第一篇：高數(shù)上冊總結(jié)知識點修訂版
高等數(shù)學(xué)難點總結(jié)（上冊）
函數(shù)（高等數(shù)學(xué)的主要研究對象）
要著重掌握的常見函數(shù)類型：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)
極限：數(shù)列的極限（特殊）——函數(shù)的極限（一般）
函數(shù)極限的可能情況有24種（自變量6種，因變量4種），對于這其中任一種情形，都應(yīng)該熟練掌握其分析定義（嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述）
極限的本質(zhì)是：已知某一個量（自變量）的變化趨勢，去考察另外一個量（因變量）的變化趨勢
由極限的概念可以推得的一些性質(zhì)：局部有界性、局部保號性等等，應(yīng)當(dāng)注意到，由極限概念所得到的性質(zhì)通常都是只在局部范圍內(nèi)成立
趨于零的極限稱之為無窮小量，不同的無窮小量之間有階的區(qū)別，類似可定義無窮大量 兩個判斷極限的重要準(zhǔn)則：
1、夾逼原理；
2、單調(diào)有界數(shù)列必有極限。它們分別對應(yīng)兩個重要極限。
各種典型極限的計算
在提出極限概念的時候并未涉及到函數(shù)在該點的具體情況，所以函數(shù)在某點的極限與函數(shù)在該點的取值并無必然聯(lián)系
連續(xù)：函數(shù)在某點的極限值 等于 函數(shù)在該點的取值 連續(xù)的本質(zhì)：自變量無限接近，因變量無限接近
連續(xù)的概念相當(dāng)于給我們提出了一種求極限的方法：代入法 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
不連續(xù)的情形：間斷。其分類可根據(jù)連續(xù)不成立的條件逐一分析
導(dǎo)數(shù)的概念
本質(zhì)是函數(shù)增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時的極限，更簡單的說法是變化率
微分的概念：函數(shù)增量的線性主要部分，這個說法有兩層意思，一、微分是一個線性近似，二、這個線性近似帶來的誤差是足夠小的，實際上所有函數(shù)在某點的增量我們都可以線性關(guān)系去近似它，但并不是任何時候這個近似都足夠好，只有當(dāng)誤差足夠小時，才能說該函數(shù)在該點可微分
對一元函數(shù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)，可導(dǎo)必連續(xù)，可導(dǎo)等價于微分 各種典型導(dǎo)數(shù)和微分的計算
導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在某點附近的變化快慢程度，因此可用來作為研究函數(shù)某些性質(zhì)的工具，尤其是那些涉及討論函數(shù)變化情況的性質(zhì)。極值的概念，極值是局部而非整體性質(zhì)的體現(xiàn)
費爾馬定理：一個函數(shù)的極值點，要么不可導(dǎo)，要么導(dǎo)數(shù)為零
微分中值的三個定理：羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理。它們是同一個數(shù)學(xué)事實在不同的坐標(biāo)系中的表達：對一個閉區(qū)間連續(xù)、開區(qū)間可導(dǎo)的函數(shù)來說，必存在區(qū)間內(nèi)的一點，該點切線的斜率等于兩端點連線的斜率。用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值情況
用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性和凹凸性
泰勒定理：本質(zhì)是用多項式來逼近連續(xù)函數(shù)。要學(xué)好這部分內(nèi)容，需要考慮幾個問題：
1、一個函數(shù)能夠用多項式來近似的條件是什么？
二、這個多項式的各系數(shù)如何求？
二、即使求出了這個多項式的系數(shù)，如何去評估這個多項式逼近連續(xù)函數(shù)的精確程度，即還需要求出誤差（余項），一般來說，余項的選取不同，對函數(shù)的要求也不同，常見的有皮亞諾和拉格朗日兩種余項
不定積分：導(dǎo)數(shù)的逆運算 什么樣的函數(shù)有不定積分
求不定積分的若干典型方法：湊微分、換元和分部 各種典型不定積分的計算。
定積分：由具體例子引出，本質(zhì)是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規(guī)則的整體劃作規(guī)則的許多個小的部分，然后再綜合，最后求極限，當(dāng)極限存在時，近似成為精確 什么樣的函數(shù)有定積分 積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)
微積分基本定理，其最重要的作用是將定積分（一個復(fù)雜和式的極限）與不定積分（導(dǎo)數(shù)的逆運算）相聯(lián)系
積分中值定理，其對應(yīng)的意義是變量的平均值
定積分的幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用
高等數(shù)學(xué)里最重要的數(shù)學(xué)思想方法：微元法
第二篇：高數(shù)知識點總結(jié)(上冊)
高數(shù)知識點總結(jié)（上冊）函數(shù)：
絕對值得性質(zhì)：(1)|a+b|?|a|+|b|
(2)|a-b|?|a|-|b|
(3)|ab|=|a||b|
a|a|(b?0)(4)|b|=|b|
函數(shù)的表示方法：
（1）表格法
（2）圖示法
函數(shù)的幾種性質(zhì)：
（1）函數(shù)的有界性（2）函數(shù)的單調(diào)性
（3）函數(shù)的奇偶性（4）函數(shù)的周期性 反函數(shù)：
（3）公式法（解析法）
?1y?f(x)y?f(x)存在，且是單定理：如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的，則它的反函數(shù)值、單調(diào)的。
基本初等函數(shù)：
（1）冪函數(shù)
（3）對數(shù)函數(shù)
（5）反三角函數(shù) 復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用 極限與連續(xù)性： 數(shù)列的極限：
（2）指數(shù)函數(shù)（4）三角函數(shù)
定義：設(shè)?xn?是一個數(shù)列，a是一個定數(shù)。如果對于任意給定的正數(shù)?（不管它多么小），總存在正整數(shù)N，使得對于n>N的一切xn，不等式
limxn??xn極限，或稱數(shù)列收斂于a，記做n???axn?a??都成立，則稱數(shù)a是數(shù)列?xn?的，或xn?a（n??）
收斂數(shù)列的有界性： 定理：如果數(shù)列?xn?收斂，則數(shù)列?xn?一定有界
推論：（1）無界一定發(fā)散（2）收斂一定有界（3）有界命題不一定收斂
函數(shù)的極限：
定義及幾何定義 函數(shù)極限的性質(zhì)：
limf(x)?Ax?x0（1）同號性定理：如果，而且A>0(或A<0),則必存在x0的某一鄰域，當(dāng)x在該鄰域內(nèi)（點x0可除外），有f(x)?0（或f(x)?0）。（2）如果x?x0limf(x)?A，且在x0的某一鄰域內(nèi)（x?x0），恒有f(x)?0（或f(x)?0），則A?0（A?0）。
limf(x)limf(x)（3）如果x?x0存在，則極限值是唯一的
（4）如果存在，則在f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)（x?x0）是有界的。無窮小與無窮大：
注意：無窮小不是一個很小的數(shù)，而是一個以零位極限的變量。但是零是可作為無窮小x?x0f(x)??的唯一的常數(shù)，因為如果f(x)?0則對任給的??0，總有，即常數(shù)零滿足無窮小的定義。除此之外，任何無論多么小的數(shù)，都不滿足無窮小的定義，都不是無窮小。無窮小與無窮大之間的關(guān)系：
1（1）如果函數(shù)f(x)為無窮大，則f(x)為無窮小
1（2）如果函數(shù)f(x)為無窮小，且f(x)?0，則f(x)為無窮大
具有極限的函數(shù)與無窮小的關(guān)系：
（1）具有極限的函數(shù)等于極限值與一個無窮小的和
（2）如果函數(shù)可表為常數(shù)與無窮小的和，則該常數(shù)就是函數(shù)的極限 關(guān)于無窮小的幾個性質(zhì)：
定理：
（1）有限個無窮小的代數(shù)和也是無窮小（2）有界函數(shù)f(x)與無窮小a的乘積是無窮小
推論：
（1）常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小（2）有限個無窮小的乘積是無窮小 極限的四則運算法則：
定理：兩個函數(shù)f(x)、g(x)的代數(shù)和的極限等于它們的極限的代數(shù)和 兩個函數(shù)f(x)、g(x)乘積的極限等于它們的極限的乘積
極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限：
準(zhǔn)則一（夾擠定理）
設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)、h(x)在x?x0的某個鄰域內(nèi)（點x0可除外）滿足條件：
（1）g(x)?f(x)?h(x)（2）x?x0x?x0limg(x)?A，x?x0limh(x)?A
則 準(zhǔn)則二
單調(diào)有界數(shù)列必有極限
定理：如果單調(diào)數(shù)列有界，則它的極限必存在 limf(x)?A
重要極限：
sinx?1x?0x（1）lim
1?cosx1?2x?02 x（2）
lim11xlim(1?)?elim(1?x)x?ex（3）x??或x?0
無窮小階的定義： 設(shè)?、?為同一過程的兩個無窮小。
lim
（1）如果??0?，則稱?是比?高階的無窮小，記做??o(?)????，則稱?是比?低階的無窮小
（2）如果lim
（3）如果lim??c(c?0,c?1)?，則稱?與?是同階無窮小 ??1?，則稱?與?是等階無窮小，記做?~?
（4）如果lim幾種等價無窮小：
對數(shù)函數(shù)中常用的等價無窮小： x?0時，ln(1?x)~x(x?0)
loga(1?x)~1x(x?0)lna
三角函數(shù)及反三角函數(shù)中常用的等價無窮小： x?0時，sinx~xtanx~x1?cosx~12x2arcsinx~xarctanx~x
指數(shù)函數(shù)中常用的等價無窮小： x?0時，ex?1~xax?1?exlna?1~lna
xn 二項式中常用的等價無窮小：
x?0時，(1?x)?1~axan1?x?1~函數(shù)在某一點處連續(xù)的條件：
limf(x)?f(x0)x?x0 由連續(xù)定義可知，函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)必須同時滿足下列三個條件：（1）f(x)在點x0處有定義
limf(x)x?xf(x)x?x00（2）當(dāng)時，的極限存在（3）極限值等于函數(shù)f(x)在點x0處的函數(shù)值f(x0)
如果函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)，由連續(xù)定義可知，當(dāng)x?x0時，f(x)的極限一定存在，反極限與連續(xù)的關(guān)系：
之，則不一定成立
函數(shù)的間斷點：
分類：第一類間斷點(左右極限都存在)第二類間斷點(有一個極限不存在)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性： 定理：如果函數(shù)f(x)、g(x)在點x0處連續(xù)，則他們的和、差、積、商（分母不為零）在點x0也連續(xù) 反函數(shù)的連續(xù)性： 定理：如果函數(shù)y?f(x)在某區(qū)間上是單調(diào)增（或單調(diào)減）的連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù)x??(y)也在對應(yīng)的區(qū)間上是單調(diào)增（或單調(diào)減）的連續(xù)函數(shù)
最大值與最小值定理：
值 推論：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f(x)在?a,b?上有界
定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，兩端點處的函數(shù)值分別為f(a)?A,f(b)?B(A?B)，而?是介于A與B之間的任一值，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上必有最大值和最小介值定理：
?，使得
f(?)??(a???b)
推論（1）：在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必能取得介于最大值與最小值之間的任何值
推論（2）：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f(a)?f(b)?0(兩端點的函數(shù)值異號)，則在(a,b)的內(nèi)部，至少存在一點?，使f(?)?0
導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)： 定義：y'?lim?x?0f(x??x)?f(x)?x
導(dǎo)數(shù)的幾何定義：函數(shù)在圖形上表示為切線的斜率
函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的表示：
如果函數(shù)在x處可導(dǎo)，則在點x處連續(xù)，也即函數(shù)在點x處連續(xù)
一個數(shù)在某一點連續(xù)，它卻不一定在該點可導(dǎo) 據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)：（1）y'|x?x0?limf(x0??x)?f(x0)?y?lim?x?0?x?x?0?x
（2）y'|x?x0?limx?x0f(x)?f(x0)x?x0
f(x??x)?f(x)?x（3）y'|x?x0?lim?x?0基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：
（1）常數(shù)導(dǎo)數(shù)為零(c)'?0
nn?1(x)'?nx（2）冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
（3）三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
(sinx)'?cosx
(cosx)'??sinx 1(cotx)'????csc2x2(secx)'?secxtanx sinx
(cscx)'??cscxcotx
(tanx)'?1?sec2x2cosx
（4）對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：（5）指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：
xx(e)'?e（6）
(logax)'?11logae?xxlna
(ax)'?axlna
（7）反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：
1?x2
1(arctanx)'?1?x2(arcsinx)'?1
(arccosx)'??11?x2 1(arccotx)'??1?x2
函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則： 法則一（具體內(nèi)容見書106）
(u?v)'?u'?v'
(u?v)'?u'?v'
函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則： 法則二（具體內(nèi)容見書108）
(uv)'?u'v?uv'
uu'v?uv'()'?vv2 函數(shù)商的求導(dǎo)法則： 法則三（具體內(nèi)容見書109）
復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：（定理見書113頁）
反函數(shù)的求導(dǎo)法則：
反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù) 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：（見書121頁）
d2yddy?()2dxdx 高階導(dǎo)數(shù)：二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù) dx求n階導(dǎo)數(shù)：（不完全歸納法）
??(sinx)(n)?sin(x?n?）(cosx)(n)?cos(x?n?）2
2隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（見書126頁）
對隱函數(shù)求導(dǎo)時，首先將方程兩端同時對自變量求導(dǎo)，但方程中的y是x的函數(shù)，它的導(dǎo)dy'ydx數(shù)用記號（或表示）
對數(shù)求導(dǎo)法：先取對數(shù)，后求導(dǎo)（冪指函數(shù)）
?x??(t)(??t??)?y??(t)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：?
dydydtdy1?'(t)?????dxdtdxdtdx?'(t)dt
微分概念：
函數(shù)可微的條件
如果函數(shù)f(x)在點x0可微，則f(x)在點x0一定可導(dǎo) 函數(shù)f(x)在點x0可微的必要充分條件是函數(shù)f(x)在點x0可導(dǎo) dy?f'(x0)?x
函數(shù)的微分dy是函數(shù)的增量?y的線性主部（當(dāng)?x?0），從而，當(dāng)
?x很小時，有?y?dy
通常把自變量x的增量?x稱為自變量的微分，記做dx。即于是函數(shù)的微分可記為
dy?f'(x)'dy?f(x)dx，從而有dx
基本初等函數(shù)的微分公式： 幾個常用的近似公式：
f(x)?f(0)?f'(0)x
n
1?x?1?1xn
sinx?x（x用弧度）
e2?1?x
tanx?x（x用弧度）
ln(1?x)?x
中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用
羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足下列條件
（1）在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)（2）在開區(qū)間?a,b?內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)
'（3）在端點處函數(shù)值相等，即f(a)?f(b)，則在?a,b?內(nèi)至少有一點?，使f(?)?0
拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足下列條件
（1）在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)
（2）在開區(qū)間?a,b?內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，則在?a,b?內(nèi)至少有一點?，使得f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)定理幾何意義是：如果連續(xù)曲線y?f(x)上的弧AB除端點處外處處具有不垂直于x軸的??切線，那么，在這弧上至少有一點c，使曲線在點c的切線平行于弧AB 推論：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間?a,b?內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么f(x)在?a,b?內(nèi)是一個常數(shù)
柯西中值定理：如果函數(shù)f(x)與F(x)滿足下列條件
（1）在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)（2）在開區(qū)間?a,b?內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)
‘F（3）(x)在?a,b?內(nèi)的每一點處均不為零，則在?a,b?內(nèi)至少有一點?使得f(b)?f(a)f'(?)?'F(b)?F(a)F(?)
羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣 洛必達法則：（理論根據(jù)是柯西中值定理）
00未定式
1、x?a情形
定理：如果(1)當(dāng)x?a時，f(x)與?(x)都趨于零
'''f(x)?(x)?（2）在點a的某領(lǐng)域（點a可除外）內(nèi)，與都存在且(x)?0
f'(x)f(x)f(x)lim'limlimx?ax?a?(x)x?a?(x)（3）?(x)存在（或為?），則極限存在（或為?），且f'(x)lim'x?a?(x)=
在一定條件下通過分子、分母分別求導(dǎo)數(shù)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則
2、x??情形
推論：如果（1）當(dāng)x??時，f(x)與?(x)都趨于零
'''f(x)?(x)?（2）當(dāng)|x|>N時，與都存在且(x)?0
f'(x)f(x)f(x)lim'limlimx???(x)x???(x)x??（3）?(x)存在（或為?），則極限存在（或為?），且f'(x)lim'x???(x)=
??未定式
1、x?a情形
如果（1）x?a時，f(x)與?(x)都趨于無窮大
'''f(x)?(x)?（2）在點a的某領(lǐng)域（點a可除外）內(nèi)，與都存在且(x)?0
f'(x)f(x)f(x)lim'limlimx?a?(x)x?a?(x)x?a?(x)（3）存在（或為?），則則極限存在（或為?），且=f'(x)lim'x?a?(x)
2、x??情形 推論：如果（1）x??時，f(x)與?(x)都趨于無窮大
'''f(x)?(x)?（2）當(dāng)|x|>N時，與都存在且(x)?0
f'(x)f(x)lim'limx?a?(x)x?a?(x)（3）存在（或為?），則則極限存在（或為?），且f'(x)f(x)lim'limx?a?(x)x?a?(x)=
0?注意：
1、洛必達法則僅適用于0型及?型未定式
2、當(dāng)泰勒公式（略）
邁克勞林公式（略）函數(shù)單調(diào)性的判別法： f'(x)limx?a?'(x)(x??)不存在時，不能斷定
f(x)x?a?(x)(x??)lim不存在，此時不能應(yīng)用洛必達法則
必要條件：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，如果f(x)在?a,b?上單調(diào)增
''??a,bf(x)?0f加（減少），則在內(nèi)，（(x)?0）
充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，'??a,bf（1）如果在內(nèi)，(x)?0，則f(x)在?a,b?上單調(diào)增加 '??a,bf（2）如果在內(nèi)，(x)?0，則f(x)在?a,b?上單調(diào)減少
函數(shù)的極值及其求法
極值定義（見書176頁）極值存在的充分必要條件
'xxf(x)f00必要條件：設(shè)函數(shù)在點處具有導(dǎo)數(shù)，且在點處取得極值，則(x)?0
函數(shù)的極值點一定是駐點
導(dǎo)數(shù)不存在也可能成為極值點
'f駐點：使(x)?0的點，稱為函數(shù)f(x)的駐點
充分條件（第一）：設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)在點x0的一個鄰域（x0點可除外）內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，當(dāng)x由小增大經(jīng)過x0時，如果 'f（1）(x)由正變負(fù)，則x0是極大點
'f（2）(x)由負(fù)變正，則x0是極小點 'f（3）(x)不變號，則x0不是極值點
';;xf(x)?0ff(x)0充分條件（第二）：設(shè)函數(shù)在點0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，(x0)?0
;;f（1）如果(x0)?0，則f(x)在x0點處取得極大值;;f（2）如果(x0)?0，則f(x)在x0點處取得極小值
函數(shù)的最大值和最小值（略）
曲線的凹凸性與拐點： 定義：設(shè)f(x)在?a,b?上連續(xù)，如果對于?a,b?上的任意兩點x1、x2恒有f(x1?x2f(x1?f(x2))?22，則稱f(x)在?a,b?上的圖形是（向上）凹的，反之，圖形是（向上）凸的。
判別法：
定理：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)
;;f(a,b)（1）如果在內(nèi)(x0)?0，那么f(x)的圖形在?a,b?上是凹的;;f(a,b)（2）如果在內(nèi)(x0)?0，那么f(x)的圖形在?a,b?上是凸的
拐點：凸弧與凹弧的分界點稱為該曲線的拐點。
不定積分
原函數(shù)：如果在某一區(qū)間上，函數(shù)F(x)與f(x)滿足關(guān)系式： F'(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx，則稱在這個區(qū)間上，函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù) 結(jié)論：如果函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，則在這個區(qū)間上f(x)必有原函數(shù)
定理：如果函數(shù)F(x)是f(x)的原函數(shù)，則F(x)?C（C為任意常數(shù)）也是f(x)的原函數(shù)，且f(x)的任一個原函數(shù)與F(x)相差為一個常數(shù) 不定積分的定義：
f(x)dx定義：函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記做?
(?f(x)dx)'?f(x)d(?f(x)dx)?f(x)dx不定積分的性質(zhì)： 性質(zhì)一：
或
f及?'
(x)dx?f(x)?C或?df(x)?f(x)?C
性質(zhì)二：有限個函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和。即
?[f1(x)?f2(x)???fn(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx????fn(x)dx
性質(zhì)三：被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來，即
?kf(x)dx?k?f(x)dx（k為常數(shù)，且k?0 kdx?kx?C基本積分表：（1）?（k是常數(shù)）
xa?1xdx??C(a??1)?a?1（2）
a 1dx?ln|x|?C?x（3）
x
e（4）?xdx?ex?C
axadx??C(a?0,a?1)?lna（5）
（6）?sinxdx??cosx?C
（7）?cosxdx?sinx?C
12dx?secxdx?tanx?C2??（8）cosx
1dx??csc2xdx??cotx?Csecxtanxdx?secx?C2?（9）sinx（10）?
（11）?cscxcotxdx??cscx?C
（12）
?11?x2dx?arcsinx?C
（13）?11?x2dx?arctanx?C
'第一類換元法（湊微分法）?f[?(x)]?(x)dx?F[?(x)]?C
?tanxdx??ln|cosx|?C
?cotxdx?ln|sinx|?C
第二類換元法：變量代換
被積函數(shù)若函數(shù)有無理式，一般情況下導(dǎo)用第二類換元法。將無理式化為有理式 基本積分表添加公式：
結(jié)論：
22a?x如果被積函數(shù)含有，則進行變量代換x?asint化去根式
22如果被積函數(shù)含有x?a，則進行變量代換x?atant化去根式
22x?a如果被積函數(shù)含有，則進行變量代換x?asect化去根式
分部積分法：
對應(yīng)于兩個函數(shù)乘積的微分法，可推另一種基本微分法---------分部積分法 ?udv?uv??vdu
分部積分公式
三角函數(shù)指數(shù)函數(shù)
1、如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與
令u等于冪函數(shù) 的積，可以利用分部積分法
對數(shù)函數(shù)
2、如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與反三角函數(shù)的積，可使用分部積分法
對數(shù)函數(shù) 令u=反三角函數(shù)
3、如果被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的積，也可用分部積分法。定積分
定積分的定義
定理：如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積
定理：如果函數(shù)在[a,b]上只有有限個第一類間斷點，則f(x)在[a,b]上可積 定積分的幾何意義：
bf(x)dx
1、在[a,b]上f(x)?0，這時?a的值在幾何上表示由曲線y?f(x)、x軸及二直線x=a、x=b所圍成的曲邊梯形的面積
2、在[a,b]上f(x)?0，其表示曲邊梯形面積的負(fù)值
3、在[a,b]上，f(x)既取得正值又取得負(fù)值 幾何上表示由曲線y?f(x)、x軸及二直線x=a、x=b所圍成平面圖形位于x軸上方部分的面積減去x軸下方部分的面積 定積分的性質(zhì)：
性質(zhì)
一、函數(shù)和（差）的定積分等于他們的定積分的和（差），即
?aaa
性質(zhì)
二、被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號外面，即
b[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dxkf(x)dx?k?f(x)dxabbb?ba（k是常數(shù)）
性質(zhì)
三、如果將區(qū)間[a,b]分成兩部分[a,c]和[c,b]，那么
?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dxacbcb、性質(zhì)
四、如果在[a,b]上，f(x)?1，那么?af(x)dx??dx?b?aab
f(x)dx?0性質(zhì)
五、如果在[a,b]上，f(x)?0，那么?a 性質(zhì)
六、如果在[a,b]上，f(x)?g(x)，那么
b?baf(x)dx??g(x)dxab
性質(zhì)
七、設(shè)M及m，分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，則
?f(x)dx?
m(b-a)?aM(b-a)(a 八、積分中值定理 bab ……估值定理 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么在積分區(qū)間[a,b]上至少有一點?，使得 ? f(x)dx?f(?)(b?a)微積分基本公式 積分上限的函數(shù)：?(x)??f(t)dtax（a?x?b） 性質(zhì)：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么積分上限的函數(shù)‘?(x)??f(t)dtax在[a,b]上dx?(x)?f(t)dt?f(x)?adx具有導(dǎo)數(shù)，且 定理：在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)的原函數(shù)一定存在 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且F(x)是f(x)的任意一個原函數(shù)，那么ba牛頓——萊布尼茨公式 ? f(x)dx?F(b)?F(a) 定積分的換元法 假設(shè)（1）函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)； （2）函數(shù)x??(t)在區(qū)間[?,?]上單值，且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)； x??(t)的值在[a,b]上變化，?a，?（?）?b，（3）當(dāng)t在區(qū)間[?,?]上變化時，且?（?）b則有定積分的換元公式?a f(x)dx??f[?(t)]?'(t)dt?? 設(shè)f(x)在區(qū)間[?a,a]上連續(xù)，則 ?f(x)dx?0f(x)??a（1）如果函數(shù)為奇函數(shù)，則（2）如果函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則??a?20aaf(x)dx?2?f(x)dx0a 0 定積分的分部積分法 ?sinxdx??2cosnxdxn '''''[a,b]u(x)v(x)u(x)v(x)(uv)?uv?vu設(shè)、在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、，那么，在等式的兩邊 bbb(uv)?uv'dx?vu'dxaaa分別求a到b的定積分得 b……定積分的分部積分公式 bbb'bb'uvdx?(uv)?vudxudv?(uv)??vdu?a?a?aaaa即 或 無窮區(qū)間上的廣義積分 limf(x)dx定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,??]上連續(xù)，取b>a，如果極限b????a存在，則稱此極 ??b限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,??]上的廣義積分，記做?a無界函數(shù)的廣義積分（見書279頁）定積分的應(yīng)用（見書286頁） 元素法 在極坐標(biāo)系中的計算法 f(x)dx即?a??f(x)dx?lim?f(x)dxb???ab 高數(shù)重點知識總結(jié) 1、基本初等函數(shù)：反函數(shù)(y=arctanx)，對數(shù)函數(shù)(y=lnx)，冪函數(shù)(y=x)，指數(shù)函數(shù)(y?ax)，三角函數(shù)(y=sinx)，常數(shù)函數(shù)(y=c) 2、分段函數(shù)不是初等函數(shù)。 x2?xx?lim?1 3、無窮小：高階+低階=低階 例如：limx?0x?0xxsinx4、兩個重要極限：(1)lim?1x?0x(2)lim?1?x??ex?01x?1?lim?1???e x???x?g(x)x經(jīng)驗公式：當(dāng)x?x0,f(x)?0,g(x)??，lim?1?f(x)?x?x0?ex?x0limf(x)g(x) 例如：lim?1?3x??ex?01xx?0??3x?lim???x??e?3 5、可導(dǎo)必定連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)。例如：y?|x|連續(xù)但不可導(dǎo)。 6、導(dǎo)數(shù)的定義：lim?x?0f(x??x)?f(x)?f'(x)?xx?x0limf(x)?f(x0)?f'?x0? x?x07、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：df?g(x)??f'?g(x)??g'(x)dx 例如：y?x?x,y'?2x?2x?1 2x?x4x2?xx1? 18、隱函數(shù)求導(dǎo)：(1)直接求導(dǎo)法；(2)方程兩邊同時微分，再求出dy/dx x2?y2?1例如：解：法(1),左右兩邊同時求導(dǎo),2x?2yy'?0?y'??x ydyx法(2),左右兩邊同時微分,2xdx?2ydy???dxy9、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)：若??y?g(t)dydy/dtg'(t)??，則，其二階導(dǎo)數(shù)：dxdx/dth'(t)?x?h(t)d(dy/dx)d?g'(t)/h'(t)?dyd?dy/dx?dtdt??? 2dxdxdx/dth'(t) 210、微分的近似計算：f(x0??x)?f(x0)??x?f'(x0)例如：計算 sin31? 11、函數(shù)間斷點的類型：(1)第一類：可去間斷點和跳躍間斷點；例如：y?sinx（x=0是x函數(shù)可去間斷點），y?sgn(x)（x=0是函數(shù)的跳躍間斷點）(2)第二類：振蕩間斷點和無窮間斷點；例如：f(x)?sin??（x=0是函數(shù)的振蕩間斷點），y?斷點） 12、漸近線： 水平漸近線：y?limf(x)?c x???1??x?1（x=0是函數(shù)的無窮間xlimf(x)??，則x?a是鉛直漸近線.鉛直漸近線：若，x?a斜漸近線：設(shè)斜漸近線為y?ax?b,即求a?limx??f(x),b?lim?f(x)?ax? x??xx3?x2?x?1例如：求函數(shù)y?的漸近線 x2?113、駐點：令函數(shù)y=f(x)，若f'(x0)=0，稱x0是駐點。 14、極值點：令函數(shù)y=f(x)，給定x0的一個小鄰域u(x0,δ),對于任意x∈u(x0,δ)，都有f(x)≥f(x0)，稱x0是f(x)的極小值點；否則，稱x0是f(x)的極大值點。極小值點與極大值點統(tǒng)稱極值點。 15、拐點：連續(xù)曲線弧上的上凹弧與下凹弧的分界點，稱為曲線弧的拐點。 16、拐點的判定定理：令函數(shù)y=f(x)，若f“(x0)=0，且x 17、極值點的必要條件：令函數(shù)y=f(x)，在點x0處可導(dǎo)，且x0是極值點，則f'(x0)=0。 18、改變單調(diào)性的點：f'(x0)?0，f'(x0)不存在，間斷點（換句話說，極值點可能是駐點，也可能是不可導(dǎo)點） 19、改變凹凸性的點：f”(x0)?0，f''(x0)不存在（換句話說，拐點可能是二階導(dǎo)數(shù)等于零的點，也可能是二階導(dǎo)數(shù)不存在的點） 20、可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點必定是駐點，但函數(shù)的駐點不一定是極值點。 21、中值定理： (1)羅爾定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點?，使得f'(?)?0 (2)拉格朗日中值定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點?，使得f(b)?f(a)?(b?a)f'(?) (3)積分中值定理：f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，至少存在一點?，使得b?f(x)dx?(b?a)f(?) a22、常用的等價無窮小代換： x~sinx~arcsinx~arctanx~tanx~ex?1~2(1?x?1)~ln(1?x)1?cosx~12x2111tanx?sinx~x3,x?sinx~x3,tanx?x~x3263 23、對數(shù)求導(dǎo)法：例如，y?xx，解：lny?xlnx?1y'?lnx?1?y'?xx?lnx?1? y24、洛必達法則：適用于“ 0?”型，“”型，“0??”型等。當(dāng)0?x?x0,f(x)?0/?,g(x)?0/?，f'(x),g'(x)皆存在，且g'(x)?0，則f(x)f'(x)ex?sinx?10ex?cosx0ex?sinx1lim?lim 例如，limlimlim? 2x?x0g(x)x?x0g'(x)x?0x?0x?0x02x02225、無窮大：高階+低階=高階 例如，26、不定積分的求法 (1)公式法 (2)第一類換元法（湊微分法） (3)第二類換元法：哪里復(fù)雜換哪里，常用的換元：1)三角換元： 23?x?1??2x?3?lim?x???2x5x2?2x?lim?4 x???2x53a2?x2，可令x?asint；x2?a2，可令x?atant；x2?a2，可令x?asect 2)當(dāng)有理分式函數(shù)中分母的階較高時，常采用倒代換x?1 t27、分部積分法：udv?uv?vdu，選取u的規(guī)則“反對冪指三”，剩下的作v。分部積 x3分出現(xiàn)循環(huán)形式的情況，例如：ecosxdx,secxdx ???? 28、有理函數(shù)的積分： 例如：3x?22(x?1)?x11dx?dx?2dx??x(x?1)3?x(x?1)3?x(x?1)2??x?1?3dx 11x?1?xx?1?x1dx???需要進行拆分，令 ?x(x?1)2x(x?1)2x(x?1)2x(x?1)(x?1)2其中，前部分?111?? 2xx?1(x?1) 29、定積分的定義： ?f(?)?x ?f(x)dx?lim?a?0iii?1bn30、定積分的性質(zhì)： b(1)當(dāng)a=b時，?f(x)dx?0； aba(2)當(dāng)a>b時，?f(x)dx???f(x)dx aba?aa(3)當(dāng)f(x)是奇函數(shù)，?f(x)dx?0,a?0 a(4)當(dāng)f(x)是偶函數(shù)，b?a?f(x)dx?2?f(x)dx 0cb(5)可加性：?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx aacxxd31、變上限積分：?(x)??f(t)dt??'(x)?f(t)dt?f(x)?dxaad推廣：dxu(x)?f(t)dt?f?u(x)?u'(x) ab32、定積分的計算（牛頓—萊布尼茨公式）： bb?f(x)dx?F(b)?F(a) a33、定積分的分部積分法：udv??uv??vdu 例如：xlnxdx ?aba?a???bb??? 34、反常積分：(1)無窮限的反常積分： ?f(x)dx?lim?f(x)dx aabbt?a? (2)無界函數(shù)的反常積分： 35、平面圖形的面積： (1)A??f(x)dx?lim?f(x)dx atd??f(x)?f(x)?dx (2)A????(y)??(y)?dy 2121ac(2)繞y軸旋轉(zhuǎn)，????f(x)dxV???(y)dy ??2acbdb36、旋轉(zhuǎn)體的體積： (1)繞x軸旋轉(zhuǎn)，V?? 高數(shù)重點知識總結(jié) 1、基本初等函數(shù)：反函數(shù)(y=arctanx)，對數(shù)函數(shù)(y=lnx)，冪函數(shù)(y=x)，指數(shù)函數(shù)(y?ax)，三角函數(shù)(y=sinx)，常數(shù)函數(shù)(y=c) 2、分段函數(shù)不是初等函數(shù)。 x2?xx?lim?1 3、無窮小：高階+低階=低階 例如：limx?0x?0xxsinx4、兩個重要極限：(1)lim?1x?0x(2)lim?1?x??ex?01x?1?lim?1???e x???x?g(x)x經(jīng)驗公式：當(dāng)x?x0,f(x)?0,g(x)??，lim?1?f(x)?x?x0?ex?x0limf(x)g(x) 例如：lim?1?3x??ex?01xx?0??3x?lim???x??e?3 5、可導(dǎo)必定連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)。例如：y?|x|連續(xù)但不可導(dǎo)。 6、導(dǎo)數(shù)的定義：lim?x?0f(x??x)?f(x)?f'(x)?xx?x0limf(x)?f(x0)?f'?x0? x?x07、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：df?g(x)??f'?g(x)??g'(x)dx 例如：y?x?x,y'?2x?2x?1 2x?x4x2?xx1? 18、隱函數(shù)求導(dǎo)：(1)直接求導(dǎo)法；(2)方程兩邊同時微分，再求出dy/dx x2?y2?1例如：解：法(1),左右兩邊同時求導(dǎo),2x?2yy'?0?y'??x ydyx法(2),左右兩邊同時微分,2xdx?2ydy???dxy9、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)：若??y?g(t)dydy/dtg'(t)??，則，其二階導(dǎo)數(shù)：dxdx/dth'(t)?x?h(t)d(dy/dx)d?g'(t)/h'(t)?dyd?dy/dx?dtdt??? 2dxdxdx/dth'(t) 210、微分的近似計算：f(x0??x)?f(x0)??x?f'(x0)例如：計算 sin31? 11、函數(shù)間斷點的類型：(1)第一類：可去間斷點和跳躍間斷點；例如：y?sinx（x=0x是函數(shù)可去間斷點），y?sgn(x)（x=0是函數(shù)的跳躍間斷點）(2)第二類：振蕩間斷點和無窮間斷點；例如：f(x)?sin??（x=0是函數(shù)的振蕩間斷點），y?數(shù)的無窮間斷點） 12、漸近線： 水平漸近線：y?limf(x)?c x???1??x?1（x=0是函xlimf(x)??，則x?a是鉛直漸近線.鉛直漸近線：若，x?a斜漸近線：設(shè)斜漸近線為y?ax?b,即求a?limx??f(x),b?lim?f(x)?ax? x??xx3?x2?x?1例如：求函數(shù)y?的漸近線 x2?113、駐點：令函數(shù)y=f(x)，若f'(x0)=0，稱x0是駐點。 14、極值點：令函數(shù)y=f(x)，給定x0的一個小鄰域u(x0,δ),對于任意x∈u(x0,δ)，都有f(x)≥f(x0)，稱x0是f(x)的極小值點；否則，稱x0是f(x)的極大值點。極小值點與極大值點統(tǒng)稱極值點。 15、拐點：連續(xù)曲線弧上的上凹弧與下凹弧的分界點，稱為曲線弧的拐點。 16、拐點的判定定理：令函數(shù)y=f(x)，若f“(x0)=0，且x 17、極值點的必要條件：令函數(shù)y=f(x)，在點x0處可導(dǎo)，且x0是極值點，則f'(x0)=0。 18、改變單調(diào)性的點：f'(x0)?0，f'(x0)不存在，間斷點（換句話說，極值點可能是駐點，也可能是不可導(dǎo)點） 19、改變凹凸性的點：f”(x0)?0，f''(x0)不存在（換句話說，拐點可能是二階導(dǎo)數(shù)等于零的點，也可能是二階導(dǎo)數(shù)不存在的點） 20、可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點必定是駐點，但函數(shù)的駐點不一定是極值點。 21、中值定理： (1)羅爾定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點?，使得f'(?)?0 (2)拉格朗日中值定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點?，使得f(b)?f(a)?(b?a)f'(?) (3)積分中值定理：f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，至少存在一點?，使得b?f(x)dx?(b?a)f(?) a22、常用的等價無窮小代換： x~sinx~arcsinx~arctanx~tanx~ex?1~2(1?x?1)~ln(1?x)1?cosx~12x2111tanx?sinx~x3,x?sinx~x3,tanx?x~x3263 23、對數(shù)求導(dǎo)法：例如，y?xx，解：lny?xlnx?1y'?lnx?1?y'?xx?lnx?1? y24、洛必達法則：適用于“ 0?”型，“”型，“0??”型等。當(dāng)0?x?x0,f(x)?0/?,g(x)?0/?，f'(x),g'(x)皆存在，且g'(x)?0，則limf(x)f'(x)?limg(x)x?x0g'(x) 例 如，x?x0ex?sinx?10ex?cosx0ex?sx1ilimlimlim? x?0x20x?02x0x?02225、無窮大：高階+低階=高階 例如，26、不定積分的求法 (1)公式法 (2)第一類換元法（湊微分法） 23?x?1??2x?3?lim?nx???2x5x2?2x?lim?4 5x???2x3(3)第二類換元法：哪里復(fù)雜換哪里，常用的換元：1)三角換元：a2?x2，可令x?asint；x2?a2，可令x?atant；x2?a2，可令x?asect 2)當(dāng)有理分式函數(shù)中分母的階較高時，常采用倒代換x? 27、分部積分法：?udv?uv??vdu，選取u的規(guī)則“反對冪指三”，剩下的作v。分部積分出現(xiàn)循環(huán)形式的情況，例如：?excosxdx,?sec3xdx 1t 考試之前我們及時的總結(jié)，羅列，能夠幫助我們梳理知識點，有效應(yīng)對考試，小編為大家整理了高二語文下冊期末知識點總結(jié)，歡迎大家閱讀。 第一版塊：古詩文閱讀與鑒賞（7題33分） 1。名句名篇默寫題與文學(xué)常識題 知識范圍：課標(biāo)建議的60個背誦篇目;文學(xué)常識以中國古代作家為主及60個背誦篇目名稱、作家及朝代。 默寫時要注意： （1）今年高考是四選三選默，選擇最有把握的幾句來填寫，千萬不要多默。 （2）字跡一定要工整清楚，嚴(yán)禁潦草，切勿賣弄書法。（建議拿到試卷就先填寫默寫內(nèi)容） （3）要求“一字不差”。如默寫內(nèi)容印象不深，可先記得幾個字默幾個字，后面想起來了再默。 注意詩歌中有固定含義的意象： ⒈離別類：雙鯉、尺素（遠方來信），月亮（思鄉(xiāng)或團圓），鴻雁（游子思鄉(xiāng)懷親或羈旅傷感），寒蟬（悲涼），柳（喻離別留念或代故鄉(xiāng)），芳草（離愁別恨），鷓鴣鳥（叫聲似“行不得也哥哥”，指旅途艱辛或離愁別緒），南浦（送別之地），芭蕉（離情別緒），燕（惜春或戀人思念或物是人非的變遷，或傳書敘離情或游子漂泊），關(guān)山（思家），長亭短亭（送別），陽關(guān)曲（送別的歌聲）。 ⒉情愛類：蓮（音同“憐”表達愛情），紅豆（男女愛情或友誼），紅葉（傳情之物）。 ⒊人格類：菊花（清高），梅花（不怕摧殘敢為人先或保持冰清玉潔），松（傲霜斗雪堅守節(jié)操），⒋悲情類：梧桐（象征悲涼），烏鴉（衰敗荒涼），杜鵑鳥或子規(guī)（象征凄涼哀傷或思家思?xì)w），⒌其它類：昆山玉（人才），折桂（科舉及第），采薇（隱居生活），南冠（囚犯），柳營（軍營）。東籬（高雅，潔身自好） ■第一種類型：分析主旨型（含情感及寄寓義） 詩歌就題材（內(nèi)容）的不同，可分以下10類，據(jù)此可了解詩歌主旨： ⑴詠史懷古詩：憑吊古跡古人來借古諷今;或感慨昔盛今衰，今不如昔;或渴望像古人一樣建功立業(yè)。（寫古跡古人，多用典故） ⑵托物言志詩：不直接表露思想情感，而是運用比喻象征擬人手法把自己的理想和人格融入一物象中。（常有松、竹、梅等意象） ⑶邊塞征戰(zhàn)詩：或抒寫報國立功壯志;或征夫思家的思念;或?qū)﹂_邊拓土窮兵黷武的統(tǒng)治者的諷刺和規(guī)勸。 ⑷羈旅思鄉(xiāng)詩：寫游子漂泊的羈旅愁苦;或所見所聞所感觸發(fā)的思念故鄉(xiāng)的鄉(xiāng)愁。（常有月、柳、雁、書信及夢境幻覺的描寫 ⑸送別留念詩：或表達別時留戀;或表達別后思念;或表白理想信念;或表達彼此勉勵。 ⑹田園山水詩：借寫山林田園的閑適美好，表達對世俗與現(xiàn)實的不滿、向往寧靜平和的歸隱思想，或表達自己遺世獨立，保持節(jié)操品性的情懷。 ⑺即事感懷詩：或憂國憂民;或反映離亂;或渴望建功立業(yè);或仕途失意閨中懷人;或謳歌河山。 ⑻閨怨閨愁詩：或表達對戍邊丈夫的思念，或?qū)懘汗猓ㄇ啻海┮资牛怅幉辉俚母袀虮磉_對戰(zhàn)爭的厭惡。（我們認(rèn)為不會考，但是課本中有，我們還是要了解一點。） ■第二種類型：分析意境類（意境=意象+情感） 常式問：這首詩歌營造了一個怎樣的意境氛圍？ 變式問：這首詩歌為我們展現(xiàn)了一幅怎樣的畫面？表達了詩人什么樣的思想？ 這首詩歌描寫了什么樣的景物？抒發(fā)了詩人怎樣的情懷？ A。意境（氛圍）特點術(shù)語有： 孤寂冷清、恬靜優(yōu)美、雄渾壯闊、蕭瑟凄涼，恬靜安謐，雄奇優(yōu)美生機勃勃，富麗堂皇，肅殺荒寒瑰麗雄壯，虛幻飄渺凄寒蕭條繁華熱鬧等。 B。思想感情術(shù)語： 迷戀、憂愁、惆悵、寂寞、傷感、孤獨、煩悶、恬淡、閑適、歡樂、仰慕、激憤，堅守節(jié)操、憂國憂民等。 ■第三種類型：表達技巧類（著眼于全篇整體或局部） 常式問：這首詩歌采用了何種寫作手法？ 變式問：這首詩歌運用了怎樣的藝術(shù)手法（技巧）？或：詩人是怎樣來抒發(fā)自己的情感的？第三篇：高數(shù)上冊知識點總結(jié)
第四篇：高數(shù)知識點總結(jié)
第五篇：高數(shù)二下知識點總結(jié)
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