第一篇：24.3 正多邊形與圓 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

1.1 知識與技能：

[1]經歷正多邊形的形成過程，了解正多邊形的有關概念，掌握用等分圓周畫圓的內接正多邊形的方法．

[2]記住正多邊形的定義，能根據定義判定一個多邊形是否是正多邊形，理解正多邊形和圓關系的第一個定理，懂得證明過程。

1.2過程與方法 ：

[1]領會“特殊—一般—特殊”是認識事物的重要方法．

[2]使學生會等分圓周，利用等分圓周的方法構造正多邊形，并會設計圖案，發展學生的實踐能力和創新精神.1.3 情感態度與價值觀 ：

通過等分圓周、構造正多邊形等實踐活動，使學生在數學學習活動中獲得成功的體驗，建立自信心．

2.教學重點/難點

2.1 教學重點

了解圓與正多邊形的關系；掌握用量角器等分圓心角來等分圓，從而得到正多邊形和尺規作圓內接正方形和正六邊形的方法．

2.2 教學難點

對正n邊形中“n”的接受和理解.3.教學用具 4.標簽

教學過程 引入新課

創設問題情境，激發學生興趣，引出本節內容 活動一： ［1］.什么樣的圖形叫做正多邊形？

展示圖片（課本P113頁圖片），你還能舉出一些這樣的例子嗎？

［2］.正多邊形與圓有什么關系呢？

（引出課題）【教師行邊】

教師提出問題，學生進行回答：各邊相等，各角相等的多邊形叫做正多邊形．并舉出生活中的例子．

教師可再展示一些圖片讓學生欣賞．

學生根據教師提出的問題進行思考，回憶圓的有關知識，進而回答教師提出的問題．即等分圓周，就可以得到圓內接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．

【設計意圖】

復習正多邊形的概念，為今天的課程做準備． 激發學生的學習興趣．

培養學生的思維品質，將正多邊形與圓聯系起來．并由此引出今天的課題． 【板書】

第二十四章 圓 24.3正多邊形和圓 新知介紹

活動二： ［3］等分圓周

問題：為什么等分圓周就能得到正多邊形呢？

【教師行為】教師提出問題后，學生認真思考、交流，充分發表自己的見解，并互相補充．教師在學生歸納的基礎上進行補充，并以正五邊形為例進行證明．

教師在學生思考、交流的基礎上板書證明過程： 如圖，∵∴

∴

同理可證：∴ 五邊形

是正五邊形．

∵A、B、C、D、E在⊙O上，∴五邊形ABCDE是圓內接正五邊形．

教師提出問題后，學生思考、交流自己的見解，教師組織學生進行作圖，方法不限。【設計意圖】使學生理解、體會圓與正多邊形的內在聯系． 活動三：

［4］如何等分圓周呢？

問題： 已知⊙O的半徑為50px，求作圓的內接正三角形．

在師生共同作圖的基礎上，歸納出：正多邊形與圓有著密切的聯系．如：圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，且它的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，圓具有旋轉不變性．正多邊形也是軸對稱圖形，正n邊形有n條對稱軸，當n為偶數時，它也是中心對稱圖形，且繞中心旋轉，都能和原來的圖形重合．結合圖4，給出正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距等概念．

同樣說明正多邊形與圓有著很多內在的聯系．

【教師行為】以下為解決問題的參考方案：(上課時教師歸納學生的方法)

(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠②用量角器度量，使∠

=∠

=∠

=∠CAO=30°，如圖1．

=120°，如圖2．

(2)尺規作圖：用圓規在⊙O上截取長度等于半徑（50px）的弦，連結即可，如圖3．、、(3)計算與尺規作圖結合法：由正三角形的半徑與邊長的關系可得，正三角形的邊長= R=

2、（cm），用圓規在⊙O上截取長度為

2、即可．

（cm）的弦、，連結在學生作圖的基礎上，教師歸納出等分圓周的方法： 1.用量角器等分圓：

依據：同圓中相等的圓心角所對應的弧相等．

操作：兩種情況：其一是依次畫出相等的圓心角來等分圓，這種方法比較準確，但是麻煩；其二是先用量角器畫一個圓心角，然后在圓上依次截取等于該圓心角所對弧的等弧，于是得到圓的等分點，這種方法比較方便，但畫圖的誤差積累到最后一個等分點，使畫出的正多邊形的邊長誤差較大．

2.用尺規等分圓：

（1）作正四邊形、正八邊形．

教師組織學生，分析、作圖．歸納：只要做出已知⊙O的互相垂直的直徑即得圓內接正方形，再過圓心作各邊的垂線與⊙O相交，或作各中心角的角平分線與⊙O相交，即得圓接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形……

（2）作正六、三、十二邊形．

教師組織學生，分析、作圖．

歸納：先做出正六邊形，則可作正三角形，正十二邊形，正二十四邊形……理論上我們可以一直畫下去，但大家不難發現，隨著邊數的增加，正多邊形越來越接近于圓，正多邊形將越來越難畫． 【設計意圖】充分發展學生的發散思維．讓學生充分利用手中的工具，實際操作，認真思考，從而培養學生的動手能力．教給學生等分圓周的方法，尤其是尺規作正方形、正六邊形．

使學生體會隨著正多邊形邊數的增多，正多邊形越來越接近圓．

三、應用提高，培養學生的應用意識和創新能力 活動五： ［5］方案設計

某學校在教學樓前的圓形廣場中，準備建造一個花園，并在花園內分別種植牡丹、月季和杜鵑三種花卉。為了美觀，種植要求如下：

（1）種植4塊面積相等的牡丹、4塊面積相等的月季和一塊杜鵑。（注意：面積相等必須由數學知識作保證）

（2）花卉總面積等于廣場面積

（3）花園邊界只能種植牡丹花，杜鵑花種植在花園中間且與牡丹花沒有公共邊。

請你設計種植方案：（設計的方案越多越好；不同的方案類型不同．）

【教師行邊】

教師要關注學生對問題的理解，對等分圓周方法的掌握程度．

教師提出問題后，讓學生認真思考后，設計出最美的圖案，并用實物投影展示自己的作品．

要求①尺規作圖；②說明畫法；③指出作圖依據；④學生獨立完成． 教師巡視，對畫的好的學生給予表揚，對有問題的學生給予指導． 【設計意圖】

應用等分圓周的方法作圖．

發展學生作圖的能力，對學生進行美的教育，發展學生作圖能力．

課堂小結

1.定義判定:證明多邊形的各邊相等,各角相等.2.正多邊形與圓的關系判定:多邊形為圓內接多邊形時,判斷該多邊形的頂點將圓等分即可.3.與正n邊形有關的角.(1)中心角:每一個中心角度數為:(2)內角:每個內角度數為:(3)外角:每個外角的度數為:

+r2=R2.arn.4.正多邊形的半徑R、邊心距r、邊長a的關系: 5.正n邊形周長l與邊長a,面積S與邊長a、邊心距r的關系:周長l=na;面積S= 課后習題

1.(2013·綿陽中考)如圖,要擰開一個邊長為a=6mm的正六邊形螺帽,扳手張開的開口b至少為()

A.6mm B.12mm C.6mm D.4mm 2.一元錢的硬幣的直徑約為24mm,則它完全覆蓋住的正三角形的邊長最大不能超過 mm(結果保留根號).3.(2013·南京中考)△OAB是以正多邊形相鄰的兩個頂點A,B與它的中心O為頂點的三,則該正多邊形的邊數為.角形,若△OAB的一個內角為70°4.將一個邊長為1的正八邊形補成如圖所示的正方形,這個正方形的邊長等于(結果保留根號).答案

1.【解析】選C.連接AC,過B作BD⊥AC于D;

∵AB=BC,∴△ABC是等腰三角形, ∴AD=CD.∵此多邊形為正六邊形, ,∴∠ABD=60°, ∴∠ABC=120°,∴BD=3,AD==3, ∴∠BAD=30°∴b=2AD=6(mm).2.【解析】如圖,已知此圓半徑為12mm,則OB=12mm.在直角△OBD中,∠BOD=60°, ,∴OD=6mm, ∴∠OBD=30°BD==6mm.∴BC=12mm.答案:12 3.【解析】根據已知,△OAB為等腰三角形,且△OAB的一個內角為70°,則這個角可能是底角,也可能是頂角.若70°角為頂角,則邊數為=,不符合題意,舍去;若70°角為底角,則頂角為40°,則邊數為=9,符合題意,故邊數為9.答案:9

4.【解析】∵△BDE是等腰直角三角形,BE=1,∴BD=, ∴正方形的邊長等于AB+2BD=1+.答案:1+ 作業布置 課堂小結

1.本節課中，你有什么收獲與大家交流？

2.布置作業：P116頁：練習；P117頁：2，4.并與大家交流．

板書

第二十四章 圓 24.3正多邊形和圓 正多邊形的概念: 等分圓周的方法：

第二篇：圓與正多邊形教案一

正多邊形與圓

田小華

一．學習目標：

1、了解正多邊形的概念、正多邊形和圓的關系；

2、會通過等分圓心角的方法等分圓周，畫出所需的正多邊形；

3、能夠用直尺和圓規作圖，作出一些特殊的正多邊形； 二．教學重難點

學習重點：正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系。學習難點：利用直尺與圓規作特殊的正多邊形。三．自學提綱

了解正多邊形的概念，掌握如何利用尺規做正多邊形的畫法，理解正多邊形與圓的的定理。

四．教學過程： 1.情境創設：

我們國旗上的五角星怎么畫的？能不能利用尺規作出正五邊形 及所有邊相等的正多邊形

提問：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質？ 2．正方形的邊、角各有什么性質？

拓展：如果圓內接正三角形，正方形有什么性質

二、探索活動：活動一 觀察生活中的一些圖形，歸納它們的共同特征，引入正多邊形的概念

正多邊形的概念：（學生讀出，并及時理解）

（注：各邊相等與各角相等必須同時成立）

提問：矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形等．

定理：

此定理講述了元與正多邊形的關系，和包含了做圓內接正多邊形的方法，我們拿正五邊形來做事例 分析書上的例題 P33 拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內接于⊙O，弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA．（圖形師生共同作圖）

（1）求證：五邊形ABCDE是正五邊形． 探討：以圓心到弦AB的弦心距為半徑，還以O為圓心畫圓。這個圓與正五邊形什么關系？

活動二 用量角器作正多邊形，探索正多邊形與圓的內在聯系

1、用量角器將一個圓n（n≥3）等分，依次連接各等分點所得的n邊形是這個圓的內接正n邊形；圓的內接正n邊形將圓n等分；

2、正多邊形的外接圓的圓心叫正多邊形的中心。

活動四 利用直尺與圓規作特殊的正多邊形 問題：用直尺和圓規作出正方形，正六多邊形。

思考：如何作正八邊形正三角形、正十二邊形？

拓展2：各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形？

五、課堂練習

課本P34練習1,2和P35習題3，4

六．小結：本節課主要講的是圓與正多邊形聯系，及如何作正（四，五，六，八）多邊形，及進一步探討正多邊形的對稱性。

第三篇：正多邊形和圓教學反思

正多邊形和圓教學反思

儋州市西聯中學 鄧高春

正多邊形和圓，下面對這節課教學進行如下反思：

一、成功之處：

1、本節課的教學從生活實際出發（觀看美麗圖案），引導學生得出定義。這一做法滲透了數學來源于實踐，反過來又作用于實踐的辨證唯物主義思想。對定義的教學，不是簡單地由教師告訴學生，而是由學生自己觀察、猜想、探究得出結論，讓學生體驗知識的產生過程。

2、學生走上講臺，拉近了師生之間的距離。教師不是高高在上，而是與學生處在同等位置上，培養了學生能力。

3、備課仔細，對課堂上可能出現的問題作了充分地考慮。如在探究正多邊形的定義的時候，對學生可能得出的結論作了充分的準備。反映了教師的基本功扎實。

4、整堂課都體現了對學生動手能力的培養。在探究正多邊形和圓的關系時，讓學生自己動手操作，畫圓，實驗并進行猜想，這正是新大綱教改思路的體現。

5、注重學生間的合作交流。表現形式有同位或小組討論。實驗表明學生之間的知識交流比師生間交流更利于學生的知識掌握。同時，這種形式也培養了學生將來走向社會后能夠充分地表達自己的見解，聽取別人的意見。

6、注重學法指導。在進行正多邊形和圓關系的第二個結論時，指導學生自學，教給學生學習的方法，“授學生以漁”，為學生將來的終身教育打下基礎。

7、小結的形式。

8、本節課一個突破性的地方就是在課堂上讓學生質疑，讓學生對本節課不明白的地方或是與老師意見不一致的地方敢于提出自己的見解。盡管在這方面做得不是很到位，但是已跨出大膽的一步。

二、不足之處：

1、在討論時應該放得更開一些，可以采用多種形式，如：下位找自己熟悉的同學討論，或是不局限有于一個小組，而進行多組合作，或是與老師（甚至是聽課老師）討論。

2、應注意多媒體板演的示范作用，投影應適時。

第四篇：正多邊形和圓反思

正多邊形和圓教學反思

孫葉

這一節課，我花了十分鐘的時間已經讓學生通過看書感知了中心、中心角、半徑、邊心距的定義，這節的教學重點是特殊的正多邊形和圓中邊心距、邊長、半徑的關系。

我先給了學生五分鐘看書上正六邊形的例題，在黑板上畫了半徑為R的正四邊形、正六邊形、正三角形及其外接圓，點撥例題后我以表格的形式給出學生的第一個問題是：分別用R表示正四邊形、正六邊形、正三角形的邊長、周長、邊心距和面積。以前一直習慣于我講學生聽，這節我試著讓學生講，學生在黑邊前的講解的時候我發現其他學生聽的更認真，雖然講解的學生還存在著聲音小、講解不是太透徹等缺點，但整體還可以，多給學生機會肯定會有提高。整節課我圍繞這個問題花了很長的時間，目的是讓更多的學生體會并且學會這種構造直角三角形的思想。其中我給學生補充的知識有：有一個角是30度的直角三角形的三邊比和等腰直角三角形的三邊比的推導及結論，我覺得這樣可以為學生的運算節省時間。

這節課的第二個問題是：探究正三角形的外接圓半徑R和內切圓的半徑r的數量關系，以及它們與正三角形的高之間的數量關系。在這個過程由兩個同學去講解，田禮厚同學通過連接半徑轉化R構造直角三角形，而鄭文豪同學通過構造弦心距轉化r構造直角三角形，同樣都是轉化，但轉化的不一樣，我覺得學生的思維表現的很活躍。

整節課設計的問題較少，重點在于讓學生體會構造思想和轉化思想，學生表現很積極，但是沒有練習以及反饋的時間，在接下來的練習課上我覺得困擾學生的不是構造直角三角形的思想而是計算的速度及準確性，但快速準確運算又不是一天兩天的功夫，我認為對于我的學生而言，每節課還得給適當的運算來鍛煉學生。

第五篇：24.3 正多邊形和圓(教案)

24.3正多邊形和圓

【知識與技能】

了解正多邊形和圓的關系，了解正多邊形半徑和邊長，邊心距，中心，中心角等概念.會應用正多邊形的有關知識解決圓中的計算問題.會用圓規、量角器和直尺來作圓內接正多邊形.【過程與方法】

結合生活中的正多邊形形狀的圖案，發現正多邊形和圓的關系，然后學會用圓的有關知識，解決正多邊形的問題.【情感態度】

學生經歷觀察、發現、探究等數學活動，感受到數學來源于生活、又服務于生活，體現事物之間是相互聯系，相互作用的.【教學重點】

正多邊形與圓的相關概念及其之間的運算.【教學難點】

探索正多邊形和圓的關系，正多邊形半徑，中心角、弦心距，邊長之間的關系.一、情境導入，初步認識

觀察這些美麗的圖案，都是在日常生活中，我們經常能看到的利用正多邊形得到的物體.（1）你能從圖案中找出多邊形嗎？

（2）你知道正多邊形和圓有什么關系嗎？怎樣就能作出一個正多邊形來？ 【教學說明】學生通過觀察美麗的圖案，欣賞生活中正多邊形形狀的物體.讓學生感受到數學來源于生活，并從中感受到數學美.問題（2）的提出是為了創設一個問題情境，激起學生主動將所學圓的知識與正多邊形聯系起來，激發學生積極探索、研究的熱情，并有意將注意力集中在正多邊形和圓的關系上.二、思考探究，獲取新知 1.正多邊形和圓的關系

問題1將一個圓分成5等份，依次連接各分點得到一個五邊形，這五邊形一定是正五邊形嗎？如果是，請你證明這個結論.教師引導學生根據題意畫圖，并寫出已知和求證.已知：如圖，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分點.依次連接ABCDE形成五邊形.問：五邊形ABCDE是正五邊形嗎？如果是，請證明你的結論.答案：五邊形ABCDE是正五邊形.???證明：在⊙O中，∵?AB??BC?CDDE??EA，∴AB=BC=CD=DE=EA，??CDA??3?BCEAB，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五邊形ABCDE是正五邊形.【教學說明】教師引導學生從正多邊形的定義入手證明，即證明多邊形各邊都相等，各角都相等；引導學生觀察、分析，教師帶領學生完成證明過程.問題2如果將圓n等分，依次連接各分點得到一個n邊形，這個n邊形一定是正n邊形嗎？

答案：這個n邊形一定是正n邊形.【教學說明】在這個問題中，教師重點關注學生是否會仿照證明圓內接正五邊形的方法證明圓內接正n邊形.從問題1到問題2是將結論由特殊推廣到一般，這符合學生的認知規律，并教導學生一種研究問題的方法，由特殊到一般.問題3各邊相等的圓內接多邊形是正多邊形嗎？各角相等的圓內接多邊形是正多邊形嗎？如果是，說明理由；如果不是，舉出反例.答案：各邊相等的圓內接多邊形是正多邊形.因為：各邊相等的圓內接多邊形的各角也相等.各角相等的圓內接多邊形不是正多邊形.如：矩形.【教學說明】問題3的提出是為了鞏固所學知識，使學生明確判定圓內接多邊形是正多邊形，必須滿足各邊都相等，各內角也都相等，這兩個條件缺一不可.同時教會學生學會舉反例.培養學生思維的批判性.2.正多邊形的有關概念

綜合圖形，給出正多邊形的中心，半徑，中心角，邊心距等概念.正n邊形：中心角為：

360°n；內角的度數為：180°（n-2）n 3.正多邊形和圓有關的計算問題

例1（課本106頁例題）有一個亭子，它的地基是半徑為4m的正六邊形，求地基的周長和面積（結果保留小數點后一位）.分析：根據題意作圖，將實際問題轉化為數學問題.解：如圖.∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC=360°/6=60°.∴△BOC是等邊三角形.∴R=BC=4m，∴這個亭子地基的周長為:4×6=24（m）.過O點作OP⊥BC，垂足為P.在Rt△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2..例2填空.【教學說明】例1是讓學生了解有關正多邊形的概念后，掌握正多邊形的計算.同時，通過例1引導學生將實際問題轉化為數學問題，將多邊形化歸為三角形來解決.例2通過網格來呈現問題，在解決例2時，教師指導學生用數形結合的方法來解決問題，加深對有關概念的理解.4.畫正多邊形

畫正多邊形，通常是通過等分圓周的方法來畫的.等分圓周有兩種方式：（1）用量角器等分圓周.方法一：由于在同圓或等圓中相等的圓心角所對弧相等，因此作相等的圓心角可以等分圓.方法二：先用量角器畫一個等于360°/n的圓心角，這個圓心角所對的弧就是圓的1/n，然后在圓上依次截取這條弧的等弧，就得到圓的幾等分點.【教學說明】這兩種方法可以任意等分圓，但不可避免地存在誤差.（2）用尺規等分圓

正方形的作法:如圖（1)在⊙O中，尺規作兩條垂直的直徑，把⊙O四等分，從而作出正方形ABCD.再逐次平分各邊所對弧，則可作正八邊形、正十六邊形等邊數逐次倍增的正多邊形.正六邊形的作法：方法一：如圖（2）任意作一條直徑AB，再分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑作弧，與⊙O交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D為⊙O的六等分點，順次連接各等分點，得到正六邊形ACEBFD.方法二：如圖（3）由于正六邊形的半徑等于邊長.所以在圓上依次截取等于半徑的弦，就將圓六等分，順次連接各等分點即可得到正六邊形.【教學說明】尺規作圖法是一種比較準確的等分圓的方法，但有較大的局限性，它不能將圓任意等分.三、運用新知，深化理解

1.如圖，圓內接正五邊形ABCDE，對角線AC與BD相交于點P，則∠APB的度數為_______.2.邊長為2/π的正方形的內切圓與外接圓所組成的圓環的面積為_____.3.如果一個正六邊形的面積與一個正三角形的面積相等，求正六邊形與正三角形的內切圓的半徑之比.4.如圖，點M、N分別是⊙O的內接正三角形ABC，正方形ABCD，正五邊形ABCDE，??正n邊形的邊AB、BC上的點，且BM=CN，連接OM、ON.（1）求圖1中的∠MON的度數；

（2）在圖2中，∠MON的度數為_____，在圖3中，∠MON的度數為_____；（3）試探索∠MON的度數與正n邊形邊數n之間的關系.（直接寫出答案）【教學說明】題1、2可由學生自主探索完成，題3、4可先讓學生思考，然后教師加以提示，最后共同解答.完成教材第106頁、108頁的練習.【答案】1.72°

4.解：（1）連接OB、OC.∵正三角形ABC內接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法與（1）相同)(3)∠MON=360°/n.四、師生互動，課堂小結

通過這節課的學習，你知道正多邊形和圓有怎樣的關系嗎？你知道正多邊形的半徑、邊心距、內角、中心角等概念嗎？你能畫出正多邊形嗎？

【教學說明】教師先提出問題，然后讓學生自主思考并回顧，教師再予以補充和點評.1.布置作業：從教材“習題24.3”中選取.2.完成練習冊中本課時 練習的“課后作業”部分.1.本節課首先從復習正多邊形的定義入手，通過創設問題情境，將正多邊形與圓緊密聯系，讓學生發現它們之間的密切關系，并將結論由特殊推廣到一般，符合學生的認識規律，通過學習正多邊形中的一些基本概念，引導學生將實際問題轉化為數學問題，體現了化歸的思想.其次，在這一基礎上，又教給學生用等分圓周的方法作正多邊形，這可以發展學生的作圖能力.2.等分圓周法是一種作正多邊形的常見方法，通過作簡單的正三角形、正方形、正六邊形，一直推廣到作正八邊形的情況，可以向學生灌輸極限的思想，極限是微積分中最主要、最基本的概念，它從數量上描述變量在變化過程中的變化趨勢，在高中數學中，極限思想滲透到函數、數列等章節，又銜接高等數學，起著承上啟下的作用.