北師大版九下數學第3章圓

一、選擇題

1.下列說法正確的個數是

①半圓是弧；

②長度相等的兩條弧是等弧；

③直徑是圓中最長的弦；

④三角形的外心是三角形三條內角平分線的交點．

A．

B．

C．

D．

2.在平面直角坐標系中，圓心為坐標原點，⊙O的半徑為

10，則

P-10,1

與

⊙O的位置關系為

A．點

P

在⊙O

上

B．點

P

在⊙O

外

C．點

P

在⊙O

內

D．無法確定

3.如圖，AB

是

⊙O的直徑，C

是

BAD

上一點（B，D

除外），∠AOD=136°，則

∠C的度數是

A．

44°

B．

22°

C．

46°

D．

36°

4.已知

⊙O的半徑為

2，直線

l

上一點

P

滿足

PO=2，則直線

l

與

⊙O的位置關系是

A．相切

B．相離

C．相離或相切

D．相切或相交

5.如圖，AB

為

⊙O的切線，點

A

為切點，OB

交

⊙O

于點

C，點

D

在⊙O

上，連接

AD，CD，OA，若

∠ADC=35°，則

∠ABO的度數為

A．

25°

B．

20°

C．

30°

D．

35°

6.如圖，△ABC

內接于

⊙O，∠A=50°，E

是邊

BC的中點，連接

OE

并延長，交

⊙O

于點

D，連接

BD，則

∠D的大小為

A．

55°

B．

65°

C．

60°

D．

75°

7.如圖，Rt△ABC的斜邊

AB

與量角器的直徑恰好重合，B

點與

0

刻度線的一端重合，∠ABC=40°，射線

CD

繞點

C

轉動，與量角器外沿交于點

D．若射線

CD

將

△ABC

分割出以

BC

為邊的等腰三角形，則點

D

在量角器上對應的度數是

A．

40°

B．

70°

C．

70°

或

80°

D．

80°

或

140°

8.如圖，在同一個圓中作出圓的內接正三角形

ABC

和正八邊形

DEFGHIBK，若連接

AD，則

∠ADE的度數是

A．

7.5°

B．

15°

C．

20°

D．

30°

9.如圖所示，點

A，B，C

對應的刻度分別為

0，2，4，將線段

CA

繞點

C

按順時針方向旋轉，當點

A

首次落在矩形

BCDE的邊

BE

上時，記為點

A1，則此時線段

CA

掃過的圖形的面積為

A．

4π

B．

C．

D．

83π

10.如圖，在平面直角坐標系中，點

P

在第一象限，⊙P

與

x

軸、y

軸都相切，且經過矩形

AOBC的頂點

C，與

BC

相交于點

D，若

⊙P的半徑為

5，點

A的坐標是

0,8，則點

D的坐標是

A．

9,2

B．

9,3

C．

10,2

D．

10,3

二、填空題

11.如圖，⊙O的直徑

AB=8?cm，C

為

⊙O

上的一點，∠BAC=30°，則

BC=

cm．

12.如圖，A，B，C

是

⊙O

上的三點，若

△OBC

是等邊三角形，則

cosA=

．

13.如圖，折扇的骨柄長為

27?cm，折扇張開的角度為

120°，則圖中

AB的長為

cm（結果保留

π）．

14.如圖，AB

是

⊙O的直徑，PA

切

⊙O

于點

A，線段

PO

交

⊙O

于點

C．連接

BC，若

∠P=36°，則

∠B=

．

15.如圖，⊙O

是正方形

ABCD的內切圓，切點分別為

E，F，G，H，ED

與

⊙O

相交于點

M，則

sin∠MFG的值為

．

16.綠色市場屬“三綠工程”之一，是食品安全控制在流通領域的體現．如圖是綠色市場認證標志，我們可以用等分圓周的方法，在半徑為

30的圓中畫出如圖所示的圖形，則陰影部分的面積為

．

17.如圖，矩形

ABCD

中，AB=4，BC=3，F

是

AB的中點，以點

A

為圓心，AD

為半徑作弧交

AB

于點

E，以點

B

為圓心，BF

為半徑作弧交

BC

于點

G，則圖中陰影部分面積的差

S1-S2

為

．

18.在矩形

ABCD

中，AB=6，BC=8，點

O

在對角線

AC

上，圓

O的半徑為

2，如果圓

O

與矩形

ABCD的各邊都沒有公共點，那么線段

AO

長的取值范圍是

．

三、解答題

19.下面是小飛設計的“過圓外一點作圓的切線”的尺規作圖過程．

已知：如圖，P

為

⊙O

外一點．

求作：經過點

P的⊙O的切線．

作法：如下圖，①連接

OP，作線段

OP的垂直平分線，交

OP

于點

A；

②以點

A

為圓心，OA

長為半徑作圓，交

⊙O

于

B，C

兩點；

③作直線

PB，PC．

所以直線

PB，PC

就是所求作的切線．

根據小飛設計的尺規作圖過程：

(1)

使用直尺和圓規補全圖形（保留作圖痕跡）；

(2)

完成下面的證明（說明：括號里填寫推理的依據）

證明：如圖，連接

OB，OC，∵PO

為

⊙A的直徑，∴∠PBO=∠PCO=

（）．

∴PB⊥OB，PC⊥OC．

∴PB，PC

為

⊙O的切線（）．

20.如圖，AB

為

⊙O的直徑，C，D

為

⊙O

上的兩個點，AC=CD=DB，連接

AD，過點

D

作

DE⊥AC

交

AC的延長線于點

E．

(1)

求證：DE

是

⊙O的切線；

(2)

若直徑

AB=6，求

AD的長．

21.如圖，已知

AB

是

⊙O的直徑，C

是

⊙O

上的點，點

D

在AB的延長線上，∠BCD=∠BAC．

(1)

求證：CD

是

⊙O的切線；

(2)

若

∠D=30°，BD=2，求圖中陰影部分的面積．

22.如圖，在△ABC

中，AB=AC，以

AB

為直徑的⊙O

交

AC

邊于點

D，過點

C

作

CF∥AB，與過點

B的切線交于點

F，連接

BD．

(1)

求證：BD=BF；

(2)

若

AB=10，CD=4，求

BC的長．

23.如圖，AB

是以

BC

為直徑的半圓

O的切線，D

為半圓上一點，AD=AB，AD，BC的延長線相交于點

E．

(1)

求證：AD

是半圓

O的切線．

(2)

連接

CD，求證：∠A=2∠CDE．

(3)

若

∠CDE=27°，OB=2，求

BD的長．

答案

一、選擇題

1.【答案】B

【解析】圓的任意一條直徑的端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓，故①正確；

長度相等的弧的度數不一定相等，故②錯誤；

直徑是圓中最長的弦，故③正確；

三角形的外心是三角形中三邊垂直平分線的交點，故④錯誤．

2.【答案】B

【解析】因為點

P的坐標為

-10,1，所以

OP=102+12=101，因為

⊙O的半徑為

10，101>10，所以點

P

在⊙O

外．

3.【答案】B

【解析】

∵∠AOD=136°，∴∠BOD=180°-136°=44°，∴∠C=22°，故選B．

4.【答案】D

【解析】當

OP

垂直于直線

l，即圓心

O

到直線

l的距離

d=2=r

時，直線

l

與

⊙O

相切；

當

OP

不垂直于直線

l，即圓心

O

到直線

l的距離

d<2=r

時，直線

l

與

⊙O

相切交．

故直線

l

與

⊙O的位置關系是相切或相交．

5.【答案】B

【解析】

∵AB

為圓

O的切線，∴AB⊥OA，即

∠OAB=90°，∵∠ADC=35°，∴∠AOB=2∠ADC=70°，∴∠ABO=90°-70°=20°，故選B．

6.【答案】B

【解析】如圖，連接

CD，∵∠A=50°，∴∠CDB=180°-∠A=130°，∵E

是邊

BC的中點，∴OD⊥BC，BD=CD，∴BD=CD，∴∠ODB=∠ODC=12∠BDC=65°．

7.【答案】D

【解析】如圖，設

AB

與

CD的交點為

E，∵∠ACB=90°，∴A，B，C，D

四點共圓．

若

∠ECB=∠ABC=40°，則點

D

在量角器上對應的度數為

2×40°=80°；

若

∠BCE=∠BEC=70°，則點

D

在量角器上對應的度數為

2×70°=140°．

故選D．

8.【答案】A

【解析】如圖，連接

OA，OB，OE，OD．

正三角形的中心角

∠AOB=360°3=120°，正八邊形的中心角

∠DOE=360°8=45°，∴∠BOE=3∠DOE=3×45°=135°，∴∠AOE=∠BOE-∠AOB=135°-120°=15°，∴∠ADE=12∠AOE=12×15°=7.5°．

9.【答案】D

【解析】由題意，知

AC=4，BC=4-2=2，∠A1BC=90°，由旋轉的性質，得

A1C=AC=4，在Rt△A1BC

中，cos∠ACA1=BCA1C=12，∴∠ACA1=60°，∴

扇形

ACA1的面積為

60×π×42360=83π，即線段

CA

掃過的圖形的面積為

83π．

10.【答案】A

【解析】設

⊙O

與

x

軸、y

軸相切的切點分別是

F，E，連接

PE，PF，PD，則

PE⊥y

軸，PF⊥x

軸，延長

EP

與

CD

交于點

G，∵∠EOF=90°，∴

四邊形

PEOF

是矩形，∵PE=PF，∴

四邊形

PEOF

為正方形，∴OE=PF=PE=OF=5，∵A0,8，∴OA=8，∴AE=8-5=3，∵

四邊形

OACB

為矩形，∴BC=OA=8，易得四邊形

AEGC

為矩形，四邊形

OEGB

為矩形，∴CG=AE=3，EG=OB，∵PE⊥AO，AO∥CB，∴PG⊥CD，∴CD=2CG=6，∴DB=BC-CD=8-6=2，∵PD=5，DG=CG=3，∴PG=4，∴OB=EG=5+4=9，∴D9,2．

二、填空題

11.【答案】

【解析】

∵AB

為

⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．

在Rt△ABC

中，∠BAC=30°，∴BC=12AB=4?cm．

12.【答案】

【解析】

∵△OBC

是等邊三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=12∠BOC=30°，∴cosA=cos30°=32．

13.【答案】

18π

【解析】

AB的長=120?π×27180=18πcm．

14.【答案】

27°

【解析】因為

PA

切

⊙O

于點

A，所以

∠OAP=90°，因為

∠P=36°，所以

∠AOP=54°，所以

∠B=12∠AOP=27°．

15.【答案】

【解析】如圖，連接

EG，易知

E，O，G

三點共線，EG⊥CD，∵⊙O

是正方形

ABCD的內切圓，∴DG=12DC=12BC，EG=BC，∴DE=DG2+EG2=52BC，∵∠MFG=∠MEG，∴sin∠MFG=sin∠MEG=DGDE=55．

16.【答案】

900π-13503

【解析】如圖，由題意可知

△ABC

為等邊三角形，S陰影=6×S陰影ACB-S△ABC=6×60π×302360-34×302=6×150π-2253=900π-13503.17.【答案】

12-13π4

【解析】

∵

在矩形

ABCD

中，AB=4，BC=3，F

是

AB的中點，∴BF=BG=2，AD=BC=3，∴S1=S矩形ABCD-S扇形DAE-S扇形GBF+S2，∴S1-S2=4×3-90×π×32360-90×π×22360=12-13π4．

18.【答案】

103

【解析】在矩形

ABCD

中，∵∠B=90°，AB=6，BC=8，∴AC=62+82=10．

如圖

1，設

⊙O

與

AD

邊相切于

E，連接

OE，則

OE⊥AD，∴OE∥CD，∴△AOE～△ACD，∴OECD=AOAC，∴AO10=26，∴AO=103；

如圖

2，設

⊙O

與

BC

邊相切于

F，連接

OF，則

OF⊥BC，∴OF∥AB，∴△COF～△CAB，∴OCAC=OFAB，∴OC10=26，∴OC=103．

∴AO=203．

∴

如果圓

O

與矩形

ABCD的各邊都沒有公共點，那么線段

AO

長的取值范圍是

103

三、解答題

19.【答案】

(1)

補全的圖形如圖所示．

(2)

90°；直徑所對的圓周角是直角；過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

20.【答案】

(1)

如圖，連接

OD，∵AC=CD=DB，∴∠BOD=13×180°=60°，∵CD=DB，∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAB=30°，∵DE⊥AC，∴∠E=90°，∴∠EAD+∠EDA=90°，∴∠EDA=60°，∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°，∴OD⊥DE，∴DE

是

⊙O的切線．

(2)

如圖，連接

BD，∵AB

為

⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵∠DAB=30°，AB=6，∴BD=12AB=3，∴AD=62-32=33．

21.【答案】

(1)

連接

OC．

∵AB

是

⊙O的直徑，C

是

⊙O

上的點，∴∠ACB=90°，即

∠ACO+∠OCB=90°．

∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC．

∵∠BCD=∠BAC，∴∠ACO=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD．

∵OC

是

⊙O的半徑，∴CD

是

⊙O的切線．

(2)

∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠BOC=60°，OD=2OC，∴∠AOC=120°，∠BAC=30°．

設

⊙O的半徑為

x，則

OB=OC=x，∴x+2=2x，解得

x=2．

如圖，過點

O

作

OE⊥AC，垂足為點

E，在Rt△OEA

中，OE=12OA=1，AE=AO2-OE2=22-12=3，∴AC=23

.∴S陰影=S扇形AOC-S△AOC=120×π×22360-12×23×1=43π-3.22.【答案】

(1)

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．

∵CF∥AB，∴∠ABC=∠FCB，∴∠ACB=∠FCB，∵AB

是

⊙O的直徑，∴∠ADB=∠BDC=90°．

∵BF

是

⊙O的切線，∴BF⊥AB．

∵CF∥AB，∴BF⊥CF，∴∠F=90°．

又

∵BC=BC，∴△BDC≌△BFC，∴BD=BF．

(2)

∵AC=AB=10，CD=4，∴AD=AC-CD=10-4=6．

在Rt△ABD

中，BD2=AB2-AD2=102-62=64．

在Rt△BDC

中，BC=BD2+CD2=64+42=45，即

BC的長為

45．23.【答案】

(1)

如圖，連接

OD，BD，∵AB

是半圓

O的切線，∴AB⊥BC，即

∠ABO=90°．

∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，∴∠ABO=∠ADO=90°，∴AD

是半圓

O的切線．

(2)

由（1）得

∠ADO=∠ABO=90°，∴∠A=360°-∠ADO-∠ABO-∠BOD=180°-∠BOD．

又

∠DOC=180°-∠BOD，∴∠A=∠DOC．

∵∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°．

∵BC

是

⊙O的直徑，∴∠ODC+∠BDO=90°，∴∠BDO=∠CDE，∵∠BDO=∠OBD，∴∠DOC=2∠BDO，∴∠DOC=2∠CDE，∴∠A=2∠CDE．

(3)

∵∠CDE=27°，∴

由（2）得

∠DOC=2∠CDE=54°，∴∠BOD=180°-54°=126°．

∵OB=2，∴lBD=126×π×2180=75π．