18.1.2

平行四邊形的判定（二）

A組基礎訓練

1．如圖，為測量池塘邊A、B兩點的距離，小明在池塘的一側選取一點O，測得OA、OB的中點分別是點D、E，且DE＝14米，則A、B間的距離是（）

A．18米

B．24米

C．28米

D．30米

2．如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，∠A＝50°，∠ADE＝60°，則∠C的度數為（）

A．50°

B．60°

C．70°

D．80°

3．如圖，在四邊形ABCD中，點P是對角線BD的中點，點E、F分別是AB、CD的中點，AD＝BC，∠PEF＝30°，則∠PFE的度數是（）

A．15°

B．20°

C．25°

D．30°

4．如圖，D是△ABC內一點，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是（）

A．7

B．9

C．10

D．11

5．如圖所示，DE是△ABC的中位線，若BC＝8，則DE＝

．

6．如圖，點D、E、F分別是△ABC各邊的中點，連接DE、EF、DF．若△ABC的周長為10，則△DEF的周長為

．

7．如圖，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，點E是AD的中點，△BCD的周長為18，則△DEO的周長是

．

8．如圖，在△ABC中，BC＝1，點P1，M1分別是AB，AC邊的中點，點P2，M2分別是AP1，AM1的中點，點P3，M3分別是AP2，AM2的中點，按這樣的規律下去，PnMn的長為

（n為正整數）．

9．如圖，D，E，F分別是BC，AC，AB的中點．

（1）若DE＝10cm，則AB＝

．

（2）求證：AD與EF互相平分．

10．我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點得到的四邊形叫做中點四邊形．

如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，依次連接各邊中點得到的中點四邊形EFGH．

（1）這個中點四邊形EFGH的形狀是；

（2）請證明你的結論．

B組自主提高

11．如圖所示，已知△ABC的周長為1，連接△ABC三邊的中點構成第二個三角形，再連接第二個三角形三邊中點構成第三個三角形，依此類推，第2021個三角形的周長為（）

A．

B．

C．

D．

12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分別是AB、AC的中點，延長BC至點D，使CD＝BD，連接DM、DN、MN．若AB＝6，則DN＝

．

13．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為

．

14．如圖，在?ABCD中，AE＝BF，AF，BE相交于點G，CE，DF相交于點H．求證：GH∥BC且GH＝BC．

C組綜合運用

15．如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點E，點F是BC的中點．

（1）如圖1，BE的延長線與AC邊相交于點D，求證：EF＝（AC﹣AB）；

（2）如圖2，請直接寫出線段AB、AC、EF的數量關系．

參考答案與試題解析

A組基礎訓練

1．如圖，為測量池塘邊A、B兩點的距離，小明在池塘的一側選取一點O，測得OA、OB的中點分別是點D、E，且DE＝14米，則A、B間的距離是（）

A．18米

B．24米

C．28米

D．30米

【分析】根據D、E是OA、OB的中點，即DE是△OAB的中位線，根據三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，即可求解．

【解答】解：∵D、E是OA、OB的中點，即DE是△OAB的中位線，∴DE＝AB，∴AB＝2DE＝2×14＝28米．

故選：C．

2．如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，∠A＝50°，∠ADE＝60°，則∠C的度數為（）

A．50°

B．60°

C．70°

D．80°

【分析】在△ADE中利用內角和定理求出∠AED，然后判斷DE∥BC，利用平行線的性質可得出∠C．

【解答】解：由題意得，∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝70°，∵點D，E分別是AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝70°．

故選：C．

3．如圖，在四邊形ABCD中，點P是對角線BD的中點，點E、F分別是AB、CD的中點，AD＝BC，∠PEF＝30°，則∠PFE的度數是（）

A．15°

B．20°

C．25°

D．30°

【分析】根據中位線定理和已知，易證明△EPF是等腰三角形．

【解答】解：∵在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中點，E，F分別是AB，CD的中點，∴FP，PE分別是△CDB與△DAB的中位線，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，故△EPF是等腰三角形．

∵∠PEF＝30°，∴∠PEF＝∠PFE＝30°．

故選：D．

4．如圖，D是△ABC內一點，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是（）

A．7

B．9

C．10

D．11

【分析】根據勾股定理求出BC的長，根據三角形的中位線定理得到HG＝BC＝EF，EH＝FG＝AD，求出EF、HG、EH、FG的長，代入即可求出四邊形EFGH的周長．

【解答】解：∵BD⊥DC，BD＝4，CD＝3，由勾股定理得：BC＝＝5，∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，∴HG＝BC＝EF，EH＝FG＝AD，∵AD＝6，∴EF＝HG＝2.5，EH＝GF＝3，∴四邊形EFGH的周長是EF+FG+HG+EH＝2×（2.5+3）＝11．

故選：D．

5．如圖所示，DE是△ABC的中位線，若BC＝8，則DE＝　4　．

【分析】易得DE是△ABC的中位線，那么DE應等于BC長的一半．

【解答】解：根據三角形的中位線定理，得：DE＝BC＝4．

故答案為4．

6．如圖，點D、E、F分別是△ABC各邊的中點，連接DE、EF、DF．若△ABC的周長為10，則△DEF的周長為　5?。?/p>

【分析】由于D、E分別是AB、BC的中點，則DE是△ABC的中位線，那么DE＝AC，同理有EF＝AB，DF＝BC，于是易求△DEF的周長．

【解答】解：如上圖所示，∵D、E分別是AB、BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AC，同理有EF＝AB，DF＝BC，∴△DEF的周長＝（AC+BC+AB）＝×10＝5．

故答案為5．

7．如圖，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，點E是AD的中點，△BCD的周長為18，則△DEO的周長是　9　．

【分析】根據平行四邊形的性質得出DE＝AD＝BC，DO＝BD，AO＝CO，求出OE＝CD，求出△DEO的周長是DE+OE+DO＝（BC+DC+BD），代入求出即可．

【解答】解：∵E為AD中點，四邊形ABCD是平行四邊形，∴DE＝AD＝BC，DO＝BD，AO＝CO，∴OE＝CD，∵△BCD的周長為18，∴BD+DC+BC＝18，∴△DEO的周長是DE+OE+DO＝（BC+DC+BD）＝×18＝9，故答案為：9．

8．如圖，在△ABC中，BC＝1，點P1，M1分別是AB，AC邊的中點，點P2，M2分別是AP1，AM1的中點，點P3，M3分別是AP2，AM2的中點，按這樣的規律下去，PnMn的長為（n為正整數）．

【分析】根據中位線的定理得出規律解答即可．

【解答】解：在△ABC中，BC＝1，點P1，M1分別是AB，AC邊的中點，點P2，M2分別是AP1，AM1的中點，點P3，M3分別是AP2，AM2的中點，可得：P1M1＝，P2M2＝，故PnMn＝，故答案為：

9．如圖，D，E，F分別是BC，AC，AB的中點．

（1）若DE＝10cm，則AB＝　20cm　．

（2）求證：AD與EF互相平分．

【分析】（1）根據三角形的中位線定理即可得到結論；

（2）根據三角形的中位線定理可以得到DF∥AE，DF＝AE，則四邊形AFDE是平行四邊形，根據平行四邊形的性質即可得到結論．

【解答】解：（1）∵D，E分別是BC，AC的中點，∴DE＝AB，∵DE＝10cm，∴AB＝20（cm），故答案為：20cm；

（2）∵D、E、F分別是BC、AC、AB的中點，∴DF∥AE，DF＝AE＝AC，∴四邊形AFDE是平行四邊形，∴AD與EF互相平分．

10．我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點得到的四邊形叫做中點四邊形．

如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，依次連接各邊中點得到的中點四邊形EFGH．

（1）這個中點四邊形EFGH的形狀是　平行四邊形?。?/p>

（2）請證明你的結論．

【分析】（1）根據四邊形的形狀，及三角形中位線的性質可判斷出四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）連接AC、利用三角形的中位線定理可得出HG＝EF、EF∥GH，繼而可判斷出四邊形EFGH的形狀；

【解答】解：（1）平行四邊形．

（2）證明：連接AC，∵E是AB的中點，F是BC的中點，∴EF∥AC，EF＝AC，同理HG∥AC，HG＝AC，綜上可得：EF∥HG，EF＝HG，故四邊形EFGH是平行四邊形．

B組自主提高

11．如圖所示，已知△ABC的周長為1，連接△ABC三邊的中點構成第二個三角形，再連接第二個三角形三邊中點構成第三個三角形，依此類推，第2021個三角形的周長為（）

A．

B．

C．

D．

【分析】根據三角形中位線定理求出第二個三角形的周長，總結規律，根據規律解答即可．

【解答】解：如圖，∵D、E、F分別為AB、BC、AC的中點，∴DE、EF、DF分別為△ABC的中位線，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴△DEF的周長＝DE+EF+DF＝（AC+BC+AB）＝，∴第二個三角形的周長是，同理可得，第三個三角形是，……

∴第2021個三角形的周長是，故選：D．

12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分別是AB、AC的中點，延長BC至點D，使CD＝BD，連接DM、DN、MN．若AB＝6，則DN＝　3?。?/p>

【分析】連接CM，根據三角形中位線定理得到NM＝CB，MN∥BC，證明四邊形DCMN是平行四邊形，得到DN＝CM，根據直角三角形的性質得到CM＝AB＝3，等量代換即可．

【解答】解：連接CM，∵M、N分別是AB、AC的中點，∴NM＝CB，MN∥BC，又CD＝BD，∴MN＝CD，又MN∥BC，∴四邊形DCMN是平行四邊形，∴DN＝CM，∵∠ACB＝90°，M是AB的中點，∴CM＝AB＝3，∴DN＝3，故答案為：3．

13．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為　3　．

【分析】根據三角形的中位線定理得出EF＝DN，從而可知DN最大時，EF最大，因為N與B重合時DN最大，此時根據勾股定理求得DN＝DB＝6，從而求得EF的最大值為3．

【解答】解：∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大時，EF最大，∵N與B重合時DN最大，此時DN＝DB＝＝6，∴EF的最大值為3．

故答案為3．

14．如圖，在?ABCD中，AE＝BF，AF，BE相交于點G，CE，DF相交于點H．求證：GH∥BC且GH＝BC．

【分析】可先證明四邊形ABFE是平行四邊形，四邊形EFCD是平行四邊形，進而利用平行四邊形的性質得出GH是△BEC的中位線，根據中位線的定理即可得出結論．

【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AE＝BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴AF與BE互相平分，∴G點是BE的中點，同理可證：DE∥CF，DE＝CF，∴四邊形EFCD是平行四邊形，∴DF與CE互相平分，∴H點是CE的中點，∴GH是△BEC的中位線，∴GH∥BC，∴GH＝BC．

C組綜合運用

15．如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點E，點F是BC的中點．

（1）如圖1，BE的延長線與AC邊相交于點D，求證：EF＝（AC﹣AB）；

（2）如圖2，請直接寫出線段AB、AC、EF的數量關系．

【分析】（1）先證明AB＝AD，根據等腰三角形的三線合一，推出BE＝ED，根據三角形的中位線定理即可解決問題．

（2）結論：EF＝（AB﹣AC），先證明AB＝AP，根據等腰三角形的三線合一，推出BE＝ED，根據三角形的中位線定理即可解決問題．

【解答】（1）證明：如圖1中，∵AE平分∠BAC，BE⊥AE于點E，∴△ABD是等腰三角形，∴BE＝DE，∵BF＝FC，∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．

（2）結論：EF＝（AB﹣AC），理由：如圖2中，延長AC交BE的延長線于P．

∵AE⊥BP，∴∠AEP＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，∵∠BAE＝∠PAE，∴∠ABE＝∠ADE，∴AB＝AP，∵AE⊥BD，∵E為BP的中點，∴BE＝PE，∵點F為BC的中點，∴BF＝FC，∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．