27.1.3　圓周角

知識點

1　圓周角的概念

1．下列圖形中的角是圓周角的是()

圖27－1－43

2．如圖27－1－44，在圖中標出的4個角中，圓周角有________個．

圖27－1－44

知識點

2　圓周角定理

3．2018·聊城如圖27－1－45，⊙O中，弦BC與半徑OA相交于點D，連結AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，則∠C的度數是()

圖27－1－45

A．25°

B．27.5°

C．30°

D．35°

4．2016·紹興如圖27－1－46，BD是⊙O的直徑，點A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，則∠BDC的度數是()

圖27－1－46

A．60°

B．45°

C．35°

D．30°

5．如圖27－1－47，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠A＝35°，則∠B的度數為()

圖27－1－47

A．25°

B．45°

C．55°

D．65°

6．2017·衡陽如圖27－1－48，點A，B，C都在⊙O上，且點C在弦AB所對的優弧上，如果∠AOB＝64°，那么∠ACB的度數是()

圖27－1－48

A．26°

B．30°

C．32°

D．64°

7．如圖27－1－49，點A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，∠DCE＝40°，則∠P的度數為()

圖27－1－49

A．140°

B．70°

C．60°

D．40°

8．2018·咸寧如圖27－1－50，已知⊙O的半徑為5，弦AB，CD所對的圓心角分別是∠AOB，∠COD，若∠AOB與∠COD互補，弦CD＝6，則弦AB的長為()

圖27－1－50

A．6

B．8

C．5

D．5

9．如圖27－1－51，已知A，B，C，D是⊙O上的四個點，AB＝BC，BD交AC于點E，連結CD，AD.求證：DB平分∠ADC.圖27－1－51

10．如圖27－1－52，△ABC的三個頂點都在⊙O上，直徑AD＝6

cm，∠DAC＝2∠B，求AC的長．

圖27－1－52

知識點

3　圓周角定理的推論

11．2018·邵陽如圖27－1－53所示，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∠BCD＝120°，則∠BOD的大小是()

圖27－1－53

A．80°

B．120°

C．100°

D．90°

12．從下列三角尺與圓弧的位置關系中，可判斷圓弧為半圓的是()

圖27－1－54

13．如圖27－1－55，點D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一條弦，則cos∠OBD等于()

圖27－1－55

A.B.C.D.14.如圖27－1－56，已知經過原點的⊙P與x軸、y軸分別交于A，B兩點，C是劣弧上一點，則∠ACB等于()

圖27－1－56

A．80°

B．90°

C．100°

D．無法確定

15．2016·杭州如圖27－1－57，已知AC是⊙O的直徑，點B在圓周上(不與點A，C重合)，點D在AC的延長線上，連結BD交⊙O于點E，若∠AOB＝3∠ADB，則()

圖27－1－57

A．DE＝EB

B.DE＝EB

C.DE＝DO

D．DE＝OB

16．如圖27－1－58，已知等腰直角三角形ABC的三個頂點都在⊙O上，點D是上一點，BD交AC于點E，若BC＝4，AD＝，則AE的長是()

圖27－1－58

A．3

B．2

C．1

D．1.2

17．如圖27－1－59，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩點．若∠BCD＝28°，則∠ABD＝________°.圖27－1－59

18．如圖27－1－60，海邊立有兩座燈塔A，B，暗礁分布在經過A，B兩點的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)區域內，∠AOB＝80°.為了避免觸礁，輪船P與A，B兩點的張角∠APB的最大值為________．

圖27－1－60

19．如圖27－1－61，AB是⊙O的直徑，AC，BC是⊙O的弦，直徑DE⊥AC于點P.若點D在優弧上，AB＝8，BC＝3，則DP＝________.圖27－1－61

20．如圖27－1－62，已知AB是半徑為1的⊙O的直徑，C是圓上一點，D是BC延長線上一點，過點D的直線交AC于點E，交AB于點F，且△AEF為等邊三角形.(1)求證：△DFB是等腰三角形；

(2)若DA＝AF，求證：CF⊥AB.圖27－1－62

21．如圖27－1－63，AB是⊙O的直徑，弦BC＝4

cm，F是弦BC的中點，∠ABC＝60°.若動點E以2

cm/s的速度從點A出發沿著A→B→A的方向運動，設運動時間為t

s(0≤t＜6)，連結EF，當△BEF是直角三角形時，t的值為________．

圖27－1－63

詳解詳析

1．B　[解析]

頂點在圓上，兩邊與圓相交的角叫圓周角．滿足條件的是選項B.2．2

3．D　[解析]

∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝85°－60°＝25°，∠CDO＝95°，∴∠AOC＝2∠B＝50°，∴∠C＝180°－95°－50°＝35°.故選D.4．D

5．C　[解析]

∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°.∵∠A＝35°，∴∠B＝55°.故選C.6．C　[解析]

根據圓周角定理，同一條弧所對的圓周角等于該弧所對圓心角的一半，可知∠ACB＝∠AOB＝32°.故選C.7．B　[解析]

∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，∠DCE＝40°，∴∠DOE＝180°－40°＝140°，∴∠P＝∠DOE＝70°.8．B　[解析]

如圖，延長AO交⊙O于點E，連結BE，則∠AOB＋∠BOE＝180°.又∵∠AOB＋∠COD＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6.∵AE為⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，∴AB＝＝＝8.故選B.9．證明：∵AB＝BC，∴＝，∴∠BDC＝∠ADB，∴DB平分∠ADC.10．[解析]

連結OC，先判定△AOC是等邊三角形，進而得到AC＝AO＝AD＝3

cm.解：如圖，連接OC，∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，∴∠AOC＝∠DAC，∴OC＝AC.又∵OA＝OC，∴△AOC是等邊三角形，∴AC＝AO＝AD＝3

cm.11．B　[解析]

∵四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∴∠A＝180°－∠BCD＝60°.由圓周角定理，得∠BOD＝2∠A＝120°.故選B.12．B

13．C　[解析]

連結CD，如圖所示，∵D(0，3)，C(4，0)，∴OD＝3，OC＝4.∵∠COD＝90°，∴CD＝＝5.∵∠OBD＝∠OCD，∴cos∠OBD＝cos∠OCD＝＝.故選C.14．B　[解析]

∵∠AOB與∠ACB是所對的圓周角，∴∠AOB＝∠ACB.∵∠AOB＝90°，∴∠ACB＝90°.故選B.15．D　[解析]

如圖，連結EO.∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB.∵∠OEB＝∠D＋∠DOE，∠AOB＝3∠D，∴∠B＋∠D＝∠D＋∠DOE＋∠D＝3∠D，∴∠DOE＝∠D，∴DE＝OE＝OB.故選D.16．C

17．62　[解析]

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵∠BCD＝28°，∴∠ACD＝62°.由圓周角定理得∠ABD＝∠ACD＝62°.18．40°　[解析]

如圖，當點P在⊙O上的點P′時，∠AP′B的度數最大，∠AP′B＝∠AOB＝40°.19．5.5　[解析]

∵AB和DE是⊙O的直徑，∴OA＝OB＝OD＝4，∠C＝90°.又∵DE⊥AC，∴AP＝CP，∴OP是△ABC的中位線，∴OP＝1.5，∴DP＝OD＋OP＝5.5.20．證明：(1)∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵△AEF為等邊三角形，∴∠CAB＝∠EFA＝60°，∴∠B＝30°.∵∠EFA＝∠B＋∠FDB，∴∠FDB＝30°＝∠B，∴△DFB是等腰三角形．

(2)如圖，過點A作AM⊥DF于點M，設AF＝2a.∵△AEF是等邊三角形，∴FM＝EM＝a，AM＝a.在Rt△DAM中，DA＝AF＝2　a，AM＝a，∴DM＝5a，∴DF＝BF＝6a，∴AB＝AF＋BF＝8a.在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝4a.∵AE＝EF＝AF＝2a，∴CE＝AC－AE＝2a＝EF，∴∠ECF＝∠EFC.∵∠AEF＝∠ECF＋∠EFC＝60°，∴∠EFC＝30°，∴∠AFC＝∠EFA＋∠EFC＝60°＋30°＝90°，即CF⊥AB.21．2，[解析]

∵0≤t＜6，動點E以2

cm/s的速度從點A出發沿著A→B→A的方向運動，∴當t＝6時，點E運動的路程是2×6＝12(cm)，即點E運動的路程小于12

cm，設點E運動的路程是s

cm，則0≤s＜12.∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°.∵F為BC的中點，BC＝4

cm，∴BF＝CF＝2

cm.∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝2BC＝8

cm.分為以下三種情況：

(1)當∠EFB＝90°時，如圖①.∵∠C＝90°，∴∠EFB＝∠C，∴AC∥EF.∵FC＝BF，∴AE＝BE，即點E和點O重合，AE＝4

cm，∴t＝4÷2＝2；

(2)當∠FEB＝90°時，如圖②.∵∠ABC＝60°，∴∠BFE＝30°，∴BE＝BF＝1

cm，∴AE＝8－1＝7(cm)，∴t＝7÷2＝；

(3)當點E到達點B后再返回到點O的過程中，∠FEB＝90°，如圖③.此時點E運動的路程是8＋1＝9(cm)，∴t＝9÷2＝.綜上所述，當△BEF是直角三角形時，t的值為2，.