第一篇：2015春八年級數學下冊《6.4 多邊形的內角和與外角和》教案1 (新版)北師大版

《多邊形的內角和與外角和》

第1課時

教學目標 知識與技能：

表述多邊形的有關概念（內角、外角、對角線、凸多邊形、凹多邊形）； 情感態度價值觀：

1、通過探索過程進一步體會知識點之間的聯系；

2、通過本節的學習進一步體會數學與現實生活的緊密聯系． 教學重難點

表述多邊形的有關概念（內角、外角、對角線、凸多邊形、凹多邊形）． 教學過程

（一）引入

你能從圖1中找出幾個由一些線段圍成的圖形嗎？

圖1

（二）知識點

我們學過三角形，類似地，在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形（polygon）．

多邊形按組成它的線段的條數分成三角形、四邊形、五邊形……三角形是最簡單的多邊形．如果一個多邊形由n條線段組成，那么這個多邊形就叫做n邊形．如圖2，螺母底面的邊緣可以設計為六邊形，也可以設計為八邊形．

圖2 多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角．圖3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五邊形ABCDE的5個內角．多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角．圖4中的∠1是五邊形ABCDE的一個外角．

圖3 圖4 圖5 連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線（diagonal）．圖5中，AC、AD是五邊形ABCDE的兩條對角線．

特別提醒：n邊形（n≥3）從一個頂點可引出（n－3）條對角線，把n邊形分割成（n－2）個三角形，共有對角線n(n?3)條． 2例如：十邊形有________條對角線．在這里n=10，就可套用對角線條數公式n(n?3)10?(10?3)??35（條）． 22

圖6 如圖6（1），畫出四邊形ABCD的任何一條邊（例如CD）所在直線，整個四邊形都在這條直線的同一側，這樣的四邊形叫做凸四邊形．而圖6（2）中的四邊形ABCD就不是凸四邊形，因為畫出邊CD（或BC）所在直線，整個四邊形不都在這條直線的同一側．類似地，畫出多邊形的任何一條邊所在直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，那么這個多邊形就是凸多邊形．本節只討論凸多邊形．

我們知道，正方形的各個角都相等，各條邊都相等．像正方形那樣，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．圖7是正多邊形的一些例子．

圖7 特別提醒：（1）正多邊形必須兩個條件同時具備：①各內角都相等；②各邊都相等．例如： 矩形各個內角都相等，它就不是正四邊形．再如：菱形各邊都相等，它卻不是正四邊形．

第2課時

教學目標 知識與技能：

1、探索并說出多邊形的內角和與外角和公式；

2、進一步發展說理能力和簡單的推理能力． 過程與方法：

經歷探索多邊形內角和與外角和公式的過程，實際測量，推理． 情感態度價值觀：

1、通過探索過程進一步體會知識點之間的聯系；

2、通過本節的學習進一步體會數學與現實生活的緊密聯系． 教學重難點

重點是多邊形的內角和與外角和定理．

難點是學會善于運用三角形的有關知識來研究多邊形的問題，能夠靈活運用多邊形內角和與外角和解決相關問題． 教學過程

（一）思考

三角形的內角和等于180°．正方形、長方形的內角和都等于360°，其他四邊形的內角和等于多少？

（二）探究

任意畫一個四邊形，量出它的4個內角，計算它們的和．

再畫幾個四邊形，量一量，算一算．你能得出什么結論？能否利用三角形內角和等于180°得出這個結論？

如圖8，畫出任意一個四邊形的一條對角線，都能將這個四邊形分為兩個三角形．這樣，任意一個四邊形的內角和，都等于兩個三角形的內角和，即360°．

圖8 從上面的問題，你能想出五邊形和六邊形的內角和各是多少嗎？觀察圖9，請填空： 圖9 從五邊形的一個頂點出發，可以引_______條對角線，它們將五邊形分為_______個三角形，五邊形的內角和等于180°×_________．

從六邊形的一個頂點出發，可以引______條對角線，它們將六邊形分為________個三角形，六邊形的內角和等于180°×__________．

通過以上問題，你能發現多邊形的內角和與邊數的關系嗎？ 一般地，怎樣求n邊形的內角和呢？請填空：

從n邊形的一個頂點出發，可以引______條對角線，它們將n邊形分為________個三角形，n邊形的內角和等于180°×______．

總結：過n邊形的一個頂點可以做（n－3）條對角線，將多邊形分成（n－2）個三角形，每個三角形內角和180°．

所以n邊形內角和（n－2）×180°．

把一個多邊形分成幾個三角形，還有其他分法嗎？由新的分法，能得出多邊形內角和公式嗎？

方法2：如圖：10過n邊形內任意一點與n邊形各頂點連接，可得n個三角形，其內角和n×180°．再減去以O為頂點的周角．

即得n邊形內角和n·180°－360°．

圖10 得出了多邊形內角和公式：n邊形內角和等于（n－2）·180°．

（三）例題

例1：如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？

圖11 解：如圖11，四邊形ABCD中，∠A＋∠C=180°．

因為∠A＋∠B＋∠C＋∠D=（4－2）×180°=360°，所以∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）=360°－180°=180°．

這就是說，如果四邊形的一組對角互補，那么另一組對角也互補．

例2：如圖12，在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和．六邊形的外角和等于多少？

圖12 分析：考慮以下問題：

（1）任何一個外角同與它相鄰的內角有什么關系？

（2）六邊形的6個外角加上與它們相鄰的內角，所得總和是多少？（3）上述總和與六邊形的內角和、外角和有什么關系？ 聯系這些問題，考慮外角和的求法．

解：六邊形的任何一個外角加上與它相鄰的內角，都等于180°．6個外角連同它們各自相鄰的內角，共有12個角．這些角的總和等于6×180°．

這個總和就是六邊形的外角和加上內角和．所以外角和等于總和減去內角和，即外角和等于6×180°－（6－2）×180°=2×180°=360°．

（四）探究

如果將例2中六邊形換為n邊形（n的值是不小于3的任意整數），可以得到同樣結果嗎？ 思路：（用計算的方法）

設n邊形的每一個內角為∠1，∠2，∠3，……，∠n，其相鄰的外角分別為180°－∠1，180°－∠2，180°－∠3，……180°－∠n．外角和為（180°－∠1）＋（180°－∠2）＋……＋（180°－∠n）=n×180°－（∠1＋∠2＋∠3＋……＋∠n）=n×180°－（n－2）×180°=360°

注意：以上各推導方法體現將多邊形問題轉化為三角形問題來解決的基本思想． 由上面的探究可以得到： 多邊形的外角和等于360°．

你也可以像以下這樣理解為什么多邊形的外角和等于360°．

如圖13，從多邊形的一個頂點A出發，沿多邊形的各邊走過各頂點，再回到點A，然后轉向出發時的方向．在行程中所轉的各個角的和，就是多邊形的外角和．由于走了一周，所轉的各個角的和等于一個周角，所以多邊形的外角和等于360°．

圖13 6

第二篇：北師大版八年級數學下冊6.4多邊形的內角和與外角和同步測試題

6.4

多邊形的內角和與外角和

同步測試題

（滿分120分；時間：90分鐘）

一、選擇題

（本題共計

小題，每題

分，共計24分，）

1.一個n邊形的內角和是外角和的2倍，則n的值為（）

A.3

B.4

C.5

D.6

2.若正多邊形的內角和是540°，則該正多邊形的一個外角為（）

A.45°

B.60°

C.72°

D.90°

3.若正多邊形的一個外角為60°，則這個正多邊形的內角和為（）

A.720°

B.900°

C.1080°

D.1980°

4.如果一個正多邊形的每一個外角都是36°，那么這個多邊形的邊數是（）

A.10

B.11

C.12

D.13

5.已知一個多邊形的內角和是1260°，則這個多邊形是

（）

A.六邊形

B.七邊形

C.八邊形

D.九邊形

6.如果一個多邊形的內角和是

540°，那么這個多邊形是（）

A.四邊形

B.五邊形

C.六邊形

D.七邊形

7.一個正多邊形每個外角都是30°，則這個多邊形邊數為（）

A.10

B.11

C.12

D.13

8.小明同學在計算某n邊形的內角和時，不小心少輸入一個內角，得到和為2005°．則n等于（）

A.11

B.12

C.13

D.14

二、填空題

（本題共計

小題，每題

分，共計21分，）

9.五邊形的外角和是________度．

10.已知一個多邊形的內角和與外角和的差是1260°，則這個多邊形邊數是________．

11.若十二邊形的每一個內角都相等，那么它每個內角的度數是________．

12.已知一個正多邊形的內角和為1440°，則它的一個外角的度數為________度．

13.如果正多邊形的一個外角是72°，則這個多邊形的內角和度數是________.14.一個正多邊形的每個內角度數均為135°，則它的邊數為________．

15.一個多邊形的內角和比它的外角和的2倍還大180°，這個多邊形的邊數是________．

三、解答題

（本題共計

小題，共計75分，）

16.已知多邊形的一個外角與其內角和的總和為600°，求此多邊形的邊數．

17.已知一個多邊形的外角和是內角和的27，求這個多邊形的邊數及內角和．

18.已知一個多邊形的內角和是外角和的2倍多180°，則這個多邊形的邊數是多少？

19.一個多邊形除去一個內角外，其余各角之和為2?750°，求這個多邊形的邊數及去掉的角的度數．

20.一個多邊形中，每個內角都相等，并且每個外角等于它的相鄰內角的23，求這個多邊形的外角．

21.已知四邊形的一個內角是56°，第二個內角是它的2倍，第三個內角比第二個內角小10°．求第四個內角的大?。?/p>

22.如圖，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外離，它們的半徑都是1，順次連接五個圓心得五邊形ABCDE，求圖中五扇形（陰影部分）的面積之和．

23.如圖，在四邊形ABCD中，BE和DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，BE與DF相交于點G，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．

（1）如圖1，若α+β＝168°，求∠MBC+∠NDC的度數．

（2）如圖1，若∠BGD＝35°，試猜想α、β所滿足的數量關系式，并說明理由．

（3）如圖2，若α＝β，判斷BE、DF的位置關系，并說明理由．

第三篇：八年級數學上4.6探索多邊形的內角和與外角和教案北師大版

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http://www.tmdps.cn 探索多邊形的內角和與外角和(二)教學目標(一)教學知識點

1.了解多邊形的外角定義，并能準確找出多邊形的外角.2.掌握多邊形的外角和公式，利用內角和與外角和公式解決實際問題.(二)能力訓練要求

1.經歷探索多邊形的外角和公式的過程.進一步發展學生的合情推理意識，主動探究的習慣，進一步體會數學與現實生活的緊密聯系.2.探索并了解多邊形的外角和公式，進一步發展學生的說理和簡單推理的意識及能力.(三)情感與價值觀要求

（1）.經歷多邊形外角和的探索過程，培養學生主動探索的習慣；（2）.通過對內角、外交之間的關系，體會知識之間的內在聯系。.教學重點：多邊形的外角和公式及其應用.教學難點：多邊形的外角和公式的應用.教學過程：

一.巧設情景問題，引入課題

清晨，小明沿一個五邊形廣場周圍的小跑，按逆時針方向跑步.(1)小明每從一條街道轉到下一條街道時，身體轉過的角是哪個角？在圖中標出它們.(2)他每跑完一圈，身體轉過的角度之和是多少？

(3)在上圖中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5嗎？你是怎樣得到的？

（請同學們探討解決，教師總結）

下面大家來看小亮的思考：如圖所示，過平面內一點O分別作與五邊形ABCDE各邊平行的射線OA′、OB′、OC′、OD′、OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ,其中：∠α=∠1,∠β=∠2，∠γ=∠3,∠δ=∠4,∠θ=∠5.億庫教育網

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大家看圖，∠

1、∠

2、∠

3、∠

4、∠5不是五邊形的角，那是什么角呢？ 它們的和叫什么呢？

（這五個角是五邊形的外角，它們的和叫外角和.）我們這節課就來探討多邊形的外角、外角和.二.講授新課

那什么是多邊形的外角、外角和呢？我們可類似三角形的外角定義來定義多邊形的外角.另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角。

在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，它們的和叫做這個多邊形的外角和.一般地，在多邊形的任一頂點處按順(逆)時針方向可作外角，n邊形有n個外角.那多邊形的外角和是多少呢？我們來回憶一下：三角形的外角和為多少？（360°）剛才我們又研究了五邊形的外角和，它為360°，那大家想一想： 如果廣場的形狀是六邊形、八邊形.它們的外角和也等于360°嗎？

(學生討論，得出結論)（六邊形的外角和是360°，八邊形的外角和是360°）

那么能不能由此得出：多邊形的外角和都等于360°呢？能得證嗎？ 因為多邊形的外角與它相鄰的內角是鄰補角，所以，n邊形的外角和加內角和等于n·180°，內角和為(n－2)·180°,因此，外角和為：n·180°－(n－2)·180°= 360°.性質：多邊形的外角和都等于360°

由此可知，多邊形的外角和與多邊形的邊數無關，它恒等于360°.下面大家來想一想、議一議：利用多邊形外角和的結論，能不能推導多邊形內角和的結論呢？

（請學生思考后回答）

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http://www.tmdps.cn（因為對于n(n是大于或等于3的整數)邊形，每個頂點處的內角及其一個外角恰好組成一個平角.因此，n邊形的內角和與外角和的和為n·180°，所以，n邊形的內角和就等于n·180°－360°=n·180°－2×180°=(n－2)·180°）.三．知識應用

［例1］一個多邊形的內角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？

分析：這是多邊形的內角和公式與外角和公式的簡單應用.根據題意，可列方程解答.(讓學生動手解答)解：設這個多邊形是n邊形，則它的內角和是(n－2)·180°,外角和等于360°，所以：

(n－2)·180°=3×360° 解得：n=8 這個多邊形是八邊形.四.課堂練習

(一)課本P112隨堂練習

1.一個多邊形的外角都等于60°，這個多邊形是n邊形？

解：因為多邊形的外角和等于360°，所以根據題意，可知道這個多邊形的邊數是： 360°÷60°=6 2.下圖是三個完全相同的正多邊形拼成的無縫隙不重疊的圖形的一部分，這種多邊形是幾邊形？為什么？

解：這種正多邊形是正六邊形，理由是：設：這個正多邊形的一個內角為x°，則由題圖得：3x=360°.x=120°.再根據多邊形的內角和公式得： n×120°=(n－2)×180°.解得n=6(二)試一試

1.是否存在一個多邊形，它的每個內角都等于相鄰外角的1？為什么？ 5解：不存在，理由是：

如果存在這樣的多邊形，設它的一個外角為α，則對應的內角為180°－α，于是：

1×α=180°－α,解得α=150°.5這個多邊形的邊數為：360°÷150°=2.4,而邊數應是整數，因此不存在這樣的多邊形.億庫教育網

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http://www.tmdps.cn 2.在四邊形的四個內角中，最多能有幾個鈍角？最多能有幾個銳角？ 解：最多能有三個鈍角，最多能有三個銳角.理由是： 設四邊形的四個內角的度數分別為：α°，β°，γ°，δ°，則α+β+γ+δ=360°，α、β、γ、δ的值最多能有三個大于90°，否則α、β、γ、δ都大于90°.α+β+γ+δ＞360°.同理最多能有三個小于90°.五.課時小結

本節課我們探討了多邊形的外角及其外角和公式.知道多邊形的外角和與多邊形的邊數無關，它恒等于360°，因而，求解有關多邊形的角的計算題；有時直接應用外角和公式會比較簡便.六.課后作業:課本P112習題4.12 1、2、3

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第四篇：滬科版數學八年級下冊19.1多邊形內角和-學案（1）

19.1

多邊形內角和

教材分析

多邊形是人們日常生活和實踐中應用較廣的圖形，尤其是各種特殊的多邊形——三角形、平行四邊形，更是隨處可見。多邊形內角和是在學習了三角形內角和的基礎上研究的，并為后面學習設計鑲嵌圖做準備。通過學習，學生可以經歷從實際問題抽象到數學問題，建立數學模型，綜合應用已有的知識解決問題的過程，從而加深對相關知識的理解。

教學目標

知識與技能

1.了解多邊形及相關概念。聯系三角形的相關概念，滲透類比思想。

2.掌握多邊形內角和公式，并會應用它進行有關的計算。

過程與方法

經歷多邊形內角和公式的探究過程，向學生滲透化歸轉化的數學思想。

情感、態度與價值觀

通過多邊形內角和定理的教學，滲透統一美、應用美。

教學重難點

重點

多邊形及其相關概念；多邊形內角和公式。

難點

把多邊形轉化成三角形，用分割法導出多邊形內角和公式。

教學準備

多媒體課件

教學方法

類比、觀察、引導、講解相結合。

教學過程

一、創設問題情境，引入新知

小亮家要裝修新房子，他陪爸爸去買瓷磚，他發現了一塊很漂亮的正方形瓷磚，于是拿了起來，可是他沒拿穩，不小心把瓷磚摔去了一個角。被小亮摔缺了角的瓷磚是幾邊形呢？還剩幾個角呢？內角和又是多少呢？

二、探索新知

師：什么是三角形？

生：在平面內，由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形，叫做三角形。

師：四邊形該怎樣定義？多邊形你會定義嗎？試一試。

學生回答，教師補充。

（板書）在平面內，有若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形。

師:認識了多邊形，你會表示嗎？類比三角形。

B

B

B

A

C

A

C

D

A

C

D

E

F

生：△ABC

四邊形ABCD

六邊形ABCDEF

A

師：看圖，它們有什么相同點與不同點？

B

A

B

C

C

D

D

多媒體展示兩個四邊形，讓學生認識凸多邊形和凹多邊形。

教師問出問題4，讓學生了解多邊形還有一個重要的知識點——對角線。

（板書）多邊形中連接不相鄰兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。

師：三角形內角和是多少？正方形和長方形內角和呢？普通四邊形你會求內角和嗎？探索四邊形的內角和你有幾種方法?請和同伴一起交流.生：

180°×3

-180°

=360°

180°×4

360°

=

360°

180°×2=

360°

通過以上的學習，讓我知道了解決問題方法的多樣化，了解到數學中一種重要的解題思想叫做轉化的思想．如求四邊形的內角和可以通過分割轉化為三角形問題來解決,對于其它的多邊形也可以采用同樣的方法。

師：下面我們來探討多邊形內角和，過多邊形的一個頂點作對角線。

填表：

圖形：

五邊形

六邊形

七邊形

N邊形

對角線條數：

三角形個數：

內角和：

學生找出規律，教師板書定理。

定理

n邊形的內角和等于(n－2)×

180°（n為不小于3的整數）

三、學以致用

例１、已知一個多邊形，它的內角和

等于720°，求這個多邊形的邊數。

解：

設多邊形的邊數為n，因為它的內角和等于

(n-2)?180°，所以，(n-2)?180°=

720o。

解得:

n=6

＼這個多邊形的邊數為6。

基礎訓練

1.十二邊形的內角和為

°

2.一個多邊形的內角和為1080°，求這個多邊形的邊數．

3.一個四邊形的四個內角之比為7：8：2：1，則這四個角的大小分別為多少？

四、課堂小結

師：通過這節課的學習活動你有哪些收獲？

你還有什么困惑嗎？

生：

１.多邊形的定義。

２.多邊形的內角和定理．

３.知道了多邊形內角和的多種求解方法．

４.能利用多邊形的內角和定理進行相關的計算．

5、在探求過程中我們使用了觀察、歸納的數學方法，并且運用了類比、轉化等數學思想。

五、布置作業

同步練習

19.1

基礎平臺（一）

六、板書設計

19.1多邊形內角和

例1

練習

多邊形

對角線

定理

第五篇：蘇科版數學七年級下冊7.5多邊形的內角和與外角和同步測試題

7.5

多邊形的內角和與外角和

同步測試題

（滿分120分；時間：90分鐘）

一、選擇題

（本題共計

小題，每題

分，共計21分，）

1.如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，如果∠A=50°，那么∠1+∠2等于（）

A.230°

B.180°

C.130°

D.260°

2.如圖，已知∠2是△ABC的一個外角，那么∠2與∠B+∠1的大小關系是（）

A.∠2<∠B+∠1

B.∠2=∠B+∠1

C.∠2>∠B+∠1

D.無法確定

3.如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數為（）

A.180°

B.360°

C.540°

D.720°

4.如圖，有兩塊形狀大小完全相同的三角板，把它們相等的邊靠在一起，可以拼出許多圖形，其中形狀不同的四邊形的種數是（）

A.3

B.4

C.5

D.6

5.墨墨發現從某多邊形的一個頂點出發，可以作4條對角線，則這個多邊形的內角和是（）

A.1260°

B.1080°

C.900°

D.720°

6.如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數為（）

A.180°

B.270°

C.360°

D.540°

7.如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內角∠ABC、外角∠ACF．以下結論：

①AD?//?BC；②∠ACB=2∠ADB；③DB平分∠ADC；④∠ADC=90?-∠ABD；

⑤∠BDC=12∠BAC.其中正確的結論是（）

A.①②③④

B.①③④⑤

C.①②④

D.①②④⑤

二、填空題

（本題共計

小題，每題

分，共計24分，）

8.在△ABC中，∠A=34°，∠B=72°，則與∠C相鄰的外角為________．

9.如圖，∠1，∠2，∠3的大小關系為________．

10.若正n邊形的內角和等于它的外角和，則邊數n為________．

11.若某正多邊形的一條邊長為2，一個外角為45°，則該正多邊形的周長為________.12.AE是△ABC的角平分線，AD是BC邊上的高，且∠B=40°，∠ACD=70°，則∠DAE的度數為________．

13.如圖是疊放在一起的兩張長方形卡片，圖中有∠1、∠2、∠3，則其中一定相等的是________．

15.將完全相同的正五邊形按圖排列組成一個圓圈，圖中排列了前兩個正五邊形．若需要n個這樣的正五邊形才能組成一個完整的圓圈，則n的值為________．

三、解答題

（本題共計

小題，共計75分，）

16.如圖，∠A=∠B，∠C=α，DE⊥AC，FD⊥AB，若設∠EDF=β，探究α與β的關系．

17.如圖所示，在△ABC中，D是BC邊上一點，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度數．

18.如圖，以AB為邊，在正六邊形ABCDEF內作正方形ABMN，連接MC．求∠BCM的度數.19.如圖1，△ABC是一個三角形的紙片，D，E分別是△ABC邊上的兩點．

研究(1)：若沿直線DE折疊，則∠BDA＇與∠A的關系是∠BDA＇=2∠A．

研究(2)：若折成圖2的形狀，猜想∠BDA＇，∠CEA＇和∠A的關系，并說明理由．

研究(3)：若折成圖3的形狀，猜想∠BDA＇，∠CEA＇和∠A的關系，并說明理由．

20.如圖，在△ABC中，三個內角的平分線AD，BM，CN交于點O，OE⊥BC于點E．

(1)求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度數；

(2)∠BOD與∠COE是否相等？請說明理由．

21.如圖所示，有一塊直角三角板XYZ放置在△ABC中，三角板的兩條直角邊XY和XZ恰好分別經過點B和點C．

（1）若∠A=30°，則∠ABX+∠ACX的大小是多少？

（2）若改變三角板的位置，但仍使點B，點C在三角板的邊XY和邊XZ上，此時∠ABX+∠ACX的大小有變化嗎？請說明你的理由．