第十七章

勾股定理（應(yīng)用題篇）

知識(shí)梳理+九大例題分析+經(jīng)典同步練習(xí)

知識(shí)梳理

方法提煉：解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，解決這一類幾何型問題的具體步驟大致可以歸納如下：

1．審題—分析實(shí)際問題；

2．建模—建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

3．求解—運(yùn)用勾股定理計(jì)算；

4．檢驗(yàn)—是否符合實(shí)際問題的真實(shí)性．

題型總結(jié)：確定幾何體上的最短路線，先將立體圖形展開成平面圖形，注意展開方式，再構(gòu)造直角三角形來求解最短距離；

在求一些高度、長度、距離、寬度等量時(shí)，首先要結(jié)合題意畫出符合要求的直角三角形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題再利用勾股定理進(jìn)行求解。

關(guān)鍵詞：直角三角形（尋找直角三角形、構(gòu)造直角三角形）

典型例題

例題1．如圖，是一高為2m，寬為1.5m的門框，李師傳有3塊薄木板，尺寸如下：①號(hào)木板長3m，寬2.7m；②號(hào)木板長2.8m，寬2.8m；③號(hào)木板長4m，寬2.4m．可以從這扇門通過的木板是（）

A．①號(hào)

B．②號(hào)

C．③號(hào)

D．均不能通過

例題2．如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的頂端A到墻根O的距離為24m，梯子的底端B到墻根O的距離為7m，一不小心梯子頂端A下滑了4米到C，底端B滑動(dòng)到D，那么BD的長是（）

A．2m

B．4m

C．6m

D．8m

例題3．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有一個(gè)問題，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一

尺，引葭赴岸，適與岸齊，問葭長幾何．翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖，有一個(gè)水池，水面是邊長為

10尺的正方形，在水池的正中央有一根蘆葦，它高出水面

尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則這根蘆葦?shù)拈L度是（）

A．10

尺

B．11

尺

C．12

尺

D．13

尺

例題4．圖1是我國著名的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形所圍成．將四個(gè)直角三角形的較短邊(如)向外延長1倍得到點(diǎn)，，并連結(jié)得到圖2.已知正方形與正方形的面積分別為和，則圖2中陰影部分的面積是()

A．

B．

C．

D．

例題5．如圖所示，公路和公路在點(diǎn)處交匯，點(diǎn)處有一所中學(xué)，點(diǎn)到公路的距離為．假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍以內(nèi)會(huì)受到噪聲影響，那么拖拉機(jī)在公路上沿方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響？請(qǐng)說明影響，已知拖拉機(jī)的速度為，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？

例題6．如圖，在一次夏令營活動(dòng)中，小明從營地A出發(fā)，沿北偏東60°方向走了m

到達(dá)點(diǎn)B，然后再沿北偏西30°方向走了50m到達(dá)目的地C．

（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離；

（2）確定目的地C在營地A的北偏東多少度方向．

例題7．臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，此時(shí)某臺(tái)風(fēng)中心在海域

B

處，在沿海城市

A的正南方向

240

千米，其中心風(fēng)力為12

級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心

千米，臺(tái)風(fēng)就會(huì)減弱一級(jí)，如圖所示，該臺(tái)風(fēng)中心正以

千米/時(shí)的速度沿

BC

方向移動(dòng)．已知

AD⊥BC

且AD=

AB，且臺(tái)風(fēng)中心的風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過

級(jí)，則稱受臺(tái)風(fēng)影響．試問：

（1）A

城市是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響？請(qǐng)說明理由．

（2）若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長？

（3）該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？

例題8．一種盛飲料的圓柱形杯，測得內(nèi)部底面半徑為2.5cm，高為12cm，吸管放進(jìn)杯里（如圖所示），杯口外面至少要露出3.6cm，為節(jié)省材料，管長acm的取值范圍是__．

例題9．如圖，某人欲從點(diǎn)A處入水橫渡一條河，由于水流的影響，他實(shí)際上岸的地點(diǎn)C偏離欲到達(dá)的地點(diǎn)B200m，結(jié)果他在水中實(shí)際游了250m，求該河流的寬度為________m.一、單選題

1．如圖，為了測量池塘的寬度，在池塘周圍的平地上選擇了、、三點(diǎn)，且、、、四點(diǎn)在同一條直線上，已測得，，則池塘的寬度（）

A．

B．

C．

D．

2．如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相聚8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了（）米．

A．

B．

C．

D．

3．如圖，在燈塔O的東北方向8海里處有一輪船A，在燈塔的東南方向6海里處有一漁船B，則AB間的距離為（）

A．9海里

B．10海里

C．11海里

D．12海里

4．如圖所示，一場暴雨過后，垂直于地面的一棵大樹在距地面5米的C處折斷，樹尖B恰好碰到地面，經(jīng)測量樹尖B與樹樁A相距12米，則大樹折斷前高為（）

A．13米

B．17米

C．18米

D．22米

5．將一根的細(xì)木棍放入長，寬，高分別為，的長方體盒子中，則細(xì)木棍露在外面的最短長度為（）．

A．8

B．7

C．6

D．5

6．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，若，大正方形的面積為，則小正方形的邊長為（）

A．

B．

C．

D．

7．如圖，快艇從地出發(fā)，要到距離地10海里的地去，先沿北偏東70°方向走了8海里，到達(dá)地，然后再從地走了6海里到達(dá)地，此時(shí)快艇位于地的（）．

A．北偏東20°方向上

B．北偏西20°方向上

C．北偏西30°方向上

D．北偏西40°方向上

8．如圖所示，以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連接PD，在BA的延長線上取點(diǎn)F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上，則AM的長為（）

A．﹣1

B．

C．3﹣

D．6﹣2

9．如圖，一個(gè)梯子斜靠在一豎直的墻上，測得米.若梯子的頂端沿墻下滑米，這時(shí)梯子的底端也恰好外移米，則梯子的長度為

（）

A．米

B．米

C．米

D．米

10．M

城氣象中心測得臺(tái)風(fēng)中心在M

城正北方向

240km的P

處，以每小時(shí)

45km的速度向南偏東

30°的PB

方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心

150km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域，則

M

城

受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為（）小時(shí)．

A．4

B．5

C．6

D．7

11．2019年10月1日，中華人民共和國70年華誕之際，王梓涵和學(xué)校國旗護(hù)衛(wèi)隊(duì)的其他同學(xué)們趕到學(xué)校舉行了簡樸而降重的升旗儀式．傾聽著雄壯的國歌聲，目送著五星紅旗級(jí)緩升起，不禁心潮澎湃，愛國之情油然而生．愛動(dòng)腦筋的王梓涵設(shè)計(jì)了一個(gè)方案來測量學(xué)校旗桿的高度．將升旗的繩子拉直到末端剛好接觸地面，測得此時(shí)繩子末端距旗桿底端2米，然后將繩子末端拉直到距離旗桿5m處，測得此時(shí)繩子末端距離地面高度為1m，最后根據(jù)剛剛學(xué)習(xí)的勾股定理就能算出旗桿的高度為（）

A．10m

B．11m

C．12m

D．13m

12．圖1是我國著名的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形所圍成．將四個(gè)直角三角形的較短邊(如)向外延長1倍得到點(diǎn)，，并連結(jié)得到圖2.已知正方形與正方形的面積分別為和，則圖2中陰影部分的面積是()

A．

B．

C．

D．

二、填空題

13．如圖，正方形OABC的邊OC落在數(shù)軸上，點(diǎn)C表示的數(shù)為1，點(diǎn)P表示的數(shù)為﹣1，以P點(diǎn)為圓心，PB長為半徑作圓弧與數(shù)軸交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D表示的數(shù)為___________．

14．如圖，一個(gè)邊長為4cm的正方體，A、B為兩相對(duì)的頂點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A沿表面爬到點(diǎn)B，它爬行的最短距離為________cm．

15．如圖，鐵路MN和公路PQ在O點(diǎn)處交匯，公路PQ上A處點(diǎn)距離O點(diǎn)240米，距離MN

120米，如果火車行駛時(shí)，周圍兩百米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么火車在鐵路MN上沿ON方向，以144千米/時(shí)的速度行駛時(shí)，A處受噪音影響的時(shí)間是_______s

16．將一根24cm的筷子，置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱體中，如圖，設(shè)筷子露出在杯子外面長為hcm，則h的最小值__，h的最大值__．

17．如圖，把直角三角形紙片折疊，使點(diǎn)C落在C′處，折痕為AD，得到∠CDC′＝60°．若∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝，則CD＝_____．

18．《九章算術(shù)》是我國古代一部著名的數(shù)學(xué)專著，其中記載了一個(gè)“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，問折者高幾何？其意思是：有一根與地面垂直且高一丈的竹子（丈尺），現(xiàn)被大風(fēng)折斷成兩截，尖端落在地面上，竹尖與竹根的距離為三尺，問折斷處離地面的距離為__________．

19．如圖，已知在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，聯(lián)結(jié)，那么線段的長為________．

20．（2019高橋期中考）如圖，折疊長方形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊上的F點(diǎn)處，若AB=8cm，BC=10cm，則EC長為__________．

21．如圖，東西海岸線上有、兩個(gè)碼頭，相距6千米，燈塔到碼頭距離為千米．燈塔在碼頭的北偏東方向，則燈塔與直線的距離為______千米．

22．將一根長24cm的筷子置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長為h

cm,則h的取值范圍是__________.23．在中，以為斜邊作等腰直角，連接，若，則的長為______．

24．在銳角三角形ABC中．BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分別是邊BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM＋MN的最小值是____．

三、解答題

25．如圖，小東將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端12米處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約4米，請(qǐng)算出旗桿的高度．

26．如圖，鐵路MN和鐵路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處是重慶市第九十四中學(xué)，AP＝160米，點(diǎn)A到鐵路MN的距離為80米，假使火車行駛時(shí)，周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響．

（1）火車在鐵路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響？請(qǐng)說明理由．

（2）如果受到影響，已知火車的速度是180千米/時(shí)那么學(xué)校受到影響的時(shí)間是多久？

27．現(xiàn)代電視屏幕尺寸的設(shè)計(jì)，主要追求以下目標(biāo)：一是更符合人體工程學(xué)要求（寬與長的比接近與0.618）；二是設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)拈L寬比使屏幕的面積盡可能大現(xiàn)行的電視機(jī)屏幕有“寬屏”和“普屏”兩種制式，寬屏的長寬比為；普屏的長寬比為．

（1）哪種屏幕更適合人體工程學(xué)要求？請(qǐng)說明理由．

（2）一般地，電視屏幕的“幾寸”指的是這個(gè)屏幕的長方形的對(duì)角線長有多少英寸，1英寸，小明家想買80寸的寬屏電視機(jī)（邊框?qū)挾紴椋⑶度氲綁χ校畡t需要預(yù)留的長方形位置的長、寬各多少？（最后結(jié)果保留到整數(shù)，）

（3）在相同尺寸的電視機(jī)屏幕中，寬屏的屏幕面積大還是普屏的屏幕面積大？請(qǐng)說明理由．

28．如圖，在離水面高度為5米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子BC的長為13米，此人以0.5米每秒的速度收繩，10秒后船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，問船向岸邊移動(dòng)了多少米？（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號(hào)）

29．如圖所示，A、B兩塊試驗(yàn)田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．

甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；

乙方案；過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進(jìn)行修筑．

（1）請(qǐng)判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；

（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請(qǐng)通過計(jì)算說明．

30．（問題探究）

(1)如圖①，點(diǎn)E是正△ABC高AD上的一定點(diǎn),請(qǐng)?jiān)贏B上找一點(diǎn)F，使EF=AE，并說明理由；

(2)如圖②，點(diǎn)M是邊長為2的正△ABC高AD上的一動(dòng)點(diǎn)，求AM+MC的最小值；

（問題解決）

(3)如圖③，A、B兩地相距600km,AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路，點(diǎn)B到AC的最短距離為360km．今計(jì)劃在鐵路線AC上修一個(gè)中轉(zhuǎn)站M，再在BM間修一條筆直的公路。如果同樣的物資在每千米公路上的運(yùn)費(fèi)是鐵路上的兩倍。那么，為使通過鐵路由A到M再通過公路由M到B的總運(yùn)費(fèi)達(dá)到最小值，請(qǐng)確定中轉(zhuǎn)站M的位置,并求出AM的長．(結(jié)果保留根號(hào))

31．著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長都為，較小的直角邊長都為，斜邊長都為），大正方形的面積可以表示為，也可以表示為，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為，斜邊長為，則．

（1）圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖②推導(dǎo)勾股定理．

（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)，其中，由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)（、、在同一條直線上），并新修一條路，且，測得千米，千米，求新路比原路少多少千米？

（3）在第（2）問中若時(shí)，，，設(shè)，求的值．