第一篇：八年級下冊拓展資源——勾股定理與第一次數學危機

八年級下冊拓展資源——勾股定理與第一次數學危機

在國外，最早給出這一定理證明的是古希臘的畢達哥拉斯。畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數學家與哲學家。他曾創立了一個合政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。由畢達哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數”是該學派的哲學基石。而“一切數均可表成整數或整數之比”則是這一學派的數學信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數學信仰的“掘墓人”。畢達哥拉斯定理提出后，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數的誕生。小小的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。對于當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結論的悖論性表現在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數。這不但在希臘當時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經高度發展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這應該是多么違反常識，多么荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的**，史稱“第一次數學危機”。

二百年后，大約在公元前370年，才華橫溢的歐多克索斯建立起一套完整的比例論。他本人的著作已失傳，他的成果被保存在歐幾里德《幾何原本》一書第五篇中。歐多克索斯的巧妙方法可以避開無理數這一“邏輯上的丑聞”，并保留住與之相關的一些結論，從而解決了由無理數出現而引起的數學危機。但歐多克索斯的解決方式，是借助幾何方法，通過避免直接出現無理數而實現的。這就生硬地把數和量肢解開來。在這種解決方案下，對無理數的使用只有在幾何中是允許的，合法的，在代數中就是非法的，不合邏輯的。或者說無理數只被當作是附在幾何量上的單純符號，而不被當作真正的數。一直到18世紀，當數學家證明了基本常數如圓周率是無理數時，擁護無理數存在的人才多起來。到十九世紀下半葉，現在意義上的實數理論建立起來后，無理數本質被徹底搞清，無理數在數學園地中才真正扎下了根。無理數在數學中合法地位的確立，一方面使人類對數的認識從有理數拓展到實數，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數學危機。

第二篇：八年級數學-勾股定理的證明及拓展

八年級數學

勾股定理的證明及其延伸

1.說明

勾股定理是數學中一個重要知識。雖然在教材章節內容中所占篇幅不多，在考試中也往往不會作為一個獨立知識點進行命題，但其實其內容及方法常常包含在其他各類題目中，是問題解答過程中一個很重要的手段。所以學生對勾股定理要能夠十分熟練地進行使用。本文對勾股定理進行證明及拓展，以使學生對其進行深刻理解。

2.勾股定理的證明

命題：在直角三角形中，a、b為直角邊長，c為斜邊邊長，則有a?b?c。勾股定理一個最簡單的證明方法是使用圖形證明法。如下圖，我們使用4個同樣大小的紅色直角三角形（a、b為直角邊長，c為斜邊邊長）拼出2個圖形： 22

2圖1和圖2這兩個藍色正方形的面積是相等的（它們的邊長都是a+b），而4個紅色直角三角形的面積也是相等的，所以2個圖形中白色部分的面積也應該相等（都等于藍色正方

形面積減去4個紅色三角形的面積）。而左邊圖形中白色部分的面積是a?b，右邊圖形中白色部分的面積是c，所以a?b?c。

222222

3.圓與三角形

在討論勾股定理的延伸之前，我們先來看圓與三角形的關系。

如圖3，以BC為直徑做圓，圓心為BC的中點O。在圓上任取一點A，則三角形ABC為直角三角形，其中∠A=90°。

如圖4，同樣做圓。如果A點在圓外，則∠A為銳角。可以這樣來證明：連接AO，和圓交與點D。容易得到∠BAC<∠BDC，而∠BDC=90°，故∠A<90°。

如圖5，同樣做圓。如果A點在圓內，則∠A為鈍角。可以這樣來證明：連接OA，并延長和圓交與點D。容易得到∠BAC>∠BDC，而∠BDC=90°，故∠A>90°。

綜合起來，我們可以得到如下命題：

命題：在三角形ABC中，以BC為直徑、BC的中心點為圓心做圓，如果A在圓上，則∠A=90°；如果A在圓外，則∠A<90°；如果A在圓內，則∠A>90°。

注意，這個命題的逆命題也是成立的，即：

命題：在三角形ABC中，以BC為直徑、BC的中心點為圓心做圓，如果∠A=90°，則A在圓上；如果∠A<90°，則A在圓外；如果∠A>90°，則A在圓內。

這個逆命題可以利用上面幾副圖用反證法很容易證得。

4.勾股定理的延伸

現在，我們對勾股定理進行延伸，如下：

命題：在三角形中，a、b、c為其3條邊長，其中c為最長邊（c≥a、c≥b），如果三角形為直角三角形，則a?b?c；如果三角形為銳角三角形，則a?b?c；如果三角形為鈍角三角形，則a?b?c。

請注意上面“c為最長邊（c≥a、c≥b）”的條件限定。如果c不是最長邊，那么必然是a?b?c，這就不存在任何討論的必要了。

下面我們來證明這一命題。對于直角三角形的情況，那就是勾股定理，前面我們已經證明了。現在只要證明銳角和鈍角三角形的情況。

見下圖，仍然如上一節那樣，去最長邊c為直徑做圓（設這條邊為BC），那么直徑所對應的∠A也會是三角形ABC中最大的角（大角對大邊）。

222222222222從上節的討論中，如果是銳角三角形，A必然在圓外，如圖6所示。從A點做直徑BC的垂線，交圓于D點。顯然AB>BD、AC>DC，而BD?DC?BC，所以222AB2?AC2?BC2。

如果是鈍角三角形，A必然在圓內，如圖7所示。從A點做直徑BC的垂線，反向延長交圓于D點。顯然AB

命題：在三角形中，a、b、c為其3條邊長，其中c為最長邊（c≥a、c≥b），如果222222a2?b2?c2，則三角形為直角三角形；如果a2?b2?c2，則三角形為銳角三角形；如果

a2?b2?c2，則三角形為鈍角三角形。

5.勾股定理的增強描述

綜合以上的討論，我們可以對勾股定理進行增強型的表述，如下：

在三角形中，a、b、c為其3條邊長，其中c為最長邊（c≥a、c≥b），則三角形為直角三角形的充分必要條件是a?b?c；三角形為銳角三角形的充分必要條件是222

a2?b2?c2；三角形為鈍角三角形的充分必要條件是a2?b2?c2。

第三篇：八年級數學專題-勾股定理

第十七章　勾股定理

17．1　勾股定理

第1課時　勾股定理(1)

了解勾股定理的發現過程，理解并掌握勾股定理的內容，會用面積法證明勾股定理，能應用勾股定理進行簡單的計算．

重點

勾股定理的內容和證明及簡單應用．

難點

勾股定理的證明．

一、創設情境，引入新課

讓學生畫一個直角邊分別為3

cm和4

cm的直角△ABC，用刻度尺量出斜邊的長．

再畫一個兩直角邊分別為5和12的直角△ABC，用刻度尺量出斜邊的長．

你是否發現了32＋42與52的關系，52＋122與132的關系，即32＋42＝52，52＋122＝132，那么就有勾2＋股2＝弦2.對于任意的直角三角形也有這個性質嗎？

由一學生朗讀“畢達哥拉斯觀察地面圖案發現勾股定理”的傳說，引導學生觀察身邊的地面圖形，猜想畢達哥拉斯發現了什么？

拼圖實驗，探求新知

1．多媒體課件演示教材第22～23頁圖17.1－2和圖17.1－3，引導學生觀察思考．

2．組織學生小組合作學習．

問題：每組的三個正方形之間有什么關系？試說一說你的想法．

引導學生用拼圖法初步體驗結論．

生：這兩組圖形中，每組的大正方形的面積都等于兩個小正方形的面積和．

師：這只是猜想，一個數學命題的成立，還要經過我們的證明．

歸納驗證，得出定理

(1)猜想：命題1：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.(2)是不是所有的直角三角形都有這樣的特點呢？這就需要對一個一般的直角三角形進行證明．到目前為止，對這個命題的證明已有幾百種之多，下面我們就看一看我國數學家趙爽是怎樣證明這個定理的．

①用多媒體課件演示．

②小組合作探究：

a．以直角三角形ABC的兩條直角邊a，b為邊作兩個正方形，你能通過剪、拼把它拼成弦圖的樣子嗎？

b．它們的面積分別怎樣表示？它們有什么關系？

c．利用學生自己準備的紙張拼一拼，擺一擺，體驗古人趙爽的證法．想一想還有什么方法？

師：通過拼擺，我們證實了命題1的正確性，命題1與直角三角形的邊有關，我國把它稱為勾股定理．

即在我國古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾，長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦．

二、例題講解

【例1】填空題．

(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，則c＝________；

(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，則c＝________；

(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，則a＝________，b＝________；

(4)一個直角三角形的三邊為三個連續偶數，則它的三邊長分別為________；

(5)已知等邊三角形的邊長為2

cm，則它的高為________cm，面積為________cm2.【答案】(1)17(2)(3)6　8(4)6，8，10(5)

【例2】已知直角三角形的兩邊長分別為5和12，求第三邊．

分析：已知兩邊中，較大邊12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應分兩種情況分別進行計算．讓學生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想．

【答案】或13

三、鞏固練習

填空題．

在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)如果a＝7，c＝25，則b＝________；

(2)如果∠A＝30°，a＝4，則b＝________；

(3)如果∠A＝45°，a＝3，則c＝________；

(4)如果c＝10，a－b＝2，則b＝________；

(5)如果a，b，c是連續整數，則a＋b＋c＝________；

(6)如果b＝8，a∶c＝3∶5，則c＝________．

【答案】(1)24(2)4(3)3(4)6(5)12

(6)10

四、課堂小結

1．本節課學到了什么數學知識？

2．你了解了勾股定理的發現和驗證方法了嗎？

3．你還有什么困惑？

本節課的設計關注學生是否積極參與探索勾股定理的活動，關注學生能否在活動中積極思考、能夠探索出解決問題的方法，能否進行積極的聯想(數形結合)以及學生能否有條理地表達活動過程和所獲得的結論等．關注學生的拼圖過程，鼓勵學生結合自己所拼得的正方形驗證勾股定理．　　　　　　　　　　　　　　　　　　第2課時　勾股定理(2)

能將實際問題轉化為直角三角形的數學模型，并能用勾股定理解決簡單的實際問題．

重點

將實際問題轉化為直角三角形模型．

難點

如何用解直角三角形的知識和勾股定理來解決實際問題．

一、復習導入

問題1：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需要多長的梯子？

師生行為：

學生分小組討論，建立直角三角形的數學模型．

教師深入到小組活動中，傾聽學生的想法．

生：根據題意，(如圖)AC是建筑物，則AC＝12

m，BC＝5

m，AB是梯子的長度，所以在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132，則AB＝13

m.所以至少需13

m長的梯子．

師：很好！

由勾股定理可知，已知兩直角邊的長分別為a，b，就可以求出斜邊c的長．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知，已知斜邊與一條直角邊的長，就可以求出另一條直角邊的長，也就是說，在直角三角形中，已知兩邊就可求出第三邊的長．

問題2：一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3

m、寬2.2

m的長方形薄木板能否從門框內通過？為什么？

學生分組討論、交流，教師深入到學生的數學活動中，引導他們發現問題，尋找解決問題的途徑．

生1：從題意可以看出，木板橫著進，豎著進，都不能從門框內通過，只能試試斜著能否通過．

生2：在長方形ABCD中，對角線AC是斜著能通過的最大長度，求出AC，再與木板的寬比較，就能知道木板是否能通過．

師生共析：

解：在Rt△ABC中，根據勾股定理AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.因此AC＝≈2.236.因為AC>木板的寬，所以木板可以從門框內通過．

二、例題講解

【例1】如圖，山坡上兩棵樹之間的坡面距離是4米，則這兩棵樹之間的垂直距離是________米，水平距離是________米．

分析：由∠CAB＝30°易知垂直距離為2米，水平距離是6米．

【答案】2　6

【例2】教材第25頁例2

三、鞏固練習

1．如圖，欲測量松花江的寬度，沿江岸取B，C兩點，在江對岸取一點A，使AC垂直江岸，測得BC＝50米，∠B＝60°，則江面的寬度為________．

【答案】50米

2．某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達地點B

200米，結果他在水中實際游了520米，求該河流的寬度．

【答案】約480

m

四、課堂小結

1．談談自己在這節課的收獲有哪些？會用勾股定理解決簡單的應用題；會構造直角三角形．

2．本節是從實驗問題出發，轉化為直角三角形問題，并用勾股定理完成解答．

這是一節實際應用課，過程中要充分發揮學生的主導性，鼓勵學生動手、動腦，經歷將實際問題轉化為直角三角形的數學模型的過程，激發了學生的學習興趣，鍛煉了學生獨立思考的能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　第3課時　勾股定理(3)

1．利用勾股定理證明：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．

2．利用勾股定理，能在數軸上找到表示無理數的點．

3．進一步學習將實際問題轉化為直角三角形的數學模型，并能用勾股定理解決簡單的實際問題．

重點

在數軸上尋找表示，，…這樣的表示無理數的點．

難點

利用勾股定理尋找直角三角形中長度為無理數的線段．

一、復習導入

復習勾股定理的內容．

本節課探究勾股定理的綜合應用．

師：在八年級上冊，我們曾經通過畫圖得到結論：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．你們能用勾股定理證明這一結論嗎？

學生思考并獨立完成，教師巡視指導，并總結．

先畫出圖形，再寫出已知、求證如下：

已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求證：△ABC≌△A′B′C′.證明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根據勾股定理，得BC＝，B′C′＝.又AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．

師：我們知道數軸上的點有的表示有理數，有的表示無理數，你能在數軸上表示出所對應的點嗎？

教師可指導學生尋找像長度為，，…這樣的包含在直角三角形中的線段．

師：由于要在數軸上表示點到原點的距離為，，…，所以只需畫出長為，，…的線段即可，我們不妨先來畫出長為，，…的線段．

生：長為的線段是直角邊都為1的直角三角形的斜邊，而長為的線段是直角邊為1和2的直角三角形的斜邊．

師：長為的線段能否是直角邊為正整數的直角三角形的斜邊呢？

生：設c＝，兩直角邊長分別為a，b，根據勾股定理a2＋b2＝c2，即a2＋b2＝13.若a，b為正整數，則13必須分解為兩個平方數的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，則a＝2，b＝3，所以長為的線段是直角邊長分別為2，3的直角三角形的斜邊．

師：下面就請同學們在數軸上畫出表示的點．

生：步驟如下：

1．在數軸上找到點A，使OA＝3.2．作直線l垂直于OA，在l上取一點B，使AB＝2.3．以原點O為圓心、以OB為半徑作弧，弧與數軸交于點C，則點C即為表示的點．

二、例題講解

【例1】飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4800米處，過了10秒后，飛機距離這個男孩頭頂5000米，飛機每小時飛行多少千米？

分析：根據題意，可以畫出如圖所示的圖形，A點表示男孩頭頂的位置，C，B點是兩個時刻飛機的位置，∠C是直角，可以用勾股定理來解決這個問題．

解：根據題意，得在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5000米，AC＝4800米．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，即50002＝BC2＋48002，所以BC＝1400米．

飛機飛行1400米用了10秒，那么它1小時飛行的距離為1400×6×60＝504000(米)＝504(千米)，即飛機飛行的速度為504千米/時．

【例2】在平靜的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一陣風吹來，水草被吹到一邊，草尖齊至水面，已知水草移動的水平距離為6分米，問這里的水深是多少？

解：根據題意，得到上圖，其中D是無風時水草的最高點，BC為湖面，AB是一陣風吹過水草的位置，CD＝3分米，CB＝6分米，AD＝AB，BC⊥AD，所以在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋3)2＝AC2＋62，AC2＋6AC＋9＝AC2＋36，∴6AC＝27，AC＝4.5，所以這里的水深為4.5分米．

【例3】在數軸上作出表示的點．

解：以為長的邊可看作兩直角邊分別為4和1的直角三角形的斜邊，因此，在數軸上畫出表示的點，如下圖：

師生行為：

由學生獨立思考完成，教師巡視指導．

此活動中，教師應重點關注以下兩個方面：

①學生能否積極主動地思考問題；

②能否找到斜邊為，另外兩條直角邊為整數的直角三角形．

三、課堂小結

1．進一步鞏固、掌握并熟練運用勾股定理解決直角三角形問題．

2．你對本節內容有哪些認識？會利用勾股定理得到一些無理數，并理解數軸上的點與實數一一對應．

本節課的教學中，在培養邏輯推理的能力方面，做了認真的考慮和精心的設計，把推理證明作為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續，注重數學與生活的聯系，從學生的認知規律和接受水平出發，這些理念貫徹到課堂教學當中，很好地激發了學生學習數學的興趣，培養了學生善于提出問題、敢于提出問題、解決問題的能力．

17.2　勾股定理的逆定理

第1課時　勾股定理的逆定理(1)

1．掌握直角三角形的判別條件．

2．熟記一些勾股數．

3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．

重點

探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命題、原命題、逆命題的有關概念及關系．

難點

歸納猜想出命題2的結論．

一、復習導入

活動探究

(1)總結直角三角形有哪些性質；

(2)一個三角形滿足什么條件時才能是直角三角形？

生：直角三角形有如下性質：(1)有一個角是直角；(2)兩個銳角互余；(3)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所對的直角邊是斜邊的一半．

師：那么一個三角形滿足什么條件時，才能是直角三角形呢？

生1：如果三角形有一個內角是90°，那么這個三角形就為直角三角形．

生2：如果一個三角形，有兩個角的和是90°，那么這個三角形也是直角三角形．

師：前面我們剛學習了勾股定理，知道一個直角三角形的兩直角邊a，b與斜邊c具有一定的數量關系即a2＋b2＝c2，我們是否可以不用角，而用三角形三邊的關系來判定它是否為直角三角形呢？我們來看一下古埃及人是如何做的？

問題：據說古埃及人用下圖的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結，然后以3個結、4個結、5個結的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角．

這個問題意味著，如果圍成的三角形的三邊長分別為3，4，5，有下面的關系：32＋42＝52，那么圍成的三角形是直角三角形．

畫畫看，如果三角形的三邊長分別為2.5

cm，6

cm，6.5

cm，有下面的關系：2.52＋62＝6.52，畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為4

cm，7.5

cm，8.5

cm，再試一試．

生1：我們不難發現上圖中，第1個結到第4個結是3個單位長度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5.因為32＋42＝52，所以我們圍成的三角形是直角三角形．

生2：如果三角形的三邊長分別是2.5

cm，6

cm，6.5

cm.我們用尺規作圖的方法作此三角形，經過測量后，發現6.5

cm的邊所對的角是直角，并且2.52＋62＝6.52.再換成三邊長分別為4

cm，7.5

cm，8.5

cm的三角形，可以發現8.5

cm的邊所對的角是直角，且有42＋7.52＝8.52.師：很好！我們通過實際操作，猜想結論．

命題2　如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．

再看下面的命題：

命題1　如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.它們的題設和結論各有何關系？

師：我們可以看到命題2與命題1的題設、結論正好相反，我們把像這樣的兩個命題叫做互逆命題．如果把其中的一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題．例如把命題1當成原命題，那么命題2是命題1的逆命題．

二、例題講解

【例1】說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？

(1)同旁內角互補，兩條直線平行；

(2)如果兩個實數的平方相等，那么這兩個實數相等；

(3)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；

(4)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．

分析：(1)每個命題都有逆命題，說逆命題時注意將題設和結論調換即可，但要分清題設和結論，并注意語言的運用；

(2)理順它們之間的關系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真一假，還可能都假．

解略．

三、鞏固練習

教材第33頁練習第2題．

四、課堂小結

師：通過這節課的學習，你對本節內容有哪些認識？

學生發言，教師點評．

本節課的教學設計中，將教學內容精簡化，實行分層教學．根據學生原有的認知結構，讓學生更好地體會分割的思想．設計的題型前后呼應，使知識有序推進，有助于學生理解和掌握；讓學生通過合作、交流、反思、感悟的過程，激發學生探究新知的興趣，感受探索、合作的樂趣，并從中獲得成功的體驗，真正體現學生是學習的主人．將目標分層后，滿足不同層次學生的做題要求，達到鞏固課堂知識的目的．

第2課時　勾股定理的逆定理(2)

1．理解并掌握證明勾股定理的逆定理的方法．

2．理解逆定理、互逆定理的概念．

重點

勾股定理的逆定理的證明及互逆定理的概念．

難點

理解互逆定理的概念．

一、復習導入

師：我們學過的勾股定理的內容是什么？

生：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.師：根據上節課學過的內容，我們得到了勾股定理逆命題的內容：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．

師：命題2是命題1的逆命題，命題1我們已證明過它的正確性，命題2正確嗎？如何證明呢？

師生行為：

讓學生試著尋找解題思路，教師可引導學生理清證明的思路．

師：△ABC的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2.如果△ABC是直角三角形，它應與直角邊是a，b的直角三角形全等，實際情況是這樣嗎？

我們畫一個直角三角形A′B′C′，使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90°(如圖)，把畫好的△A′B′C′剪下，放在△ABC上，它們重合嗎？

生：我們所畫的Rt△A′B′C′，(A′B′)2＝a2＋b2，又因為c2＝a2＋b2，所以(A′B′)2＝c2，即A′B′＝c.△ABC和△A′B′C′三邊對應相等，所以兩個三角形全等，∠C＝∠C′＝90°，所以△ABC為直角三角形．

即命題2是正確的．

師：很好！我們證明了命題2是正確的，那么命題2就成為一個定理．由于命題1證明正確以后稱為勾股定理，命題2又是命題1的逆命題，在此，我們就稱定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理稱為互逆定理．

師：但是不是原命題成立，逆命題一定成立呢？

生：不一定，如命題“對頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個角相等，那么它們是對頂角”不成立．

師：你還能舉出類似的例子嗎？

生：例如原命題：如果兩個實數相等，那么它們的絕對值也相等．

逆命題：如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個實數相等．

顯然原命題成立，而逆命題不一定成立．

二、新課教授

【例1】教材第32頁例1

【例2】教材第33頁例2

【例3】一個零件的形狀如圖所示，按規定這個零件中∠A和∠DBC都應為直角．工人師傅量出了這個零件各邊的尺寸，那么這個零件符合要求嗎？

分析：這是一個利用直角三角形的判定條件解決實際問題的例子．

解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．

在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．

因此這個零件符合要求．

三、鞏固練習

1．小強在操場上向東走80

m后，又走了60

m，再走100

m回到原地．小強在操場上向東走了80

m后，又走60

m的方向是________．

【答案】向正南或正北

2．如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A，B兩個基地前去攔截，6分鐘后同時到達C地將其攔截．已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西40°，求甲巡邏艇的航向．

【答案】解：由題意可知：AC＝120×6×＝12，BC＝50×6×＝5，122＋52＝132.又AB＝13，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠CAB＝40°，航向為北偏東50°.四、課堂小結

1．同學們對本節的內容有哪些認識？

2．勾股定理的逆定理及其應用，熟記幾組勾股數．

本節課我采用以學生為主體，引導發現、操作探究的教學設計，符合學生的認知規律和認知水平，最大限度地調動了學生學習的積極性，有利于培養學生動手、觀察、分析、猜想、驗證、推理的能力，切實使學生在獲取知識的過程中得到能力的培養．

第四篇：第一次數學危機

不可通約性的發現引起第一次數學危機。有人說，這種性質是希帕索斯約在公元前400年發現的，為此，他的同伴把他拋進大海。不過更有可能是畢達哥拉斯已經知道這種事實，而希帕索斯因泄密而被處死。不管怎樣，這個發現對古希臘的數學觀點有極大的沖擊。這表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示，反之數卻可以由幾何量表示出來。整數的尊崇地位受到挑戰，于是幾何學開始在希臘數學中占有特殊地位。

同時這也反映出，直覺和經驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始由“自明的”公理出發，經過演繹推理，并由此建立幾何學體系，這不能不說是數學思想上一次巨大革命，這也是第一次數學危機的自然產物。古代數學家認為，這樣能把直線上所有的點用完。但是，畢氏學派大約在公元前400年發現：直線上存在不對應任何有理數的點。特別是，他們證明了：這條直線上存在點p不對應于有理數，這里距離op等于邊長為單位長的正方形的對角線。于是就必須發明新的數對應這樣的點，并且因為這些數不可能是有理數，只好稱它們為無理數。無理數的發現，是畢氏學派的最偉大成就之一，也是數學史上的重要里程碑。

無理數的發現，引起了第一次數學危機。首先，對于全部依靠整數的畢氏哲學，這是一次致命的打擊。其次，無理數看來與常識似乎相矛盾。在幾何上的對應情況同樣也是令人驚訝的，因為與直觀相反，存在不可通約的線段，即沒有公共的量度單位的線段。由于畢氏學派關于比例定義假定了任何兩個同類量是可通約的，所以畢氏學派比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上，這樣，他們的關于相似形的一般理論也失效了。隨著時間的推移，無理數的存在逐漸成為人所共知的事實。

誘發第一次數學危機的一個間接因素是之后“芝諾悖論”的出現，它更增加了數學家們的擔憂：數學作為一門精確的科學是否還有可能？宇宙的和諧性是否還存在？

在大約公元前370年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現在歐幾里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年繪出的無理數的現代解釋基本一致。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微炒之處。

意義：第一次數學危機表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示。反之，數卻可以由幾何量表示出來。整數的尊祟地位受到挑戰，古希臘的數學觀點受到極大的沖擊。于是，幾何學開始在希臘數學中占有特殊地位。同時也反映出，直覺和經驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始從“自明的”公理出發，經過演繹推理，并由此建立幾何學體系。這是數學思想上的一次革命，是第一次數學危機的自然產物。

第五篇：八年級數學下冊《勾股定理逆定理》教學反思

我國是最早了解勾股定理的國家之一。早在三千多年前，周朝數學家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾（短直角邊）等于三，股（長直角邊）等于四，那么弦等于五。即“勾

三、股

四、弦五”。它被記載于我國古代著名的數學著作《周髀算經》中，在這本書的另一處，還記載了勾股定理的一般形式。中國古代的幾何學家研究幾何是為了實用，是唯用是尚的。在講完《勾股定理逆定理》這節課后，我的反思如下：

本節課的教學目標是:在掌握了勾股定理的基礎上,讓學生如何從三邊的關系來判定一個三角形是否為直角三角形.即:勾股定理的逆定理。

勾股定理的逆定理的教學設計說明：本教案的教學設計是圍繞勾股定理的逆定理的證明與應用來展開，結合新課標的要求，根據我班學生的認知結構與教材地位為了達到本節課的教學目標，我做了以下設計（也是成功之處）：

一、創設情境，提出猜想達到直觀性的教學要求。讓幾個學生要全班同學前面做一個“數學實驗”，三條分別為：3，4，5的三角形是一個直角三角形。第二步驟是讓學生畫已知三邊的一定長度的三角形，判斷是不是直角三角形，并分析三邊滿足什么關系條件，同時，引導學生從特殊到一般提出猜想。

二、將教學內容精簡化.考慮到我所教班級的學生認識水平，做了如下教學設計：⑴將教學目標定為讓學生掌握勾股定理的逆定理.以及逆定理的應用,而對于本課中逆定理的證明.以及其探究都放在一下節課再進行講解.⑵對于本課中所出現了的逆定理的定義,及其真假性的判斷也簡單化.本節課也不詳細講.本節課的的重點放在掌握勾股定理的逆定理,及其應用.從課堂效果來看，這樣的教學設計是合理的，學生較好的掌握了勾股定理的逆定理，所以取得了良好的課堂效果。

三、應用訓練，鞏固新知為了鞏固新知，靈活運用所學知識解決相應問題，提高學生的分析解題能力，基于對我班的學情分析，為了讓學生都能動起手做,學案的設計上做了很多腳手架,目的就是讓學生能夠按照腳手架的步驟一步步完成,最終也形成了解題的“操作性”。此外，腳手架的設置對我們的中下水平的學生是很多幫助的.從課堂上看，他們也能在腳手架的幫助下，完成一定的題目中，而如果沒有的話,這部分學生對一些基本的題都會束手無策.四、實行分層教學，讓不同水平的學生在同一課堂都能學好，為此，我設計了三個層次的問題，以達到分層教學目標：第一層次是讓學生直接運用定理判斷三角形是否是直角三角形，掌握定理基本運用；第二層次是強調已知三角形三邊長或三邊關系，就有意識的判斷三角形是否是直角三角形，這樣既鞏固了勾股定理的逆定理的應用，又為下一個層次做好了鋪墊；第三層次是靈活運用勾股定理與逆定理解決圖形面積的計算問題.根據學生原有的認知結構，讓學生更好地體會分割的思想.設計的題型前后呼應，使知識有序推進，有助于學生的理解和掌握；讓學生通過合作、交流、反思、感悟的過程，激發學生探究新知的興趣，感受探索、合作的樂趣，并從中獲得成功的體驗.真正體現學生是學習的主人.。將目標分層后，我設計的學案里的題目也是相應的進行了分層設計，滿足不同層次的學生的做題要求，達到鞏固課堂知識的目的。最后，布置作業，也是分層布置的，分為三層，對應不同的學生，讓他們的作業都在他們的能力范圍。

誠然，這節課也存在許多不足。只有分析好不足是教學課后的重要環節，只有分析明白了自己的不足才能在今后的課堂里避免犯同樣的錯誤，讓課堂更加的完美起來。是我們新老師快速成長的途徑，第一、新課導入部分：存在如下值得改進的地方：①復習舊知部分,復習勾股定理的內容應用了填空的形式,這個形式不是最佳的.因為學生書寫勾股定理耗時，既使書寫出來，復習效果也不太好。最佳的應該是以簡單的題目形式來復習勾股定理.這樣快而有效；②如何從復習勾股定理中巧妙的切入本課的主題,過渡語的設置，應該將過渡語言簡單明了,可設計成:怎么從邊的關系來叛斷一個三角形是直角三角形呢?這就是本節課要學習的內容.③導入部分的課時分配估計不足，顯得冗長，也一定程度上造成后面的教學時間緊張。應該對導入部分的時效再進行分析簡化。第三、多媒體輔助教學方面存在不足。本節課我沒有利用多媒體輔助教學,如學習目標的發展、習題訓練內容的展示、學生活動的要求、作業布置等,這些內容都是為教學服務的。如果用多媒體課件的展示,可以增大了教學密度,使學生的雙基訓練得到了加強,使傳統的課堂走向了開放,使學生真正感受到學習方式在發生變化。也在一定程度上讓課堂更生動，更具有直觀性，更加吸引學生的注意力，提高課堂效果。在以后的教學中我應加強。

第四,教師專業素養方面的不足。⒈對本節課的教學內容把握上有所欠缺，沒有充分參考<<廣州市義務教育階段學科學業質量評價標準&&里的教學要點，考點,讓自己的授課以它為準.讓課堂符合它的要求.⒉講課的語速過快，應該減速,因為個人的原因習慣的原因，語速可能存在過快,讓學生很難跟的上來,從而影響學生的學習興趣和學習效果。

在備每一節課中,對于課堂的每一個細節,第一刻鐘,第一個教學設計的思考都無不直接影響著你的這一節課,影響著你的課堂效果。靜心思考，反思整個過程是一種全新的收獲，也是全新的開始，讓自己能夠重新起步，向前。