第一篇：[初中數(shù)學(xué)]正多邊形和圓教案2 人教版

《正多邊形和圓》教案2 教學(xué)目標(biāo) ：

（1）使學(xué)生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關(guān)系的第一個(gè)定理；

（2）通過正多邊形定義教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生歸納能力；通過正多邊形與圓關(guān)系定理的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、推理、遷移能力；

（3）進(jìn)一步向?qū)W生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想．

教學(xué)重點(diǎn)：

正多邊形的概念與正多邊形和圓的關(guān)系的第一個(gè)定理．

教學(xué)難點(diǎn) ：

對定理的理解以及定理的證明方法．

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：

（一）觀察、分析、歸納：

觀察、分析：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？

2．正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？

歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質(zhì)的共同點(diǎn)．

教師組織學(xué)生進(jìn)行，并可以提問學(xué)生問題．

（二）正多邊形的概念：

（1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如果一個(gè)正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．

（2）概念理解：

①請同學(xué)們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形．（正三角形、正方形、正六邊形，…….）

②矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

矩形不是正多邊形，因?yàn)檫叢灰欢ㄏ嗟龋庑尾皇钦噙呅危驗(yàn)榻遣灰欢ㄏ嗟龋?/p>

（三）分析、發(fā)現(xiàn)：

問題：正多邊形與圓有什么關(guān)系呢？

發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內(nèi)切圓和外接圓，并且為同心圓．

分析：正三角形三個(gè)頂點(diǎn)把圓三等分；正方形的四個(gè)頂點(diǎn)把圓四等分．要將圓五等分，把等分點(diǎn)順次連結(jié)，可得正五邊形．要將圓六等分呢？

（四）多邊形和圓的關(guān)系的定理

定理：把圓分成n(n≥3)等份：

(1)依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；

(2)經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形．

我們以n=5的情況進(jìn)行證明．

已知：⊙O中，= = = =，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過點(diǎn)A、B、C、D、E的⊙O的切線．

求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形；

（2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形．

證明：（略）

引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納證明思路：

弧相等

說明：(1)要判定一個(gè)多邊形是不是正多邊形，除根據(jù)定義來判定外，還可以根據(jù)這個(gè)定理來判定，即：①依次連結(jié)圓的n(n≥3)等分點(diǎn)，所得的多邊形是正多迫形；②經(jīng)過圓的n(n≥3)等分點(diǎn)作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形．

(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件．

(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據(jù)它判斷一多邊形為正多邊形或根據(jù)它作正多邊形．

（五）初步應(yīng)用

P157練習(xí)

1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么? 2．求證：正五邊形的對角線相等．

3．如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D、E是⊙O的5等分點(diǎn)，畫出⊙O的內(nèi)接和外切正五邊形．

（六）小結(jié)：

知識：（1）正多邊形的概念．（2）n等分圓周(n≥3)可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．

能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力

（七）作業(yè) 教材P172習(xí)題A組2、3． 教學(xué)設(shè)計(jì)示例2 教學(xué)目標(biāo) ：

（1）理解正多邊形與圓的關(guān)系定理；

（2）理解正多邊形的對稱性和邊數(shù)相同的正多邊形相似的性質(zhì)；

（3）理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（4）通過正多邊形性質(zhì)的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的探索、推理、歸納、遷移等能力；

教學(xué)重點(diǎn)：

理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質(zhì)定理．

教學(xué)難點(diǎn) ：

對“正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，并且這兩個(gè)圓是同心圓”的理解．

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：

（一）提出問題：

問題：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n≥3)圓周就可以得到的圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．反過來，是否每一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和內(nèi)切圓呢？

（二）實(shí)踐與探究：

組織學(xué)生自己完成以下活動(dòng)．

實(shí)踐：

1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點(diǎn)？半徑是什么？

2、作已知三角形的內(nèi)切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點(diǎn)？半徑是什么？

探究1：當(dāng)三角形為正三角形時(shí)，它的外接圓和內(nèi)切圓有什么關(guān)系？

探究2：（1）正方形有外接圓嗎？若有外接圓的圓心在哪？(正方形對角線的交點(diǎn)．)（2）根據(jù)正方形的哪個(gè)性質(zhì)證明對角線的交點(diǎn)是它的外接圓圓心？

（3）正方形有內(nèi)切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰？

（三）拓展、推理、歸納：

（1）拓展、推理：

過正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A、B、C、作⊙O連結(jié)OA、OB、OC、OD．

同理，點(diǎn)E在⊙O上．

所以正五邊形ABCDE有一個(gè)外接圓⊙O．

因?yàn)檎暹呅蜛BCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以點(diǎn)O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切．可見正五邊形ABCDE還有一個(gè)以O(shè)為圓心的內(nèi)切圓．

（2）歸納：

正五邊形的任意三個(gè)頂點(diǎn)都不在同一條直線上

它的任意三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，即確定了圓心和半徑．

其他兩個(gè)頂點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑．

正五邊形的各頂點(diǎn)共圓．

正五邊形有外接圓．

圓心到各邊的距離相等．

正五邊形有內(nèi)切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離．

照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形都有一個(gè)外接圓和內(nèi)切圓．

定理： 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓．

正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等．正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．正n邊形的每個(gè)中心角都等于 ．

（3）鞏固練習(xí)：

1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______．

2、正方形ABCD的內(nèi)切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______．

3、若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個(gè)內(nèi)角是______．

4、正n邊形的一個(gè)外角度數(shù)與它的______角的度數(shù)相等．

（四）正多邊形的性質(zhì)：

1、各邊都相等．

2、各角都相等．

觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對稱圖形？如果是，它們又各應(yīng)有幾條對稱軸？

3、正多邊形都是軸對稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心．邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心．

4、邊數(shù)相同的正多邊形相似．它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．

5、任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓．

以上性質(zhì)，教師引導(dǎo)學(xué)生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養(yǎng)學(xué)生的探究問題的能力、培養(yǎng)學(xué)生的研究意識，也培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作學(xué)習(xí)精神．

（五）總結(jié)

知識：（1）正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（2）正多邊形與圓的關(guān)系定理、正多邊形的性質(zhì)．

能力：探索、推理、歸納等能力．

方法：證明點(diǎn)共圓的方法．

（六）作業(yè) P159中練習(xí)1、2、3．

教學(xué)設(shè)計(jì)示例3 教學(xué)目標(biāo) ：

（1）鞏固正多邊形的有關(guān)概念、性質(zhì)和定理；

（2）通過證明和畫圖提高學(xué)生綜合運(yùn)用分析問題和解決問題的能力；

（3）通過例題的研究，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和不斷更新的創(chuàng)新意識及選優(yōu)意識．

教學(xué)重點(diǎn)：

綜合運(yùn)用正多邊形的有關(guān)概念和正多邊形與圓關(guān)系的有關(guān)定理來解決問題，要理解通過對具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學(xué)知識的聯(lián)想和化歸．

教學(xué)難點(diǎn) ：綜合運(yùn)用知識證題．

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：

（一）知識回顧

1．什么叫做正多邊形？

2．什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？

3．正多邊形有哪些性質(zhì)？(邊、角、對稱性、相似性、有兩圓且同心)4．正n邊形的每個(gè)中心角都等于 ．

5．正多邊形的有關(guān)的定理．

（二）例題研究：

例

1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形．

已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．

分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個(gè)角相等，顯然證五條邊相等即可．

教師引導(dǎo)學(xué)生分析，學(xué)生動(dòng)手證明．

證法1：連結(jié)OA、OB、OC，∵五邊形ABCDE外切于⊙O．

∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．

∴∠BAO=∠OCB．

又∵OB=OB

∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA．

∴五邊形ABCDE是正五邊形．

證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則

OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．

∠B=∠C ∠1=∠2 = ．

同理 = = =，即切點(diǎn)A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點(diǎn)．所以五邊形ABCDE是正五邊形．

反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關(guān)系定理1來判定，證明關(guān)鍵是證出各切點(diǎn)為圓的等分點(diǎn)．由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”．

此外，用正多邊形與圓的關(guān)系定理1中“把圓n等分，依次連結(jié)各分點(diǎn)，所得的多邊形是圓內(nèi)接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內(nèi)接n邊形是正n邊形”，證明關(guān)鍵是證出各接點(diǎn)是圓的等分點(diǎn)。

拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

分小組進(jìn)行證明競賽，并歸納學(xué)生的證明方法．

拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內(nèi)切圓和外接圓，切點(diǎn)分別為F、G、H、M、N．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

學(xué)生獨(dú)立完成證明過程，對B、C層學(xué)生教師給予及時(shí)指導(dǎo)，最后可以應(yīng)用實(shí)物投影展示學(xué)生的證明成果，特別是對證明方法好，步驟推理嚴(yán)密的學(xué)生給予表揚(yáng)．

例

2、已知：正六邊形ABCDEF．

求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內(nèi)切圓．

作法：1過A、B、C三點(diǎn)作⊙O．⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓．

2、以O(shè)為圓心，以O(shè)到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內(nèi)切圓．

用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內(nèi)切圓．

練習(xí)：P161

1、求證：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個(gè)反例．

(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形；

(2)各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圓與內(nèi)切圓．

（三）小結(jié)

知識：復(fù)習(xí)了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)和判定方法．

能力與方法：重點(diǎn)復(fù)習(xí)了正多邊形的判定．正多邊形的外接圓與內(nèi)切圓的畫法．

（四）作業(yè)

教材P172習(xí)題4、5；另A層學(xué)生：P174B組3、4．

探究活動(dòng)

折疊問題：（1）想一想：怎樣把一個(gè)正三角形紙片折疊一個(gè)最大的正六邊形．

（提示：①對折；②再折使A、B、C分別與O點(diǎn)重合即可）

（2）想一想：能否把一個(gè)邊長為8正方形紙片折疊一個(gè)邊長為4的正六邊形．

（提示：可以．主要應(yīng)用把一個(gè)直角三等分的原理．參考圖形如下：

①對折成小正方形ABCD；

②對折小正方形ABCD的中線；

③對折使點(diǎn)B在小正方形ABCD的中線上（即B’）；

④則B、B’為正六邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)，這樣可得滿足條件的正六邊形．）

探究問題：

（安徽省2002）某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時(shí)，進(jìn)行如下討論：

甲同學(xué)：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形；

乙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時(shí)，它也不一定是正多邊形．如圖一，△ABC是正三角形, 形，= =，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形；

丙同學(xué)：我能證明，邊數(shù)是5時(shí)，它是正多邊形．我想，邊數(shù)是7時(shí)，它可能也 是正多邊形．

(1)請你說明乙同學(xué)構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等．

(2)請你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG(如圖二)是正七邊形(不必寫已知、求證)．

(3)根據(jù)以上探索過程，提出你的猜想(不必證明)．

（1）[說明]（2）[證明]（3）[猜想]

解：（1）由圖知∠AFC對 ．因?yàn)?=，而∠DAF對的 = + = + = ．所以∠AFC=∠DAF．

同理可證，其余各角都等于∠AFC．所以，圖1中六邊形各內(nèi)角相．

（2）因?yàn)椤螦對，∠B對，又因?yàn)椤螦=∠B，所以 = ．所以 = ．

同理 = = = = = = ．所以 七邊形ABCDEFG是正七邊形．

猜想：當(dāng)邊數(shù)是奇數(shù)時(shí)(或當(dāng)邊數(shù)是3，5，7，9，……時(shí))，各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形

第二篇：正多邊形和圓反思

正多邊形和圓教學(xué)反思

孫葉

這一節(jié)課，我花了十分鐘的時(shí)間已經(jīng)讓學(xué)生通過看書感知了中心、中心角、半徑、邊心距的定義，這節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是特殊的正多邊形和圓中邊心距、邊長、半徑的關(guān)系。

我先給了學(xué)生五分鐘看書上正六邊形的例題，在黑板上畫了半徑為R的正四邊形、正六邊形、正三角形及其外接圓，點(diǎn)撥例題后我以表格的形式給出學(xué)生的第一個(gè)問題是：分別用R表示正四邊形、正六邊形、正三角形的邊長、周長、邊心距和面積。以前一直習(xí)慣于我講學(xué)生聽，這節(jié)我試著讓學(xué)生講，學(xué)生在黑邊前的講解的時(shí)候我發(fā)現(xiàn)其他學(xué)生聽的更認(rèn)真，雖然講解的學(xué)生還存在著聲音小、講解不是太透徹等缺點(diǎn)，但整體還可以，多給學(xué)生機(jī)會肯定會有提高。整節(jié)課我圍繞這個(gè)問題花了很長的時(shí)間，目的是讓更多的學(xué)生體會并且學(xué)會這種構(gòu)造直角三角形的思想。其中我給學(xué)生補(bǔ)充的知識有：有一個(gè)角是30度的直角三角形的三邊比和等腰直角三角形的三邊比的推導(dǎo)及結(jié)論，我覺得這樣可以為學(xué)生的運(yùn)算節(jié)省時(shí)間。

這節(jié)課的第二個(gè)問題是：探究正三角形的外接圓半徑R和內(nèi)切圓的半徑r的數(shù)量關(guān)系，以及它們與正三角形的高之間的數(shù)量關(guān)系。在這個(gè)過程由兩個(gè)同學(xué)去講解，田禮厚同學(xué)通過連接半徑轉(zhuǎn)化R構(gòu)造直角三角形，而鄭文豪同學(xué)通過構(gòu)造弦心距轉(zhuǎn)化r構(gòu)造直角三角形，同樣都是轉(zhuǎn)化，但轉(zhuǎn)化的不一樣，我覺得學(xué)生的思維表現(xiàn)的很活躍。

整節(jié)課設(shè)計(jì)的問題較少，重點(diǎn)在于讓學(xué)生體會構(gòu)造思想和轉(zhuǎn)化思想，學(xué)生表現(xiàn)很積極，但是沒有練習(xí)以及反饋的時(shí)間，在接下來的練習(xí)課上我覺得困擾學(xué)生的不是構(gòu)造直角三角形的思想而是計(jì)算的速度及準(zhǔn)確性，但快速準(zhǔn)確運(yùn)算又不是一天兩天的功夫，我認(rèn)為對于我的學(xué)生而言，每節(jié)課還得給適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算來鍛煉學(xué)生。

第三篇：24.3 正多邊形和圓(教案)

24.3正多邊形和圓

【知識與技能】

了解正多邊形和圓的關(guān)系，了解正多邊形半徑和邊長，邊心距，中心，中心角等概念.會應(yīng)用正多邊形的有關(guān)知識解決圓中的計(jì)算問題.會用圓規(guī)、量角器和直尺來作圓內(nèi)接正多邊形.【過程與方法】

結(jié)合生活中的正多邊形形狀的圖案，發(fā)現(xiàn)正多邊形和圓的關(guān)系，然后學(xué)會用圓的有關(guān)知識，解決正多邊形的問題.【情感態(tài)度】

學(xué)生經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、探究等數(shù)學(xué)活動(dòng)，感受到數(shù)學(xué)來源于生活、又服務(wù)于生活，體現(xiàn)事物之間是相互聯(lián)系，相互作用的.【教學(xué)重點(diǎn)】

正多邊形與圓的相關(guān)概念及其之間的運(yùn)算.【教學(xué)難點(diǎn)】

探索正多邊形和圓的關(guān)系，正多邊形半徑，中心角、弦心距，邊長之間的關(guān)系.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

觀察這些美麗的圖案，都是在日常生活中，我們經(jīng)常能看到的利用正多邊形得到的物體.（1）你能從圖案中找出多邊形嗎？

（2）你知道正多邊形和圓有什么關(guān)系嗎？怎樣就能作出一個(gè)正多邊形來？ 【教學(xué)說明】學(xué)生通過觀察美麗的圖案，欣賞生活中正多邊形形狀的物體.讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，并從中感受到數(shù)學(xué)美.問題（2）的提出是為了創(chuàng)設(shè)一個(gè)問題情境，激起學(xué)生主動(dòng)將所學(xué)圓的知識與正多邊形聯(lián)系起來，激發(fā)學(xué)生積極探索、研究的熱情，并有意將注意力集中在正多邊形和圓的關(guān)系上.二、思考探究，獲取新知 1.正多邊形和圓的關(guān)系

問題1將一個(gè)圓分成5等份，依次連接各分點(diǎn)得到一個(gè)五邊形，這五邊形一定是正五邊形嗎？如果是，請你證明這個(gè)結(jié)論.教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫圖，并寫出已知和求證.已知：如圖，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分點(diǎn).依次連接ABCDE形成五邊形.問：五邊形ABCDE是正五邊形嗎？如果是，請證明你的結(jié)論.答案：五邊形ABCDE是正五邊形.???證明：在⊙O中，∵?AB??BC?CDDE??EA，∴AB=BC=CD=DE=EA，??CDA??3?BCEAB，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五邊形ABCDE是正五邊形.【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生從正多邊形的定義入手證明，即證明多邊形各邊都相等，各角都相等；引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，教師帶領(lǐng)學(xué)生完成證明過程.問題2如果將圓n等分，依次連接各分點(diǎn)得到一個(gè)n邊形，這個(gè)n邊形一定是正n邊形嗎？

答案：這個(gè)n邊形一定是正n邊形.【教學(xué)說明】在這個(gè)問題中，教師重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生是否會仿照證明圓內(nèi)接正五邊形的方法證明圓內(nèi)接正n邊形.從問題1到問題2是將結(jié)論由特殊推廣到一般，這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，并教導(dǎo)學(xué)生一種研究問題的方法，由特殊到一般.問題3各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎？各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎？如果是，說明理由；如果不是，舉出反例.答案：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形.因?yàn)椋焊鬟呄嗟鹊膱A內(nèi)接多邊形的各角也相等.各角相等的圓內(nèi)接多邊形不是正多邊形.如：矩形.【教學(xué)說明】問題3的提出是為了鞏固所學(xué)知識，使學(xué)生明確判定圓內(nèi)接多邊形是正多邊形，必須滿足各邊都相等，各內(nèi)角也都相等，這兩個(gè)條件缺一不可.同時(shí)教會學(xué)生學(xué)會舉反例.培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性.2.正多邊形的有關(guān)概念

綜合圖形，給出正多邊形的中心，半徑，中心角，邊心距等概念.正n邊形：中心角為：

360°n；內(nèi)角的度數(shù)為：180°（n-2）n 3.正多邊形和圓有關(guān)的計(jì)算問題

例1（課本106頁例題）有一個(gè)亭子，它的地基是半徑為4m的正六邊形，求地基的周長和面積（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.分析：根據(jù)題意作圖，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.解：如圖.∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC=360°/6=60°.∴△BOC是等邊三角形.∴R=BC=4m，∴這個(gè)亭子地基的周長為:4×6=24（m）.過O點(diǎn)作OP⊥BC，垂足為P.在Rt△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2..例2填空.【教學(xué)說明】例1是讓學(xué)生了解有關(guān)正多邊形的概念后，掌握正多邊形的計(jì)算.同時(shí)，通過例1引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，將多邊形化歸為三角形來解決.例2通過網(wǎng)格來呈現(xiàn)問題，在解決例2時(shí)，教師指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的方法來解決問題，加深對有關(guān)概念的理解.4.畫正多邊形

畫正多邊形，通常是通過等分圓周的方法來畫的.等分圓周有兩種方式：（1）用量角器等分圓周.方法一：由于在同圓或等圓中相等的圓心角所對弧相等，因此作相等的圓心角可以等分圓.方法二：先用量角器畫一個(gè)等于360°/n的圓心角，這個(gè)圓心角所對的弧就是圓的1/n，然后在圓上依次截取這條弧的等弧，就得到圓的幾等分點(diǎn).【教學(xué)說明】這兩種方法可以任意等分圓，但不可避免地存在誤差.（2）用尺規(guī)等分圓

正方形的作法:如圖（1)在⊙O中，尺規(guī)作兩條垂直的直徑，把⊙O四等分，從而作出正方形ABCD.再逐次平分各邊所對弧，則可作正八邊形、正十六邊形等邊數(shù)逐次倍增的正多邊形.正六邊形的作法：方法一：如圖（2）任意作一條直徑AB，再分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑作弧，與⊙O交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D為⊙O的六等分點(diǎn)，順次連接各等分點(diǎn)，得到正六邊形ACEBFD.方法二：如圖（3）由于正六邊形的半徑等于邊長.所以在圓上依次截取等于半徑的弦，就將圓六等分，順次連接各等分點(diǎn)即可得到正六邊形.【教學(xué)說明】尺規(guī)作圖法是一種比較準(zhǔn)確的等分圓的方法，但有較大的局限性，它不能將圓任意等分.三、運(yùn)用新知，深化理解

1.如圖，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE，對角線AC與BD相交于點(diǎn)P，則∠APB的度數(shù)為_______.2.邊長為2/π的正方形的內(nèi)切圓與外接圓所組成的圓環(huán)的面積為_____.3.如果一個(gè)正六邊形的面積與一個(gè)正三角形的面積相等，求正六邊形與正三角形的內(nèi)切圓的半徑之比.4.如圖，點(diǎn)M、N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，正方形ABCD，正五邊形ABCDE，??正n邊形的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM=CN，連接OM、ON.（1）求圖1中的∠MON的度數(shù)；

（2）在圖2中，∠MON的度數(shù)為_____，在圖3中，∠MON的度數(shù)為_____；（3）試探索∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n之間的關(guān)系.（直接寫出答案）【教學(xué)說明】題1、2可由學(xué)生自主探索完成，題3、4可先讓學(xué)生思考，然后教師加以提示，最后共同解答.完成教材第106頁、108頁的練習(xí).【答案】1.72°

4.解：（1）連接OB、OC.∵正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法與（1）相同)(3)∠MON=360°/n.四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你知道正多邊形和圓有怎樣的關(guān)系嗎？你知道正多邊形的半徑、邊心距、內(nèi)角、中心角等概念嗎？你能畫出正多邊形嗎？

【教學(xué)說明】教師先提出問題，然后讓學(xué)生自主思考并回顧，教師再予以補(bǔ)充和點(diǎn)評.1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題24.3”中選取.2.完成練習(xí)冊中本課時(shí) 練習(xí)的“課后作業(yè)”部分.1.本節(jié)課首先從復(fù)習(xí)正多邊形的定義入手，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，將正多邊形與圓緊密聯(lián)系，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們之間的密切關(guān)系，并將結(jié)論由特殊推廣到一般，符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，通過學(xué)習(xí)正多邊形中的一些基本概念，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)了化歸的思想.其次，在這一基礎(chǔ)上，又教給學(xué)生用等分圓周的方法作正多邊形，這可以發(fā)展學(xué)生的作圖能力.2.等分圓周法是一種作正多邊形的常見方法，通過作簡單的正三角形、正方形、正六邊形，一直推廣到作正八邊形的情況，可以向?qū)W生灌輸極限的思想，極限是微積分中最主要、最基本的概念，它從數(shù)量上描述變量在變化過程中的變化趨勢，在高中數(shù)學(xué)中，極限思想滲透到函數(shù)、數(shù)列等章節(jié)，又銜接高等數(shù)學(xué)，起著承上啟下的作用.

第四篇：圓與正多邊形教案一

正多邊形與圓

田小華

一．學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、了解正多邊形的概念、正多邊形和圓的關(guān)系；

2、會通過等分圓心角的方法等分圓周，畫出所需的正多邊形；

3、能夠用直尺和圓規(guī)作圖，作出一些特殊的正多邊形； 二．教學(xué)重難點(diǎn)

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：利用直尺與圓規(guī)作特殊的正多邊形。三．自學(xué)提綱

了解正多邊形的概念，掌握如何利用尺規(guī)做正多邊形的畫法，理解正多邊形與圓的的定理。

四．教學(xué)過程： 1.情境創(chuàng)設(shè)：

我們國旗上的五角星怎么畫的？能不能利用尺規(guī)作出正五邊形 及所有邊相等的正多邊形

提問：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？ 2．正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？

拓展：如果圓內(nèi)接正三角形，正方形有什么性質(zhì)

二、探索活動(dòng)：活動(dòng)一 觀察生活中的一些圖形，歸納它們的共同特征，引入正多邊形的概念

正多邊形的概念：（學(xué)生讀出，并及時(shí)理解）

（注：各邊相等與各角相等必須同時(shí)成立）

提問：矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

如果一個(gè)正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形等．

定理：

此定理講述了元與正多邊形的關(guān)系，和包含了做圓內(nèi)接正多邊形的方法，我們拿正五邊形來做事例 分析書上的例題 P33 拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA．（圖形師生共同作圖）

（1）求證：五邊形ABCDE是正五邊形． 探討：以圓心到弦AB的弦心距為半徑，還以O(shè)為圓心畫圓。這個(gè)圓與正五邊形什么關(guān)系？

活動(dòng)二 用量角器作正多邊形，探索正多邊形與圓的內(nèi)在聯(lián)系

1、用量角器將一個(gè)圓n（n≥3）等分，依次連接各等分點(diǎn)所得的n邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；圓的內(nèi)接正n邊形將圓n等分；

2、正多邊形的外接圓的圓心叫正多邊形的中心。

活動(dòng)四 利用直尺與圓規(guī)作特殊的正多邊形 問題：用直尺和圓規(guī)作出正方形，正六多邊形。

思考：如何作正八邊形正三角形、正十二邊形？

拓展2：各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形？

五、課堂練習(xí)

課本P34練習(xí)1,2和P35習(xí)題3，4

六．小結(jié)：本節(jié)課主要講的是圓與正多邊形聯(lián)系，及如何作正（四，五，六，八）多邊形，及進(jìn)一步探討正多邊形的對稱性。

第五篇：《正多邊形和圓》第二課時(shí)參考教案

24.3 正多邊形和圓

第二課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)：

1、使學(xué)生了解用量角器等分圓心角來等分圓，從而可以作出圓內(nèi)接或圓外切正多邊形．

2、使學(xué)生會用尺規(guī)作圓內(nèi)接正方形和正六邊形，在這個(gè)基礎(chǔ)上能作圓內(nèi)接正八邊形、正三角形、正十二邊形．

3、通過畫圖培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力；

4、通過畫正方形到會畫正八邊形，通過畫六邊形到畫三角形、正十二邊形，培養(yǎng)學(xué)生觀察、抽象、遷移能力．

5、通過畫圖中需減小積累誤差的思考與操作，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)：

(1)用量角器等分圓心角來等分圓，然后作出圓內(nèi)接或圓外切正多邊形；(2)用尺規(guī)作圓內(nèi)接正方形和正六邊形． 教學(xué)難點(diǎn)：

準(zhǔn)確作圖． 教學(xué)過程：

一、新課引入：

前幾課我們學(xué)習(xí)了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)、判定，尤其學(xué)習(xí)了正多邊形與圓關(guān)系的兩個(gè)定理，而后我們又學(xué)習(xí)了正多邊形的有關(guān)計(jì)算，本堂課我們一起學(xué)習(xí)畫正多邊形．

二、新課講解：

由于正多邊形在生產(chǎn)、生活實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用性，所以會畫正多邊形應(yīng)是學(xué)生必備能力之一，前面已學(xué)習(xí)了正多邊形和圓的關(guān)系的第一個(gè)定理，即把圓分成n(n≥3)等份，依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形，所以想到只要知道外接圓半徑R或內(nèi)切圓半徑rn，畫出圓來，然后n等分圓周就能畫出所需的正n邊形．

n等分圓周的方法有兩種，一種是量角器法，這一種方法簡單易學(xué)，它是一種常用的方法．其根據(jù)是因?yàn)橄嗟鹊膱A心角所對弧相等，所以使用量角器等分圓心角，可以達(dá)到把圓任意等分的目的，由于學(xué)生已具備使用量角器的能力，所以只要講明根據(jù)，讓學(xué)生動(dòng)手操作即可．

另一種方法是用尺規(guī)等分圓周法，其實(shí)質(zhì)也是等分圓心角，但尺規(guī)不能任意等分圓，只適用于一些特殊情況，其中重點(diǎn)是正方形和正六邊形的作法，這是因?yàn)檎诉呅巍⒄切巍⒄呅味际怯纱俗骰A(chǔ)而畫出來的．

由于尺規(guī)作圖在理論上準(zhǔn)確，但在實(shí)際操作中有誤差積累，如何減少誤差使圖形趨于準(zhǔn)確？這是一個(gè)鍛煉學(xué)生解決問題的好時(shí)機(jī)，應(yīng)讓學(xué)生親手實(shí)驗(yàn)、觀察對比，從而得出結(jié)論．

(三)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目標(biāo)完成過程

復(fù)習(xí)提問：1．哪位同學(xué)記得正多邊形與圓關(guān)系的第一個(gè)定理？(安排中下生回答)2．哪位同學(xué)記得在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧有什么性質(zhì)？(安排中下生回答：相等的圓心角所對的弧相等)現(xiàn)在我們要畫半徑為R的正n邊形，從正多邊形與圓關(guān)系的第一個(gè)定理中，你有什么啟發(fā)？(安排學(xué)生相互討論后，讓中等生回答：只要把半徑為R的圓n等分，依次連結(jié)n個(gè)等分點(diǎn)就得正n邊形)那么怎樣把半徑為R的圓n等分呢？從剛才復(fù)習(xí)的第二問題中，你又受到什么啟發(fā)？大家相互間討論．(安排中等生回答：把360°的圓心角n等分)如果要作半徑2cm的正九邊形，你打算如何作呢？大家互相討論看看．(安排中等生回答：先畫半徑2cm的圓，然后把360°的圓心角9等份，每一份40°)，用什么工具可得到40°角呢？(安排中下生回答：量角器)我們本堂課所講畫正多邊形的第一種方法就是用量角器等分圓，大家用量角器畫出半徑為2的內(nèi)接正九邊形．

學(xué)生在畫圖實(shí)踐中必然出現(xiàn)兩種情況：其一是依次畫出相等的圓心角來等分圓，這種方法比較準(zhǔn)確，但是麻煩；其二是先用量角器畫一個(gè)40°的圓心角，然后在圓上依次截取40°圓心角所對弧的等弧，于是得到圓的9等分點(diǎn)，這種方法比較方便，但畫圖的誤差積累到最后一個(gè)等分點(diǎn)，使畫出的正九邊形的邊長誤差較大．對此學(xué)生必然迷惑不解，在此教師應(yīng)肯定作法理論上的正確性，然后講出圖形不夠準(zhǔn)確的原因是由于誤差積累的結(jié)果，然后引導(dǎo)學(xué)生討論，研究減小誤差積累的二個(gè)途徑：其一，調(diào)整圓規(guī)兩腳間的距離，使之盡可能準(zhǔn)確的等于所畫正九邊形的邊長．其二，若有可能，盡可能減少操作次數(shù)，減少產(chǎn)生誤差的機(jī)會．

大家想想如何畫一個(gè)半徑為2cm的正方形呢？(安排中下生回答：先畫半徑2cm的圓，用量角器作90°的圓心角．)畫出∠AOB=90°后，方法1，可依次作90°圓心角；方法2，用圓規(guī)依次截取等于AB的弧，大家觀察有沒有更好的方法？(安排中等生回答：將AO與BO邊延長交⊙O于C、D)．正方形一邊所對的圓心角是90°角，不用量角器用尺規(guī)能不能做出90°的圓心角呢？用尺規(guī)如何作半徑為2cm的正方形？(安排中上等生回答，先作半徑2cm的圓，然后畫兩條互相垂直的直徑)

請同學(xué)們用尺規(guī)畫出半徑為2cm的正方形．

大家想想看，借助這個(gè)圖形，能否作出⊙O的內(nèi)接正八邊形？同學(xué)們互相研究研究，(安排中上生回答：能，過圓心O作正方形各邊的垂線與圓相交即得⊙O的八等分點(diǎn))為什么？根據(jù)什么定理？(安排中上等生回答：垂徑定理)還有什么方法？(安排中上等生作各直角的角平分線．)請同學(xué)們用此二法在圖上畫出正八邊形．

照此方法，同學(xué)們想想看，你還能畫出邊數(shù)為幾的正多邊形？(安排中下生回答：16邊形等)綜上所述及同學(xué)們的畫圖實(shí)踐可知：只要作出已知⊙O的互相垂直的直徑即得圓內(nèi)接正方形，再過圓心作各邊的垂線與⊙O相交，或作各中心角的角平分線與⊙O相交，即得圓接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形……

大家再思考一個(gè)問題：如何畫半徑為2cm的正六邊形呢？你都有哪些方法？大家討論．

方法1．畫半徑2cm的⊙O，然后用量角器畫60°的圓心角，依次畫下去即六等分圓周．

方法2．畫半徑2cm的⊙O，然后用量角器畫出60°的圓心角，如果有同學(xué)想到方法3更好，若無則提示學(xué)生：前面在研究正多邊形的有關(guān)計(jì)算時(shí)，得到正六邊形的半徑與邊長有一種什么樣的數(shù)量關(guān)系？(安排中下生回答：相等)那么哪位同學(xué)可不用量角器，僅用尺規(guī)作出半徑2cm的圓內(nèi)接正六邊形？(安排一名中等生到黑板畫圖，其余在下面畫圖)

在學(xué)生畫圖完畢后展示兩種不同的畫法：其一，在⊙O上依次截取AB=BC=CD=DE=EF，由于誤差積累AB≠FA，其二，首先畫出⊙O的直徑AD，然后分別以A、D為圓心，2cm長為半徑畫弧交⊙O于B、F、C、E．畫出圖形比較準(zhǔn)確．

請同學(xué)們用第二種方法畫半徑3cm的圓內(nèi)接正六邊形(安排學(xué)生在練習(xí)本上畫)如果我們沿用由正方形畫正八邊形的思路同學(xué)們想想看，會畫正六邊形就應(yīng)會畫正多少邊形？(安排中下生回答：正十二邊形，正二十四邊形…)理論上我們可以一直畫下去，但大家不難發(fā)現(xiàn)，隨著邊數(shù)的增加，正多邊形越來越接近于圓，正多邊形將越來越難畫．

大家再觀察，會畫正六邊形，除上述正多邊形外，還可得到正幾邊形？(安排中等生回答：正三角形)畫半徑為2cm的正三角形，尺規(guī)作圖時(shí)必得先畫出正六邊形嗎？哪位同學(xué)有好方法？(安排舉手同學(xué)回答：畫出⊙O直徑AB，以A為圓心，2cm為半徑畫弧交⊙O于C、D，連結(jié)B、D、C即可)請同學(xué)們按此法畫半徑為2cm的正三角形．

請同學(xué)們思考一下如何用尺規(guī)畫半徑為2cm的正十二邊形？

在學(xué)生充分討論研究的多種方案中送出：先作互相垂直的直徑，然后分別以直徑的四個(gè)端點(diǎn)為圓心2cm長為半徑畫弧，交⊙O的各點(diǎn)即得⊙O的12等分點(diǎn)．引導(dǎo)學(xué)生觀察∠DOE=∠DOB-∠EOB ∠DOB=90°，∠EOB=60°∴∠DOE=30°． ∴ DE是⊙O內(nèi)接正12邊形一邊．

三、課堂小結(jié)：

這堂課你學(xué)了哪些知識？(安排中等生回答：1．用量角器等分圓周作正n邊形；2．用尺規(guī)作正方形及由此擴(kuò)展作正八邊形、用尺規(guī)作正六邊形及由此擴(kuò)展作正12邊形、正三角形)

四、布置作業(yè)