八年級數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)

八年級數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)1

一、教學(xué)任務(wù)分析

勾股定理是平面幾何有關(guān)度量的最基本定理，它從邊的角度進(jìn)一步刻畫了直角三角形的特點(diǎn)。學(xué)習(xí)勾股定理極其逆定理是進(jìn)一步認(rèn)識和理解直角三角形的需要，也是后續(xù)有關(guān)幾何度量運(yùn)算和代數(shù)學(xué)習(xí)的必然基礎(chǔ)。《20xx版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對勾股定理教學(xué)內(nèi)容的要求是：

1、在研究圖形性質(zhì)和運(yùn)動等過程中，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念；

2、在多種形式的數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理能力；

3、經(jīng)歷從不同角度分析問題和解決問題的方法的過程，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性；

4、探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡單的實(shí)際問題。

本節(jié)《勾股定理的應(yīng)用》是北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊第一章《勾股定理》第3節(jié)、具體內(nèi)容是運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決簡單的實(shí)際問題、在這些具體問題的解決過程中，需要經(jīng)歷幾何圖形的抽象過程，需要借助觀察、操作等實(shí)踐活動，這些都有助于發(fā)展學(xué)生的分析問題、解決問題能力和應(yīng)用意識；有些探究活動具有一定的難度，需要學(xué)生相互間的合作交流，有助于發(fā)展學(xué)生合作交流的能力、

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

1、能正確運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決簡單的實(shí)際問題。

2、經(jīng)歷實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，學(xué)會選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力并體會數(shù)學(xué)建模的思想、

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題是重點(diǎn)。

把實(shí)際問題化歸成數(shù)學(xué)模型是難點(diǎn)。

二、教學(xué)設(shè)想

根據(jù)新課標(biāo)提出的“要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和運(yùn)用的同時(shí)，在思維能力情感態(tài)度和價(jià)值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展”的理念，我想盡量給學(xué)生創(chuàng)設(shè)豐富的實(shí)際問題情境 ，使教學(xué)活動充滿趣味性和吸引力，讓他們在自主探究，合作交流中分析問題，建立數(shù)學(xué)模型，利用勾股定理及其逆定理解決問題。在教學(xué)過程中，采用一題多變的形式拓寬學(xué)生視野，訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性，滲透化歸的思想以及分類討論思想，方程思想等，使學(xué)生在獲得知識的同時(shí)提高能力。

在教學(xué)設(shè)計(jì)中，盡量考慮到不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生，注意知識由易到難的層次性，在課堂上，要照顧到接受較慢的學(xué)生。使不同學(xué)生有不同的收獲和發(fā)展。

三、教學(xué)過程分析

本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)環(huán) 《勾股定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)節(jié)、第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：合作探究；第三環(huán)節(jié)：變式訓(xùn)練；第四環(huán)節(jié)：議一議；第五環(huán)節(jié)：做一做；第六環(huán)節(jié)：交流小結(jié)；第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)、

第一環(huán)節(jié)：情境引入

情景1：復(fù)習(xí)提 問：勾股定理的語言表述以及幾何語言表達(dá)？

設(shè)計(jì)意圖：溫習(xí)舊知識，規(guī)范語言及數(shù)學(xué)表達(dá)，體現(xiàn)

數(shù)學(xué)的 嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性。《勾股定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)情景2： 腦筋急轉(zhuǎn)彎一個(gè)三角形的兩條邊是3和4，第三邊是多少？

設(shè)計(jì)意圖：既靈活考察學(xué)生對勾股定理的理解，又增加了趣味性，還能考察學(xué)生三角形三邊關(guān)系。

第二環(huán)節(jié)：合作探究（圓柱體表面路程最短問題）

情景3：課本引例（螞蟻怎樣走最近）

設(shè)計(jì)意圖：從有趣的生活場景引入，學(xué)生探究熱情高漲，通過實(shí)際動手操作，結(jié)合問題逆向思考，或是回想兩點(diǎn)之間線段最短，通過合作交流將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型從而利用勾股定理解決，在活動中體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模，培養(yǎng)學(xué)生與人合作交流的能力，增強(qiáng)學(xué)生探究能力，操作能力，分析能力，發(fā)展空間觀念、

第三環(huán)節(jié)：變式訓(xùn)練（由圓柱體表面路程最短問題逐步變?yōu)殚L方體表面的'距離最短問題）

設(shè)計(jì)意圖：將問題的條件稍做改變，讓學(xué)生嘗試獨(dú)立解決，拓展學(xué)生視野，又加深他們對知識的理解和鞏固。再將圓柱問題變?yōu)檎襟w長方體問題，學(xué)生有了之前的經(jīng)驗(yàn)，自然而然的將立體轉(zhuǎn)化為平面，利用勾股定理解決，此處長方體問題中學(xué)生會有不同的做法，正好透分類討論思想。

第四環(huán)節(jié)：議一議

內(nèi)容：李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺，《勾股定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)（1）你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？

（2）李叔叔量得AD長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎？為什么？

（3）小明隨身只有一個(gè)長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗(yàn)AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？

設(shè)計(jì)意圖：

運(yùn)用勾股定理逆定理來解決實(shí)際問題，讓學(xué)生學(xué)會分析問題，正確合理選擇數(shù)學(xué)模型，感受由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，利用允許的工具靈活處理問題、

第五環(huán)節(jié)：方程與勾股定理

在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個(gè)問題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池的中央有《勾股定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請問這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多 少尺？《勾股定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生可以進(jìn)一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應(yīng)用，了解我國古代人民的聰明才智；學(xué)會運(yùn)用方程的思想借助勾股定理解決實(shí)際問題。、

第六環(huán)節(jié)：交流小結(jié)內(nèi)容：師生相互交流總結(jié)：

1、解決實(shí)際問題的方法是建立數(shù)學(xué)模型求解、

2、在尋求最短路徑時(shí)，往往把空間問題平面化，利用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題、

3、在直角三角形中，已知一條邊和另外兩條邊的關(guān)系，借助方程可以求出另外兩條邊。

意圖：鼓勵學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談自己的收獲和感想，體會到勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用及它們的悠久歷史、《勾股定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)第七環(huán)作業(yè)設(shè)計(jì)：

第一道題難度較小，大部分學(xué)生可以獨(dú)立完成，第二道題有較大難度，可以交流討論完成。

八年級數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)2

教學(xué)目標(biāo)具體要求：

1.知識與技能目標(biāo)：會用勾股定理及直角三角形的判定條件解決實(shí)際問題。

2.過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷勾股定理的應(yīng)用過程，熟練掌握其應(yīng)用方法，明確應(yīng)用的條件。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過自主學(xué)習(xí)的發(fā)展體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識的感受；通過有關(guān)勾股定理的歷史講解，對學(xué)生進(jìn)行德育教育。

重點(diǎn)：

勾股定理的應(yīng)用

難點(diǎn)：

勾股定理的應(yīng)用

教案設(shè)計(jì)

一、知識點(diǎn)講解

知識點(diǎn)1：（已知兩邊求第三邊)

1．在直角三角形中,若兩直角邊的長分別為1cm，2cm，則斜邊長為_____________。

2．已知直角三角形的兩邊長為3、4，則另一條邊長是______________。

3．三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC邊上的高線AD=8,求BC的長？

知識點(diǎn)2：

利用方程求線段長

1、如圖，公路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在公路AB上建一車站E，

（1）使得C，D兩村到E站的距離相等，E站建在離A站多少km處？

（2）DE與CE的位置關(guān)系

（3）使得C，D兩村到E站的距離最短，E站建在離A站多少km處？

利用方程解決翻折問題

2、如圖，用一張長方形紙片ABCD進(jìn)行折紙，已知該紙片寬AB為8cm，長BC為10cm．當(dāng)折疊時(shí)，頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處（折痕為AE）．想一想，此時(shí)EC有多長？

3、在矩形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按圖所示方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，求DE的長。

4.如圖，將一個(gè)邊長分別為4、8的矩形形紙片ABCD折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則EF的長是多少？

5、折疊矩形ABCD的一邊AD,折痕為AE,且使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處,已知AB=8cm,BC=10cm，以B點(diǎn)為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系。求點(diǎn)F和點(diǎn)E坐標(biāo)。

6、邊長為8和4的矩形OABC的兩邊分別在直角坐標(biāo)系的x軸和y軸上，若沿對角線AC折疊后，點(diǎn)B落在第四象限B1處，設(shè)B1C交x軸于點(diǎn)D，求（1）三角形ADC的面積，（2）點(diǎn)B1的坐標(biāo)，（3）AB1所在的直線解析式.

知識點(diǎn)3:判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形間接給出三邊的長度或比例關(guān)系

1.（1）.若一個(gè)三角形的周長12cm,一邊長為3cm,其他兩邊之差為1cm,則這個(gè)三角形是___________。

（2）．將直角三角形的三邊擴(kuò)大相同的倍數(shù)后，得到的三角形是____________。

（3）在ABC中，a：b：c=1:1：，那么ABC的確切形狀是_____________。

2.如圖，正方形ABCD中，邊長為4，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，CE=BC，你能說明∠AFE是直角嗎？

變式：如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且CE=BC，你能說明∠AFE是直角嗎？

3.一位同學(xué)向西南走40米后，又走了50米，再走30米回到原地。問這位同學(xué)又走了50米后向哪個(gè)方向走了

二、課堂小結(jié)

談一談你這節(jié)課都有哪些收獲？

應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題

三、課堂練習(xí)以上習(xí)題。

四、課后作業(yè)卷子。

本節(jié)課是人教版數(shù)學(xué)八年級下冊第十七章第一節(jié)第二課時(shí)的內(nèi)容，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)知識，了解了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的性質(zhì)和一個(gè)三角形是直角三角形的條件的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)勾股定理，加深對勾股定理的理解，提高學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用與理解。本節(jié)第一課時(shí)安排了對勾股定理的觀察、計(jì)算、猜想、證明及簡單應(yīng)用的`過程；第二課時(shí)是通過例題分析與講解，讓學(xué)生感受勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，通過從實(shí)際問題中抽象出直角三角形這一模型，強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的意識和應(yīng)用能力。

針對本班學(xué)生的特點(diǎn)，學(xué)生知識水平、學(xué)習(xí)能力的差距，本節(jié)課安排了如下幾個(gè)環(huán)節(jié)：

一、復(fù)習(xí)引入

對上節(jié)課勾股定理內(nèi)容進(jìn)行回顧，強(qiáng)調(diào)易錯點(diǎn)。由于學(xué)生的注意力集中時(shí)間較短，學(xué)生知識水平低，引入內(nèi)容簡短明了，花費(fèi)時(shí)間短。

二、例題講解，鞏固練習(xí)，總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法

活動一：用對媒體展示搬運(yùn)工搬木板的問題，讓學(xué)生以小組交流合作，如何將木板運(yùn)進(jìn)門內(nèi)？需要知道們的寬、高，還是其他的條件？學(xué)生展示交流結(jié)果，之后教師引導(dǎo)學(xué)生書寫板書。整個(gè)活動以學(xué)生為主體，教師及時(shí)的引導(dǎo)和強(qiáng)調(diào)。

活動二：解決例二梯子滑落的問題。學(xué)生自主討論解決問題，書寫過程，之后投影學(xué)生書寫過程，教師與學(xué)生一起合作修改解題過程。

活動三：學(xué)生討論總結(jié)如何將實(shí)際生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后利用勾股定理解決問題。利用勾股定理的前提是什么？如何作輔助線構(gòu)造這一前提條件？在數(shù)學(xué)活動中發(fā)展了學(xué)生的探究意識和合作交流的習(xí)慣；體會勾股定理的應(yīng)用價(jià)值，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用到生活中去，在學(xué)習(xí)的過程中體會獲得成功的喜悅，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。

二、鞏固練習(xí)，熟練新知

通過測量旗桿活動，發(fā)展學(xué)生的探究意識，培養(yǎng)學(xué)生動手操作的能力，增加學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)和感受。

在教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)施中，也存在著一些問題：

1.由于本班學(xué)生能力的差距，本想著通過學(xué)生幫帶活動，使學(xué)困生充分參與課堂，但在學(xué)生合作交流是由于學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生，對問題的分析解決所用時(shí)間短，而在整個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)中轉(zhuǎn)接的快，未給學(xué)困生充分的時(shí)間，導(dǎo)致部分學(xué)生未能真正的參與到課堂中來。

2.課堂上質(zhì)疑追問要起到好處，不要增加學(xué)生展示的難度，影響展示進(jìn)程出現(xiàn)中斷或偏離主題的現(xiàn)象。

3.對學(xué)生課堂展示的評價(jià)方式應(yīng)體現(xiàn)生評生，師評生，及評價(jià)的針對性和及時(shí)性。

八年級數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)3

教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能目標(biāo)

學(xué)會觀察圖形，勇于探索圖形間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、

2、過程與方法

（1）經(jīng)歷一般規(guī)律的探索過程，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力、

（2）在將實(shí)際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想、

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀

（1）通過有趣的問題提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、

（2）在解決實(shí)際問題的過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性、

教學(xué)重點(diǎn)：

探索、發(fā)現(xiàn)事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實(shí)際問題、

教學(xué)難點(diǎn)：

利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實(shí)際問題、

教學(xué)準(zhǔn)備：

多媒體課件

教學(xué)過程：

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課（3分鐘，學(xué)生觀察、猜想）

情景：

如圖：在一個(gè)圓柱石凳上，若小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)

食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于

是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？

第二環(huán)節(jié)：合作探究（15分鐘，學(xué)生分組合作探究）

學(xué)生分為4人活動小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方案，在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計(jì)算方法，通過具體計(jì)算，總結(jié)出最短路線。讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究兩點(diǎn)連線最短問題，引導(dǎo)學(xué)生體會利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的方法：建立數(shù)學(xué)模型，構(gòu)圖，計(jì)算、

學(xué)生匯總了四種方案：

（1）（2）（

學(xué)生很容易算出：情形（1）中A→B的路線長為：AA’+d，

情形（2）中A→B的路線長為：AA’+πd／2

所以情形（1）的路線比情形（2）要短、

學(xué)生在情形（3）和（4）的比較中出現(xiàn)困難，但還是有學(xué)生提出用剪刀沿母線AA’剪開圓柱得到矩形，前三種情形A→B是折線，而情形（4）是線段，故根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷（4）最短、

如圖：

（1）中A→B的路線長為：AA’+d；

（2）中A→B的`路線長為：AA’+A’B>AB；

（3）中A→B的路線長為：AO+OB>AB；

（4）中A→B的路線長為：AB。

得出結(jié)論：利用展開圖中兩點(diǎn)之間，線段最短解決問題、

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，可讓學(xué)生沿母線剪開圓柱體，具體觀察、

接下來后提問：怎樣計(jì)算AB？

在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3，則。

第三環(huán)節(jié)：做一做（7分鐘，學(xué)生合作探究）

教材23頁

李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺，

（1）你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？

（2）李叔叔量得AD長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎？為什么？

（3）小明隨身只有一個(gè)長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗(yàn)AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？

第四環(huán)節(jié)：鞏固練習(xí)（10分鐘，學(xué)生獨(dú)立完成）

1、甲、乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn)，某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6km/h的速度向正東行走，1小時(shí)后乙出發(fā)，他以5km/h的速度向正北行走、上午10：00，甲、乙兩人相距多遠(yuǎn)？

2、如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，它怎么走最近？并求出最近距離、

3、有一個(gè)高為1。5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0。5米，問這根鐵棒有多長？

第五環(huán)節(jié)課堂小結(jié)（3分鐘，師生問答）

內(nèi)容：

1、如何利用勾股定理及逆定理解決最短路程問題？

第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)（2分鐘，學(xué)生分別記錄）

內(nèi)容：

作業(yè)：1、課本習(xí)題1、5第1，2，3題、

要求：A組（學(xué)優(yōu)生）：1、2、3

B組（中等生）：1、2

C組（后三分之一生）：1

第十七章　勾股定理

17．1　勾股定理

第1課時(shí)　勾股定理(1)

了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，理解并掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理，能應(yīng)用勾股定理進(jìn)行簡單的計(jì)算．

重點(diǎn)

勾股定理的內(nèi)容和證明及簡單應(yīng)用．

難點(diǎn)

勾股定理的證明．

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

讓學(xué)生畫一個(gè)直角邊分別為3

cm和4

cm的直角△ABC，用刻度尺量出斜邊的長．

再畫一個(gè)兩直角邊分別為5和12的直角△ABC，用刻度尺量出斜邊的長．

你是否發(fā)現(xiàn)了32＋42與52的關(guān)系，52＋122與132的關(guān)系，即32＋42＝52，52＋122＝132，那么就有勾2＋股2＝弦2.對于任意的直角三角形也有這個(gè)性質(zhì)嗎？

由一學(xué)生朗讀“畢達(dá)哥拉斯觀察地面圖案發(fā)現(xiàn)勾股定理”的傳說，引導(dǎo)學(xué)生觀察身邊的地面圖形，猜想畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了什么？

拼圖實(shí)驗(yàn)，探求新知

1．多媒體課件演示教材第22～23頁圖17.1－2和圖17.1－3，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考．

2．組織學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)．

問題：每組的三個(gè)正方形之間有什么關(guān)系？試說一說你的想法．

引導(dǎo)學(xué)生用拼圖法初步體驗(yàn)結(jié)論．

生：這兩組圖形中，每組的大正方形的面積都等于兩個(gè)小正方形的面積和．

師：這只是猜想，一個(gè)數(shù)學(xué)命題的成立，還要經(jīng)過我們的證明．

歸納驗(yàn)證，得出定理

(1)猜想：命題1：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.(2)是不是所有的直角三角形都有這樣的特點(diǎn)呢？這就需要對一個(gè)一般的直角三角形進(jìn)行證明．到目前為止，對這個(gè)命題的證明已有幾百種之多，下面我們就看一看我國數(shù)學(xué)家趙爽是怎樣證明這個(gè)定理的．

①用多媒體課件演示．

②小組合作探究：

a．以直角三角形ABC的兩條直角邊a，b為邊作兩個(gè)正方形，你能通過剪、拼把它拼成弦圖的樣子嗎？

b．它們的面積分別怎樣表示？它們有什么關(guān)系？

c．利用學(xué)生自己準(zhǔn)備的紙張拼一拼，擺一擺，體驗(yàn)古人趙爽的證法．想一想還有什么方法？

師：通過拼擺，我們證實(shí)了命題1的正確性，命題1與直角三角形的邊有關(guān)，我國把它稱為勾股定理．

即在我國古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾，長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦．

二、例題講解

【例1】填空題．

(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，則c＝________；

(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，則c＝________；

(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，則a＝________，b＝________；

(4)一個(gè)直角三角形的三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為________；

(5)已知等邊三角形的邊長為2

cm，則它的高為________cm，面積為________cm2.【答案】(1)17(2)(3)6　8(4)6，8，10(5)

【例2】已知直角三角形的兩邊長分別為5和12，求第三邊．

分析：已知兩邊中，較大邊12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應(yīng)分兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算．讓學(xué)生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想．

【答案】或13

三、鞏固練習(xí)

填空題．

在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)如果a＝7，c＝25，則b＝________；

(2)如果∠A＝30°，a＝4，則b＝________；

(3)如果∠A＝45°，a＝3，則c＝________；

(4)如果c＝10，a－b＝2，則b＝________；

(5)如果a，b，c是連續(xù)整數(shù)，則a＋b＋c＝________；

(6)如果b＝8，a∶c＝3∶5，則c＝________．

【答案】(1)24(2)4(3)3(4)6(5)12

(6)10

四、課堂小結(jié)

1．本節(jié)課學(xué)到了什么數(shù)學(xué)知識？

2．你了解了勾股定理的發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證方法了嗎？

3．你還有什么困惑？

本節(jié)課的設(shè)計(jì)關(guān)注學(xué)生是否積極參與探索勾股定理的活動，關(guān)注學(xué)生能否在活動中積極思考、能夠探索出解決問題的方法，能否進(jìn)行積極的聯(lián)想(數(shù)形結(jié)合)以及學(xué)生能否有條理地表達(dá)活動過程和所獲得的結(jié)論等．關(guān)注學(xué)生的拼圖過程，鼓勵學(xué)生結(jié)合自己所拼得的正方形驗(yàn)證勾股定理．　　　　　　　　　　　　　　　　　　第2課時(shí)　勾股定理(2)

能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型，并能用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題．

重點(diǎn)

將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型．

難點(diǎn)

如何用解直角三角形的知識和勾股定理來解決實(shí)際問題．

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

問題1：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需要多長的梯子？

師生行為：

學(xué)生分小組討論，建立直角三角形的數(shù)學(xué)模型．

教師深入到小組活動中，傾聽學(xué)生的想法．

生：根據(jù)題意，(如圖)AC是建筑物，則AC＝12

m，BC＝5

m，AB是梯子的長度，所以在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132，則AB＝13

m.所以至少需13

m長的梯子．

師：很好！

由勾股定理可知，已知兩直角邊的長分別為a，b，就可以求出斜邊c的長．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知，已知斜邊與一條直角邊的長，就可以求出另一條直角邊的長，也就是說，在直角三角形中，已知兩邊就可求出第三邊的長．

問題2：一個(gè)門框的尺寸如圖所示，一塊長3

m、寬2.2

m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？

學(xué)生分組討論、交流，教師深入到學(xué)生的數(shù)學(xué)活動中，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)問題，尋找解決問題的途徑．

生1：從題意可以看出，木板橫著進(jìn)，豎著進(jìn)，都不能從門框內(nèi)通過，只能試試斜著能否通過．

生2：在長方形ABCD中，對角線AC是斜著能通過的最大長度，求出AC，再與木板的寬比較，就能知道木板是否能通過．

師生共析：

解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.因此AC＝≈2.236.因?yàn)锳C>木板的寬，所以木板可以從門框內(nèi)通過．

二、例題講解

【例1】如圖，山坡上兩棵樹之間的坡面距離是4米，則這兩棵樹之間的垂直距離是________米，水平距離是________米．

分析：由∠CAB＝30°易知垂直距離為2米，水平距離是6米．

【答案】2　6

【例2】教材第25頁例2

三、鞏固練習(xí)

1．如圖，欲測量松花江的寬度，沿江岸取B，C兩點(diǎn)，在江對岸取一點(diǎn)A，使AC垂直江岸，測得BC＝50米，∠B＝60°，則江面的寬度為________．

【答案】50米

2．某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C偏離欲到達(dá)地點(diǎn)B

200米，結(jié)果他在水中實(shí)際游了520米，求該河流的寬度．

【答案】約480

m

四、課堂小結(jié)

1．談?wù)勛约涸谶@節(jié)課的收獲有哪些？會用勾股定理解決簡單的應(yīng)用題；會構(gòu)造直角三角形．

2．本節(jié)是從實(shí)驗(yàn)問題出發(fā)，轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，并用勾股定理完成解答．

這是一節(jié)實(shí)際應(yīng)用課，過程中要充分發(fā)揮學(xué)生的主導(dǎo)性，鼓勵學(xué)生動手、動腦，經(jīng)歷將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型的過程，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鍛煉了學(xué)生獨(dú)立思考的能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　第3課時(shí)　勾股定理(3)

1．利用勾股定理證明：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．

2．利用勾股定理，能在數(shù)軸上找到表示無理數(shù)的點(diǎn)．

3．進(jìn)一步學(xué)習(xí)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型，并能用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題．

重點(diǎn)

在數(shù)軸上尋找表示，，…這樣的表示無理數(shù)的點(diǎn)．

難點(diǎn)

利用勾股定理尋找直角三角形中長度為無理數(shù)的線段．

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

復(fù)習(xí)勾股定理的內(nèi)容．

本節(jié)課探究勾股定理的綜合應(yīng)用．

師：在八年級上冊，我們曾經(jīng)通過畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．你們能用勾股定理證明這一結(jié)論嗎？

學(xué)生思考并獨(dú)立完成，教師巡視指導(dǎo)，并總結(jié)．

先畫出圖形，再寫出已知、求證如下：

已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求證：△ABC≌△A′B′C′.證明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根據(jù)勾股定理，得BC＝，B′C′＝.又AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．

師：我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上表示出所對應(yīng)的點(diǎn)嗎？

教師可指導(dǎo)學(xué)生尋找像長度為，，…這樣的包含在直角三角形中的線段．

師：由于要在數(shù)軸上表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，，…，所以只需畫出長為，，…的線段即可，我們不妨先來畫出長為，，…的線段．

生：長為的線段是直角邊都為1的直角三角形的斜邊，而長為的線段是直角邊為1和2的直角三角形的斜邊．

師：長為的線段能否是直角邊為正整數(shù)的直角三角形的斜邊呢？

生：設(shè)c＝，兩直角邊長分別為a，b，根據(jù)勾股定理a2＋b2＝c2，即a2＋b2＝13.若a，b為正整數(shù)，則13必須分解為兩個(gè)平方數(shù)的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，則a＝2，b＝3，所以長為的線段是直角邊長分別為2，3的直角三角形的斜邊．

師：下面就請同學(xué)們在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)．

生：步驟如下：

1．在數(shù)軸上找到點(diǎn)A，使OA＝3.2．作直線l垂直于OA，在l上取一點(diǎn)B，使AB＝2.3．以原點(diǎn)O為圓心、以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為表示的點(diǎn)．

二、例題講解

【例1】飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂正上方4800米處，過了10秒后，飛機(jī)距離這個(gè)男孩頭頂5000米，飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米？

分析：根據(jù)題意，可以畫出如圖所示的圖形，A點(diǎn)表示男孩頭頂?shù)奈恢茫珻，B點(diǎn)是兩個(gè)時(shí)刻飛機(jī)的位置，∠C是直角，可以用勾股定理來解決這個(gè)問題．

解：根據(jù)題意，得在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5000米，AC＝4800米．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，即50002＝BC2＋48002，所以BC＝1400米．

飛機(jī)飛行1400米用了10秒，那么它1小時(shí)飛行的距離為1400×6×60＝504000(米)＝504(千米)，即飛機(jī)飛行的速度為504千米/時(shí)．

【例2】在平靜的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一陣風(fēng)吹來，水草被吹到一邊，草尖齊至水面，已知水草移動的水平距離為6分米，問這里的水深是多少？

解：根據(jù)題意，得到上圖，其中D是無風(fēng)時(shí)水草的最高點(diǎn)，BC為湖面，AB是一陣風(fēng)吹過水草的位置，CD＝3分米，CB＝6分米，AD＝AB，BC⊥AD，所以在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋3)2＝AC2＋62，AC2＋6AC＋9＝AC2＋36，∴6AC＝27，AC＝4.5，所以這里的水深為4.5分米．

【例3】在數(shù)軸上作出表示的點(diǎn)．

解：以為長的邊可看作兩直角邊分別為4和1的直角三角形的斜邊，因此，在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)，如下圖：

師生行為：

由學(xué)生獨(dú)立思考完成，教師巡視指導(dǎo)．

此活動中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注以下兩個(gè)方面：

①學(xué)生能否積極主動地思考問題；

②能否找到斜邊為，另外兩條直角邊為整數(shù)的直角三角形．

三、課堂小結(jié)

1．進(jìn)一步鞏固、掌握并熟練運(yùn)用勾股定理解決直角三角形問題．

2．你對本節(jié)內(nèi)容有哪些認(rèn)識？會利用勾股定理得到一些無理數(shù)，并理解數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)．

本節(jié)課的教學(xué)中，在培養(yǎng)邏輯推理的能力方面，做了認(rèn)真的考慮和精心的設(shè)計(jì)，把推理證明作為學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)，注重?cái)?shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和接受水平出發(fā)，這些理念貫徹到課堂教學(xué)當(dāng)中，很好地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生善于提出問題、敢于提出問題、解決問題的能力．

17.2　勾股定理的逆定理

第1課時(shí)　勾股定理的逆定理(1)

1．掌握直角三角形的判別條件．

2．熟記一些勾股數(shù)．

3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．

重點(diǎn)

探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命題、原命題、逆命題的有關(guān)概念及關(guān)系．

難點(diǎn)

歸納猜想出命題2的結(jié)論．

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

活動探究

(1)總結(jié)直角三角形有哪些性質(zhì)；

(2)一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)才能是直角三角形？

生：直角三角形有如下性質(zhì)：(1)有一個(gè)角是直角；(2)兩個(gè)銳角互余；(3)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所對的直角邊是斜邊的一半．

師：那么一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)，才能是直角三角形呢？

生1：如果三角形有一個(gè)內(nèi)角是90°，那么這個(gè)三角形就為直角三角形．

生2：如果一個(gè)三角形，有兩個(gè)角的和是90°，那么這個(gè)三角形也是直角三角形．

師：前面我們剛學(xué)習(xí)了勾股定理，知道一個(gè)直角三角形的兩直角邊a，b與斜邊c具有一定的數(shù)量關(guān)系即a2＋b2＝c2，我們是否可以不用角，而用三角形三邊的關(guān)系來判定它是否為直角三角形呢？我們來看一下古埃及人是如何做的？

問題：據(jù)說古埃及人用下圖的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后以3個(gè)結(jié)、4個(gè)結(jié)、5個(gè)結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角．

這個(gè)問題意味著，如果圍成的三角形的三邊長分別為3，4，5，有下面的關(guān)系：32＋42＝52，那么圍成的三角形是直角三角形．

畫畫看，如果三角形的三邊長分別為2.5

cm，6

cm，6.5

cm，有下面的關(guān)系：2.52＋62＝6.52，畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為4

cm，7.5

cm，8.5

cm，再試一試．

生1：我們不難發(fā)現(xiàn)上圖中，第1個(gè)結(jié)到第4個(gè)結(jié)是3個(gè)單位長度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5.因?yàn)?2＋42＝52，所以我們圍成的三角形是直角三角形．

生2：如果三角形的三邊長分別是2.5

cm，6

cm，6.5

cm.我們用尺規(guī)作圖的方法作此三角形，經(jīng)過測量后，發(fā)現(xiàn)6.5

cm的邊所對的角是直角，并且2.52＋62＝6.52.再換成三邊長分別為4

cm，7.5

cm，8.5

cm的三角形，可以發(fā)現(xiàn)8.5

cm的邊所對的角是直角，且有42＋7.52＝8.52.師：很好！我們通過實(shí)際操作，猜想結(jié)論．

命題2　如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．

再看下面的命題：

命題1　如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.它們的題設(shè)和結(jié)論各有何關(guān)系？

師：我們可以看到命題2與命題1的題設(shè)、結(jié)論正好相反，我們把像這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中的一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題．例如把命題1當(dāng)成原命題，那么命題2是命題1的逆命題．

二、例題講解

【例1】說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？

(1)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行；

(2)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等；

(3)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；

(4)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．

分析：(1)每個(gè)命題都有逆命題，說逆命題時(shí)注意將題設(shè)和結(jié)論調(diào)換即可，但要分清題設(shè)和結(jié)論，并注意語言的運(yùn)用；

(2)理順?biāo)鼈冎g的關(guān)系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真一假，還可能都假．

解略．

三、鞏固練習(xí)

教材第33頁練習(xí)第2題．

四、課堂小結(jié)

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對本節(jié)內(nèi)容有哪些認(rèn)識？

學(xué)生發(fā)言，教師點(diǎn)評．

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，將教學(xué)內(nèi)容精簡化，實(shí)行分層教學(xué)．根據(jù)學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生更好地體會分割的思想．設(shè)計(jì)的題型前后呼應(yīng)，使知識有序推進(jìn)，有助于學(xué)生理解和掌握；讓學(xué)生通過合作、交流、反思、感悟的過程，激發(fā)學(xué)生探究新知的興趣，感受探索、合作的樂趣，并從中獲得成功的體驗(yàn)，真正體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人．將目標(biāo)分層后，滿足不同層次學(xué)生的做題要求，達(dá)到鞏固課堂知識的目的．

第2課時(shí)　勾股定理的逆定理(2)

1．理解并掌握證明勾股定理的逆定理的方法．

2．理解逆定理、互逆定理的概念．

重點(diǎn)

勾股定理的逆定理的證明及互逆定理的概念．

難點(diǎn)

理解互逆定理的概念．

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

師：我們學(xué)過的勾股定理的內(nèi)容是什么？

生：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.師：根據(jù)上節(jié)課學(xué)過的內(nèi)容，我們得到了勾股定理逆命題的內(nèi)容：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．

師：命題2是命題1的逆命題，命題1我們已證明過它的正確性，命題2正確嗎？如何證明呢？

師生行為：

讓學(xué)生試著尋找解題思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生理清證明的思路．

師：△ABC的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2.如果△ABC是直角三角形，它應(yīng)與直角邊是a，b的直角三角形全等，實(shí)際情況是這樣嗎？

我們畫一個(gè)直角三角形A′B′C′，使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90°(如圖)，把畫好的△A′B′C′剪下，放在△ABC上，它們重合嗎？

生：我們所畫的Rt△A′B′C′，(A′B′)2＝a2＋b2，又因?yàn)閏2＝a2＋b2，所以(A′B′)2＝c2，即A′B′＝c.△ABC和△A′B′C′三邊對應(yīng)相等，所以兩個(gè)三角形全等，∠C＝∠C′＝90°，所以△ABC為直角三角形．

即命題2是正確的．

師：很好！我們證明了命題2是正確的，那么命題2就成為一個(gè)定理．由于命題1證明正確以后稱為勾股定理，命題2又是命題1的逆命題，在此，我們就稱定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理稱為互逆定理．

師：但是不是原命題成立，逆命題一定成立呢？

生：不一定，如命題“對頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個(gè)角相等，那么它們是對頂角”不成立．

師：你還能舉出類似的例子嗎？

生：例如原命題：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對值也相等．

逆命題：如果兩個(gè)數(shù)的絕對值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等．

顯然原命題成立，而逆命題不一定成立．

二、新課教授

【例1】教材第32頁例1

【例2】教材第33頁例2

【例3】一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角．工人師傅量出了這個(gè)零件各邊的尺寸，那么這個(gè)零件符合要求嗎？

分析：這是一個(gè)利用直角三角形的判定條件解決實(shí)際問題的例子．

解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．

在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．

因此這個(gè)零件符合要求．

三、鞏固練習(xí)

1．小強(qiáng)在操場上向東走80

m后，又走了60

m，再走100

m回到原地．小強(qiáng)在操場上向東走了80

m后，又走60

m的方向是________．

【答案】向正南或正北

2．如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A，B兩個(gè)基地前去攔截，6分鐘后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截．已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，航向?yàn)楸逼?0°，求甲巡邏艇的航向．

【答案】解：由題意可知：AC＝120×6×＝12，BC＝50×6×＝5，122＋52＝132.又AB＝13，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠CAB＝40°，航向?yàn)楸逼珫|50°.四、課堂小結(jié)

1．同學(xué)們對本節(jié)的內(nèi)容有哪些認(rèn)識？

2．勾股定理的逆定理及其應(yīng)用，熟記幾組勾股數(shù)．

本節(jié)課我采用以學(xué)生為主體，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、操作探究的教學(xué)設(shè)計(jì)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和認(rèn)知水平，最大限度地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，有利于培養(yǎng)學(xué)生動手、觀察、分析、猜想、驗(yàn)證、推理的能力，切實(shí)使學(xué)生在獲取知識的過程中得到能力的培養(yǎng)．