角三角形．
三、課堂小結
1．進一步鞏固、掌握并熟練運用勾股定理解決直角三角形問題．
2．你對本節內容有哪些認識？會利用勾股定理得到一些無理數，并理解數軸上的點與實數一一對應．
本節課的教學中，在培養邏輯推理的能力方面，做了認真的考慮和精心的設計，把推理證明作為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續，注重數學與生活的聯系，從學生的認知規律和接受水平出發，這些理念貫徹到課堂教學當中，很好地激發了學生學習數學的興趣，培養了學生善于提出問題、敢于提出問題、解決問題的能力．
17.2 勾股定理的逆定理
第1課時 勾股定理的逆定理(1)
1．掌握直角三角形的判別條件．
2．熟記一些勾股數．
3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
重點
探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命題、原命題、逆命題的有關概念及關系．
難點
歸納猜想出命題2的結論．
一、復習導入
活動探究
(1)總結直角三角形有哪些性質；
(2)一個三角形滿足什么條件時才能是直角三角形？
生：直角三角形有如下性質：(1)有一個角是直角；(2)兩個銳角互余；(3)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所對的直角邊是斜邊的一半．
師：那么一個三角形滿足什么條件時，才能是直角三角形呢？
生1：如果三角形有一個內角是90°，那么這個三角形就為直角三角形．
生2：如果一個三角形，有兩個角的和是90°，那么這個三角形也是直角三角形．
師：前面我們剛學習了勾股定理，知道一個直角三角形的兩直角邊a，b與斜邊c具有一定的數量關系即a2＋b2＝c2，我們是否可以不用角，而用三角形三邊的關系來判定它是否為直角三角形呢？我們來看一下古埃及人是如何做的？
問題：據說古埃及人用下圖的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結，然后以3個結、4個結、5個結的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角．
這個問題意味著，如果圍成的三角形的三邊長分別為3，4，5，有下面的關系：32＋42＝52，那么圍成的三角形是直角三角形．
畫畫看，如果三角形的三邊長分別為2.5
cm，6
cm，6.5
cm，有下面的關系：2.52＋62＝6.52，畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為4
cm，7.5
cm，8.5
cm，再試一試．
生1：我們不難發現上圖中，第1個結到第4個結是3個單位長度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5.因為32＋42＝52，所以我們圍成的三角形是直角三角形．
生2：如果三角形的三邊長分別是2.5
cm，6
cm，6.5
cm.我們用尺規作圖的方法作此三角形，經過測量后，發現6.5
cm的邊所對的角是直角，并且2.52＋62＝6.52.再換成三邊長分別為4
cm，7.5
cm，8.5
cm的三角形，可以發現8.5
cm的邊所對的角是直角，且有42＋7.52＝8.52.師：很好！我們通過實際操作，猜想結論．
命題2 如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．
再看下面的命題：
命題1 如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.它們的題設和結論各有何關系？
師：我們可以看到命題2與命題1的題設、結論正好相反，我們把像這樣的兩個命題叫做互逆命題．如果把其中的一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題．例如把命題1當成原命題，那么命題2是命題1的逆命題．
二、例題講解
【例1】說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？
(1)同旁內角互補，兩條直線平行；
(2)如果兩個實數的平方相等，那么這兩個實數相等；
(3)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；
(4)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．
分析：(1)每個命題都有逆命題，說逆命題時注意將題設和結論調換即可，但要分清題設和結論，并注意語言的運用；
(2)理順它們之間的關系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真一假，還可能都假．
解略．
三、鞏固練習
教材第33頁練習第2題．
四、課堂小結
師：通過這節課的學習，你對本節內容有哪些認識？
學生發言，教師點評．
本節課的教學設計中，將教學內容精簡化，實行分層教學．根據學生原有的認知結構，讓學生更好地體會分割的思想．設計的題型前后呼應，使知識有序推進，有助于學生理解和掌握；讓學生通過合作、交流、反思、感悟的過程，激發學生探究新知的興趣，感受探索、合作的樂趣，并從中獲得成功的體驗，真正體現學生是學習的主人．將目標分層后，滿足不同層次學生的做題要求，達到鞏固課堂知識的目的．
第2課時 勾股定理的逆定理(2)
1．理解并掌握證明勾股定理的逆定理的方法．
2．理解逆定理、互逆定理的概念．
重點
勾股定理的逆定理的證明及互逆定理的概念．
難點
理解互逆定理的概念．
一、復習導入
師：我們學過的勾股定理的內容是什么？
生：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.師：根據上節課學過的內容，我們得到了勾股定理逆命題的內容：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．
師：命題2是命題1的逆命題，命題1我們已證明過它的正確性，命題2正確嗎？如何證明呢？
師生行為：
讓學生試著尋找解題思路，教師可引導學生理清證明的思路．
師：△ABC的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2.如果△ABC是直角三角形，它應與直角邊是a，b的直角三角形全等，實際情況是這樣嗎？
我們畫一個直角三角形A′B′C′，使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90°(如圖)，把畫好的△A′B′C′剪下，放在△ABC上，它們重合嗎？
生：我們所畫的Rt△A′B′C′，(A′B′)2＝a2＋b2，又因為c2＝a2＋b2，所以(A′B′)2＝c2，即A′B′＝c.△ABC和△A′B′C′三邊對應相等，所以兩個三角形全等，∠C＝∠C′＝90°，所以△ABC為直角三角形．
即命題2是正確的．
師：很好！我們證明了命題2是正確的，那么命題2就成為一個定理．由于命題1證明正確以后稱為勾股定理，命題2又是命題1的逆命題，在此，我們就稱定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理稱為互逆定理．
師：但是不是原命題成立，逆命題一定成立呢？
生：不一定，如命題“對頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個角相等，那么它們是對頂角”不成立．
師：你還能舉出類似的例子嗎？
生：例如原命題：如果兩個實數相等，那么它們的絕對值也相等．
逆命題：如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個實數相等．
顯然原命題成立，而逆命題不一定成立．
二、新課教授
【例1】教材第32頁例1
【例2】教材第33頁例2
【例3】一個零件的形狀如圖所示，按規定這個零件中∠A和∠DBC都應為直角．工人師傅量出了這個零件各邊的尺寸，那么這個零件符合要求嗎？
分析：這是一個利用直角三角形的判定條件解決實際問題的例子．
解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．
在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．
因此這個零件符合要求．
三、鞏固練習
1．小強在操場上向東走80
m后，又走了60
m，再走100
m回到原地．小強在操場上向東走了80
m后，又走60
m的方向是________．
【答案】向正南或正北
2．如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A，B兩個基地前去攔截，6分鐘后同時到達C地將其攔截．已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西40°，求甲巡邏艇的航向．
【答案】解：由題意可知：AC＝120×6×＝12，BC＝50×6×＝5，122＋52＝132.又AB＝13，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠CAB＝40°，航向為北偏東50°.四、課堂小結
1．同學們對本節的內容有哪些認識？
2．勾股定理的逆定理及其應用，熟記幾組勾股數．
本節課我采用以學生為主體，引導發現、操作探究的教學設計，符合學生的認知規律和認知水平，最大限度地調動了學生學習的積極性，有利于培養學生動手、觀察、分析、猜想、驗證、推理的能力，切實使學生在獲取知識的過程中得到能力的培養．
第三篇：八年級數學第十七章勾股定理單元測試-常考試題
人教版八年級數學下冊第十七章
勾股定理
單元測試-常考試題
一、選擇題（每小題5分，共40分）
1.下列說法正確的是（）
A.若a，b，c是△ABC的三邊，則a2
+
b2
=
c2
B.若a，b，c是Rt△ABC的三邊，則a2
+
b2
=
c2
C.若a，b，c是Rt△ABC的三邊，∠A
=
90°，則a2
+
b2
=
c2
D.若a，b，c是Rt△ABC的三邊，∠A
=
90°，則c2
+
b2
=
a2
2.如圖，做一個長80厘米、寬60厘米的長方形木框，需在相對角的頂點釘一根加固木條，則木條的長為（）
A.90厘米
B.100厘米
C.105厘米
D.110厘米
3.下列幾組數中，為勾股數的一組是（）
A.0.3，0.5，0.4
B.-
15，8，7
C.21，45，20
D.15，20，25
4.歷史上對勾股定理的一種證法采用了下列圖形:其中兩個全等的直角三角形邊AE，EB在一條直線上.證明中用到的面積相等關系是（）
A.S△EDA=
S△CEB
B.S△EDA
+
S△CEB
=
S△CDE
C.S四邊形CDAB
=
S四邊形CDEB
D.S△EDA
+
S△GDE
+
S△CEB
=
S四邊形ABCD
5.滿足下列條件的△ABC，不是直角三角形的是（）
A.b2
=
c2
a2
B.a:b:c
=
3:4:5
C.∠C
=
∠A
∠B
D.∠A:∠B:∠C
=
7:24:25
6.如圖，若∠BAD
=
∠DBC
=
90°，AB
=
3，AD
=
4，BC
=
12，則CD
=
（）
A.5
B.13
C.17
D.18
7.一個圓柱形的油桶高120
cm，底面直徑為50
cm，則桶內所能容下的最長的木棒長為（）
A.5
cm
B.100
cm
C.120
cm
D.130
cm
8.如圖，若圓柱的底面周長是30
cm，高是40
cm，從圓柱底部A處沿側面纏繞一圈絲線到頂部B處作裝飾，則這條絲線的最小長度是（）
A.80
cm
B.70
cm
C.60
cm
D.50
cm
二、填空題（每小題5分，共30分）
9.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c且b2
a2
=
c2，則
_________
是直角.10.如圖，在長方形紙片ABCD中，AB
=
4，BC
=
6.將△ABC沿AC折疊，使點B落在點E處，CE交AD于點F，則DF的長等于_________.11.某天我國海監船駛向釣魚島海域執法時，海監船甲以15海里/時的速度離開港口向北航行，海監船乙同時以20海里/時的速度離開港口向東航行，則它們離開港口2小時后相距
_________
海里.12.小紅要求△ABC中最長邊上的高，測得AB
=
cm，AC
=
cm，BC
=
cm，則可知最長邊上的高是
_________
.13.一漁船從點A出發，向正北方向航行5千米到B點，然后從B點向正東方向航行12千米至C點，則AC長為
_________千米.14.如圖，長方體的高為3
cm，底面是正方形，邊長為2
cm，現有一蒼蠅從A點出發，沿長方體的表面到達C點處，則蒼蠅所經過的最短距離為
_________
.三、解答題（7
+
+
+
=
30分）
15.已知等腰三角形的底邊長為6，底邊上的中線長為4，求等腰三角形的腰長.16.如圖所示是一農民建房時挖出地基的平面圖，按標準為長方形，挖完后測得AB
=
CD
=
m，AD
=
BC
=
m，對角線AC
=
9.2
m，請你幫他判斷一下挖的地基是否合格，并說明理由.17.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且滿足c
+
a
=
2b，c
a
=
b，則△ABC是直角三角形嗎?為什么?
18.《中華人民共和國道路交通安全法》規定:小汽車在城市道路上行駛速度不得超過70
km/h.如圖，一輛小汽車在一條城市道路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀的正前方30
m處，過了2s后，測得小汽車與車速檢測儀間距離為50
m.這輛小汽車超速了嗎?
第四篇：八年級數學勾股定理7
18．1 勾股定理
（二）教學時間 第二課時
三維目標
一、知識與技能
1．掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法． 2．運用勾股定理解決一些實際問題．
二、過程與方法
1．經歷用拼圖的方法驗證勾股定理，?培養學生的創新能力和解決實際問題的能力． 2．在拼圖的過程中，鼓勵學生大膽聯想，培養學生數形結合的意識．
三、情感態度與價值觀
1．利用拼圖的方法驗證勾股定理，是我國古代數學家的一大貢獻，?借助此過程對學生進行愛國主義的教育．
2．經歷拼圖的過程，并從中獲得學習數學的快樂，提高學習數學的興趣．
教學重點
經歷用不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程，體驗解決同一問題方法的多樣性，進一步體會勾股定理的文化價值．
教學難點 經歷用不同的拼圖方法證明勾股定理．
教具準備 每個學生準備一張硬紙板;多媒體課件演示．
教學過程
一、創設問題情境，引入新課
活動1 問題：我們曾學習過整式的運算，其中平方差公式（a+b）（a-b）=a-b；完全平方公式（a±b）=a±2ab+b是非常重要的內容．?誰還能記得當時這兩個公式是如何推出的？
設計意圖：
回憶前面的知識，由此得出用拼圖的方法推證數學結論非常直觀，上節課已經通過數格子的方法大膽猜想出了一個命題：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．但我們不能對所有的直角三角形一一驗證，因此需從理論上加以推證，學生也許會從此活動中得到啟示，采用類似拼圖的方法證明．
師生行為：
學生動手活動，分組操作，然后在組內交流． 22
222 教師深入小組參與活動，傾聽學生的交流，并幫助、指導學生完成任務，得出兩個公式的幾何意義．
在活動1中教師應重點關注：
①學生能否積極主動地參與活動；
②學生能否想到用拼圖的方法，通過計算拼圖的面積而得出兩個公式的幾何意義；
③學生能否從這兩個公式的幾何意義聯想到直角三角形的三邊關系是否也可以類似證明．
生：這兩個公式都可以用多項式乘以多項式的乘法法則推導，如下：
（a+b）（a-b）=a-ab+ab-b=a-b，所以（a+b）（a-b）=a-b；
（a+b）=（a+b）（a+b）=a+ab+ab+b=a+2ab+b；
（a-b）=（a-b）（a-b）=a-ab-ab+b=a-2ab+b；
所以（a±b）=a±2ab+b．
生：還可以用拼圖的方法說明上面的公式成立．例如： 2
222
(1)(2)圖（1）中，陰影部分的面積為a-b，用剪刀將（1）中的長和寬分別為（a-b）和b?的長方形剪下來拼接成圖（2）的形式便可得圖（2）中陰影部分的面積為（a+b）（a-b）．?而這兩部分面積是相等的，因此（a+b）（a-b）=a-b成立．
生：（a+b）=a+2ab+b也可以用拼圖的方法，通過計算面積證明，如圖: 22
(3)
我們用兩個邊長分別為a和b的正方形，兩個長和寬分別a和b?的長方形拼成一個邊長為（a+b）的正方形，因此這個正方形的面積為（a+b），也可以表示為a+2ab+b，所以可得（a+b）=a+2ab+b．
師：你能類似的方法證明上一節猜想出的命題嗎？
二、探索研究
活動2 我們已用數格子的方法發現了直角三角形三邊關系，拼一拼，完成下列問題：
（1）在一張紙上畫4個與圖（4）全等的直角三角形，并把它們剪下來． 22
2222
(4)(5)
（2）用這4個直角三角形拼一拼，擺一擺，看能否得到一個含有以斜邊c?為邊長的正方形，你能利用拼圖的方法，面積之間的關系說明上節課關于直角三角形三邊關系的猜想嗎？
（3）有人利用圖（4）這4個直角三角形拼出了圖（5），?你能用兩種方法表示大正方形的面積嗎？
大正方形的面積可以表示為：__________，又可以表示為__________．
對比兩種表示方法，你得到直角三角形的三邊關系了嗎？
設計意圖：
讓學生通過拼圖計算面積的方法證明直角三角形的三邊關系，培養學生的動手操作能力和創新意識．
師生行為：
學生在獨立思考的基礎上，以小組為單位交流自己拼圖的結果．
教師深入小組參與活動，傾聽學生的交流，并幫助、指導學生完成任務，用計算面積的方法比較得出直角三角形的三邊關系．
在本次活動中，教師應關注：
①能否通過拼圖計算面積的方法得到直角三角形的三邊關系． ②學生能否積極主動地參與拼圖活動．
生：我也拼出了圖（5），而且圖（5）用兩種方法表示大正方形的面積分別為
（a+b）或43 化簡得：a+b=c．
由于圖（4）的直角三角形是任意的，因此a+b=c，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
生：我拼出了和這個同學不一樣的圖，如圖（6）大正方形的邊長是c，?小正方形的邊長為a-b，利用這個圖形也可以說明勾股定理．?因為大正方形的面積也有兩種表示方法，既可以表示為c，又可以表示為
222
22222
11222
ab+c，由此可得（a+b）=43ab+c． 2212
ab34+（b-a）．對比兩種表示方法可得 2c=212222
ab34+（b-a）．化簡得c=a+b，2同樣得到了直角三角形的三邊關系．
(6)
師：這樣就通過推理證實了命題1的正確性，?我們把經過證明被確定為正確的命題叫做定理．命題1與直角三角形的邊有關，我國把它稱為勾股定理．
我國古代的學者們對勾股定理的研究有許多重要成就，不僅在很久以前獨立地發現了勾股定理，而且使用了許多巧妙的方法證明了它為了弘揚我國古人趙爽的證法，大家從中一定會領略到我國古代數學家的智慧．
活動3 圖（6）這個圖案和3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的圖案一模一樣，人們稱它為“趙爽弦圖”，趙爽利用弦圖證明命題1?（即勾股定理）的基本思路如下，如圖（7）．
把邊長為a，b的兩個正方形連在一起，它的面積為a+b，另一方面這個圖形由四個全等的直角三角形和一個正方形組成．把圖（7）中左、右兩個三角形移到圖（9）所示的位置，就會形成一個c為邊長的正方形．
因為圖（7）與圖（9）都是由四個全等的直角三角形和一個正方形組成，所以它們的面積相等．
因此a+b=c．
上面的證法是我國有資料記載的對勾股定理的最早證法．“趙爽弦圖”表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智．它是我國古代數學的驕傲．正因如此，這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數學家大會的會徽．
設計意圖：
了解我國古代數學成就，為我國數學未來的發展立志作出貢獻，培養學生的愛國主義精神．
師生行為：
在教師的引導下進一步體會我國古代數學家證明勾股定理的聰明、智慧．
師：在所有的幾何定理中，勾股定理的證明方法也許是最多的．在西方，一般認為這個定理是由畢達哥拉斯發現的，所以人們稱這個定理為畢達哥拉斯定理．
1940年，國外有人收集了勾股定理的365種證法，編了一本書．其實，?勾股定理的證法不止這些，作者之所以選用了365種，也許他是默默地想讓人注意，?勾股定理的證明簡直到了每天一種的地步．
生：老師，我在查資料時，還發現勾股定理的證明還和美國的一個總統有關系，是這樣22
222嗎？
師：是的．1876年4月1日，美國俄亥俄州共和黨議員加菲爾德，頗有興趣地在《新英格蘭教育日志》上發表了提出的一個勾股定理的證明．據他說，這是一種思維體操，并且還調皮地聲稱，他的這個證明是得到兩黨議員“一致贊同的”．由于1881年加菲爾德當上了美國第二十屆總統，這樣，他曾提出的那個證明也就成了數學史上的一段佳話．
生：能給我們介紹一下這位總統的證明方法嗎？
師：可以，如下圖所示，這就是這位總統用兩個全等的直角三角形拼出的圖形，和第一個同學用全等的四個直角三角形拼出來的圖形對比一下，有聯系．
生：總統拼出的圖形恰好是第一個同學拼出的大正方形的一半．
師：同學們不妨自己從上圖中推導出勾股定理．
生：上面的圖形整體上拼成一個直有梯形．所以它的面積有兩種表示方法，既可以表示為112（a+b）2（a+b），又可以表示為ab32+c．對此兩種表示方法可得 22112222（a+b）2（a+b）=ab32+c．化簡，可得a+b=c． 22 師：很好．同學們如果感興趣的話，不妨自己也去尋找幾種證明勾股定理的方法．
活動4
議一議：
觀察上圖，用數格子的方法判斷圖中兩個三角形的三邊關系是否滿足a+b=c．
2設計意圖：
前面已經討論了直角三角形三邊滿足的關系，那么銳角三角形或鈍角三角形三邊是否也滿足這一關系呢？學生通過數格子的方法可以得出：如果一個三角形不是直角三角形，那么它的三邊a，b，c不滿足a+b=c．通過這個結論，學生將對直角三角形的三邊的關系有進一步的認識．
師生行為：
學生分小組討論交流，得出結論：
教師提出問題后，組織討論，啟發，引導．
此活動教師應重點關注：
①能否積極參與數學活動；
②能否進一步體會到直角三角形非常重要的三邊關系．
師：上圖中的△ABC和△A′B′C′是什么三角形？
生：△ABC，△A′B′C′在小方格紙上，不難看出△ABC中，∠BCA>90°；△A′B′C′中，∠A′B′C′，∠′B′C′A′，∠B′A′C′都是銳角，所以△ABC是鈍角三角形，△A′B′C′是銳角三角形．
師：△ABC的三邊上“長”出三個正方形，?誰為幫我數一個每個正方形含有幾個小格子．
生：以b為邊長的正方形含有9個小格子，所以這個正方形的面積b=9?個單位面積；以a為邊長的正方形中含有8個小格子，所以這個正方形的面積a=8個單位面積，以c為邊長的正方形中含有29個小格子，所以這個正方形的面積c=29個單位面積．
a+b=9+7=16個單位面積，c=29個單位面積，所以在鈍角三角形ABC中a+b≠c．
師：銳角三角形A′B′C′中，如何呢？
生：以a為邊長的正方形含5個小格子，所以a=5個單位面積；以b為邊長的正方形含有8個小格子，所以b=8個單位面積；以c為邊長的正方形含9個小格子，所以a=9個單位面積．由此我們可以算出a+b=5+8=13個單位面積．在銳角三角形A′B′C′中，a+b≠c．
師：通過對上面兩個圖形的討論可進一步認識到只有在直角三角形中，a，b，?c三邊才有a+b=c（其中a、b是直角邊，c為斜邊）這樣的關系．
生：老師，我發現在鈍角三角形ABC中，雖然a+b≠c，但它們之間也有一種關系a+b
222
2222222
222
2師：這位同學很善于思考，的確如此，同學們課后不妨驗證一下，你一定會收獲不小．
三、課時小結
活動5 你對本節內容有哪些認識？會構造直角三角形，并理解構造原理，深刻理解勾股定理的意義．
設計意圖：
這種形式的小結，激發了學生的主動參與意識，調動了學生的學習興趣，為每一位學生都創造了在數學學習活動中獲得成功的體驗機會，并為程度不同的學生提供了充分展示自己的機會，尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需要，從而使小結活動不流于形式而具有實效性，為學生提供更好的空間以梳理自己在本節課中的收獲．
小結活動既要注重引導學生體會勾股定理獨特的證明方法又要從能力，情感態度方面關注學生對課堂的整體感受．
師生行為：
由學生小組討論小結．
在活動5中，教師應重點關注：
（1）不同層次的學生對本節知識的認同程序；
（2）學生要從我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智中得到啟示，?樹立學好數學的信心．
板書設計
18．1 勾股定理
（二）1．用拼圖法驗證勾股定理
（1）
由上圖得（a+b）= 即a+b=c； 222
212
ab34+c 2（2）
由上圖可得c= 即a+b=c
2．介紹“趙爽弦圖”
活動與探究
如右圖，木長二丈，它的一周是3尺，生長在木下的葛藤纏木七周，?上端恰好與木劉，問葛藤長多少？
過程：從表面上看，這道題與勾股定理無關系．但是如果你用一張直角三角形的紙片約一支圓柱形鉛筆上纏繞，就會發現；這里的葛藤之長相當于直角三角形的斜邊．
結果：根據題意，可得一條直角邊（即高）長2丈即20尺，?另一條直角邊（即底邊）長733=21（尺），因此葛藤長設為x尺，則有x=20+21=841=29，所以x=29?尺，即葛藤長為29尺．
備課資料
一、《原本》一書中勾股定理的證明
我們知道，勾股定理的證明方法有五百余種．現存的最古老的證明，載于歐幾里得的《原本》一書中，它隨《原本》在世界廣泛流傳而流傳，成為二千年來《幾何學》教科書中通用證法．
如圖，在Rt△ABC各邊上向外作正方形ABED，BCGK，CAFH．連結CD，FB．
因為AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠CAD=90°+∠CAB，所以△FAB≌△CAD，作CL∥AD．?因為S△FAB=
2222212ab34+（b-a）21FA2FH．（FH為△FAB的AF邊上的高）． 2而S正方形CAFH=FA2FH．所以S正方形CAFH=2S△FAB．
又因為S△CAD =1AD2DL（DL為AD邊上的高），而S長方形ADLM=AD2DL，2所以S長方形ADLM=2S△CAD；
綜上所述，可得S正方形CAFH=S長方形ADLM．
同理可證S正方形BCGK=S長方形BELM，所以S正方形ABED=S長方形ADLM+S長方形BELM=S正方形CAFH+S正方形BCGK，即AB=AC+BC．
其實，歐幾里得《原本》中的證明并不簡單，簡明的證明要數公元三世紀我國數學家趙爽給出的勾股圓方圖．即這節課我們介紹的驗證勾股定理的第二種拼圖．
二、勾股定理的推廣
如果把勾股定理“直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和”中的平方，理解為正方形的面積，那么從面積的角度來說，勾股定理還可以推廣．比如，把由直角三角形三邊所構作的三個正方形，推廣為以三邊為直徑的半圓，結論仍然成立，即以斜邊為直徑的半圓，其面積等于分別以兩條直角邊為直徑所作的半圓的面積之和（如圖）．證明如下：
?2?2?2
c=a+b 444c2a2b2 即?（）＝?（）＋?（）．
222 因為c=a+b．等式兩邊同乘，得222 所以111cab?（）2＝?（）2＋?（）2． 222222 如果將上圖中斜邊上的半圓沿斜邊翻一個身，成為右圖的樣子，不難證明“兩個陰影部分的面積之和正好等于直角三角形的面積．”
這兩個陰影部分在數學史上稱為“希波克拉底月牙形”．
第五篇：人教版八年級數學 勾股定理說課稿
《勾股定理》的說課稿
尊敬的各位評委、各位教師：
你們好！今天我說課的課題是《勾股定理》。本課選自九年義務教育人教版八年級下冊初中數學第十八章第一節的第一課時。
下面我從教學背景分析與處理、教學策略、教學流程等方面對本課的設計進行說明。
一、教學背景分析
1、教材分析
本節課是學生在已經掌握了直角三角形有關性質的基礎上進行學習的，通過2002年國際數學家大會的會徽圖案，引入勾股定理，進而探索直角三角形三邊的數量關系，并應用它解決問題。學好本節不僅為下節勾股定理的逆定理打下良好基礎，而且為今后學習解直角三角形奠定基礎,在實際生活中用途很大。勾股定理是直角三角形的一條非常重要的性質，是幾何中一個非常重要的定理，它揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，將數與形密切地聯系起來，它有著豐富的歷史背景，在理論上占有重要的地位。
2、學情分析
通過前面的學習，學生已具備一些平面幾何的知識，能夠進行一般的推理和論證，但如何通過拼圖來證明勾股定理，學生對這種解決問題的途徑還比較陌生，存在一定的難度，因此，我采用直觀教具、多媒體等手段，讓學生動手、動口、動腦，化難為易，深入淺出，讓學生感受學習知識的樂趣。
3、教學目標：
根據八年級學生的認知水平，依據新課程標準和教學大綱的要求，我制定了如下的教學目標：
知識與能力：了解勾股定理的發現過程，掌握勾股定理的內容，會用面積法證明勾股定理；培養在實際生活中發現問題總結規律的意識和能力．
過程與方法：通過創設情境，導入新課，引導學生探索勾股定理，并應用它解決問題，運用了觀察、演示、實驗、操作等方法學習新知。
情感態度價值觀：感受數學文化，激發學生學習的熱情，體驗合作學習成功的喜悅，滲透數形結合的思想。
4、教學重點、難點
通過分析可見，勾股定理是平面幾何的重要定理，有著承上啟下 的作用，在今后的生活實踐中有著廣泛應用。因此我確定本課的教學 重點為探索和證明勾股定理．
由于定理證明的關鍵是通過拼圖，使學生利用面積相等對勾股定 理進行證明，而如何拼圖，對學生來說有一定難度，為此我確定本課 的教學難點為用拼圖的方法來證明勾股定理．
二、教材處理
根據學生情況，為有效培養學生能力，在教學過程中，以創設問題情境為先導，我運用了直觀教具、多媒體等手段，激發學生學習興趣，調動學生學習積極性，并開展以探究活動為主的教學模式，邊設疑，邊講解，邊操作，邊討論，啟發學生提出問題，分析問題，進而解決問題，以達到突出重點，攻破難點的目的。
三、教學策略
1、教法
“教必有法，而教無定法”，只有方法恰當，才會有效。根據本課內容特點和八年級學生思維活動特點，我采用了引導發現教學法，合作探究教學法，逐步滲透教學法和師生共研相結合的方法。
2、學法
“授人以魚，不如授人以漁”，通過設計問題序列，引導學生主動探究新知，合作交流，體現學習的自主性，從不同層次發掘不同學生的不同能力，從而達到發展學生思維能力的目的，發掘學生的創新精神。
3、教學手段
充分利用多媒體，提高教學效率，增大教學容量；通過動態的演示，激發學生學習興趣，啟迪學生思維的發展；通過直觀教具，進行拼圖實驗，調動學生學習的積極性，培養學生思維的廣闊性。
4、教學模式
根據新課標要求，要積極倡導自主、合作、探究的學習方式，我采用了創設情境——探究新知——反饋訓練的教學模式，使學生獲取知識，提高素質能力。
四、教學流程
（一）創設情境，引入新課
我利用多媒體課件，給學生出示2002年國際數學家大會的場面，通過觀察會徽圖案，提出問題：你見過這個圖案嗎？你聽說過勾股定理嗎？從現實生活中提出趙爽弦圖，激發學生學習的熱情和求知欲，同時為探索勾股定理提供背景材料，進而引出課題。
（二）引導學生，探究新知
1、初步感知定理：
活動1 這一環節我選擇了教材的圖片，講述畢達哥拉斯到朋友家做客時發現用磚鋪成的地面，其中含有直角三角形三邊的數量關系，創設感知情境，提出問題：現在也請你觀察，看看有什么發現？
教師配合演示，使問題更形象、具體。我又適當提供兩個等腰直角三角形，它們的直角邊長分別為10cm和20cm，然后我再請兩位同學分別量出這兩個等腰直角三角形的斜邊的長，請同學們分析這兩個等腰直角三角形三邊長之間有怎樣的等量關系，從而使學生再次感知發現的規律。
2、提出猜想：在活動1的基礎上，學生已發現一些規律，進一步通過活動2進行看一看，填一填，想一想，議一議，做一做，讓學生感受不只是等腰直角三角形才具有這樣的性質，使學生由淺到深，由特殊到一般的提出問題,啟發學生得出猜想，直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這一環節我利用多媒體課件，給學生演示,生動、直觀，不僅要使學生“知其然”，而且還要使學生“知其所以然”，從而啟迪了學生的思維。
3、證明猜想：是不是所有的直角三角形都有這樣的特點呢？這就需要我們對一個一般的直角三角形進行證明．通過活動3，我充分引導學生利用直觀教具，進行拼圖實驗，在動手操作中放手讓學生思考、討論、合作、交流，探究解決問題的多種方法，鼓勵創新，小組競賽，引入競爭，我參與討論，與學生交流，獲取信息，從而有針對性地引導學生進行證法的探究，使學生創造性地得出拼圖的多種方法，我配以演示，如拼圖
1、拼圖
2、拼圖3，并對學生的做法給予表揚，使學生在學習的過程中，感受到自我創造的快樂，從而分散了教學難點，發現了利用面積相等去證明勾股定理的方法。培養了學生的發散思維、一題多解和探究數學問題的能力。
4、總結定理：讓學生自己總結定理，不完善之處由教師補充。在前面探究活動的基礎上，學生很容易得出直角三角形的三邊數量關系即勾股定理，培養了學生的語言表達能力和歸納概括能力。
5、勾股定理簡介：
借助多媒體課件，通過介紹古代在勾股定理研究方面取得的成 就，感受數學文化，激發學生學習的熱情，體會古人偉大的智慧。
（三）反饋訓練，鞏固新知
學生對所學的知識是否掌握了，達到了什么程度？為了檢測學生對本課目標的達成情況和加強對學生能力的培養，我設計了一組有坡度的練習題：
A組動腦筋，想一想，是本節基礎知識的理解和直接應用；B組求陰影部分的面積，建立了新舊知識的聯系，培養學生綜合運用知識的能力。C組議一議，是一道實際應用題型，給學生施展才智的機會，讓學生獨立思考后，討論交流得出解決問題的方法，增強了數學來源于實踐，反過來又作用于實踐的應用意識，達到了學以致用的目的。
（四）歸納小結，深化新知
本節課你有哪些收獲？你最感興趣的地方是什么？你想進一步研究的的問題是什么？??
通過小結，使學生進一步明確掌握教學目標，使知識成為體系。
（五）布置作業，拓展新知
讓學生收集有關勾股定理的證明方法，下節課展示、交流．使本節知識得到拓展、延伸，培養了學生能力和思維的深刻性，讓學生感受數學深厚的文化底蘊。
（六）板書設計，明確新知
這是我本節課的板書設計，它分為三塊：一塊是拼圖方法，一塊是勾股定理；一塊是例題解析。它突出了重點，層次清楚，便于學生掌握，為獲得知識服務。
五、教學效果預測
本課設計力求讓學生參與知識的發現過程，體現以學生為主體，以促進學生發展為本的教學理念，變知識的傳授者為學生自主探求知識的引導者、指導者、合作者。并利用多媒體，直觀教具演示，營造一個聲像同步，能動能靜的教學情景，給學生提供一個探索的空間，促使學生主動參與，親身體驗勾股定理的探索和驗證過程，從而鍛煉思維、激發創造，優化課堂教學。努力做到由傳統的數學課堂向實驗課堂轉變，使學生真正成為學習的主人，培養了學生的素質能力，達到了良好的教學效果。
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