第一篇：等差數(shù)列與等比數(shù)列中的基本量法檢測卷

等差數(shù)列與等比數(shù)列中的基本量法檢測卷

1.等差數(shù)列{an}中,a6+a8 =－20, a10 =－30,則a4 =______.2.等差數(shù)列{an}中, a1=3,d=－0.5, Sn=7.5,則n=_____.3.等比數(shù)列{an}中, a2=－2, a4=－8,則a9 =____.4．等比數(shù)列{an}中, a1+a2 =30, a3+a4 =120, a5+a6 =_____.5.等比數(shù)列{an}中, a1=1, an=－512,Sn=－341,則公比q=___,項數(shù)n=____.6.等比數(shù)列{an}中, a3=2S2+1, a4=2S3+1, 則公比q=___.7．已知a5=11,a8=5,求等差數(shù)列{an}的通項

8．已知等比數(shù)列{an}的公比q=2,前4項和S4=1,前8項和S8=()

A.15B.19C.17D.21

9．已知等比數(shù)列{an},比較(a3)2+(a7)2與(a4)2+(a6)2的大小

10.等差數(shù)列{an}中,a3＝12S12＞0 , S13＜0求公差d范圍

（等差數(shù)列前n項和的最值）

1.等差數(shù)列{an}中, an=2n－24,此數(shù)列前___項和最小.2.等差數(shù)列{an}中, an=49－2n,此數(shù)列前___項和最大.

第二篇：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)

第24課 等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)

●考試目標主詞填空

1.等差數(shù)列的性質(zhì).

①等差數(shù)列遞增的充要條件是其公差大于0，②在有窮等差數(shù)列中，與首末兩端距離相等的和相等.即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?=ak+an+1-k，③在等差數(shù)列{an}中，使am+a0=ap+aq成立的充要條件是是等差數(shù)列，⑤若數(shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列，且m，k為常數(shù)，則{man+kbn}Sn=an2+bn+c能表示等差數(shù)列前n項和的充要條件是2.等比數(shù)列的性質(zhì).①在等比數(shù)列{an}中，公比為q，其單調(diào)性的考察應(yīng)視a1及q的取值范圍而定.②在有窮的等比數(shù)列{an}即：a1an=a2·an-1=a3·an-2=?=ak·an+1-k.

③在等比數(shù)列{an}中，使am·a0=ap·ak成立的充要條件是m+n=p+k. ④在等比數(shù)列中，每隔相同的項抽出來，依原來的順序構(gòu)成一個新數(shù)列，則此新數(shù)列仍是等比數(shù)列.?man?⑤若數(shù)列{an}與{bn}均為等比數(shù)列，m是不等于零的常數(shù)，則{m·an·bn}與??仍為等比數(shù)列.b?n?

●題型示例點津歸納

【例1】證明下列論斷：

(1)從等差數(shù)列中每隔相同的項抽取一些項依原順序構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列.(2)從等比數(shù)列中每隔相同的項抽取一些項依原順序構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列.

【解前點津】等差數(shù)列的公差以及等比數(shù)列的公比都是已知常數(shù)，且每隔k項抽取一個數(shù)中的k邊應(yīng)視為已知正整數(shù)，按定義證明即可.【規(guī)范解答】(1)設(shè){xn}是公差為d的等差數(shù)列，抽取的第一個數(shù)為xm，隔k項抽取的第二個數(shù)為xm+k，再隔k項抽取的第三個數(shù)為xm+2k，依次類推，則新數(shù)列的第p項(p≥1)必為xm+(p-1)k ·第p+1項為xm+pk.由通項公式：

∵xm+pk-xm+(p-1)k=x1+(m+pk-1)d-［x1+(m+pk-k-1)d］=(k-1)d是一個p無關(guān)的常數(shù)，故新數(shù)列是一個公差為kd的等差數(shù)列.(2)設(shè){yn}是一個公比為q的等比數(shù)列，抽取的第一個數(shù)為ym，隔k項抽取的第二個數(shù)為ym+k，再隔k項抽取的第三個數(shù)為ym+2k，依次類推，則新數(shù)列的第p項(p≥1)必為ym+(p-1)k，第p+1項為ym+pk.由等比數(shù)列通項公式： ∵ym?pk

ym?(p?1)ky1?qm?pk?1k==q是一個與p無關(guān)的常數(shù).m?pk?k?1y1?q

故新數(shù)列是一個公比為qk的一個等比數(shù)列.【解后歸納】證明{xn}是一個等差數(shù)列，只須證明xn-xn-1=常數(shù)即可，類似地，證明{yn}是一個等比數(shù)列，只證明yn=常數(shù)即可. yn?

1【例2】設(shè)x，y，z∈R，3x，4y，5z成等比數(shù)列，且

111xz，成等差數(shù)列，求?的值.xzxyz

【解前點津】依條件列方程組，從方程組中推導(dǎo)

xz

?之值. zx

?(4y)2?(3x)?(5z)

2xz?

?y=【規(guī)范解答】由題意得：?211代入第一個方程消去y得：

x?z?y?x?z

?2xz2xz34(x?z)26416()=15xz?=，故?=.x?z15zx15xz

【解后歸納】因（xz

?)中不含y，故在方程組中，y成為消去的對象.zx

【例3】已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n項之和為Sn，求滿足不等式|Sn-n-6|<的最小正整數(shù)n. 12

5【解前點津】構(gòu)造“新數(shù)列”，求出通項公式，注意到3(an+1-1)=-(an-1).【規(guī)范解答】由條件得：3(an+1-1)=-(an-1).視為3xn+1=-xn，∵a1-1=8，故新數(shù)列{an-1}是首項為8，公比為-的一個等比數(shù)列.故：

3??1?n?8?1????

?3???1n-11n-1???=6-6×(-1)n，an-1=8(-)，即an=1+8(-)Sn-n=

333?1?

?1???3?

11?n-1

∴|Sn-n-6|=6×()n <3>250>35?n-1>5.3125

∴n>6從而n≥7.故n=7是所求的最小正整數(shù).

【解后歸納】將一個簡單的遞推公式進行變形，從而轉(zhuǎn)化為一個等差數(shù)列，或一個等比數(shù)列的模型.這是一種“化歸”的數(shù)學(xué)思想.【例4】設(shè){an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，且b1=a1，b2=a2，b3=a3(a1

n??

2+bn)=2+1,試求{an}的首項與公差.【解前點津】設(shè)

b2b

=q，則1=2+1.1?qb1

【規(guī)范解答】設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則由條件知，b2=b1b3?(a2)2=(a1)·(a3)

a2

=(1+2)(2+1)

a1

(a1+d)

4=a22，a12a22=a1

·(a1+2d)?(a1+d)=|a1(a1+2d)|又b1=(1+q)（22

2+1),故

2a1

42即a1=［a1+(a1+d)2］(2+1)，解關(guān)于a1及d的方程組得：a1=-2，d=22-2.

【解后歸納】將所列方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于基本量a1，d的方程，是常規(guī)思路.此題是否有另外思路?讀者可自己尋找.●對應(yīng)訓(xùn)練分階提升

一、基礎(chǔ)夯實

1.在等比數(shù)列{an}中，a9+a10=a(a≠0)，a19+a20=b，則a99+a100等于()

bbb9b10

A.8B.()C.9D.()10

aaaa

2.已知等差數(shù)列{an}中，|a3|=|a9|,公差d<0，則使前n項和Sn取得最大值的自然數(shù)n是()

A.4和5B.5或6C.6或7D.不存在3.若{an}為一個遞減等比數(shù)列，公比為q，則該數(shù)列的首項a1和公比q一定為()A.q<0，a1≠0B.a1>0，01 C.q>1，a1<0D.00

4.由公差為d的等差數(shù)列a1，a2，a3，?，重新組成的數(shù)列a1+a4，a2+a5，a3+a6，?是()A.公差為d的等差數(shù)列B.公差為2d的等差數(shù)列 C.公差為3d的等差數(shù)列D.非等差

5.設(shè)2a=3，2b=6，2c=12，則a、b、c()A.是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列B.是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列D.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列

6.若{an}是等比數(shù)列，a4a7=-512，a3+a8=124，且公比q為整數(shù)，則a10的值是()A.256B.-256C.512D.-51

27.設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a5·a6=81，那么log3a1+log3a2+log3a3+?+log3a10的值是()A.5B.10C.20D.30

8.在3和9之間插入兩個正數(shù)，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則這兩個數(shù)的和是()A.1

11111B.12C.13D.14 444

49.在等比數(shù)列{an}中，已知對任意自然數(shù)n，a1+a2+?+an=2n-1，則a1+a2+?+a2n=()A.(2n-1)2B.1n2n1

(2-1)C.4-1D.(4n-1)3

310.上一個n級的臺階，若每次可上一級或兩級，設(shè)上法的總數(shù)為f(n)，則下列猜想中正確的是()

A.f(n)=nB.f(n)=f(n-1)+f(n-2)

?n(n?1,2)

C.f(n)=f(n-1)·f(n-2)D.f(n)=?

f(n?1)?f(n?2)(n?3)?

二、思維激活

11.在等差數(shù)列{an}中，若Sm=n，Sn=m(Sn為前n項和)且m≠n，則Sm+n

三、能力提高

12.在等差數(shù)列{an}中，a1，a4，a25三個數(shù)依次成等比數(shù)列，且a1+a4+a25=114,求這三個數(shù).13.已知{an}為等差數(shù)列，(公差d≠0)，{an}中的部分項組成的數(shù)列ak1，ak2，ak13，?，ak，?，n

恰好為等比數(shù)列，其中k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+k3+?+kn.14.設(shè)f(x)=a1x+a2x2+?+anxn(n為正偶數(shù))，{an}是等差數(shù)列，若f(1)=(1)求an；(2)求證：f（1nn(n+1)，f(-1)=. 22)<2. 2

15.數(shù)列{an}的前n項和Sn=100n-n2(n∈N).(1){an}是什么數(shù)列?

(2)設(shè)bn=|an|，求數(shù)列|bn|的前n項和.第3課等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)習(xí)題解答

1.A先求a1與公比q.2.B∵d<0，∴a3>a9，∴a3=-a9.3.B分別考察a1>0與a1<0兩種情況.4.B∵(an+an+3)-(an-1+an+2)=(an-an-1)+(an+3-an+2)=d+d=2d.5.A∵62=3×12，∴(2b)2=2a·2c?2b=a+c且b2≠ac.6.C∵a4a7=a3a8=-512，a3+a8=124，∴a3，a8是x2-124x-512=0的兩根.解之：a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4?q=-2或-

但q=-不合題意，∴a10=a8·q2=512.22

7.C其值為log3(a1a2?a10)=log3(a1a10)·(a2a9)?(a5a6)=log3(a5a6)5=5log3(a5·a6)=5log381=20.9?

x???x2?3y?2??8.A設(shè)這兩個正數(shù)為x，y，由題意可得：?.272y?x?9??y??4?

9.D∵Sn=2n-1，∴an+1=Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n，又a1=S1=21-1=1=21-1，∴an=2n-1.10.D每次可上一級或兩級，故需分段考慮.11.Sm+n=-(m+n)運用公式求和.2?a4?(a1?3d)2?a1(a1?24d)?a1?a25

??12.設(shè)公差d，依題意得：??

?a1?a4?a25?114?3a1?27d?114

?a4?38?a4?a1?3d?2?3?4?14?a1?38?a1?2

或?，或????

a?38a?a?24d?2?24?4?98d?0d?4?25??1?25

∴這三個數(shù)是38，38，38或2，14，98.

13.∵a1，a5，a17成等比數(shù)列，∴(a1+4d)2=a1(a1+16d)?d=

aa11，an=a1(n+1)，a5=a1+4d=3a1，∴q=5

22a1

=3，akn=

k?11

a1(kn+1)?akn=a1·qn-1=a1×3n-1，∴na1=a1×3n-1，∴kn=2×3n-1-1?k1+k2+k3+?22

n-1

2(1?3n)

+kn=2(1+3+9+?+3)-n= =3n-n-1.(1?3)?n

14.(1)設(shè){an}的公差為d，則f(1)=a1+a2+?+an=d=1，由na1+

1nn

n(n+1)，f(-1)=-a1+a2-a3+a4+?-an-1+an=d=，∴222

n(n?1)n(n?1)

?得a1=1，∴an=n. 22

2n

1123111111?n(2)f()=+2+3+?+?(1-)]f()=+2+3+?+n+n?1

22222222222

兩式相減：

1??

1???1n

1111n?2n?nf()=1++2+?+n?1-n=-n=2-2n?1-2n<2. 22222?1?2

?1???2?

15.(1)an=Sn-Sn-1=(100n-n2)-［100(n-1)-(n-1)2］=101-2n(n≥2)，∵a1=S1=100×1-12=99=101-2×1，∴數(shù)列{an}的通項公式為an=101-2n又∵an+1-an=-2為常數(shù).∴數(shù)列{an}是首項為a1=99，公差d=-2的等差數(shù)列.(2)令an=101-2n≥0得n≤50(n∈N*)，①當(dāng)1≤n≤50時，an>0，此時bn=|an|=an，所以{bn}的前n項和Sn′=100n-n2且S50′=100×50-502=2500，②當(dāng)n≥51時，an<0，此時bn=|an|=-an由b51+b52+?+bn=-(a51+a52+?+an)=-(Sn-S50)=S50-Sn得數(shù)列{bn}前n項和為Sn′=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn=2×2500-(100n-n2)=5000-100n+n2.?(n?N*,1?n?50)?100n?n

由①②得數(shù)列{bn}的前n項和為Sn′=?.2*

?(n?N,n?51)?5000?100n?n

第三篇：等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明

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等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明

作者：劉春建

來源：《高考進行時·高三數(shù)學(xué)》2013年第03期

一、考綱要求

1.理解等差數(shù)列的遞推關(guān)系，并能夠根據(jù)遞推關(guān)系證明等差數(shù)列。

2.理解等比數(shù)列的遞推關(guān)系，并能夠根據(jù)遞推關(guān)系證明等比數(shù)列。

3.能夠利用等差中項和等比中項證明等差數(shù)列和等比數(shù)列。

二、難點疑點

1.在證明等差數(shù)列和等比數(shù)列的過程中，部分學(xué)生只是求出了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，而沒有利用遞推關(guān)系或者等差、等比中項進行證明。

2.在用等比中項證明等比數(shù)列的時候，沒有交代各項均不為零。

3.要注意整體思想在證明等差數(shù)列和等比數(shù)列中的靈活運用。

第四篇：第2課時--等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運算

一．課題：等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運算

二．教學(xué)目標：掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，通項公式和前n項和的公式，并能利用這些

知識解決有關(guān)問題，培養(yǎng)學(xué)生的化歸能力．

三．教學(xué)重點：對等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷，通項公式和前n項和的公式的應(yīng)用．

四．教學(xué)過程：

（一）主要知識：

1．等差數(shù)列的概念及其通項公式，等差數(shù)列前n項和公式；

2．等比數(shù)列的概念及其通項公式，等比數(shù)列前n項和公式；

3．等差中項和等比中項的概念．

（二）主要方法：

1．涉及等差（比）數(shù)列的基本概念的問題，常用基本量a1,d(q)來處理；

2．使用等比數(shù)列前n項和公式時，必須弄清公比q是否可能等于1還是必不等于1，如果不能確定則需要討論；

3．若奇數(shù)個成等差數(shù)列且和為定值時，可設(shè)中間三項為a?d,a,a?d；若偶數(shù)個成等差數(shù)列且和為定值時，可設(shè)中間兩項為a?d,a?d，其余各項再根據(jù)等差數(shù)列的定義進行對稱設(shè)元．若干個數(shù)個成等比數(shù)列且積為定值時，設(shè)元方法與等差數(shù)列類似．

4．在求解數(shù)列問題時要注意運用函數(shù)思想，方程思想和整體消元思想，設(shè)而不求．

（三）例題分析：

例1．（1）設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項為 2 ．

（2）已知等差數(shù)列{an}的公差d?0，且a1,a3,a9成等比數(shù)列，則a1?a3?a913?． a2?a4?a1016

例2．有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個書的和是12，求這四個數(shù)． ?(a?d)

2(a?d)?16?a?d?解：設(shè)這四個數(shù)為：a?d,a,a?d,，則? aa?2a?d?12?

?a?4?a?9解得：?或?，所以所求的四個數(shù)為：?4,4,12,36；或15,9,3,1． d?8d??6??2

例3．由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}，若前2n項之和等于它前2n項中的偶數(shù)項之和的11倍，第3項與第4項之和為第2項與第4項之積的11倍，求數(shù)列{an}的通項公式．

解：當(dāng)q?1時，得2na1?11na1不成立，∴q?1，?a1(1?q2n)11a1q(1?q2n)?① ?21?q∴?1?q ?aq2?aq3?11aq?aq3② ?111

11由①得q?，代入②得a1?10，10

1n?2∴an?()． 10

說明：用等比數(shù)列前n項和公式時，一定要注意討論公比是否為1．

第三章 數(shù)列——第2課時：等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算

例4．已知等差數(shù)列110,116,122,?，（1）在區(qū)間[450,600]上，該數(shù)列有多少項？并求它們的和；

（2）在區(qū)間[450,600]上，該數(shù)列有多少項能被5整除？并求它們的和.解：an?110?6(n?1)?6n?104，（1）由450?6n?104?600，得58?n?82，又n?N, *

1(a58?a82)?25?13100．

2（2）∵an?110?6(n?1)，∴要使an能被5整除，只要n?1能被5整除，即n?1?5k，∴n?5k?1，∴58?5k?1?82，∴12?k?16，∴在區(qū)間[450,600]上該數(shù)列中能被5整

5(a61?a81)?2650． 除的項共有5項即第61,66,71,76,81項，其和S?2∴ 該數(shù)列在[450,600]上有25項, 其和Sn?

五．課后作業(yè)：《優(yōu)化設(shè)計》基礎(chǔ)過關(guān)題

六．教學(xué)反思：

１．掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和前n項和的公式并應(yīng)用解題．

２．善于靈活運用等差中項和等比中項的性質(zhì)．

３．在求解數(shù)列問題時要注意運用函數(shù)思想，方程思想和整體消元思想．

第三章 數(shù)列——第2課時：等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算

第五篇：等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明方法

等差數(shù)列與等比數(shù)列的證明方法

高考題中，有關(guān)證明、判斷數(shù)列是等差（等比）數(shù)列的題型比比皆是，如何處理這些題目呢？

證明或判斷等差（等比）數(shù)列的方法常有四種：定義法、等差或等比中項法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法。

一、定義法

10.證明數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件的方法：

an?1?an?d(常數(shù))??an?是等差數(shù)列

a2n?2?a2n?d(常數(shù))??a2n?是等差數(shù)列

a3n?3?a3n?d(常數(shù))??a3n?是等差數(shù)列

20.證明數(shù)列是等差數(shù)列的充分條件的方法：

an?an?1?d(n?2)??an?是等差數(shù)列

an?1?an?an?an?1(n?2)??an?是等差數(shù)列

30.證明數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件的方法：

an?1?q(q?0且為常數(shù)，a1?0)??an?為等比數(shù)列 an

40.證明數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件的方法：

an?q（n>2，q為常數(shù)且≠0）??an?為等比數(shù)列 an?

1注意事項：用定義法時常采用的兩個式子an?an?1?d和an?1?an?d有差別，前者必須加上“n≥2”，否則n?1時a0無意義，等比中一樣有：n≥2時，有（常數(shù)?0）；②n?N?時，有an?1． ???q（常數(shù)?0）anan???qan?1

例1.設(shè)數(shù)列a1,a2,?,an,?中的每一項都不為0。

證明：?an?為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何n?N，都有

111n。?????a1a2a2a3anan?1a1an?1

證明：先證必要性

設(shè){an}為等差數(shù)列，公差為d，則

當(dāng)d=0時，顯然命題成立 當(dāng)d≠0時，∵

11?11?

???? anan?1d?anan?1?

∴

再證充分性：

∵

1n111

???① ??????

an?an?1a1?an?1a1?a2a2?a3a3?a

411n?1111

???② ???????

an?an?1an?1?an?2a1?an?2a1?a2a2?a3a3?a4

∴

②﹣①得：

1n?1n ??

an?1?an?2a1?an?2a1?an?1

兩邊

anan?1a1得：a1?(n?1)an?1?nan?2 ???③

同理：a1?nan?(n?1)an?1???④ ③—④得：2nan?1?n(an?an?2)

即：an?2?an?1?an?1?an?an?為等差數(shù)列

例2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，試證{an}為等差數(shù)列的充要條件是

Sn?

n(a1?an),(n?N*)。

2證：?）若{an}為等差數(shù)列，則

a1?an?a2?an?1?a3?an?2?……，故

2Sn?(a1?an)?(a2?an?2)?.......?(an?a1)

Sn(a1?an)

n?

（?）當(dāng)n≥2時，由題設(shè)，Sn?1)(a1?an?1)n(a1?an?1

?

(2,Sn)

n?2

所以a(a1?a2)(n?1)(a1?an?1)n?Sn?Sn?1?

n2?2

同理有a?1)(a1?an?1)n(a1?ann?1?

(n2?)

從而a(n?1)(a1?an?1)(n?1)(a1?an?1?an?

2?n(a?an?1)

1n)?2

整理得：an+1－an=an－an－1，對任意n≥2成立.從而{an}是等差數(shù)列.例3.已知數(shù)列?an?是等比數(shù)列（q??1），Sn是其前n項的和，Sk，S2k?Sk，S3k?S2k，?，仍成等比數(shù)列。

證明一：

（1）當(dāng)q=1時，結(jié)論顯然成立；（2）當(dāng)q≠1時，Sa1?1?qk??1?q2k?a1?1?q3k?k?

1?q,S2k?

a11?q,S3k?

1?q

S?q2k?a1?1?qk?a1qk?1?qk?2k?Sk?

a1?11?q

?

1?q

?

1?q 3kSa1?1?q?1?1?q2k?a1q2k?1?qk?3k?S2k?

1?q

?

a1?q

?

1?q

2kk2

??S2

1q2?1?q?Sa1?1?qk?a1q2k?1?qk?a22k1q?1?2k?Sk??

a(1?q)2

k?(S3k?S2k)?1?q?1?q

?qk?

(1?q)2

∴?S2

2k?Sk?

=Sk?(S3k?S2k)

∴Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比數(shù)列.則

證明二：S2k－Sk=(a1?a2?a3??a2k)－(a1?a2?a3??ak)=ak?1?ak?2?ak?3??a2k=qk(a1?a2?a3??ak)=qkSk?0 同理，S3k－S2k=a2k?1?a2k?2?a2k?3??a3k= q2kSk?0 ∴Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比數(shù)列。

二、中項法

(1).(充要條件)

若2an?1?an?an?2??an?是等差數(shù)列

(注：三個數(shù)a,b,c為等差數(shù)列的充要條件是:2b?a?c)(充分條件)2an

?an?1?an?1(n?2)?{an}是等差數(shù)列，（2）.(充要條件)

若 anan?2?an?12(an?0)?{an}是等比數(shù)列(充分條件)

2an?an?1?an?1（n≥1）

?{an}是等比數(shù)列，注:

b?(a?c?0)?是a、b、c等比數(shù)列的充分不必要條件

b??是a、b、c等比數(shù)列的必要不充分條件

.b?(a?c?0)?是a、b、c等比數(shù)列的充要條件.任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項，除非有ac＞0，則等比中項一定有兩個.三、通項公式與前n項和法

1.通項公式法

（1）.若數(shù)列通項an能表示成an?an?b（a，b為常數(shù)）的形式，則數(shù)列?an?是等差數(shù)列。(充要條件)

(2).若通項an能表示成an?cqn(c，q均為不為0的常數(shù)，n?N?)的形式，則數(shù)列?an?是等比數(shù)列．(充要條件)

2.前n項和法

(1).若數(shù)列?an?的前n項和Sn能表示成Sn?an2?bn(a，b為常數(shù))的形式，則數(shù)列?an?是等差數(shù)列；(充要條件)

(2).若Sn能表示成Sn?Aqn?A(A，q均為不等于0的常數(shù)且q≠1)的形式，則數(shù)列?an?是公比不為1的等比數(shù)列．(充要條件)

四、歸納—猜想---數(shù)學(xué)歸納證明法

先根據(jù)遞推關(guān)系求出前幾項，觀察數(shù)據(jù)特點，猜想、歸納出通項公式，再用數(shù)學(xué)歸納法給出證明。

這種方法關(guān)鍵在于猜想要正確，用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟要熟練，從“n?k時命題成立”到“n?k?1時命題成立”要會過渡．

五、反證法

解決數(shù)學(xué)問題的思維過程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理和運算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時會遇到從正面不易入手的情況，這時可從反面去考慮．

六、等差數(shù)列與等比數(shù)列的一些常規(guī)結(jié)論

若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則

（1）數(shù)列{an}{?an}（?為不等于零的常數(shù)）仍是公比為q的等比數(shù)列；（2）若{bn}是公比為q?的等比數(shù)列，則數(shù)列{an?bn}是公比為qq?的等比數(shù)列；（3）數(shù)列?

?1?1

?是公比為的等比數(shù)列；

q?an?

（4）{an}是公比為q的等比數(shù)列；

（5）在數(shù)列{an}中，每隔k(k?N?)項取出一項，按原來順序排列，所得新數(shù)列仍

為等比數(shù)列且公比為qk?1；

（6）若m，n，p(m，n，p?N?)成等差數(shù)列時，am，an，ap成等比數(shù)列；（7）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n均不為零時，則Sn，S2n?Sn，S3n?S2n成等比數(shù)列；（8）若{logban}是一個等差數(shù)列，則正項數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列．

若數(shù)列{an}是公差為d等差數(shù)列，則

（1）{kan?b}成等差數(shù)列，公差為kd（其中k?0，k，b是實常數(shù)）；（2）{S(n?1)k?Skn}，（k?N，k為常數(shù)），仍成等差數(shù)列，其公差為k2d；（3）若{an}{，bn}都是等差數(shù)列，公差分別為d1，d2，則{an?bn}是等差數(shù)列，公差為d1?d2；

（4）當(dāng)數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列時，數(shù)列{lgan}是公差為lgq的等差數(shù)列；

（5）m，n，p(m，n，p?N?)成等差數(shù)列時，am，an，ap成等差數(shù)列．