第一篇：等差數列運算與性質專項訓練

等差數列的運算

1.在等差數列?an?中,a2?2,a3?4,則a10?()

(A)12(B)14(C)16(D)18

2．將含有k項的等差數列插入4和67之間，結果仍成一新的等差數列，并且新的等差數列所有項的和是781，則k的值為()A．20B．21C．22D．24

3．記等差數列{an}的前n項和為Sn，若S2＝4，S4＝20，則該數列的公差d＝ A．7B．6C．3D．2

4．在等差數列{an}中，已知a1＝1，S5＝35，則a8＝________.5設Sn為等差數列?an?的前n項和，若a1?1，公差d?2，Sk?2?Sk?24，則k?()（A）8（B）7（C）6（D）5 ?n－1(n為奇數)6.已知數列an＝?

?n(n為偶數)

等差數列的性質

1．已知Sn為等差數列{an}的前n項和，若a2∶a4＝7∶6，則S7∶S3等于______． 2．在等差數列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，則2a9－a10＝()A．24B．22C．20D．－8

3．已知數列{an}為等差數列且a1＋a7＋a13＝4π，則tan(a2＋a12)的值為()A.3B．±3

D．－3 3

4.在等差數列?an?中, a3?a7?37,則a2?a4?a6?a8?5.等差數列{an}中，2(a1＋a4＋a7)＋3(a9＋a11)＝24，則此數列的前13項之和等于()(A)13(B)26(C)52(D)156

6.如果等差數列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()(A)14(B)21(C)28(D)35

7.在等差數列{an}中，a9＋a11＝10，則數列{an}的前19項之和是.8．設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a2＋a8＝15－a5，則S9等于()A．18B．36C．45D．60

9．在等差數列{an}中，an＜0，a23＋a8＋2a3a8＝9，那么S10等于()A．－9B．－11C．－13D．－15

10．在等差數列{an}中，a1＝2，a2＋a5＝13，則a5＋a6＋a7＝________.11.已知等差數列共有10項，奇數項之和為15，偶數項之和為30，則其公差等于_____ 12.在等差數列?an?中，已知a

A．4

4，則a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100＝()

(A)4 800(B)4 900(C)5 000(D)5 100

S41S8

7.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且.S83S16

8．設等差數列{an}的前 n項和為Sn，若S3＝9，S5＝20，則a7＋a8＋a9＝()

A．63B．45C．36D．27

9．一個首項為23，公差為整數的等差數列，如果前6項均為正數，第7項起為負數，則它的公差為()A．－2B．－3C．－4D．－6 10．等差數列{an}前9項的和等于前4項的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，則k＝________.11．在等差數列{an}中，a1＝2，a2＋a5＝13，則a5＋a6＋a7＝________.12.已知一個數列的通項公式是an

?30?n?n

?a2?a3?a4?a5?20，那么a3

等于（）

D．10

B．5C．8

13.在等差數列?an?中，a?a5?12，那么它的前8

項和S等于（）

．

A．12B．24C．36D．48 14.等差數列{an}中，已知公差d

?12

⑴ 問?60是否是這個數列中的項？

⑵ 當n分別為何值時，an?0，an?0，an?0？ ⑶ 當n為何值時，an有最大值？并求出最大值．，且a1?a3???a99

?60，則a1?a2???a100

?

A．170B．150C．145D．120

15.在遞減等差數列{an}中，若a1＋a100＝0，則其前n項和Sn取最大值時的n值為()(A)49(B)51(C)48(D)50

16.已知等差數列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0；Sn是數列{an}的前n項和，則()(A)S5>S6(B)S5

高三數學文第1頁

求最值

5．等差數列{an}的前n項和滿足S20＝S40，下列結論中正確的是()

A．S30是Sn中的最大值B．S30是Sn中的最小值

C．S30＝0D．S60＝0

9．(2010·廣西南寧模擬)已知{an}是一個等差數列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通項an；

(2)求{an}前n項和Sn的最大值．

6.(2012·保定模擬)在遞減等差數列{an}中，若a1＋a100＝0，則其前n項和Sn取最大值時的n值為()

(A)49(B)51(C)48(D)50

等差數列的證明

8．已知數列{an}的前n項和為Sn，判斷滿足下列條件的數列是否是等差數列：

(1)Sn＝n2；(2)Sn＝n2＋n＋1.等差數列的通向公式

*6．(2011·四川高考)數列{an}的首項為3，{bn}為等差數列且bn＝an＋1－an(n∈N)．若

b3＝－2，b10＝12，則a8＝()

A．0B．3

C．8D．11

10．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且滿足：a2＋a4＝14，S7＝70.(1)求數列{an}的通項公式；

數列?an?的首項為3，?bn?為等差數列且bn?an?1?an(n?N?),若b3??2,b10?12,則a8?（）.（A）0（B）3(C)8（D）11

11.已知數列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2＋an＝2an＋1.(1)求數列{an}的通項公式；

高三數學文第2頁

第二篇：等差數列與等比數列的性質

第24課 等差數列與等比數列的性質

●考試目標主詞填空

1.等差數列的性質.

①等差數列遞增的充要條件是其公差大于0，②在有窮等差數列中，與首末兩端距離相等的和相等.即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?=ak+an+1-k，③在等差數列{an}中，使am+a0=ap+aq成立的充要條件是是等差數列，⑤若數列{an}與{bn}均為等差數列，且m，k為常數，則{man+kbn}Sn=an2+bn+c能表示等差數列前n項和的充要條件是2.等比數列的性質.①在等比數列{an}中，公比為q，其單調性的考察應視a1及q的取值范圍而定.②在有窮的等比數列{an}即：a1an=a2·an-1=a3·an-2=?=ak·an+1-k.

③在等比數列{an}中，使am·a0=ap·ak成立的充要條件是m+n=p+k. ④在等比數列中，每隔相同的項抽出來，依原來的順序構成一個新數列，則此新數列仍是等比數列.?man?⑤若數列{an}與{bn}均為等比數列，m是不等于零的常數，則{m·an·bn}與??仍為等比數列.b?n?

●題型示例點津歸納

【例1】證明下列論斷：

(1)從等差數列中每隔相同的項抽取一些項依原順序構成的新數列仍然是等差數列.(2)從等比數列中每隔相同的項抽取一些項依原順序構成的新數列仍然是等比數列.

【解前點津】等差數列的公差以及等比數列的公比都是已知常數，且每隔k項抽取一個數中的k邊應視為已知正整數，按定義證明即可.【規范解答】(1)設{xn}是公差為d的等差數列，抽取的第一個數為xm，隔k項抽取的第二個數為xm+k，再隔k項抽取的第三個數為xm+2k，依次類推，則新數列的第p項(p≥1)必為xm+(p-1)k ·第p+1項為xm+pk.由通項公式：

∵xm+pk-xm+(p-1)k=x1+(m+pk-1)d-［x1+(m+pk-k-1)d］=(k-1)d是一個p無關的常數，故新數列是一個公差為kd的等差數列.(2)設{yn}是一個公比為q的等比數列，抽取的第一個數為ym，隔k項抽取的第二個數為ym+k，再隔k項抽取的第三個數為ym+2k，依次類推，則新數列的第p項(p≥1)必為ym+(p-1)k，第p+1項為ym+pk.由等比數列通項公式： ∵ym?pk

ym?(p?1)ky1?qm?pk?1k==q是一個與p無關的常數.m?pk?k?1y1?q

故新數列是一個公比為qk的一個等比數列.【解后歸納】證明{xn}是一個等差數列，只須證明xn-xn-1=常數即可，類似地，證明{yn}是一個等比數列，只證明yn=常數即可. yn?

1【例2】設x，y，z∈R，3x，4y，5z成等比數列，且

111xz，成等差數列，求?的值.xzxyz

【解前點津】依條件列方程組，從方程組中推導

xz

?之值. zx

?(4y)2?(3x)?(5z)

2xz?

?y=【規范解答】由題意得：?211代入第一個方程消去y得：

x?z?y?x?z

?2xz2xz34(x?z)26416()=15xz?=，故?=.x?z15zx15xz

【解后歸納】因（xz

?)中不含y，故在方程組中，y成為消去的對象.zx

【例3】已知數列{an}滿足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n項之和為Sn，求滿足不等式|Sn-n-6|<的最小正整數n. 12

5【解前點津】構造“新數列”，求出通項公式，注意到3(an+1-1)=-(an-1).【規范解答】由條件得：3(an+1-1)=-(an-1).視為3xn+1=-xn，∵a1-1=8，故新數列{an-1}是首項為8，公比為-的一個等比數列.故：

3??1?n?8?1????

?3???1n-11n-1???=6-6×(-1)n，an-1=8(-)，即an=1+8(-)Sn-n=

333?1?

?1???3?

11?n-1

∴|Sn-n-6|=6×()n <3>250>35?n-1>5.3125

∴n>6從而n≥7.故n=7是所求的最小正整數.

【解后歸納】將一個簡單的遞推公式進行變形，從而轉化為一個等差數列，或一個等比數列的模型.這是一種“化歸”的數學思想.【例4】設{an}為等差數列，{bn}為等比數列，且b1=a1，b2=a2，b3=a3(a1

n??

2+bn)=2+1,試求{an}的首項與公差.【解前點津】設

b2b

=q，則1=2+1.1?qb1

【規范解答】設{an}的公差為d，{bn}的公比為q，則由條件知，b2=b1b3?(a2)2=(a1)·(a3)

a2

=(1+2)(2+1)

a1

(a1+d)

4=a22，a12a22=a1

·(a1+2d)?(a1+d)=|a1(a1+2d)|又b1=(1+q)（22

2+1),故

2a1

42即a1=［a1+(a1+d)2］(2+1)，解關于a1及d的方程組得：a1=-2，d=22-2.

【解后歸納】將所列方程組轉化為關于基本量a1，d的方程，是常規思路.此題是否有另外思路?讀者可自己尋找.●對應訓練分階提升

一、基礎夯實

1.在等比數列{an}中，a9+a10=a(a≠0)，a19+a20=b，則a99+a100等于()

bbb9b10

A.8B.()C.9D.()10

aaaa

2.已知等差數列{an}中，|a3|=|a9|,公差d<0，則使前n項和Sn取得最大值的自然數n是()

A.4和5B.5或6C.6或7D.不存在3.若{an}為一個遞減等比數列，公比為q，則該數列的首項a1和公比q一定為()A.q<0，a1≠0B.a1>0，01 C.q>1，a1<0D.00

4.由公差為d的等差數列a1，a2，a3，?，重新組成的數列a1+a4，a2+a5，a3+a6，?是()A.公差為d的等差數列B.公差為2d的等差數列 C.公差為3d的等差數列D.非等差

5.設2a=3，2b=6，2c=12，則a、b、c()A.是等差數列，但不是等比數列B.是等比數列，但不是等差數列 C.既不是等差數列，又不是等比數列D.既是等差數列，又是等比數列

6.若{an}是等比數列，a4a7=-512，a3+a8=124，且公比q為整數，則a10的值是()A.256B.-256C.512D.-51

27.設{an}是由正數組成的等比數列，且a5·a6=81，那么log3a1+log3a2+log3a3+?+log3a10的值是()A.5B.10C.20D.30

8.在3和9之間插入兩個正數，使前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，則這兩個數的和是()A.1

11111B.12C.13D.14 444

49.在等比數列{an}中，已知對任意自然數n，a1+a2+?+an=2n-1，則a1+a2+?+a2n=()A.(2n-1)2B.1n2n1

(2-1)C.4-1D.(4n-1)3

310.上一個n級的臺階，若每次可上一級或兩級，設上法的總數為f(n)，則下列猜想中正確的是()

A.f(n)=nB.f(n)=f(n-1)+f(n-2)

?n(n?1,2)

C.f(n)=f(n-1)·f(n-2)D.f(n)=?

f(n?1)?f(n?2)(n?3)?

二、思維激活

11.在等差數列{an}中，若Sm=n，Sn=m(Sn為前n項和)且m≠n，則Sm+n

三、能力提高

12.在等差數列{an}中，a1，a4，a25三個數依次成等比數列，且a1+a4+a25=114,求這三個數.13.已知{an}為等差數列，(公差d≠0)，{an}中的部分項組成的數列ak1，ak2，ak13，?，ak，?，n

恰好為等比數列，其中k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+k3+?+kn.14.設f(x)=a1x+a2x2+?+anxn(n為正偶數)，{an}是等差數列，若f(1)=(1)求an；(2)求證：f（1nn(n+1)，f(-1)=. 22)<2. 2

15.數列{an}的前n項和Sn=100n-n2(n∈N).(1){an}是什么數列?

(2)設bn=|an|，求數列|bn|的前n項和.第3課等差數列與等比數列的性質習題解答

1.A先求a1與公比q.2.B∵d<0，∴a3>a9，∴a3=-a9.3.B分別考察a1>0與a1<0兩種情況.4.B∵(an+an+3)-(an-1+an+2)=(an-an-1)+(an+3-an+2)=d+d=2d.5.A∵62=3×12，∴(2b)2=2a·2c?2b=a+c且b2≠ac.6.C∵a4a7=a3a8=-512，a3+a8=124，∴a3，a8是x2-124x-512=0的兩根.解之：a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4?q=-2或-

但q=-不合題意，∴a10=a8·q2=512.22

7.C其值為log3(a1a2?a10)=log3(a1a10)·(a2a9)?(a5a6)=log3(a5a6)5=5log3(a5·a6)=5log381=20.9?

x???x2?3y?2??8.A設這兩個正數為x，y，由題意可得：?.272y?x?9??y??4?

9.D∵Sn=2n-1，∴an+1=Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n，又a1=S1=21-1=1=21-1，∴an=2n-1.10.D每次可上一級或兩級，故需分段考慮.11.Sm+n=-(m+n)運用公式求和.2?a4?(a1?3d)2?a1(a1?24d)?a1?a25

??12.設公差d，依題意得：??

?a1?a4?a25?114?3a1?27d?114

?a4?38?a4?a1?3d?2?3?4?14?a1?38?a1?2

或?，或????

a?38a?a?24d?2?24?4?98d?0d?4?25??1?25

∴這三個數是38，38，38或2，14，98.

13.∵a1，a5，a17成等比數列，∴(a1+4d)2=a1(a1+16d)?d=

aa11，an=a1(n+1)，a5=a1+4d=3a1，∴q=5

22a1

=3，akn=

k?11

a1(kn+1)?akn=a1·qn-1=a1×3n-1，∴na1=a1×3n-1，∴kn=2×3n-1-1?k1+k2+k3+?22

n-1

2(1?3n)

+kn=2(1+3+9+?+3)-n= =3n-n-1.(1?3)?n

14.(1)設{an}的公差為d，則f(1)=a1+a2+?+an=d=1，由na1+

1nn

n(n+1)，f(-1)=-a1+a2-a3+a4+?-an-1+an=d=，∴222

n(n?1)n(n?1)

?得a1=1，∴an=n. 22

2n

1123111111?n(2)f()=+2+3+?+?(1-)]f()=+2+3+?+n+n?1

22222222222

兩式相減：

1??

1???1n

1111n?2n?nf()=1++2+?+n?1-n=-n=2-2n?1-2n<2. 22222?1?2

?1???2?

15.(1)an=Sn-Sn-1=(100n-n2)-［100(n-1)-(n-1)2］=101-2n(n≥2)，∵a1=S1=100×1-12=99=101-2×1，∴數列{an}的通項公式為an=101-2n又∵an+1-an=-2為常數.∴數列{an}是首項為a1=99，公差d=-2的等差數列.(2)令an=101-2n≥0得n≤50(n∈N*)，①當1≤n≤50時，an>0，此時bn=|an|=an，所以{bn}的前n項和Sn′=100n-n2且S50′=100×50-502=2500，②當n≥51時，an<0，此時bn=|an|=-an由b51+b52+?+bn=-(a51+a52+?+an)=-(Sn-S50)=S50-Sn得數列{bn}前n項和為Sn′=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn=2×2500-(100n-n2)=5000-100n+n2.?(n?N*,1?n?50)?100n?n

由①②得數列{bn}的前n項和為Sn′=?.2*

?(n?N,n?51)?5000?100n?n

第三篇：等差數列的性質(定稿)

等差數列的性質

1．數列

為等差數列，則a3=

2．設x，a1，a2，a3，y成等差數列，x，b1，b2，b3，b4，y成等差數列，則的值是

第四篇：等差數列的性質總結

1.等差數列的定義式：an?an?

12．等差數列通項公式：

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)，首項:a1，公差:d，末項:an

a?am推廣： an?am?(n?m)d．從而d?n； n?m

3．等差中項

（1）如果a，A，b成等差數列，那么A叫做a與b的等差中項．即：A?

（2）等差中項：數列?an?是等差數列?2an?an-1?an?1(n?2,n?N+)?2an?1?an?an?

24．等差數列的前n項和公式：

n(a1?an)n(n?1)d1Sn??na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222

（其中A、B是常數，所以當d≠0時，Sn是關于n的二次式且常數項為0）

特別地，當項數為奇數2n?1時，an?1是項數為2n+1的等差數列的中間項

S2n?1?a?b或2A?a?b 2等差數列性質總結（n?2）； ?d（d為常數）?2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（項數為奇數的等差數列的各項和等于項數乘以中間項）

5．等差數列的判定方法

（1）定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數n?N?)? ?an?是等差數列．

（2）等差中項：數列?an?是等差數列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2．⑶數列?an?是等差數列?an?kn?b（其中k,b是常數）。

（4）數列?an?是等差數列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常數）。

6．等差數列的證明方法

定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數n?N?)? ?an?是等差數列 等差中項性質法：2an?an-1?an?1(n?2，n?N?)．

7.提醒：

（1）等差數列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。

（2）設項技巧：

①一般可設通項an?a1?(n?1)d

②奇數個數成等差，可設為?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差為d）； ③偶數個數成等差，可設為?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差為2d）

8.等差數列的性質：

（1）當公差d?0時，等差數列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關于n的一次函數，且斜率為公差d；

n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關于n的二次函數且常數項為0.前n和Sn?na1?22

2（2）若公差d?0，則為遞增等差數列，若公差d?0，則為遞減等差數列，若公差d?0，則為常數列。

（3）當m?n?p?q時,則有am?an?ap?aq，特別地，當m?n?2p時，則有am?an?2ap.注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，（4）若?an?、?bn?為等差數列，則??an?b?，??1an??2bn?都為等差數列

-讓夢想起飛，讓成績飛揚！

(5)若{an}是等差數列，則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，?也成等差數列

（6）數列{an}為等差數列,每隔k(k?N*)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等差數列

（7）設數列?an?是等差數列，d為公差，S奇是奇數項的和，S偶是偶數項項的和，Sn是前n項的和

。當項數為偶數2n時，S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?n?a1?a2n?1??nan

2n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1 2

S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an??nd

S偶

S奇?nan?1an?1 ?nanan

。當項數為奇數2n?1時，則

?S偶n?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1 ?????S奇?S偶?an+1S奇n?1?S偶?nan+1???

（其中an+1是項數為2n+1的等差數列的中間項）．

（8）{bn}的前n和分別為An、Bn，且

則An?f(n)，nan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1).nn2n?1

（9）等差數列{an}的前n項和Sm?n，前m項和Sn?m，則前m+n項和Sm?n???m?n? an?m,am?n,則an?m?0

(10)求Sn的最值

法一：因等差數列前n項是關于n的二次函數，故可轉化為求二次函數的最值，但要注意數列的特殊性n?N*。

法二：（1）“首正”的遞減等差數列中，前n項和的最大值是所有非負項之和

?a?0即當a1?0，d?0，由?n可得Sn達到最大值時的n值． ?an?1?0

（2）“首負”的遞增等差數列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。

?an?0即 當a1?0，d?0，由?可得Sn達到最小值時的n值． a?0?n?1

或求?an?中正負分界項

注意：解決等差數列問題時，通常考慮兩類方法：

①基本量法：即運用條件轉化為關于a1和d的方程；

②巧妙運用等差數列的性質，一般地運用性質可以化繁為簡，減少運算量．

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第五篇：高中數學等差數列性質總結

等差數列的性質總結

(一)等差數列的公式及性質

1.等差數列的定義： an?an?1?d（d為常數）（n?2）；

2．等差數列通項公式：

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)，首項:a1，公差:d，末項:an

推廣： an?am?(n?m)d．從而d?

3．等差中項

（1）如果a，A，b成等差數列，那么A叫做a與b的等差中項．即：A?

（2）等差中項：數列?an?是等差數列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?

24．等差數列的判定方法

（1）定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數n?N)? ?an?是等差數列．?an?am； n?ma?b或2A?a?b 2

（2）等差中項：數列?an?是等差數列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2．

⑶數列?an?是等差數列?an?kn?b（其中k,b是常數）。

（4）數列?an?是等差數列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常數）。

5．等差數列的證明方法

定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數n?N)? ?an?是等差數列． ?

6.提醒：

（1）等差數列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。

（2）設項技巧：

①一般可設通項an?a1?(n?1)d

②奇數個數成等差，可設為?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差為d）；

③偶數個數成等差，可設為?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差為2d）

8..等差數列的性質：

（1）當公差d?0時，等差數列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關于n的一次函數，且斜率為公差d；

前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關于n的二次函數且常數項為0.22

2（2）若公差d?0，則為遞增等差數列，若公差d?0，則為遞減等差數列，若公差d?0，則為常數列。

（3）當m?n?p?q時,則有am?an?ap?aq，特別地，當m?n?2p時，則有am?an?2ap.注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，（4）若?an?、?bn?為等差數列，則??an?b?，??1an??2bn?都為等差數列

(5)數列{an}為等差數列,每隔k(k?N)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等差數列 *

(二)．等差數列的前n項和公式：(1)Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 222

2（其中A、B是常數，所以當d≠0時，Sn是關于n的二次式且常數項為0）

特別地，當項數為奇數2n?1時，an?1是項數為2n+1的等差數列的中間項

S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（項數為奇數的等差數列的各項和等于項數乘以中間項）

（2）若{an}是等差數列，則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，?也成等差數列

（3）設數列?an?是等差數列，d為公差，S奇是奇數項的和，S偶是偶數項項的和，Sn是前n項的和

1.當項數為偶數2n時，S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?n?a1?a2n?1??nan

2n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1 2

S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an?=nd

S奇nana??n S偶nan?1an?

12、當項數為奇數2n?1時，則

?S奇n?1?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1 ?????S奇?S偶?an+1S偶n???S偶?nan+1?

（其中an+1是項數為2n+1的等差數列的中間項）．

（4）?an?、{bn}的前n和分別為An、Bn，且

則

（5）等差數列{an}的前n項和Sm?n，前m項和Sn?m，則前m+n項和Sm?n???m?n?

(6)求Sn的最值

法一：因等差數列前n項和是關于n的二次函數，故可轉化為求二次函數的最值，但要注意數列的特殊性An?f(n)，nan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1).nn2n?1n?N*。

法二：（1）“首正”的遞減等差數列中，前n項和的最大值是所有非負項之和

?an?0即當a1?0，d?0，由?可得Sn達到最大值時的n值． a?0?n?1

（2）“首負”的遞增等差數列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。

即 當a1?0，d?0，由?

或求?an?中正負分界項 ?an?0可得Sn達到最小值時的n值． ?an?1?0

法三：直接利用二次函數的對稱性：由于等差數列前n項和的圖像是過原點的二次函數，故n取離二次函數對稱軸最近的整數時，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對稱軸為n?

注意：解決等差數列問題時，通常考慮兩類方法：

①基本量法：即運用條件轉化為關于a1和d的方程；

②巧妙運用等差數列的性質，一般地運用性質可以化繁為簡，減少運算量．

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