27．1.1　圓的基本元素

知識點

1　圓的定義

1．下面關于圓的敘述正確的是()

A．圓是一個面

B．圓是一條封閉的曲線

C．圓是由圓心唯一確定的D．圓是到定點的距離等于或小于定長的點的集合2．以已知點O為圓心，線段a的長為半徑作圓，可以作()

A．1個

B．2個

C．3個

D．無數個

3．如圖27－1－1所示，以坐標原點O為圓心的圓與y軸交于點A，B，且OA＝1，則點B的坐標是________．

圖27－1－1

知識點

2　圓的基本元素

4．如圖27－1－2，AB是圓O的直徑，則圓中的弦有______條，分別是________________________________________________________________________，劣弧有________條，分別是________________．

圖27－1－2

5．圓內最長的弦的長為30

cm，則圓的半徑是________________________________________________________________________．

6．如圖27－1－3，⊙O的半徑為2019，∠AOB＝60°，則弦長AB＝________．

圖27－1－3

7．下列說法中，正確的是()

A．過圓心的線段是直徑

B．小于半圓的弧是優弧

C．弦是直徑

D．半圓是弧

8．圖27－1－4中的∠1是圓心角的是()

圖27－1－4

9．如圖27－1－5所示，MN為⊙O的弦，∠M＝40°，則∠N等于()

圖27－1－5

A．40°

B．60°

C．100°

D．120°

10．如圖27－1－6所示，下列說法中正確的是()

圖27－1－6

A．線段AB，AC，CD都是⊙O的弦

B．線段AC經過圓心O，所以線段AC是直徑

C．弦AC把⊙O分成了兩條不相等的弧

D．弦AB把圓分成兩條弧，其中是劣弧

11．如圖27－1－7所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以點C為圓心，CB長為半徑的圓交AB于點D，求∠ACD的度數．

圖27－1－7

12．如圖27－1－8，點A，B，C是⊙O上的三點，BO平分∠ABC.求證：BA＝BC.圖27－1－8

13．如圖27－1－9所示，AB是⊙O的直徑，小芳給出以下判斷：①是優??；②是劣?。虎蹐D中有四條弦；④弦AC所對的弧是劣弧；⑤AB＝2OB.其中正確的是()

圖27－1－9

A．①⑤

B．③④

C．④⑤

D．②⑤

14．如圖27－1－10，AB是⊙O的直徑，D，C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，連結AC，則∠DAC等于()

圖27－1－10

A．15°

B．30°

C．45°

D．60°

15．如圖27－1－11，直線l1∥l2，以直線l1上的點A為圓心、適當長為半徑畫弧，與直線l1，l2分別交于點B，C，連接AC，BC.若∠ABC＝54°，則∠1的度數為()

圖27－1－11

A．36°

B．54°

C．72°

D．73°

16．2017·義烏中考模擬有一半圓片(其中圓心角∠AED＝52°)在平面直角坐標系中，按圖27－1－12所示位置放置，若點A可以沿y軸正半軸上下滑動，同時點B相應地在x軸正半軸上滑動，當∠OAB＝n°時，半圓片上的點D與原點O的距離最大，則n的值為()

圖27－1－12

A．64

B．52

C．38

D．26

17．如圖27－1－13，AB，CD是⊙O的兩條弦，若∠AOB＋∠C＝180°，∠COD＝∠A，則∠AOB＝________．

圖27－1－13

18．教材練習第1題變式設AB＝2

cm，作出滿足下列要求的圖形：

(1)到點A的距離等于1.5

cm，且到點B的距離等于1

cm的所有點組成的圖形；

(2)到點A的距離小于1.5

cm，且到點B的距離小于1

cm的所有點組成的圖形；

(3)到點A的距離大于1.5

cm，且到點B的距離小于1

cm的所有點組成的圖形．

19．如圖27－1－14，直線AB經過⊙O的圓心，與⊙O相交于點A，B，點C在⊙O上，且∠AOC＝30°，點P是直線AB上的一個動點(不與點O重合)，直線PC與⊙O相交于點Q，點P在直線AB上的什么位置時，QP＝QO？這樣的點P共有幾個？并相應地求出∠OCP的度數．

圖27－1－14

詳解詳析

1．B　[解析]

圓是一條封閉的曲線，它是由圓心和半徑確定的，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，圓是到定點的距離等于定長的點的集合，故A，C，D均錯誤．

2．A

3．(0，－1)

4．2　CD，AB　5，，5．15

cm　[解析]

圓內最長的弦是直徑．

6．2019　[解析]

因為OA＝OB，∠AOB＝60°，所以△AOB為等邊三角形，所以AB＝2019.7．D

8．D　[解析]

根據“圓心角的頂點是圓心”，判斷出D選項是正確的．

9．A　[解析]

∵OM＝ON，∴∠N＝∠M＝40°.故選A.10．B　[解析]

因為弦的兩個端點都在圓上，所以線段CD不是弦，所以A錯誤；經過圓心的弦是圓的直徑，所以B正確；直徑把圓分成兩個半圓，它們相等，所以C錯誤；大于半圓周的弧稱為優弧，所以D錯誤．

11．解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°.∵CB＝CD，∴∠BDC＝∠B＝50°.∵∠BDC是△ADC的一個外角，∴∠BDC＝∠A＋∠ACD，∴∠ACD＝10°.12．證明：如圖，連結OA，OC.∵OA＝OB，OB＝OC，∴∠ABO＝∠BAO，∠CBO＝∠BCO.∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∴∠BAO＝∠BCO.又∵BO＝BO，∴△OAB≌△OCB，∴BA＝BC.13．D　[解析]

①弧ACB是半圓；③圖中有三條弦：AC，AB，CB；④弦AC所對的弧有兩條，分別是劣弧和優弧，所以正確的是②⑤.14．B　[解析]

∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO.∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO.∵∠DAB＝60°，∴∠DAC＝∠DAB＝30°.故選B.15．C

16．D　[解析]

連結OE，OD，如圖．

當點O，E，D共線時，半圓片上的點D與原點O的距離最大．

因為EA＝EB，所以EA＝EO＝EB，所以∠EAO＝∠EOA，則∠AED＝∠EAO＋∠EOA，所以∠EAO＝∠AED＝26°，所以n＝26.17．108°　[解析]

設∠COD＝∠A＝x°，則∠AOB＝(180－2x)°，∠C＝∠ODC＝()°.∵∠AOB＋∠C＝180°，∴180－2x＋＝180，解得x＝36，∴∠AOB＝(180－2x)°＝108°.故答案為108°.18．[解析]

(1)分別以A點和B點為圓心，1.5

cm和1

cm為半徑作⊙A與⊙B，則它們的交點為所求；

(2)分別以A點和B點為圓心，1.5

cm和1

cm為半徑作⊙A與⊙B，則它們的公共部分為所求(邊界除外)；

(3)分別以A點和B點為圓心，1.5

cm和1

cm為半徑作⊙A與⊙B，則⊙B中除掉它們的公共部分為所求(邊界除外)．

解：(1)如圖①，點P和點Q為所求．

(2)如圖②，陰影部分為所求(不含邊界)．

(3)如圖③，陰影部分為所求(不含邊界)．

19．解：(1)當點P在線段OA上時(如圖①)，在△QOC中，CO＝QO，∴∠OQC＝∠OCQ.在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO.又∵∠QPO＝∠OCQ＋∠AOC，∠AOC＝30°，∠QOP＋∠QPO＋∠OQC＝180°，∴3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°.(2)當點P在線段OA的延長線上時(如圖②)，∵CO＝QO，∴∠OQP＝①.∵QO＝QP，∴∠OPQ＝②.在△OQP中，30°＋∠QOC＋∠OQP＋∠OPQ＝180°③，把①②代入③，得∠QOC＝20°，則∠OQP＝80°，∴∠OCP＝100°.(3)當點P在線段OB的延長線上時(如圖③)，∵CO＝QO，∴∠OCP＝∠OQC.∵QO＝QP，∴∠QPO＝∠POQ，∴2∠QPO＝∠OCP＝∠OQC.∵∠AOC＝30°，∴∠QPO＋2∠QPO＝30°，∴∠QPO＝10°，∴∠OCP＝2∠QPO＝20°.(4)當點P在線段OB上時，QP＜QO，此時符合要求的點P不存在．

綜上可知，這樣的點P共有3個，當點P在線段OA上時，∠OCP＝40°；當點P在線段OA的延長線上時，∠OCP＝100°；當點P在線段OB的延長線上時，∠OCP＝20°.