第一篇：摩擦力課外拓展

一、摩擦小史

人類很早就對摩擦現象有了認識并加以利用，許多早期的文獻里，都有把摩擦的影響減至最小的多種嘗試的記載．2000多年前的亞里士多德就已經提到摩擦力的概念．但是真正對摩擦進行定量的研究，則始于15世紀的文藝復興時期．500多年的漫長而曲折的歷史大致可劃分為五個時期來討論．

（一）達芬奇的早期研究時期

1508年，達芬奇（1452——1519）使用石頭和木頭開始了對固體摩擦的實驗研究，測量了水平和斜面上物體間的摩擦力，測量了半圓形槽與滾筒間的摩擦，進行了表面接觸面積對摩擦阻力影響的實驗研究，發現了等重物體之間的摩擦力與接觸面積無關的重要結論．

達芬奇首先引入了摩擦系數的概念．他將該系數定義為摩擦力和垂直載荷的比值。他的結論是：“每一個摩擦物體所具有的摩擦阻力等于自身重量的四分之一．”當時他使用的材料大多為硬木或鐵與硬木的組合，他的結論對于這些材料來說還是比較符合實際的．

達芬奇還研究了摩擦面間有潤滑油和其它介質時對摩擦的影響．他認為“所有東西，不管它如何薄，當它放入兩個互相摩擦的物體之間時，摩擦都會減少．”

（二）阿蒙頓的進一步研究時期

進入16世紀后，由于水力和風力能源的廣泛應用，機器大量增加．特別是磨的發展，大大推進了對摩擦的研究．許多科學家進行了各種各樣的摩擦實驗，其中最有成就者當推法國實驗物理學家阿蒙頓（1663——1705）．作為一個永動機的積極倡導者，他自然對摩擦產生的損失特別感興趣．他通過多次實驗后，于1699年12月19日向皇家科學院提交了一分經典論文．在文中提出了摩擦力的經典規律，這就是后來人們所熟知的阿蒙頓定律．

①靜摩擦定律：兩接觸物體間的最大靜摩擦力，跟接觸面上的正壓力成正比，并與接觸面的性質及狀態有關；但與接觸面的面積及形狀無關．即：f靜＝μ0·N．

②滑動摩擦定律：滑動摩擦力跟摩擦物體接觸面上的正壓力成正比，跟外表的接觸面積無關．即：f滑＝μ·N．

（三）庫侖對摩擦的總結時期 進入18世紀的法國，在經濟、軍事、工業等方面有了很大的發展．機器的大量使用，使得機械的效率和耐磨問題成為了一大難道．為此，巴黎科學院于1781年以“摩擦定律和繩的倔強性”為題，進行了一次有獎競賽．庫侖（1736——1806）研究總結了達芬奇和阿蒙頓的實驗和理論之后，又進一步做了大量的實驗．最終以《簡單的機械理論》為題的論文贏得了這次競賽的優勝獎，提出了他的摩擦理論——庫侖摩擦定律．

①庫侖摩擦第一定律：摩擦力跟作用在摩擦面上的正壓力成正比，跟外表的接觸面積無關．這實際上就是阿蒙頓定律，也就是現在稱謂的靜摩擦定律和滑動摩擦定律．

②庫侖摩擦第二定律：滑動摩擦力和滑動速度大小無關．

這一結論，若作為普遍法則是不正確的．實際上滑動摩擦力和滑動速度的關系是相當復雜的．

③庫侖摩擦第三定律：最大靜摩擦大于滑動摩擦力，即f靜＞f滑． ④庫侖二項式定律：這是反映摩擦力和負載之間的關系．即滑動摩擦力f＝μN＋A．

庫侖認為“常數A”跟正壓力的平方根成正比，但它都沒有反映出A的物理意義．這一定律也只適用于干摩擦和邊界摩擦．

庫侖對摩擦的研究，總結了從達芬奇到阿蒙頓的理論，提出了他的庫侖摩擦定律．但是，實際上這些定律只能是經典的經驗公式，對于實際情況也僅僅是近似的、粗淺的描述．

（四）19世紀對摩擦的研究時期

19世紀，隨著蒸汽機進入實用階段，工業革命迅速普及，為了防止機器的高速轉動而帶來的軸承燒焦和磨損，潤滑成了這個時期摩擦研究的特征．

1883年，英國的托爾（1845——1904）在研究軸承的潤滑中發現油膜具有高壓力；同時代的雷諾（1842——1912）根據托爾的發現，利用流體力學的原理，從理論上證明了因旋轉而在油膜中產生高壓力的現象，說明了軸與軸承的間隙能支持載荷的道理．

1896年，金斯伯里（1863——1943）證明了用空氣代替潤滑油的設想，在一次美國軍事系統的展覽會上進行了空氣軸承的公開表演．這種軸承后來在高速磨床、高級陀螺儀上得到了廣泛的應用．

滑在這一時期，雷尼（1791——1866）、莫倫（1795——1880）等人測定了許多物體間的摩擦系數，迄今仍在廣泛應用．

總之，進入19世紀，由于摩擦的實驗定律大體已確立完畢，只是在研究如何減小摩擦方面進行了一系列工作．但仍然沒有對摩擦的物理機制給以科學的、滿意的解釋．

（五）從經典理論到近現代理論時期

①早在達芬奇、阿蒙頓、庫侖等人在研究摩擦定律的同時，就對摩擦的物理機制提出了一個凹凸說．他們認為摩擦的根源在于兩表面的凹凸相互嚙合，當一個物體在另一個物體表面上滑動時，互相嚙合的凹凸部分，就會相互撞碰，并且被破壞，阻礙物體運動，就產生了滑動摩擦．但是這一理論無法解釋為什么表面越光滑，反而摩擦越大，新生成的結晶表面在空氣中停留時間一長，摩擦系數會急劇減小等現象的產生．

②1734年，貝薩克利基于光滑鉛柱的粘合實驗，認為摩擦的物理機制在于相互摩擦的表面分子間的相互作用力．因而提出了一種分子說．他預言：“只要把平面無止境地研磨得很光滑，摩擦遲早會增大的．”這一理論得到了英國物理學家文斯（1749——1821）的贊同．到了本世紀還被哈迪的實驗所證實．

凹凸說認為摩擦源于凹凸體間的相互擠壓、剪切的機械阻力；而分子說則認為摩擦來源于接觸面上晶體分子間電性引力．其是非焦點在于前者認為摩擦是凹凸間的斥力，后者認為是接觸面間的粘著引力．

③1939年，克拉格爾斯基統一了爭論很久的凹凸說和分子說．認為摩擦具有二重性：它不僅要克服兩表面分子相互吸引所決定的作用力，還要克服由于表面粗糙互相嚙合而發生變形所引起的機械阻力．從而提出了一套分子—機械理論學說．

④1950年，包登等人認為兩物體個別接觸區產生的高壓引起局部熱熔而粘為一體，這樣形成的連結又因表面相對滑動而剪斷．粘著點的形成和剪斷在接觸表面上交替進行，構成摩擦的粘著分量；較硬表面的微凸體犁削較軟材料的基體，構成摩擦的變形分量．總的摩擦力是二者之和．這種理論被稱為粘著說，被普遍承認適用于金屬間的摩擦． ⑤近年來，由于表面技術加工的發展，半導體工業所帶來的高真空、高潔凈環境技術的發展等有利條件，相繼又出現了表面微凸體的塑性作用學說和熱活化分子動力交換學說．這些學說也能在一定范圍內說明摩擦所產生的物理機制． 但是，由于影響摩擦的因素相當復雜，現有的這些學說都不是包羅萬象的，無法完整和圓滿地將摩擦的物理機制說清楚．一句話，摩擦的原因到現在還沒有完全研究清楚．

二、力氣大的隊拔河一定贏嗎？

拔河比賽比的是什么？很多人會說：當然是比哪一隊的力氣大嘍！實際上，這個問題并不那么簡單。

根據牛頓第三定律（即當物體甲給物體乙一個作用力時，物體乙必然同時給物體甲一個反作用力，作用力與反作用力大小相等，方向相反，且在同一直線上），對于拔河的兩個隊，甲對乙施加了多大拉力，乙對甲也同時產生一樣大小的拉力。可見，雙方之間的拉力并不是決定勝負的因素。

對拔河的兩隊進行受力分析就可以知道，只要所受的拉力小于與地面的最大靜摩擦力，就不會被拉動。因此，增大與地面的摩擦力就成了勝負的關鍵。首先，穿上鞋底有凹凸花紋的鞋子，能夠增大摩擦系數，使摩擦力增大；還有就是隊員的體重越重，對地面的壓力越大，摩擦力也會增大。大人和小孩拔河時，大人很容易獲勝，關鍵就是由于大人的體重比小孩大。

另外，在拔河比賽中，勝負在很大程度上還取決于人們的技巧。比如，腳使勁蹬地，在短時間內可以對地面產生超過自己體重的壓力。再如，人向后仰，借助對方的拉力來增大對地面的壓力，等等。其目的都是盡量增大地面對腳底的摩擦力，以奪取比賽的勝利。

三、摩擦三兄弟

摩擦三兄弟就是指靜摩擦、滑動摩擦和滾動摩擦，它們都是摩擦家族的成員。

說起摩擦，大家一定不陌生，因為摩擦是我們生活中司空見慣的現象，我們每時每刻都在和摩擦打交道。我們走路、吃飯、洗衣服依靠摩擦；各種車輛的行使依靠摩擦，機器運轉離不開摩擦；就是建造房子也離不開摩擦。

假如沒有了摩擦，世界將會變成什么樣？真是不可想象。可以說，摩擦是我們人類離不開的好朋友。但是在很多場合，摩擦三兄弟扮演著“不受歡迎”的角色。

在現代汽車中，20％的功率要用來克服摩擦；飛機上的活塞式發動機因摩擦損耗的功率要占10％，就是最先進的渦輪噴氣發動機也要為克服摩擦損耗2％的功率。世界上有數以萬計的汽車、數以萬架的飛機，這樣每年要有多少燃料被白白浪費掉，真是可惜。

但更為嚴重的是，摩擦還會造成機器零部件的磨損。據報道，英國在這方面損失每年要超過20億美元。摩擦除了導致磨損之外，還會使航空和航天器過度發熱，這更是現代科技遇到的又一難題。

當飛機著陸的時候，閘閥和閘輪會摩擦產生紅熱現象，這樣的高溫使機閘材料變軟、變質，一幅價格昂貴的閘瓦和閘輪，往往只使用了幾次就報廢了。

當宇宙飛船返回地面的時候，由于高速船體與空氣之間的摩擦，會使整個船體成為一個通紅的火球，為了保護飛船里的宇航員和各種儀器設備，人們不得不付出昂貴的代價，用耐高溫的特種合金制造船體，并且還在外面加裝了耐高溫材料。

為了能駕馭摩擦，讓摩擦三兄弟為人類更好地服務，人們一直進行著艱苦的研究和探索。早在15世紀，達·芬奇就開始了對摩擦的研究。到17、18世紀，法國形成了一股摩擦研究熱，庫侖根據達·芬奇的想法完成了摩擦起因的凹凸說。到了18世紀上半葉，有人又創立了分子說。進入20世紀后又出現了粘合說。

可以說有關摩擦起因的爭論還在進行著，凹凸說、分子說和粘合說都持之有理，言之有據，究竟怎樣圓滿地解釋摩擦的起因，還一直是一個很活躍的研究課題。

四、摩擦力的本質

兩個物體接觸，接觸面越平滑摩擦力越小”的觀點是否正確呢，首先探究一下摩擦力的本質：

1．凹凸嚙合說．是從15世紀至18世紀，科學家們提出的一種關于摩擦本質的理論，嚙合說認為摩擦是由于互相接觸的物體表面粗糙不平產生的．兩個物體接觸擠壓時，接觸面上很多凹凸部分就相互嚙合．如果一個物體沿接觸面滑動，兩個接觸面的凸起部分相碰撞，產生斷裂、摩損，就形成了對運動的阻礙．  2．粘附說．這是繼凹凸嚙合說之后的一種關于摩擦本質的理論．最早由英國學者德薩左利厄斯于1734年提出，他認為兩個表面拋得很光的金屬，摩擦會增大，可以用兩個物體的表面充分接觸時它們的分子引力將增大來解釋．

上世紀以來，隨著工業和技術的發展，對摩擦理論的研究進一步深入，到上世紀中期，誕生了新的摩擦粘附論．

新的摩擦粘附論認為，兩個互相接觸的表面，無論做得多么光滑，從原子尺度看還是粗糙的，有許多微小的凸起，把這樣的兩個表面放在一起，微凸起的頂部發生接觸，微凸起之外的部分接觸面間有10-8 m或更大的間隙．這樣，接觸的微凸起的頂部承受了接觸面上的法向壓力．如果這個壓力很小，微凸起的頂部發生彈性形變；如果法向壓力較大，超過某一數值（每個凸起上約千分之幾牛頓），超過材料的彈性限度，微凸起的頂部便發生塑性形變，被壓成平頂，這時互相接觸的兩個物體之間距離變小到分子（原子）引力發生作用的范圍，于是，兩個緊壓著的接觸面上產生了原子性粘合．這時要使兩個彼比接觸的表面發生相對滑動，必須對其中的一個表面施加一個切向力，來克服分子（原子）間的引力，剪斷實際接觸區生成的接點，這就產生了摩擦．

在現代摩擦理論中，還加進了靜電作用。光滑表面摩擦過程中可能帶上異號電荷，它們之間的靜電作用，也是摩擦力的一個原因。

綜上所述，摩擦現象的機理是復雜的，是必須在分子尺度內才能加以說明的。由于分子力的電磁本性，摩擦力說到底也是由于電磁相互作用引起的。

上述理論，已經否定了“物體表面越光滑，摩擦力越小”的說法。在非常平滑的物體表面之間，摩擦力是存在的。老師在教學中經常使用“表面光滑”，其含義是指無摩擦或摩擦因數等于零的表面，即沒有摩擦力。這是教學中的一種約定，而并非真的是說兩個表面光滑。在平玻璃板上推木塊很容易，而在平玻璃板上推與木塊相同質量的玻璃時就不容易了，這說明摩擦力增大了。

第二篇：摩擦力課外拓展課

摩擦力的課外拓展教學

一、教學目標：

1、知識與技能：知道改變摩擦力大小的方法（重點）。

2、過程與方法：培養嚴謹的科學態度。

3、情感·態度·價值觀：培養解決問題的能力。

二、教學器材：

（1）“甘碧”礦泉水瓶一個，切去上半部分，留下下半部分；（2）普通大米適量；（3）普通筷子一根。

技巧是：在瓶中加滿（過滿）米，用手蓋住杯口，壓緊，然后微張開手指，將筷子插入米中，緩慢提起筷子。實驗成功，轉動筷子，杯子和米也不會掉下。

三、教學過程：

向同學們表演小魔術“筷子提米”。將大米導入杯中，將筷子插入米中，提起筷子（顯然是提不起米的），問學生:為什么提不起？接著再增加適量米，讓杯中米過滿再試一試。自主探究，直到實驗成功。

讓學生思考三個問題：

1、筷子靠什么力提起米？

2、為什么第一次提不起？

3、為什么第二次提起了？

4、做了怎樣處理？

5、什么原理？

引導學生（1）對杯（杯和米視為整體）畫圖進行受力分析，筷子靠摩擦力提起米。

（2）Ff < G，筷子提不起米。

（3）當Ff >G，米被提起。為什么Ff會變大？是改變了那個因素？壓緊米后，再將筷子插入，筷子與米發生擠壓，米對筷子的壓力增大，從而增大了筷子與米之間的摩擦力。

（4）再問：靜止在空中后，摩擦力與重力什么關系？

原理揭秘：物體和物體之間有靜摩擦力，當物體受力要運動時，摩擦力就會以相反方向阻礙物體的運動。在實驗中，由于杯子內米粒與筷子之間的擠壓，使杯子、筷子和米粒緊緊地擠在一起，這樣杯子、筷子和米粒之間的摩擦力增大。將筷子向上提起，米粒和杯子由于摩擦力的作用阻礙筷子向上運動，結果反而將米粒和杯子一起提了起來。

生活中還有很多關于摩擦力的應用：

1、鞋底探秘

從記事時算起，你穿過的鞋有多少？恐怕你沒有認真統計過吧！這些鞋的鞋底各有什么特色，人們很少去注意．其實，鞋底也隱藏著許多有趣的物理知識。通過圖片展示所有的平底鞋，鞋底都會有凹凸不平的花紋。

這不是為了美觀，而是為了增大鞋底與地面間的摩擦。讓學生觀察自己的鞋底。一雙塑料底的棉鞋，鞋底花紋已磨平，冬天穿上這雙棉鞋到冰面上走一走，你就能體會到鞋底有花紋是多么必要。展示一雙田徑鞋，讓學生觀察它的鞋底。思考：這樣的鞋底設計有什么好處？

鞋底的前后掌花紋并不一樣，前掌是鋸齒形花紋，后掌則是粗寬的橫條形花紋。這種特殊的設計與田徑運動技術的特點有密切關系，田徑運動員下肢蹬離地面或著地的動作，都和前腳掌與地面的相互作用有關，它要求鞋底具有良好的抓著力和防滑性能，并且需要鞋底有增大地面對人體運動的反作用力的功能等等。田徑鞋前掌的鋸齒形花紋，恰可以滿足上述要求。

例如運動員在蹬離地面的瞬間，前腳掌對地面的壓力較大，鞋底的前掌花紋會產生定向傾角，而鋸齒形花紋所產生的定向傾角較小，因此使花紋的彈性形變增大，從而增大了地面對人體運動的反作用力。在穿著過程中，鋸齒形花紋可使腳掌的著地面積逐漸增大，使鞋底始終保持較強的抓著力和防滑性能，至于鞋底后掌，在運動中受力面積較小，因而壓力就集中，容易磨損。刻上粗寬的橫條形花紋，可以使后掌的面積增大，從而使壓力分散，提高鞋底的耐磨程度。

2、摩擦與自行車

沒有摩擦自行車也就無法存在了。由于存在摩擦，我們才能用螺絲把自行車組裝起來，形成一個完整的、能夠使用的整體。車把套、腳蹬子、輪胎上的花紋都是利用摩擦防止打滑的例子。自行車上的閘也是利用摩擦力剎車的，剎車時閘皮對車輪的壓力增大，同時閘皮與輪子間摩擦力也隨之增大，使車子盡快停下來。

在另外一些情況下，我們不希望有摩擦力。在自行車前軸、中軸、后軸都要加滾珠、潤滑油來減小摩擦力。

按照上述分析問題的方法，你還可以研究一下家里的縫紉機，還有汽車、拖拉機等機械或器械，在構造和工作原理上，哪些地方是應用摩擦的，哪些地方是需要減小摩擦的。

第三篇：課外拓展

課外拓展

進貨次數問題探討

題目 某公司某年需要某種計算機元件8000個，在一年內連續作業組裝成整機賣出（每天需同樣多的元件用手組裝，并隨時運出整機至市場），該元件向外購買進貨，每次（不論購買多少件）須花手續費500元，如一次進貨，可少花手續費，但8000個元件的保管費很可觀，如果多次進貨，手續費多了，但可節省保管費，請你幫該公司出個主意，每年進貨幾次為宜，該公司的庫存保管費可按下述方法計算：每個元件每年2元，并可按比例折算成更短的時間：如每個元件保管一天的費用為件的買價、運輸費及其他費用假設為一常數．

元（一年按360天計算）．每個元解： 設購進8000個元件的總費用為F，一年總保管費為E，手續費為H，元件買價、運輸費及其他費用為C（C為常數），則 F=E＋H＋C.如果每年進貨n次，則每次進貨個，用完這些元件的時間是年．進貨后，因連續作業組裝，一年后保管數量只有（－a）個（a為一天所需元件），兩天后只有（－2a）個，……，因此年中個元件的保管費可按平均數計算，即相當于個保管了年，每個元件保管年須元，在這年中個元件的保管費為.每進貨一次，花保管費En元，一共n次，故

當且僅當為宜．

=n·500，即n=4時，總費用最少，故以每年進貨4次說明： 這道尋求最佳進貨次數的問題，是北京市首屆“方正杯”中學生數學知識應用競賽初賽試題（1993.11），求解的關鍵數學知識是“的極小值是”.周知識概述

本周學習第六章不等式的性質和算術平均數與幾何平均數兩部分內容，前一部分中，主要用于講述實數運算性質和大小順序之間的關系，從而掌握比較兩個實數大小關系的方法；在此基礎上，給出了不等式的性質，一共講了五個定理和三個推論，并給出了證明．不等式的其他性質都可由它們推導出來．第二部分中課本首先證明了一個重要的不等式a＋b≥2ab，通過這一公式，得出了兩個正數的算術平均數與幾何平均數的定理．利用均值不等式求函數的最值問題，這是均值不等式的一個重要應用。最后通過例題，說明此定理在解決數學問題和實際問題中的應用.二、重難點知識選講

1、實數的運算性質與大小順序之間的關系

不等式的等價性：兩個實數、b比較大小，有大于、等于、小于之別，且有，（1）＞b －b＞0；（2）=b

－b=0；（3）＜b

－b＜0.2

2等價符號左邊不等式反映的是實數的大小順序，右邊不等式反映的則是實數的運算性質，合起來就成為實數的運算性質與大小順序之間的關系，它是不等式這一章的理論基礎，是不等式性質的證明，證明不等式以及解不等式的主要依據.本周學習的另一重點是用作差法比較兩實數的大小.用作差法比較兩實數的大小，其步驟為①作差；②變形；③判斷差的正負．在解題中應加強化歸意識，把比較大小與實數減法運算聯系起來，利用實數的運算性質解決比較大小的問題.例

1、已知，b∈R+ ,求證：[分析與解答] 分析：

比較兩個實數的大小，常根據實數的運算性質與大小順序的關系，歸結為判斷它們的差的符號來確定.證明此題要注意分類討論。證明：nn

＋b≥

nn-

1b＋b

n-1

．（nN）

＋b －(nn-1b＋b)=(n-1n-1

－b)－b（n-1n-1

－b)=(－b)（n-1n-1

－b)

n-1 若＞b

若=b(－b)(n-1－b)=0.若＜bn-1

綜上,≥O,即

n

＋b

－(n-1b＋b n-1)≥O∴

nn

＋b ≥

nn-1

b＋b ．

n-1小結： 比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號．變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變為“積”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用.2、不等式的性質、推論及證明

不等式的五個性質和三個推論是不等式這一章的理論依據。

（1）＞b

（3）＞bb＜；（反身性）

（2）＞b，b＞c

＞c；（傳遞性）

＋c＞b＋c；（兩邊同加數號不變）；推論：移項法則.（4）；（兩邊同乘正數號不變）；

（5）；（兩邊同乘負數號改變）；推論：去系數法則.（6）；（同向相加）（7）；（異向相減）

（8）；（同向相乘）

（9）；（異向相除）

（10）＞b（倒數關系）

（11）＞b＞0n＞b n（nN+）；（不等式的冪）

（12）＞b＞0

2（nN+）；（不等式的方根）

例

2、已知f(x)=px－q，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍.[分析與解答] 分析：

本題可考慮將f(3)寫成f(1)，f(2)的線性組合，即f(3)=mf(1)＋nf(2)的形式，然后用不等式的運算性質推算f(3)的取值范圍.解答：依題意，有

點評：

（1）這種類型題目常見的錯誤是：

由，加減消元得0≤p≤3，1≤q≤7，從而得－7≤f(3)＝9p－q≤26，事實上，f(3)不可能取到[－7，26]上的一切值.p，q是兩個相互聯系，相互制約的量，在得出0≤p≤3，1≤q≤7后，并不意味著p、q可以獨立地取得區間[0，3]及[1，7]上的一切值，例如p=0，q=7時，p－q=－7已不滿足－4≤p－q≤－1.（2）依不等式的性質求變量的范圍是一種常見的題型，變形不等式時要防止擴大了變量的范圍.例

3、（1）已知30

[分析與解答] 分析：（1）同向不等式不能相除，應先求出的取值范圍.（2）注意運用取倒法則，優化解題過程.解：

（1）

（2）．

小結：不等式的性質中講了加法和乘法運算，對于減法和除法必須轉化為加法和乘法來運算，千萬不能把等式的減、除法運算平移到不等式的運算中來.3、算術平均數與幾何平均數

若a、b∈R，那么a＋b≥2ab（當且僅當a=b時取等號）通常稱為重要不等式．兩正數a，b的算術平22均數，幾何平均數，平方平均數，調和平均數的大小關系為H≤G≤A≤Q（等號當且僅當a=b時取得），這也稱作均值不等式.運用重要不等式和均值不等式，可以比較大小，證明不等式，求最值．

基本不等式有：

①，；

②，；

③，；

④，；

⑤，；

⑥，.例

4、已知a，b，c都是正數，且a＋b＋c=1，求證：

[分析與解答] 分析：

在不等式證明中，幾個正數的和為1，常常作為條件出現在題設，這時用好這個“1”常常成為解題的關鍵.證明：

（1）∵ a＋b＋c=1，且a＋b＋c∈R.＋

＋

（2）∵ a，b，c∈R且a＋b＋c=1.（3）∵ a，b，c∈R且a＋b＋c=1.＋

小結：

以上各小題在證題過程中，或是將分子的1看作a＋b＋c，然后拆項，或是將原代數式乘以一個值為1 的因式（a＋b＋c）以利用整理變形，這些常用的“1”的變換技巧很重要.2利用基本不等式求最值：

①當成立； ③若時，不等式為定值，不等式即為

成立； ②當且僅當，當且僅當

時，不等式時，有最小值

中，“等號”；

④若為定值，不等式即為，當且僅當時，有最大值；

注：以上簡稱“和小積大”；有否最值的關鍵為是否有定值，且當時，能否求出解來.例

5、已知a，b為正數，且，求的最大值以及達到最大值時a，b的值.[分析與解答] 分析：

分析條件與結論之間的關系是非常重要的解題步驟.本題條件，結論的最大值，所以必須把結論中a進入根號內，即是用條件的第一步，而條件中的的b系數為，還得繼續變換結論解析式的形式，即：，再用均值不等式就完成了這一轉化過程.解答：∵a，b為正數.當時，即時取等號.∴ 當時，的最大值為

點評：在求解過程中，不要急于運用均值不等式，使解答陷入僵局．

例

6、如圖所示，為處理含有某種雜質的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質的質量分數與a，b的乘積ab成反比，現有制箱材料60平方米，問當a，b各為多少米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小（A、B孔的面積忽略不計）

[分析與解答] 析：

先由面積列出a，b的方程，由題意將問題轉化為使ab取最大值時a、b的值.解法一：

依題意，即所求的a，b值使ab最大.由題設知 4b＋2ab＋2a=60（a>0，b>0）

即 a＋2b＋ab=30（a>0，b>0）

當且僅當a=2b時，上式取等號.

第四篇：課外拓展

九年級（上）科學第三章第5節 物體的內能

班級 學號 姓名

【閱讀與思考】

1、大型飛機在空中飛行時，為了使機艙內空氣清新，必須用空氣壓縮機把空氣從艙外壓進來。雖然艙外空氣溫度一般低于零下40℃，但壓縮機把空氣壓入艙內過程中，氣體的溫度可達50℃以上，其原因是 對 做功，使 能轉化為 能。為了確保艙內氣溫適宜，飛機上同時還使用空調，空調的作用是（填降溫或升溫）。如果高壓機艙出現裂縫，在高壓氣體向外噴射的過程中，艙內氣體的溫度將（下降或升高），原因是。

2、火箭發動機工作時，燃料在氧化劑的作用下在燃燒室里燃燒，產生高溫燃氣，燃氣通過噴管向后高速噴出，對火箭產生推力，把火箭發射出去。請分析火箭發射過程中的能量轉化。

【課外拓展】

1、熱機是一種重要的動力機械。現代的各種交通工具，如汽車、火車、飛機、火箭等都是以熱機作動力的。火力發電設備也主要是利用熱機做動力。燃料直接在發動機氣缸內燃燒產生動力的熱機，叫內燃機。常用的有汽油機和柴油機。請你課外通過查找資料了解汽油機和柴油機是什么時候又是怎樣點火的？

2、有這樣一道駕駛員考試題：“壓縮氣體遇燃燒、爆炸等險情時，應向氣瓶覆蓋沙土，并及時將氣瓶移出危險區域。”請你判斷這種做法是否正確，如若不對，請說明正確的救險方法。

3、請你設計一款新型打氣筒使它能達到括號內的一個或多個目的（使用更方便、更輕便、更牢固、使用壽命更長、效率更高、能顯示氣壓、功能更多）

第五篇：課外拓展

數學家·韋達

韋達定理簡史

法國數學家韋達最早發現代數方程的根與系數之間存在著關系。他不僅發現了一元二次方程的根與系數之間的關系，而且發現了一元n次方程的根與系數的關系：

如果一元n次方程

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0

的n個根是x1, x2, …, xn, 那么

人們為了紀念他，把這個關系稱為韋達定理。

課本上講的一元二次方程根與系數的關系，就是上述定理在n=2時的情況。

韋達，(Fran?ois Viète,1540-1603)1540年生于法國普瓦圖地區[Poitou,今旺代省的豐特奈-勒孔特(Fontenay.-le-Comte)];1603年12月13日卒于巴黎。

韋達是法國十六世紀最有影響的數學家之一。《分析方法入門》是韋達最重要的代數著作，他引入字母來表示量，并將這種代數稱為“類的運算”以此區別于用來確定數目的“數的運算”。當韋達提出類的運算與數的運算的區別時，就已規定了代數與算術的分界。這樣，代數就成為研究一般的類和方程的學問，這種革新被認為是數學史上的重要進步，它為代數學的發展開辟了道路，因此韋達被西方稱為“代數學之父”。

他對數學貢獻很大，而其中一成就是記載了著名的韋達定理，即方程的根與系數的關系式。