第一篇：第2課時--等差數列與等比數列的基本運算

一．課題：等差數列與等比數列的基本運算

二．教學目標：掌握等差數列和等比數列的定義，通項公式和前n項和的公式，并能利用這些

知識解決有關問題，培養學生的化歸能力．

三．教學重點：對等差數列和等比數列的判斷，通項公式和前n項和的公式的應用．

四．教學過程：

（一）主要知識：

1．等差數列的概念及其通項公式，等差數列前n項和公式；

2．等比數列的概念及其通項公式，等比數列前n項和公式；

3．等差中項和等比中項的概念．

（二）主要方法：

1．涉及等差（比）數列的基本概念的問題，常用基本量a1,d(q)來處理；

2．使用等比數列前n項和公式時，必須弄清公比q是否可能等于1還是必不等于1，如果不能確定則需要討論；

3．若奇數個成等差數列且和為定值時，可設中間三項為a?d,a,a?d；若偶數個成等差數列且和為定值時，可設中間兩項為a?d,a?d，其余各項再根據等差數列的定義進行對稱設元．若干個數個成等比數列且積為定值時，設元方法與等差數列類似．

4．在求解數列問題時要注意運用函數思想，方程思想和整體消元思想，設而不求．

（三）例題分析：

例1．（1）設數列{an}是遞增等差數列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項為 2 ．

（2）已知等差數列{an}的公差d?0，且a1,a3,a9成等比數列，則a1?a3?a913?． a2?a4?a1016

例2．有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個書的和是12，求這四個數． ?(a?d)

2(a?d)?16?a?d?解：設這四個數為：a?d,a,a?d,，則? aa?2a?d?12?

?a?4?a?9解得：?或?，所以所求的四個數為：?4,4,12,36；或15,9,3,1． d?8d??6??2

例3．由正數組成的等比數列{an}，若前2n項之和等于它前2n項中的偶數項之和的11倍，第3項與第4項之和為第2項與第4項之積的11倍，求數列{an}的通項公式．

解：當q?1時，得2na1?11na1不成立，∴q?1，?a1(1?q2n)11a1q(1?q2n)?① ?21?q∴?1?q ?aq2?aq3?11aq?aq3② ?111

11由①得q?，代入②得a1?10，10

1n?2∴an?()． 10

說明：用等比數列前n項和公式時，一定要注意討論公比是否為1．

第三章 數列——第2課時：等差數列、等比數列的基本運算

例4．已知等差數列110,116,122,?，（1）在區間[450,600]上，該數列有多少項？并求它們的和；

（2）在區間[450,600]上，該數列有多少項能被5整除？并求它們的和.解：an?110?6(n?1)?6n?104，（1）由450?6n?104?600，得58?n?82，又n?N, *

1(a58?a82)?25?13100．

2（2）∵an?110?6(n?1)，∴要使an能被5整除，只要n?1能被5整除，即n?1?5k，∴n?5k?1，∴58?5k?1?82，∴12?k?16，∴在區間[450,600]上該數列中能被5整

5(a61?a81)?2650． 除的項共有5項即第61,66,71,76,81項，其和S?2∴ 該數列在[450,600]上有25項, 其和Sn?

五．課后作業：《優化設計》基礎過關題

六．教學反思：

１．掌握等差數列和等比數列的通項公式和前n項和的公式并應用解題．

２．善于靈活運用等差中項和等比中項的性質．

３．在求解數列問題時要注意運用函數思想，方程思想和整體消元思想．

第三章 數列——第2課時：等差數列、等比數列的基本運算

第二篇：數學高考復習名師精品教案：第22課時：第三章 數列-等差數列、等比數列的基本運算

數學高考復習名師精品教案

第22課時：

第三章 數列——等差數列、等比數列的基本運算

一．課題：等差數列與等比數列的基本運算

二．教學目標：掌握等差數列和等比數列的定義，通項公式和前n項和的公式，并能利用這些知識解決有關問題，培養學生的化歸能力．

三．教學重點：對等差數列和等比數列的判斷，通項公式和前n項和的公式的應用．

四．教學過程：

（一）主要知識：

1．等差數列的概念及其通項公式，等差數列前n項和公式； 2．等比數列的概念及其通項公式，等比數列前n項和公式； 3．等差中項和等比中項的概念．

（二）主要方法：

1．涉及等差（比）數列的基本概念的問題，常用基本量a1,d(q)來處理； 2．使用等比數列前n項和公式時，必須弄清公比q是否可能等于1還是必不等于1，如果不能確定則需要討論；

3．若奇數個成等差數列且和為定值時，可設中間三項為a?d,a,a?d；若偶數個成等差數列且和為定值時，可設中間兩項為a?d,a?d，其余各項再根據等差數列的定義進行對稱設元．若干個數個成等比數列且積為定值時，設元方法與等

差數列類似．

4．在求解數列問題時要注意運用函數思想，方程思想和整體消元思想，設而不求．

（三）例題分析：

例1．（1）設數列{an}是遞增等差數列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項為 2 ．

（2）已知等差數列{an}的公差d?0，且a1,a3,a9成等比數列，則

a1?a3?a913?．

a2?a4?a1016例2．有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個書的和是12，求這四個數．

?(a?d)2(a?d)a?d??16解：設這四個數為：a?d,a,a?d,，則? a?a?2a?d?12?2解得：? ?a?4?a?9或?，所以所求的四個數為：?4,4,12,36；或15,9,3,1． ?d?8?d??6例3．由正數組成的等比數列{an}，若前2n項之和等于它前2n項中的偶數項之和的11倍，第3項與第4項之和為第2項與第4項之積的11倍，求數列{an}的通項公式．

解：當q?1時，得2na1?11na1不成立，∴q?1，?a1(1?q2n)11a1q(1?q2n)① ??21?q∴?1?q

?aq2?aq3?11aq?aq3② ?1111由①得q?1101，代入②得a1?10，10∴an?()n?2．

說明：用等比數列前n項和公式時，一定要注意討論公比是否為1．

例4．已知等差數列110,116,122,?，（1）在區間[450,600]上，該數列有多少項？并求它們的和；

（2）在區間[450,600]上，該數列有多少項能被5整除？并求它們的和.解：an?110?6(n?1)?6n?104，（1）由450?6n?104?600，得58?n?82，又n?N*, ∴ 該數列在[450,600]上有25項, 其和Sn?(a58?a82)?25?13100．

（2）∵an?110?6(n?1)，∴要使an能被5整除，只要n?1能被5整除，即n?1?5k，∴n?5k?1，∴58?5k?1?82，∴12?k?16，∴在區間[450,600]上該數列中能被5整除的項共有5項即第61,66,71,76,81項，其和S?

5(a61?a81)?2650． 212 3

第三篇：高三數學一輪教案：等差數列和等比數列的基本運算(二)

§3.2等差數列與等比數列的基本運算

（二）【復習目標】 靈活運用等差、等比數列的定義及通項公式的性質簡化數列的有關運算； 2 在解題中總結方法和規律，加深對等差數列和等比數列的理解。

【重點難點】

在解題中總結方法和規律，簡化數列的有關運算 【課前預習】

9121．在等比數列{an}中，已知首項為8，末項為3，公比為3，則項數n是

（）

A.3

B.4

C.5

D.6 2．等比數列{an}中，a1+a2=30,a3+a4=120,則a5+a6是

（）

A.240

B.±240

C.480

D.±480 3．設{an}是一個等差數列，且a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a14=77，如果ak=13，那么k等于

A.16

B.18

C.20

D.22

（）【典型例題】

a1a2?a3a4?a5a6a1a6?a2a5例1

已知等差數列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比數列，求的值。

例2 已知一個等差數列前10項的和為100，前100項的和為10，求前110項的和。

例3 已知等差數列n的前n項和為的通項公式。

?a?sn，令

bn?11a?b?,s3?s5?21.33?b?sn，2且求數列n

2{a}S??n?18n，試求數列{|an|}的前n項和Tn的表述式。nn例4 已知數列的前n項和為

【鞏固練習】

1．在各項均為正數的等比數列{an}中，若a5a6=9，則log3a1+log3a2+…+log3a10的值為

.2．在等比數列{an}中,已知a2a8=9，則a3a5a7等于

.a1?a3?a93．已知等差數列{a}的公差d≠0，且a,a,a成等比數列，則a2?a4?a10的值是

。n

9【本課小結】

【課后作業】

ac??24 設a,b,c成等比數列，x為a,b的等差中項，y為b,c的等差中項，求證xy.5 若a+b+c,b+c—a,a+c－b,a+b－c成等比數列，公比為q,求q+q2+q3的值。等差數列{an}中，當m≠2001時，有a2001=m,am=2001，若p∈N,且p>am，試比較am+p與0的大小關系。設數列{an}的首項a1=1，前n項的和Sn滿足關系式：3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t>0,n=2,3,4,…)證明：數列{an}是等比數列.8 設等差數列 ?an?的前n項和為Sn，若a3?12，S12?0，S13?0。

（1）求公差的取值范圍；（2）指出S1，S2，……，S12中，哪個值最大？并說明理由。

第四篇：等差數列與等比數列的性質

第24課 等差數列與等比數列的性質

●考試目標主詞填空

1.等差數列的性質.

①等差數列遞增的充要條件是其公差大于0，②在有窮等差數列中，與首末兩端距離相等的和相等.即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?=ak+an+1-k，③在等差數列{an}中，使am+a0=ap+aq成立的充要條件是是等差數列，⑤若數列{an}與{bn}均為等差數列，且m，k為常數，則{man+kbn}Sn=an2+bn+c能表示等差數列前n項和的充要條件是2.等比數列的性質.①在等比數列{an}中，公比為q，其單調性的考察應視a1及q的取值范圍而定.②在有窮的等比數列{an}即：a1an=a2·an-1=a3·an-2=?=ak·an+1-k.

③在等比數列{an}中，使am·a0=ap·ak成立的充要條件是m+n=p+k. ④在等比數列中，每隔相同的項抽出來，依原來的順序構成一個新數列，則此新數列仍是等比數列.?man?⑤若數列{an}與{bn}均為等比數列，m是不等于零的常數，則{m·an·bn}與??仍為等比數列.b?n?

●題型示例點津歸納

【例1】證明下列論斷：

(1)從等差數列中每隔相同的項抽取一些項依原順序構成的新數列仍然是等差數列.(2)從等比數列中每隔相同的項抽取一些項依原順序構成的新數列仍然是等比數列.

【解前點津】等差數列的公差以及等比數列的公比都是已知常數，且每隔k項抽取一個數中的k邊應視為已知正整數，按定義證明即可.【規范解答】(1)設{xn}是公差為d的等差數列，抽取的第一個數為xm，隔k項抽取的第二個數為xm+k，再隔k項抽取的第三個數為xm+2k，依次類推，則新數列的第p項(p≥1)必為xm+(p-1)k ·第p+1項為xm+pk.由通項公式：

∵xm+pk-xm+(p-1)k=x1+(m+pk-1)d-［x1+(m+pk-k-1)d］=(k-1)d是一個p無關的常數，故新數列是一個公差為kd的等差數列.(2)設{yn}是一個公比為q的等比數列，抽取的第一個數為ym，隔k項抽取的第二個數為ym+k，再隔k項抽取的第三個數為ym+2k，依次類推，則新數列的第p項(p≥1)必為ym+(p-1)k，第p+1項為ym+pk.由等比數列通項公式： ∵ym?pk

ym?(p?1)ky1?qm?pk?1k==q是一個與p無關的常數.m?pk?k?1y1?q

故新數列是一個公比為qk的一個等比數列.【解后歸納】證明{xn}是一個等差數列，只須證明xn-xn-1=常數即可，類似地，證明{yn}是一個等比數列，只證明yn=常數即可. yn?

1【例2】設x，y，z∈R，3x，4y，5z成等比數列，且

111xz，成等差數列，求?的值.xzxyz

【解前點津】依條件列方程組，從方程組中推導

xz

?之值. zx

?(4y)2?(3x)?(5z)

2xz?

?y=【規范解答】由題意得：?211代入第一個方程消去y得：

x?z?y?x?z

?2xz2xz34(x?z)26416()=15xz?=，故?=.x?z15zx15xz

【解后歸納】因（xz

?)中不含y，故在方程組中，y成為消去的對象.zx

【例3】已知數列{an}滿足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n項之和為Sn，求滿足不等式|Sn-n-6|<的最小正整數n. 12

5【解前點津】構造“新數列”，求出通項公式，注意到3(an+1-1)=-(an-1).【規范解答】由條件得：3(an+1-1)=-(an-1).視為3xn+1=-xn，∵a1-1=8，故新數列{an-1}是首項為8，公比為-的一個等比數列.故：

3??1?n?8?1????

?3???1n-11n-1???=6-6×(-1)n，an-1=8(-)，即an=1+8(-)Sn-n=

333?1?

?1???3?

11?n-1

∴|Sn-n-6|=6×()n <3>250>35?n-1>5.3125

∴n>6從而n≥7.故n=7是所求的最小正整數.

【解后歸納】將一個簡單的遞推公式進行變形，從而轉化為一個等差數列，或一個等比數列的模型.這是一種“化歸”的數學思想.【例4】設{an}為等差數列，{bn}為等比數列，且b1=a1，b2=a2，b3=a3(a1

n??

2+bn)=2+1,試求{an}的首項與公差.【解前點津】設

b2b

=q，則1=2+1.1?qb1

【規范解答】設{an}的公差為d，{bn}的公比為q，則由條件知，b2=b1b3?(a2)2=(a1)·(a3)

a2

=(1+2)(2+1)

a1

(a1+d)

4=a22，a12a22=a1

·(a1+2d)?(a1+d)=|a1(a1+2d)|又b1=(1+q)（22

2+1),故

2a1

42即a1=［a1+(a1+d)2］(2+1)，解關于a1及d的方程組得：a1=-2，d=22-2.

【解后歸納】將所列方程組轉化為關于基本量a1，d的方程，是常規思路.此題是否有另外思路?讀者可自己尋找.●對應訓練分階提升

一、基礎夯實

1.在等比數列{an}中，a9+a10=a(a≠0)，a19+a20=b，則a99+a100等于()

bbb9b10

A.8B.()C.9D.()10

aaaa

2.已知等差數列{an}中，|a3|=|a9|,公差d<0，則使前n項和Sn取得最大值的自然數n是()

A.4和5B.5或6C.6或7D.不存在3.若{an}為一個遞減等比數列，公比為q，則該數列的首項a1和公比q一定為()A.q<0，a1≠0B.a1>0，01 C.q>1，a1<0D.00

4.由公差為d的等差數列a1，a2，a3，?，重新組成的數列a1+a4，a2+a5，a3+a6，?是()A.公差為d的等差數列B.公差為2d的等差數列 C.公差為3d的等差數列D.非等差

5.設2a=3，2b=6，2c=12，則a、b、c()A.是等差數列，但不是等比數列B.是等比數列，但不是等差數列 C.既不是等差數列，又不是等比數列D.既是等差數列，又是等比數列

6.若{an}是等比數列，a4a7=-512，a3+a8=124，且公比q為整數，則a10的值是()A.256B.-256C.512D.-51

27.設{an}是由正數組成的等比數列，且a5·a6=81，那么log3a1+log3a2+log3a3+?+log3a10的值是()A.5B.10C.20D.30

8.在3和9之間插入兩個正數，使前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，則這兩個數的和是()A.1

11111B.12C.13D.14 444

49.在等比數列{an}中，已知對任意自然數n，a1+a2+?+an=2n-1，則a1+a2+?+a2n=()A.(2n-1)2B.1n2n1

(2-1)C.4-1D.(4n-1)3

310.上一個n級的臺階，若每次可上一級或兩級，設上法的總數為f(n)，則下列猜想中正確的是()

A.f(n)=nB.f(n)=f(n-1)+f(n-2)

?n(n?1,2)

C.f(n)=f(n-1)·f(n-2)D.f(n)=?

f(n?1)?f(n?2)(n?3)?

二、思維激活

11.在等差數列{an}中，若Sm=n，Sn=m(Sn為前n項和)且m≠n，則Sm+n

三、能力提高

12.在等差數列{an}中，a1，a4，a25三個數依次成等比數列，且a1+a4+a25=114,求這三個數.13.已知{an}為等差數列，(公差d≠0)，{an}中的部分項組成的數列ak1，ak2，ak13，?，ak，?，n

恰好為等比數列，其中k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+k3+?+kn.14.設f(x)=a1x+a2x2+?+anxn(n為正偶數)，{an}是等差數列，若f(1)=(1)求an；(2)求證：f（1nn(n+1)，f(-1)=. 22)<2. 2

15.數列{an}的前n項和Sn=100n-n2(n∈N).(1){an}是什么數列?

(2)設bn=|an|，求數列|bn|的前n項和.第3課等差數列與等比數列的性質習題解答

1.A先求a1與公比q.2.B∵d<0，∴a3>a9，∴a3=-a9.3.B分別考察a1>0與a1<0兩種情況.4.B∵(an+an+3)-(an-1+an+2)=(an-an-1)+(an+3-an+2)=d+d=2d.5.A∵62=3×12，∴(2b)2=2a·2c?2b=a+c且b2≠ac.6.C∵a4a7=a3a8=-512，a3+a8=124，∴a3，a8是x2-124x-512=0的兩根.解之：a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4?q=-2或-

但q=-不合題意，∴a10=a8·q2=512.22

7.C其值為log3(a1a2?a10)=log3(a1a10)·(a2a9)?(a5a6)=log3(a5a6)5=5log3(a5·a6)=5log381=20.9?

x???x2?3y?2??8.A設這兩個正數為x，y，由題意可得：?.272y?x?9??y??4?

9.D∵Sn=2n-1，∴an+1=Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n，又a1=S1=21-1=1=21-1，∴an=2n-1.10.D每次可上一級或兩級，故需分段考慮.11.Sm+n=-(m+n)運用公式求和.2?a4?(a1?3d)2?a1(a1?24d)?a1?a25

??12.設公差d，依題意得：??

?a1?a4?a25?114?3a1?27d?114

?a4?38?a4?a1?3d?2?3?4?14?a1?38?a1?2

或?，或????

a?38a?a?24d?2?24?4?98d?0d?4?25??1?25

∴這三個數是38，38，38或2，14，98.

13.∵a1，a5，a17成等比數列，∴(a1+4d)2=a1(a1+16d)?d=

aa11，an=a1(n+1)，a5=a1+4d=3a1，∴q=5

22a1

=3，akn=

k?11

a1(kn+1)?akn=a1·qn-1=a1×3n-1，∴na1=a1×3n-1，∴kn=2×3n-1-1?k1+k2+k3+?22

n-1

2(1?3n)

+kn=2(1+3+9+?+3)-n= =3n-n-1.(1?3)?n

14.(1)設{an}的公差為d，則f(1)=a1+a2+?+an=d=1，由na1+

1nn

n(n+1)，f(-1)=-a1+a2-a3+a4+?-an-1+an=d=，∴222

n(n?1)n(n?1)

?得a1=1，∴an=n. 22

2n

1123111111?n(2)f()=+2+3+?+?(1-)]f()=+2+3+?+n+n?1

22222222222

兩式相減：

1??

1???1n

1111n?2n?nf()=1++2+?+n?1-n=-n=2-2n?1-2n<2. 22222?1?2

?1???2?

15.(1)an=Sn-Sn-1=(100n-n2)-［100(n-1)-(n-1)2］=101-2n(n≥2)，∵a1=S1=100×1-12=99=101-2×1，∴數列{an}的通項公式為an=101-2n又∵an+1-an=-2為常數.∴數列{an}是首項為a1=99，公差d=-2的等差數列.(2)令an=101-2n≥0得n≤50(n∈N*)，①當1≤n≤50時，an>0，此時bn=|an|=an，所以{bn}的前n項和Sn′=100n-n2且S50′=100×50-502=2500，②當n≥51時，an<0，此時bn=|an|=-an由b51+b52+?+bn=-(a51+a52+?+an)=-(Sn-S50)=S50-Sn得數列{bn}前n項和為Sn′=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn=2×2500-(100n-n2)=5000-100n+n2.?(n?N*,1?n?50)?100n?n

由①②得數列{bn}的前n項和為Sn′=?.2*

?(n?N,n?51)?5000?100n?n

第五篇：等差數列與等比數列的證明

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等差數列與等比數列的證明

作者：劉春建

來源：《高考進行時·高三數學》2013年第03期

一、考綱要求

1.理解等差數列的遞推關系，并能夠根據遞推關系證明等差數列。

2.理解等比數列的遞推關系，并能夠根據遞推關系證明等比數列。

3.能夠利用等差中項和等比中項證明等差數列和等比數列。

二、難點疑點

1.在證明等差數列和等比數列的過程中，部分學生只是求出了等差數列和等比數列的通項公式，而沒有利用遞推關系或者等差、等比中項進行證明。

2.在用等比中項證明等比數列的時候，沒有交代各項均不為零。

3.要注意整體思想在證明等差數列和等比數列中的靈活運用。