第十七章

勾股定理

單元測試

一、單選題

1．一個直角三角形兩邊長分別是和，則第三邊的長是（）

A．

B．或

C．或

D．

2．△ABC的三邊為a、b、c，由下列條件不能判斷它是直角三角形的是（）

A．∠A:

∠B:

∠C

=3∶4∶5

B．∠A=∠B+∠C

C．a2=(b+c)(b-c)

D．a:b:c

=1∶2∶

3．如圖，在直線l上有三個正方形m、q、n，若m、q的面積分別為5和11，則n的面積（）

A．4

B．6

C．16

D．55

4．若△ABC的三邊長分別為a、b、c且滿足（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0，則△ABC是（）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形

5．如圖，在中，平分交于點，平分，交于點，若，則（）

A．75

B．100

C．120

D．125

6．如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面5m的B處撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部12m的A處，則旗桿折斷部分AB的高度是（）

A．5m

B．12m

C．13m

D．18m

7．將根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長度hcm，則h的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

8．有下面的判斷：

①若△ABC中，a2＋b2≠c2，則△ABC不是直角三角形；

②△ABC是直角三角形，∠C=90°，則a2＋b2=c2；

③若△ABC中，a2－b2=c2，則△ABC是直角三角形；

④若△ABC是直角三角形，則(a＋b)(a－b)=c2.其中判斷正確的有()

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

9．如圖1，分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為、、；如圖2，分別以直角三角形三個頂點為圓心，三邊長為半徑向外作圓心角相等的扇形，面積分別為、、．其中，，則（）

A．

B．

C．

D．

10．如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1，S2，則S1+S2的值為（）

A．16

B．17

C．18

D．19

11．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，點D是AB的中點，將△ACD沿CD翻折得到△ECD，連接AE，BE，則線段BE的長等于（）

A．

B．

C．

D．2

12．如圖，P為等邊三角形ABC內的一點，且P到三個頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，則△ABC的面積為（）

A．

B．

C．

D．

二、填空題

13．己知三角形三邊長分別為，，則此三角形的最大邊上的高等于_____________.14．如圖，滑竿在機械槽內運動，∠ACB為直角，已知滑竿AB長2.5米，頂點A在AC上滑動，量得滑竿下端B距C點的距離為1.5米，當端點B向右移動0.5米時，滑竿頂端A下滑________米．

15．如圖，在中，AB=AC=5，BC=6，點M為BC中點，于點N，則MN=____________

16．如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，正方形A，B，C的面積分別是8cm2，10cm2，14cm2，則正方形D的面積是__________cm2．

17．如圖，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，請按照圖中所標注的數據，計算圖中實線所圍成的圖形的面積S是___________．

18．在一個長為8分米，寬為5分米，高為7分米的長方體上，截去一個長為6分米，寬為5分米，深為2分米的長方體后，得到一個如圖所示的幾何體．一只螞蟻要從該幾何體的頂點A處，沿著幾何體的表面到幾何體上和A相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是________分米．

19．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為20

dm,3

dm,2

dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點的最短路程是__________dm.20．如圖，在由單位正方形組成的網格圖中標有AB，CD，EF，GH四條線段，其中能構成一個直角三角形三邊的線段是________．

21．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC

=3，BC

=4，AB=5，BD平分∠ABC，如果M、N分別為BD、BC上的動點，那么CM+MN的最小值是____．

22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于點E，交CB于點F，則CF的長是________________.23．已知：如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為A（7，0），C（0，4），點D的坐標為（5，0），點P在BC邊上運動.當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為______________.24．在銳角三角形ABC中．BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分別是邊BD，BC上的動點，則CM＋MN的最小值是____．

三、解答題

25．如圖，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中點，MD⊥AB于D，求證：.26．如圖，在△ABC中，CD是AB邊上高，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．

（1）求△ABC的周長．

（2）判斷△ABC的形狀并加以證明．

27．已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．動點P從點A出發，沿AB向點B運動，動點Q從點B出發，沿BC向點C運動，如果動點P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同時出發，設運動時間為t(s)，解答下列問題：

(1)t為______時，△PBQ是等邊三角形？

(2)P，Q在運動過程中，△PBQ的形狀不斷發生變化，當t為何值時，△PBQ是直角三角形？說明理由．

28．如圖，正方形網格MNPQ中，每個小方格的邊長都相等，正方形ABCD的頂點在正方形MNPQ的4條邊的小方格頂點上．

(1)設正方形MNPQ網格內的每個小方格的邊長為1，求：

①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面積；

②正方形ABCD的面積．

(2)設MB＝a，BQ＝b，利用這個圖形中的直角三角形和正方形的面積關系，你能驗證已學過的哪一個數學公式或定理嗎？

29．如圖(1),在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c，若∠C=90°，則有a2+b2=c2；如圖(2)，△ABC為銳角三角形時，小明猜想a2+b2>c2，理由如下：

設CD=x，在Rt△ADC中，AD2=b2-x2，在Rt△ADB中,AD2=c2-(a-x)2，則b2-x2=c2-(a-x)2，所以a2+b2=c2+2ax，因為a>0，x>0，所以2ax>0，所以a2+b2>c2，所以當△ABC為銳角三角形時a2+b2>c2.所以小明的猜想是正確的.(1)請你猜想,當△ABC為鈍角三角形時，a2+b2與c2的大小關系；

(2)證明你猜想的結論是否正確.30．如圖①，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1、S2、S3表示，則不難證明S1=S2+S3

.(1)

如圖②，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之間有什么關系？(不必證明)

(2)

如圖③，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你確定S1、S2、S3之間的關系并加以證明；

(3)

若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正多邊形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你猜想S1、S2、S3之間的關系?.31．（1）問題發現：如圖1，△ABC與△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，則線段AE、BD的數量關系為_______，AE、BD所在直線的位置關系為________；

（2）深入探究：在（1）的條件下，若點A，E，D在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，請判斷∠ADB的度數及線段CM，AD，BD之間的數量關系，并說明理由；

（3）解決問題：如圖3，已知△ABC中，AB=7，BC=3，∠ABC=45°，以AC為直角邊作等腰直角△ACD，∠CAD=90°，AC=AD，連接BD，則的長為

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