《19.1多邊形內角和》教學設計

教學目標

1、知識與技能:

①了解并掌握多邊形的相關概念。

②探索并了解多邊形的內角和公式。

③能對多邊形的內角和公式進行應用,解決實際問題。

2、過程與方法:

①經歷探索多邊形內角和定理的過程,進一步發展學生的合情推理意識和主動探究習慣,進一步體會數學與現實生活的緊密聯系。

②通過學生自己動手操作,積極參加合作探究的過程,讓學生親身體驗數學發現,增強動手能力。

③在對多邊形的內角和公式進行應用,解決實際問題過程中,培養學生“用數學”的能力。

3、情感態度與價值觀:

①通過師生共同活動,培養學生創新精神,增強學生對數學的好奇心與求知欲。

②向學生滲透類比、轉化、分類的數學思想,并使學生學會與他人合作。

學情分析

1、學生早在小學就學習了部分四邊形的相關知識,初中又學習了平行線和三角形等知識,證明得出了三角形的內角和為180°。這一切為四邊形的學習不僅做了知識上的良好鋪墊,而且奠定了思想方法、邏輯推理等方面的知識。

2、在本節內容的學習過程中,就是把多邊形的問題轉化為三角形問題來解決,所以熟練掌握三角形的相關知識是學生學好本課時知識的前提和保障。

3、如何去探究多邊形的內角和定理是學生的學習障礙，所以本節課以研究對角線的基礎上，研究“過一個頂點的對角線把這個n邊形分成了幾個三角形”，再以三角形內角和知識為基礎,通過組織學生觀察、類比、推理等數學活動,引導學生探索多邊形的內角和公式.通過多種轉化方法的探究讓學生深刻體驗化歸思想,從特殊到一般的認識問題的方法,發展學生合情推理能力和語言表達能力。

重點難點

重點:多邊形內角和定理的探索，應用其解決相關問題

難點:推導和應用多邊形內角和定理，滲透數學轉化思想

教學過程

一、創設情境，導入新課

活動一：探索多邊形定義和相關元素及其分類

問題1：從這些圖形你能抽象出什么平面圖形?

問題2：由三角形的定義，你能試著說出四邊形，多邊形的定義嗎？

問題3：外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角

內角：多邊形相鄰兩邊組成的角

你知道五邊形過一點能有幾條對角線？五邊形有多少條對角線？你能告訴我十邊形過一點能有幾條對角線？十邊形有多少條對角線？十二邊形呢？n邊形呢？探究n邊形共有多少對角線。

問題4：將一個多邊形一邊雙向延長，觀察其他各邊有什么特點？是不是都在這條直線的同一旁？今后如果不作說明，我們說的多邊形都是凸多邊形.【設計意圖】

通過現實情境的展示,調動學生的情緒,激發進一步學習的興趣。培養學生的動手能力。對于邊角這些能在圖形中識別而又不要求學生掌握的描述性定義,采取學生類比三角形的表示方法來歸納,滲透類比的數學思想。借助于自制的直觀教具來說明多邊形定義中“在平面內”這一條件,“首位順次連接”等這些概念中的關鍵詞,易于學生理解,也達到了化解難點的目的。同時,也利用兩張圖片,自然引出凹凸多邊形的概念及如何區分的方法,也進一步規范認識:今后如教材中沒有特殊說明的話,所指多邊形都是凸多邊形。把學生的注意力自然引入本課研究方向,為探索多邊形的內角和作鋪墊。

二、動手操作，探索新知

活動二：探索四邊形內角和

問題1:對于在我們生活中經常所能夠看到的最常見的多邊形又是幾邊形呢?

問題2:有哪位同學能夠舉出一些我們周圍的例子,哪些物體給我們以四邊形的形象呢?

問題3:你有什么辦法可以驗證任意四邊形內角和嗎?測量有限個四邊形還不足以說明所有的四邊形都有同樣的結論(一般性),測量存在誤差,還需要進行嚴格的論證。

【設計意圖】四邊形是多邊形(邊數大于三)中的簡單圖形,因此,從四邊形入手,有利于學生探索它與三角形的關系,從而有利于發現轉化的思想方法,同時滲透“特殊”不代表“一般”的數學思想。鼓勵學生尋找多種分割形式,深入領會轉化的本質——將四邊形問題轉化為三角形問題來解決。

問題4:將一個任意四邊形問題轉化為三角形問題還有其它方法嗎?你能用算式表示出來嗎?

請同學們分小組交流與探究,進一步來論證自己的猜想。

學生親自動手在幾何圖紙上操作,小組內交流,教師深入小組指導,傾聽學生交流.引導學生利用添加輔助線的方法把四邊形轉化為三角形.請學生上臺用投影儀匯報小組探究成果,教師用幾何畫板現在演示同學的方法。小組交流討論后在投影儀上給全班同學講解自己組探究出來的方法。并用算式寫在黑板上。

【設計意圖】鼓勵學生積極參與,合作交流,用語言表達解決問題的方法,發展學生的語言表達能力與推理能力。通過動手操作尋找結論,讓他們積極參加數學活動、主動思考、合作交流,體驗解決問題策略的多樣性.通過尋求多種方法解決問題,訓練學生發散思維能力、培養創新意識。通過觀察輔助線交點的位置,在頂點、在邊上、在四邊形內、在四邊形外,培養學生數學的分類思想。

活動小結：思考幾種推導四邊形內角和的方法有什么共性?把求四邊形的內角和轉化為熟悉的三角形的內角和,這種把未知轉化為已知的思想方法,在今后的數學學習中將經常會遇到。

【設計意圖】把知識提升到思想方法,把未知轉化為已知思想方法。

活動三：用不同方法探索五邊形、六邊形內角和

問題1:請每一組的同學用你們小組所用的方法,推導出五邊形和六邊形的內角和,可以嗎?在幾何圖紙上完成后請學生上黑板投影展示。

教師總結：共同點就是找一個點，將五邊形內角和轉化為多個三角形的內角和。

【設計意圖】通過增加圖形的復雜性,再一次經歷轉化的過程,加深對轉化思想的理解。通過猜想、歸納、推導讓學生體會從特殊到一般的思想,通過公式的歸納過程,體會數形之間的聯系。

問題2:幾種推導四邊形內角和的方法中,你認為哪種方法最好?為什么?

(從一個頂點出發做對角線分割成三角形最好，因為減少了減去一個角的這種計算過程。這就是最優化的思想，選擇好最優最適合自己的方法再行動。)

【設計意圖】最優化思想,數學來源于生活,為生活服務。

活動四：探索n邊形內角和

問題1:以從頂點出發作對角線這種方法來探究n邊形內角和為多少？以小組為單位進行探討。

多邊形的內角和定理:邊形的內角和等于(n-2)·180°(n≥3的整數)?！驹O計意圖】通過增加圖形的復雜性,再一次經歷轉化的過程,加深對轉化思想的理解。通過猜想、歸納、推導讓學生體會從特殊到一般的思想,通過公式的歸納過程,體會數形之間的聯系。

三、初步應用，感悟新知

例:已知一個多邊形的內角和是180°,求它的邊數。

解:設邊數為n,有

180°(n-2)=1800°

解得:n=12

答:它的邊數為12。

四、鞏固練習

變式練習1：已知一個多邊形的內角和是2160°，求它的邊數。

解

：

設這個多邊形有n條邊.由多邊形內角和定理知：

(n-2)

×180°=2160°

得

n

=14，即這個多邊形有14條邊。

變式練習2：有一張長方形的桌面，現在鋸掉它的一個角，剩下的桌面是一個幾邊形？它的內角和是多少？

五、課堂小結

問題1:你都學習到了哪些探究多邊形內角和的方法?

請學生回答說一說。

問題2:體會到了數學當中的什么數學思想方法？

教師總結：

1、我們認識了多邊形及相關的元素.2、通過探索多邊形的內角和定理，我們嘗試了從不同的角度尋求解決問題的方法，并且能有效地運用定理解決問題.3、我們學會了許多解決數學問題的思想方法，如將多邊形問題轉化為三角形問題，以及類比法、歸納法、轉化、分類的思想方法等.【設計意圖】鼓勵學生暢所欲言總結對本節課的收獲和體會,有利于培養歸納、總結的習慣和能力,讓學生自主建構知識體系。

七、布置作業，鞏固提高

1、課本P74習題19.1

題1、5、72、思考題:把一個n邊形切掉一個角后的內角和為1620°,n是多少呢？

【設計意圖】適當的對作業進行分層設計,讓學有余力的學生得到拓展。