勾股定理的應用

一、單選題

1．如圖，一架云梯長為25米，頂端A靠在墻上，此時云梯底端B與墻角C距離為7米，云梯滑動后停在的位置上，測得長為4米，則云梯底端B在水平方向滑動的距離為（）

A．4米

B．6米

C．8米

D．10米

2．《九章算術》是我國古代數學的重要著作，其中有一道題，原文是：今有戶不知高、廣，從之不出二尺，斜之適出，不知其高、寬，有竿，竿比門寬長出4尺；豎放；斜放，竿與門對角線恰好相等問．問門高、寬、對角線長分別是多少？若設門對角線長為x尺，則可列方程（）

A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2

B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2

C．x2＝42＋（x﹣2）2

D．x2＝（x﹣4）2＋22

3．如圖，一艘輪船在處測的燈塔在北偏西15°的方向上，該輪船又從處向正東方向行駛20海里到達處，測的燈塔在北偏西60°的方向上，則輪船在處時與燈塔之間的距離（即的長）為（）

A．海里

B．海里

C．40海里

D．海里

4．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為9、3和1，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物．則這只螞蟻沿著臺階面爬行的最短路程是（）

A．6

B．8

C．9

D．15

5．一個門框的尺寸如圖所示，下列長×寬型號（單位：m）的長方形薄木板能從門框內通過的是（）

A．

B．

C．

D．

6．《九章算術》是我國古代數學的經典著作，書中有一個“折竹抵地”問題：“今有竹高丈，末折抵地，問折者高幾何？”意思是：一根竹子，原來高一丈（一丈為十尺），蟲傷有病，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子根部三尺遠，問：原處還有多高的竹子？（）

A．4尺

B．4.55尺

C．5尺

D．5.55尺

7．一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，這時它離出發點有（）千米．

A．26

B．18

C．13

D．32

8．如圖所示，將一根長為24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設筷子露在外面的長為hcm，則h的取值范圍是（）

A．0＜h≤11

B．11≤h≤12

C．h≥12

D．0＜h≤12

9．如圖，已知ABCD是長方形紙片，在CD上存在一點E，沿直線AE將折疊，D恰好落在BC邊上的點F處，且，則的面積是（）．

A．

B．

C．

D．

10．用梯子登上20m高的建筑物，為了安全要使梯子的底面距離建筑物15m，至少需要（）m長的梯子．

A．20

B．25

C．15

D．5

11．如圖，原來從A村到B村，需要沿路A→C→B（）繞過兩地間的一片湖，在A，B間建好橋后，就可直接從A村到B村．已知，那么，建好橋后從A村到B村比原來減少的路程為（）

A．2km

B．4km

C．10

km

D．14

km

12．如圖所示，在長方形中，若將長方形沿折疊，使點C落在邊上的點F處，則線段的長為（）

A．

B．

C．

D．10

二、填空題

13．如圖，客船以24海里/時的速度從港口向東北方向航行，貨船以18海里/時的速度同時從港口向東南方向航行，則1小時后兩船相距______海里．

14．如圖，小明想要測量學校旗桿AB的高度，他發現系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，從而測得繩子比旗桿長a米，小明將這根繩子拉直，繩子的末端落在地面的點C處，點C距離旗桿底部b米（），則旗桿AB的高度為__________米（用含a，b的代數式表示）．

15．如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為17米，幾分鐘后船到達點D的位置，此時繩子CD的長為10米，問船向岸邊移動了__米．

16．《九章算術》中的“引葭赴岸”問題：今有池方一丈，葭（一種蘆葦類植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，水深幾何？其大意是：有一個邊長為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦生長在它的正中央，高出水面1尺．如果把該蘆葦拉向岸邊，那么蘆葦的頂部恰好碰到岸邊（如圖所示），則水深________尺．

17．如圖，一只螞蟻沿長方體的表面從頂點A爬到另一頂點M，已知AB＝AD＝2，BF＝3．這只螞蟻爬行的最短距離_____．

18．如圖，在四邊形ABCD中，，，那么四邊形ABCD的面積是___________．

三、解答題

19．如圖是一個長方形的大門，小強拿著一根竹竿要通過大門．他把竹竿豎放，發現竹竿比大門高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大門的對角線的長．已知大門寬4尺，請求出竹竿的長．

20．如圖，A村和B村在河岸CD的同側，它們到河岸CD的距離AC，BD分別為1千米和3千米，又知道CD的長為3千米，現要在河岸CD上建一水廠向兩村輸送自來水，鋪設水管的工程費用為每千米20000元．

（1）請在CD上選取水廠的位置，使鋪設水管的費用最省；

（2）求鋪設水管的最省總費用．

21．如圖是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經測量得到如下數據：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，求警示牌的高CD

(結果精確到0.1米，參考數據：≈1.41，≈1.73)．

22．《九章算術》是古代東方數學代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何?題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點和點距離門檻都為1尺（1尺=10寸），則的長是多少?

23．一艘輪船從A港向南偏西48°方向航行100km到達B島，再從B島沿BM方向航行125km到達C島，A港到航線BM的最短距離是60km．

（1）若輪船速度為25km/小時，求輪船從C島沿CA返回A港所需的時間．

（2）C島在A港的什么方向？

參考答案

1．C

解：在直角中，已知米，米，米，在直角中，已知米，米，米，米，米，米

故云梯底端在水平方向滑動了8米，故選：C．

2．A

解：根據勾股定理可得：

x2=（x-4）2+（x-2）2，故選：A．

3．D

解：過作于，如圖所示：

在中，海里，∴（海里），（海里），∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴海里，∴海里，故選：D．

4．D

解：如圖，將臺階展開，因為AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2＋BC2＝225，所以AB＝15，所以螞蟻爬行的最短線路為15．

故選：D．

5．A

解：門框的對角線長為米．

∵米．

∴只有A選項的薄木板的寬小于，即只有A選項的薄木板可以通過．

故選：A．

6．B

解：設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為尺，根據勾股定理得：，解得：．

所以，原處還有4.55尺高的竹子．

故選：B．

7．A

解：如圖，根據題意得：△ABC是直角三角形，∵∠B＝90°，AB＝24km，BC＝10km，根據勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，∴AC2＝242＋102，∴AC＝26km．

故選：A．

8．B

解：當筷子與杯底垂直時h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．

當筷子與杯底及杯高構成直角三角形時h最小，如圖所示：

此時，AB＝＝＝13cm，∴h＝24﹣13＝11cm．

∴h的取值范圍是11cm≤h≤12cm．

故選：B．

9．B

解：ABCD是長方形紙片，∴AB=CD=3，∴，∴BF=4，∴AF=，∴AF=AD=BC=5，CF=1，設DE為x，EF=DE=x，EC=3-x，x2=(3-x)2+1，解得，x=，∴，故選：B．

10．B

解：如圖所示：

∵AC＝20m，BC＝15m，∴在Rt△ABC中，AB=m，故選：B．

11．B

解：由題意可得：

則打通隧道后從A村到B村比原來減少的路程為：（km）．

故選：B．

12．C

解：如圖所示：

設長為x，（翻折），根據勾股定理可得：，，∴在中，，，長為．

故選C.13．30

解：∵客船以24海里/時的速度從港口

A

向東北方向航行，貨船以18海里/時的速度同時從港口

A

向東南方向航行，∴客船與貨船方向的夾角為，且客船行駛1小時的距離為24海里，貨船行駛1小時的距離為18海里，故兩船1小時后的距離為海里，故答案為：30．

14．解：設AB=x米，則有AC=（x+a）米，根據勾股定理得：，解得：

∴，故答案為．

15．9．

解：在Rt△ABC中：

∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸邊移動了9米，故答案為：9．

16．12

解：依題意畫出圖形，設蘆葦長AB＝AB＇＝x尺，則水深AC＝（x?1）尺，因為B＇E＝10尺，所以B＇C＝5尺

在Rt△AB＇C中，52＋（x?1）2＝x2，解得：x＝13，即水深12尺，故答案為：12

17．5

解：如圖1，將長方體沿CB展開，當螞蟻經圖中長方體右側表面爬到M點，則，如圖2，將長方體沿ND展開，當螞蟻經圖中長方體左側面爬到M點，則，如圖3，將長方體沿DC展開，當螞蟻經圖中長方體上側面爬到M點，則，比較以上三種情況，一只螞蟻從頂點A爬到頂點M，那么這只螞蟻爬行的最短距離是5．

故答案為：5．

18．+24

解：連結BD，∵，∴，∵，∴BD=6，∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，S△ABD=，S△BDC=，四邊形ABCD的面積是=

S△ABD+

S△BDC=+24

故答案為：+24．

19．尺

解：設門高為x尺，則竹竿長為（x+1）尺，根據勾股定理可得：

x2+42＝（x+1）2，即x2+16＝x2+2x+1，解得：x＝7.5，∴門高7.5尺，竹竿高＝7.5+1＝8.5（尺）．

故答案為尺．

20．（1）見解析；（2）100000元

解：（1）延長到，使，連接，交于，則在上選擇水廠位置是時，使鋪設管道的費用最省；

（2）過作，交的延長線于，，四邊形是矩形，千米，千米，千米，千米千米千米，在中，由勾股定理得：（千米），，千米，鋪設水管的最最省總費用是：20000元千米千米元．

21．2.9．

解：由題意可得：米，，米，，，則（米．

22．101寸

解：取AB的中點O，過D作DE⊥AB于E，如圖2所示：

由題意得：OA=OB=AD=BC，設OA=OB=AD=BC=r寸，則AB=2r（寸），DE=10寸，OE=CD=1寸，∴AE=（r1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即（r1）2+102=r2，解得：r=50.5，∴2r=101（寸），∴AB=101寸．

23．（1）從C島返回A港所需的時間為3小時；（2）C島在A港的北偏西42°

解：（1）由題意AD＝60km，Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．

∴BD＝80（km）．

∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．

∴AC＝=＝75（km）．

75÷25＝3（小時）．

答：從C島返回A港所需的時間為3小時．

（2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625，∴AB2+AC2＝BC2．

∴∠BAC＝90°．

∴∠NAC＝180°﹣90°﹣48°＝42°．

∴C島在A港的北偏西42°．