探索勾股定理

一、單選題

1．下列四組數據，不是勾股數的是（）

A．3，4，5

B．5，6，7

C．6，8，10

D．9，40，41

2．在Rt△ABC中，兩條直角邊的長分別為5和12，則斜邊的長為（）

A．6

B．7

C．10

D．13

3．如圖，點A，B是棱長為1的立方體的兩個頂點，若將該立方體按圖中所示展開，則在展開圖中，A，B兩點間的距離是（）

A．

B．

C．

D．

4．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3，且，且S1＝4，S3＝16，則S2＝（）

A．20

B．12

C．2

D．2

5．已知，則的面積為（）

A．6或

B．6或

C．12或

D．12或

6．在由邊長為1的小正方形構成網格中的位置如圖所示，則邊上的高是（）

A．

B．

C．

D．

7．如圖，中，將沿DE翻折，使點A與點B重合，則CE的長為（）

A．

B．2

C．

D．

8．若直角三角形的兩條直角邊各擴大2倍，則斜邊擴大（）

A．倍

B．2倍

C．倍

D．4倍

9．如圖所示，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝10，直線l過點B，分別過點A、C作直線l的垂線，垂足分別為E、F，若AE＝8，則CF的長為（）

A．5

B．6

C．7

D．8

10．如圖，直線上有三個正方形、、，若正方形、的邊長分別為5和7，則正方形的面積為（）

A．36

B．49

C．74

D．81

11．如圖，網格中每個小正方形的邊長均為1，點都在格點上，以為圓心，為半徑畫弧，交最上方的網格線于點，則的長為（）

A．

B．0.8

C．

D．

12．如圖，以兩個半圓的直徑作為直角邊，正方形的一邊作為斜邊構成一個直角三角形，已知半圓面積分別為π和3π，則正方形的面積為（）

A．16π

B．32π

C．16

D．32

13．如圖，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點D，則BD=（）

A．2.5

B．3

C．2

D．3.5

14．中，則三個半圓的面積關系是（）

A．

B．

C．

D．

15．如圖，在中，，D為邊上一點，將沿折疊，若點B恰好落在線段的延長線上點E處，則的長為（）

A．

B．

C．

D．

二、填空題

16．下列各組數：①1、2、3；②，2；③0.3、0.4、0.5；④9、40、41，其中是勾股數的是_______（填序號）．

17．已知一個直角三角形的兩邊長分為4和3，則它的斜邊長為___________．

18．已知直角三角形的兩直角邊分別為9和12，則它的周長為______________．

19．如圖，一名滑雪運動員沿著坡比為的滑道，從A滑行至B，已知米，則這名滑雪運動員的高度下降了_______米．

20．中，為邊上的一點，將沿折疊，使點C落在邊的點E處，則的面積為__________．

三、解答題

21．如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，請你在給出的5×5的正方形網格中，以格點為頂點，畫出一個四邊形，使這個四邊形的其中三邊長依次為，．

22．以3，4，5為邊長的三角形是直角三角形，稱3，4，5為勾股數組．記為（3，4，5），類似地，還可得到下列勾股數組：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．

（1）根據上述四組勾股數的規律，寫出第六組勾股數；

（2）用含（且為整數）的數學等式描述上述勾股數組的規律，并證明．

23．如圖，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，AC＝12cm，BC＝16cm，求CD的長．

24．如圖，鐵路上、兩點相距，為兩村莊，于，于，已知，現在要在鐵路上建一個土特產品收購站，使得、兩村到站的距離相等，則站應建在距點多少千米處？

參考答案

1．B

解：A、因為32+42＝52，屬于勾股數；

B、因為52+62≠72，不屬于勾股數；

C、因為62+82＝102，屬于勾股數；

D、因為92+402＝412，屬于勾股數；

故選：B．

2．D

解：由勾股定理得，斜邊長＝，故選：D．

3．C

解：如圖，在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，可得：AB=，故選：C．

4．B

解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=16-4=12，則S2=AC2=12，故選：B．

5．A

解：當BC為直角邊時，的面積為，當BC為斜邊時，該三角形的另一條直角邊長為，的面積為，故選：A．

6．D

解：作于D，如圖所示，∵小正方形的邊長都為1，∴，∵，∴，解得：，故選：D．

7．D

解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，∵△ADE沿DE翻折，使點A與點B重合，∴AE=BE，AD=BD=AB=5，設AE=x，則CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中

∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=，∴CE==，故選：D．

8．B

解：設直角三角形三邊長分別為a、b、c，則：

a2+b2=c2，∴，∵直角三角形的兩條直角邊各擴大2倍，∴可設擴大后的三角形各邊為2a、2b、d，則：

d=，故選B．

9．B

解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°．

∵AE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE＝BF＝8，∴，故選：B．

10．C

解：根據正方形的性質得出∠EFG=∠EGH=∠HMG=90°，EG=GH，∵∠FEG+∠EGF=90°，∠EGF+∠HGM=90°，∴∠FEG=∠HGM，在△EFG和△GMH中，∴△EFG≌△GMH（AAS），∴FG=MH，GM=EF，∵A，C的邊長分別為5和7，∴EF2=52，HM2=72，∴B的面積為EG=EF2+FG2=EF2+HM2=25+49=74，故選：C．

11．C

解：如圖，連接，則，由勾股定理可得，中，又，故選：C．

12．D

解：設大半圓的半徑為R，小半圓的半徑為r，根據題意得，故直角三角形的兩條直角邊為：

故直角三角形的斜邊平方為，則正方形的面積為：32，故選：D．

13．C

解：∵AC=3，BC=4，∴AB==5，∵以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點D，∴AD=AC，∴AD=3，∴BD=AB-AD=5-3=2．

故選C．

14．B

解：設面積為、、所在半圓直徑對應的直角三角形三邊為、、，則，，∵中，∴，∴，∴．

故選：B．

15．C

解：∵∠ACB=90°，AB=13，BC=12，∴AC==5，由折疊可知：AB=AE=13，BD=DE，∴CE=AE-AC=8，∵BC=CD+BD=CD+DE，∴CD=BC-DE=12-DE，∴在△CDE中，解得：DE=，故選C．

16．④

解：①1、2、3，因為1+2=3，無法組成三角形，所以不是勾股數；

②，不是正整數，不屬于勾股數；

③0.3、0.4、0.5不是正整數，不屬于勾股數；

④因為92+402=412，所以9、40、41屬于勾股數；

故答案為：④．

17．5或4

解：當4是直角邊時，斜邊長==5，當4是斜邊時，斜邊長=4，故答案為：5或4．

18．36

解：∵直角三角形的兩條直角邊分別為9、12，∴斜邊長==15，∴周長=9+12+15=36．

故答案是：36．

19．150

解：如圖，在中，由題意可知，∴，∴，∴米，故答案為：150．

20．解：由折疊的性質得：，，設CD=x，則BD=12-x，DE=x，在△BDE中，則，解得：x=，∴，故答案為：．

21．見解析．

解：如圖，，連接BC，則四邊形ABCD即為所求作（答案不唯一）．

22．（1）第六組勾股數為（48，14，50）；（2）規律：

第n組勾股數為（n2-1，2n，n2+1）；證明見詳解．

解：（1）第一組中間數為4=2×2，第二組中間數為6=2×3，第三組中間數為8=2×4，第四組中間數為10=2×5，第五組中間數為12=2×6，第六組中間數為14=2×7，兩頭的兩數差二，設較小的數為x，另一個數為x+2

則（x+2）2-x2=142,解得x=48

∴第六組勾股數為（48，14，50）；

（2）規律：中間數規律是2n（n≥2）

設第一個數為

x，第三個數為x+2

則，解得，第n組勾股數為（n2-1，2n，n2+1）；

證明：(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，(n2+1)2=n4+2n2+1，∴(n2-1)2+(2n)2

=(n2+1)2．

23．9.6cm

解：∵∠ACB=90°，AC=12cm，BC=16cm，∴AB=20cm，根據直角三角形的面積公式，得：，∴．

24．10千米

解：設，則，∵、兩村到站的距離相等，∴．

在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，又∵，∴，∴，站應建在距點A10千米處．