第一篇：類比探究等差數列和等比數列的性質

類比探究等差數列和等比數列的性質

上海市桐柏高級中學李淑艷 馬莉

上海市普陀區教育學院劉達

一、案例背景

本課的教學內容是上海市高中課本《數學》（華東師范大學出版社）高中二年級第二學期《數列與數學歸納法》章節的數列性質探究課。

上海市《中小學數學課程標準（試行稿）》提出：普通中小學課程的基本觀念是以學生發展為本，堅持全體學生的全面發展，關注學生個性的健康發展和可持續發展。并指出：“關注學生學習的過程，通過創設學習情境，開發實踐環節和拓寬學習渠道，幫助學生在學習過程中體驗、感悟、建構并豐富學習經驗，實現知識傳承、能力發展、積極情感形成的統一”。在顧泠沅博士的“三個階段、二次反思、行動跟進”的行動教育研究模式下。本課例從“背景研究”，“教學實踐”和“評價反思”，都是在“以學定教”原則的基礎上的。從教材體系來看，等比數列概念的學習就滲透類比的研究方法，鑒于學生的實際水平及樂于思考新問題的特點，我們設置了有一定層次的供類比的數列問題，同時也對學生學習過程可能出現的情況進行了預測。同時根據學生目前現狀，以及教材內容收集、整理、提煉利用類比的思想方法，研究數列中問題等有關素材，在自我理解的層面上設計教學目標、教學思路及手段、教學過程，先進行第一次教學嘗試，然后進行反思；再請專家、教研員、教研組長、全體組員在聽取本人的設計初衷及反思后進行全方位的再設計與指導，而后開設公開課進行教研，在系統評價的基礎上，再進行第二次實踐；第三次看目標的達成度與教師理念的轉變、教學經驗與教訓的總結。我們就是按照這種“行動教育”模式開展課堂教學研究的。

二、目標分析

本課教學目標的確定圍繞著“類比——發現——自悟”的研究性學習課堂教學模式。探索如何運用研究性學習的學習模式在《等差數列和等比數列的性質探究》教學中融合類比的本課希望通過“類比——發現——自悟”的教學模式，引導學生體會類比在數學教學中的三個維度：“一維——知識結構上的類比；二維——證明方法上的類比；三維——學生自主的理性思想方法的類比。”

三、教學流程

首先通過科學事實——魯班造鋸的典故引入類比思想，然后提出第一維問題（以回顧的通過這一回顧，學生能從“第一維”層面上開展類比學習，體會等差數列和等比數列在概念形式上的相似之處。

在基本認識了類比探究方法之后，教師通過問題提升本節探究課活動性和探究性，設置了若干性質探究的問題供學生思考。

問題1：在等差數列?an?中，若項數數列?kn?是等差數列(kn?N)，則akn仍是等差數

列。

類比：若?an?是等比數列，當?kn?(kn?N)是________數列時，akn是________數列。

問題一是在學生已掌握“數列?an?是等差數列，對?an?中下角標成等差數列的項也成等差數列”這一性質后，將“文字語言”轉化成“符號語言”，讓學生來類比等比數列中相應的性質，并加以證明。學生一方面從形式上加以類比，另一方面，從證明方法上也進行類比證明。這樣的問題，在學生理解性質后，初步體驗了發現問題并解決問題的“類比”方法。

問題一結束后，啟發引導學生如何類比并得到正確結論？經歷運用類比思想方法研究數列問題的過程。

問題2：有一位同學發現：若?an?為等差數列，則?an?1?an?也成等差數列。由此經過類比，他猜想：若?an?為等比數列，則?an?1?an?、?an?1?an?也為等比數列。你認為呢？

問題二是一道開放性問題，有近85%的學生最初得到了?an?1?an?、?an?1?an?也為等比數列，并有部分同學給予了“證明”。學生初步感覺到“和”與“積”的類比，“差”與“商”的類比。此時，教師再拋出一個問題：“積”為等比數列，那么“和”呢？在你證明完“積”為等比數列后能說明“和”不是等比嗎？對于這一問題，學生根據前面兩個問題的解決已經隱約體驗到類比不但是形式上的模仿，其證明方法、考慮角度也可進行類比，說明這種思考問題的方法已不自覺地納入他們的思維體系之中，下面是一段課堂實錄：

師：對剛才問題，同學可以得到什么結論？

生1：我判斷并證明了等比數列的“和”仍然是等比數列，且公比什q。

（師環視四周，似乎每個人都投以贊同的目光，并且頻繁點頭表示同意）。

生2：我有點不同意（全班只有他一人有不同意見），我覺得，對數列-1，1，-1，1，?這個數列來說，其和不是等比數列。（此時全班恍然，都認為是正確的）

師：我們來看一下生1的證明過程（投影儀）： ?????an?1?ana(q?1)?n?（常數）q，an?an?1an?1(q?1)

??an?1?an?是等比數列。你們看證明過程嚴密嗎？

生3：當q=－1時，他的第二步不成立。（此時同學們又都給予肯定）。

師：答得好。本來我們不知道這一反例，但在證明過程中發現了問題的存在，由此找到了反例，說明同學們在發現問題時，能夠進行大膽猜想、小心論證的嚴密的科學態度。

師：學到這里，你有什么樣的感受呢？

生4：在等差數列和等比數列的類比中，我發現除了形式上存在著類比之外，正確的要加以證明，錯誤的可以舉出反例。

生5：我感到就算是類比的結論在形式上未必一致，但證明方法有相似之處。

這番交流的過程中，學生的思維幾經“沖浪”輾轉，他們的好奇心和探索熱情已被喚起，嚴謹的數學發現歷程正在探索中內化著。

問題3：一位同學發現：若Sn是等差數列?an?的前n項和，則Sk,S2k?Sk,S3k?S2k也是等差數列。在等比數列中是否也有這樣的結論？為什么？

問題4：我們知道對于等差數列?an?，a1?a2?a3???an?na1?n(n?1)d成立。通過

2類比，嘗試發現等比數列中的相似結論并給予證明.問題三的設計和問題四是結合在一起的，設計問題三的時候考慮到學生有可能只能通過證明找到反例從而得出Sk,S2k?Sk,S3k?S2k不成等比數列的結論，而對類比的結論有困難，甚至會有同學得出Sk,S2kS3k成等比數列的結論。對于問題四，可以將問題三溝通起,SkS2k

來探索。經過討論、形式上類比、對結論進行論證。我們可以在學生最終明確結論后再回到問題三，讓同學們進一步思考并指出“Sk,S2kS3k成等比數列”的說法雖然不對，但在“類,SkS2k

比——發現”的探究過程中也有不少新的收獲。繼而提問：如何改動使得結論成立？這個過程，將“類比——發現——自悟”模式的核心——學生在思維上經過反復的類比、驗證，自我領悟并掌握類比的思想方法——完全體現在了教學過程中。

四、教學反思

第一次教學之后，在教研員、教研組長等老師的指導下，總結了以下一些不足：

1．在教學設計時，偏向于行形式上類比，盡管在形式上的類比達成度較高，但反映在數學實質上的內容偏少；

2．問題之間的聯系不是很好，問題似乎有些孤立；

3．題目偏多；

為此，教師在教學設計的調整過程中關注了這兩個方面：

1．為將“類比——發現——自悟”的模式更加清晰地在教學中體現，教師的教學設計由重形式向重思維方式轉變；

2．精選例題，設計的數學問題關注一題多變、多題環環相扣的連鎖關系，同時體現思維“嚴密性”，并且搭建腳手架，幫助學生努力實現“發現——自悟”的過程。

在公開課教學之后，聽課老師以及學科組的專家在一起再次開展了評課探討，結合教師的反思總結如下：

1．本堂課是等差數列與等比數列性質的類比，在學生經歷了類比的學習后，能夠體會：從形式上得到類比的特征，從本質上體驗思維的過程，了解類比不僅是形式上的“相似”，而是從相似中得到結論，再由論證使之成為類比。這樣的教學模式，有利于激發學生的思維，使學生在辯證中掌握類比的思想方法。

2．本堂課知識目標的達成度較好，學生能夠基本掌握類比的特征，但學習過程中教師沒有刻意地總結、引導，學生在探究過程中以體驗為主，只是學生對于“類比——發現——自悟”的探究方式仍略顯模糊，需要今后不斷嘗試采用類似地教學方法促進學生的研究性學習方式的形成。

3．教師在平時應時時具備二期課改的理念，重視學生的思維活動。比如，在問題二中，有學生提出反例：在數列-1，1，-1，1，-1，1，?中，an?1?an?0，所以?an?1?an?不是等比數列。教師應加以表揚，并緊接著提問：你是怎樣想到這個反例的，你能得出什么樣的規律？如果這位學生不能回答清楚的，可以再回顧他們的證明過程，從中尋找問題所在。這樣不但順應了學生的思維結構，而且在老師的點撥下，學生能進一步更深層次地考慮問題，從而為問題三打下伏筆。

4．在學生有困難的地方可以預先做準備工作，這樣可以使這堂課的達成度更高。比如，在問題三中，Sk,S2k?Sk,S3k?S2k是非常抽象的，它牽涉到子數列的問題，而且在原設計中是“數列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,?,S(k?1)n?Skn是等差數列，請同學在等比數列中進行類比”，但由于證明過于抽象，學生不容易理解，因此改為上述形勢，而且考慮如果在課前能舉一些例子，滲透子數列的概念，學生理解起來也許更容易。

因此在下一堂的課中，作了如下改進：

1．在等差數列復習中，將問題2、3在等差數列中的情況進行證明，再事先將等差數列的證明打在幻燈片上，如果在課堂中學生在證明等比數列的過程中遇到困難的話，就可以把等差數列的證明顯示給他們看，從而使他們體驗到證明的方法也可以進行類比，更加凸顯類比的本質特征。事實上，在本堂課中也達到了這樣的目的，學生的掌握度也更好了。如：在證明問題3的時候，有的同學利用前n項和公式證明較為繁瑣，而有的同學很快就得出結論，她說：“證明是類比等差數列的思路和步驟，結論是類比問題二得出的。”這就充分說明她已經掌握了類比的本質，表明經歷幾次設計問題并逐步解決、探索，學生正體驗著數學思想和方法，領悟其價值，滋生應用意識。

2．因為問題2和問題3是同類型的問題，尤其是它們的證明以及在證明過程中發現反例的這一思路是相近的，所以為了提高課堂效率，這里就采取分組的方法，請兩組同學解決問題二，另兩組同學解決問題三，再進行討論總結。實施下來，時間縮短了，而且有了比較，同學的積極性也提高了，大大地提高了課堂的效率。并且把原先在上課時來不及解決的推論解決了，使得學生的思維得到延伸，而且使學生對類比的本質特征有了理性上的認識，從而達到了第三維：學生自主的理性思想的類比。

通過“類比——發現——自悟”的初步實施，學生在自主的學習和探究過程中體驗知識發生的過程，通過對產生的見解的辯論進行了思維方式的轉變，使得學習方法得到了改善，為他們今后的學習帶來了信心和嚴謹的思維方式，其效果應該說是顯見的。教師方面，我們得到的感受是：教學理念得到了很大的提升，尤其對于“類比——發現——自悟”的研究性學習課堂教學模式的初步應用的效果啟發我們在平時的教學中應多為學生創設學習氛圍和問題情境，教學設計應多從學生的認知基礎和原有的知識結構出發，幫助學生在學習過程中體驗、感悟學習經驗。另外，用先進理念和經驗指導教學，能使自己不斷加深對課改理念的理解，并逐漸內化為自身的教學風格，促進自身業務水平的提高。

參考資料：

[1] 廖哲勛：關于課堂教學案例開發的理性思考——《中學數學教學參考》2003.6

[2] 鄭毓信：《數學方法論》 廣西教育出版社1998.5

第二篇：等差、等比數列性質類比

等差、等比數列知識點

一、等差數列：

1.等差數列的證明方法：1.定義法：2．等差中項：對于數列則{an}為等差數列。2.等差數列的通項公式：

?an?，若2an?1?an?an?

2an?a1?(n?1)d------該公式整理后是關于n的一次函數

Sn?

n(a1?an)n(n?1)

2Sn?na1?dS?An?Bn n223.等差數列的前n項和 1．2.3.a?bA?

2或2A?a?b 4.等差中項: 如果a，A，b成等差數列，那么A叫做a與b的等差中項。即：

5.等差數列的性質:（1）等差數列任意兩項間的關系：如果

an是等差數列的第n項，am是等差

a?am?(n?m)d

數列的第m項，且m?n，公差為d，則有n

（2）.對于等差數列

?an?，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq。

*??SSS?Sk，S3k?S2kak?Nnn（3）若數列是等差數列，是其前n項的和，那么k，2k

S3k

?????????????????????????a1?a2?a3???ak?ak?1???a2k?a2k?1???a3k???????????????????????

成等差數列。如下圖所示：

（4）．設數列

SkS2k?SkS3k?S2k

?an?是等差數列，S奇是奇數項的和，S偶是偶數項項的和，Sn是前n項的和，S偶?S奇?

S奇n?n?1dS?S?a偶中，S偶n.2，○2當n為奇數時，則奇

則有如下性質： ○1當n為偶數時，二、等比數列：

1.等比數列的判定方法:①定義法若數列。

an?

1?q(q?0)an

2an?是等比aa?ann?2n?1，則數列?②等比中項：若

n?1

??aa?aqqann12.等比數列的通項公式:如果等比數列的首項是1，公比是，則等比數列的通項為。

3.等比數列的前n項和:○1

Sn?

a1(1?qn)

(q?1)

1?q

○

2Sn?

a1?anq

(q?1)

1?q

○3當

q?1時，Sn?na1 ?ab。

4.等比中項:如果使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項。那么G5.等比數列的性質:

（1）．等比數列任意兩項間的關系：如果

an是等比數列的第n項，am是等差數列的第m項，且m?n，qan?amqn?m

公比為，則有

（2）對于等比數列?an?，若n?m?u?v，則an?am?au?av也就是：a1?an?a2?an?1?a3?an?2???。

（3）．若數列?an?是等比數列，Sn是其前n項的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比數

????????????S?3k????????????a?1??a?2??a?3??????a?k?a?k??1???????a?2k?a?2k??1???????a?3k

列。如下圖所示：SkS2k?SkS3k?S2k

基礎練習

一、選擇題：

1．已知｛an｝為等差數列，a2+a8=12,則a5等于（）

(A)4(B)5(C)6(D)7

2．設｛an｝是公比為正數的等比數列，若a1?1,a5=16,則數列｛an｝前7項的和為（）

A.63B.64C.127D.128

3.設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3?9，S6?36，則a7?a8?a9?（）

A．63B．45C．36D．274、設等比數列{an}的公比q?2，前n項和為SS

4n，則a?（）

A.2B.4 C.15D.17

25.某種細菌在培養過程中,每20分鐘分裂一次(一個分裂為兩個).經過3個小時,這種細菌由1個可繁殖成-（A.511個B.512個C.1023個D.1024個

6．已知等差數列｛an｝中，a2=6, a5=15.若bn=a2n,則數列｛bn｝的前5項和等于（）

(A)30（B）45(C)90(D)186

7．已知數列?an?*

對任意的p，q?N滿足ap?q?ap?aq，且a2??6，那么a10等于（）

A．?165B．?33C．?30D．?2

18．設{an}是等差數列，若a2?3,a7?13，則數列{an}前8項和為（）

Ａ．128Ｂ．80Ｃ．64Ｄ．56

9．設｛an｝是公比為正數的等比數列，若a1＝1,a5=16,則數列｛an｝前7項的和為（）

A.63B.64C.127D.128

10．記等差數列?an?的前n項和為Sn，若S2?4，S4?20，則該數列的公差d=（）

A．7B.6C.3D.2

11．記等差數列?an?的前n項和為Sn，若a1?1

2，S4?20，則S6?()

A．16B.24C.36D.48

a2,aa1?

1?n?1?n?ln

12．在數列?an??中，??1?n??，則an＝（）

2)

A．2?lnnB．

二、填空題：

1．等差數列{an}中，a5=24，S5=70，則S10=___

2．等比數列{an}的前n項和為Sn=32??n?1?lnnC．2?nlnnD．1?n?lnn +t，則t=________

3．等比數列{an}中，an>0，a2·a4+2a3·a5+a4·a6=25，則a3+a5=_______

4．設{an}中，an=20－4n，則這個數列前__或____項和最大。

5．已知：兩個等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為An和Bn，且An?3n?1 n

Bn2n?

3求：（1）a15b15=_________（2）an=___________ bn

6.等差數列{an}的公差d?1，且前100項和S100=100,則a1+a3 +a5+…a99=__

27．在[1000，2000]內能被3整除且被4除余1的整數個數是________________

8．在數列{an}在中，an?4n?52*2，a1?a2??an?an?bn，n?N,其中a,b為常數，則ab?

52an?4n?{a}a?a??a?an?bn，n?N*,其中a,b為常數，則2n2，19．在數列n在中，lin??an?bnan?bn的值是_____________

10．已知{an}為等差數列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，則a5 = ____

三、解答題：

1．已知數列

n項和

11111S與SSS與S43453a設Snn345342.是等差數列的前n項和，已知的等比中項為，的等差中項為1，{an}是一個等差數列，且a2?1，a5??5。（1）求{an}的通項an；（2）求{an}前Sn的最大值。??

求數列

?an?的通項．

3.等差數列{an}的前n

項和為Sn，a1?1S3?9?求數列{an}的通項an與前n項和Sn；

4.等差數列?an?中，a4?10且a3，a6，a10成等比數列，求數列?an?前20項的和S20．

第三篇：等差數列與等比數列的性質

第24課 等差數列與等比數列的性質

●考試目標主詞填空

1.等差數列的性質.

①等差數列遞增的充要條件是其公差大于0，②在有窮等差數列中，與首末兩端距離相等的和相等.即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?=ak+an+1-k，③在等差數列{an}中，使am+a0=ap+aq成立的充要條件是是等差數列，⑤若數列{an}與{bn}均為等差數列，且m，k為常數，則{man+kbn}Sn=an2+bn+c能表示等差數列前n項和的充要條件是2.等比數列的性質.①在等比數列{an}中，公比為q，其單調性的考察應視a1及q的取值范圍而定.②在有窮的等比數列{an}即：a1an=a2·an-1=a3·an-2=?=ak·an+1-k.

③在等比數列{an}中，使am·a0=ap·ak成立的充要條件是m+n=p+k. ④在等比數列中，每隔相同的項抽出來，依原來的順序構成一個新數列，則此新數列仍是等比數列.?man?⑤若數列{an}與{bn}均為等比數列，m是不等于零的常數，則{m·an·bn}與??仍為等比數列.b?n?

●題型示例點津歸納

【例1】證明下列論斷：

(1)從等差數列中每隔相同的項抽取一些項依原順序構成的新數列仍然是等差數列.(2)從等比數列中每隔相同的項抽取一些項依原順序構成的新數列仍然是等比數列.

【解前點津】等差數列的公差以及等比數列的公比都是已知常數，且每隔k項抽取一個數中的k邊應視為已知正整數，按定義證明即可.【規范解答】(1)設{xn}是公差為d的等差數列，抽取的第一個數為xm，隔k項抽取的第二個數為xm+k，再隔k項抽取的第三個數為xm+2k，依次類推，則新數列的第p項(p≥1)必為xm+(p-1)k ·第p+1項為xm+pk.由通項公式：

∵xm+pk-xm+(p-1)k=x1+(m+pk-1)d-［x1+(m+pk-k-1)d］=(k-1)d是一個p無關的常數，故新數列是一個公差為kd的等差數列.(2)設{yn}是一個公比為q的等比數列，抽取的第一個數為ym，隔k項抽取的第二個數為ym+k，再隔k項抽取的第三個數為ym+2k，依次類推，則新數列的第p項(p≥1)必為ym+(p-1)k，第p+1項為ym+pk.由等比數列通項公式： ∵ym?pk

ym?(p?1)ky1?qm?pk?1k==q是一個與p無關的常數.m?pk?k?1y1?q

故新數列是一個公比為qk的一個等比數列.【解后歸納】證明{xn}是一個等差數列，只須證明xn-xn-1=常數即可，類似地，證明{yn}是一個等比數列，只證明yn=常數即可. yn?

1【例2】設x，y，z∈R，3x，4y，5z成等比數列，且

111xz，成等差數列，求?的值.xzxyz

【解前點津】依條件列方程組，從方程組中推導

xz

?之值. zx

?(4y)2?(3x)?(5z)

2xz?

?y=【規范解答】由題意得：?211代入第一個方程消去y得：

x?z?y?x?z

?2xz2xz34(x?z)26416()=15xz?=，故?=.x?z15zx15xz

【解后歸納】因（xz

?)中不含y，故在方程組中，y成為消去的對象.zx

【例3】已知數列{an}滿足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n項之和為Sn，求滿足不等式|Sn-n-6|<的最小正整數n. 12

5【解前點津】構造“新數列”，求出通項公式，注意到3(an+1-1)=-(an-1).【規范解答】由條件得：3(an+1-1)=-(an-1).視為3xn+1=-xn，∵a1-1=8，故新數列{an-1}是首項為8，公比為-的一個等比數列.故：

3??1?n?8?1????

?3???1n-11n-1???=6-6×(-1)n，an-1=8(-)，即an=1+8(-)Sn-n=

333?1?

?1???3?

11?n-1

∴|Sn-n-6|=6×()n <3>250>35?n-1>5.3125

∴n>6從而n≥7.故n=7是所求的最小正整數.

【解后歸納】將一個簡單的遞推公式進行變形，從而轉化為一個等差數列，或一個等比數列的模型.這是一種“化歸”的數學思想.【例4】設{an}為等差數列，{bn}為等比數列，且b1=a1，b2=a2，b3=a3(a1

n??

2+bn)=2+1,試求{an}的首項與公差.【解前點津】設

b2b

=q，則1=2+1.1?qb1

【規范解答】設{an}的公差為d，{bn}的公比為q，則由條件知，b2=b1b3?(a2)2=(a1)·(a3)

a2

=(1+2)(2+1)

a1

(a1+d)

4=a22，a12a22=a1

·(a1+2d)?(a1+d)=|a1(a1+2d)|又b1=(1+q)（22

2+1),故

2a1

42即a1=［a1+(a1+d)2］(2+1)，解關于a1及d的方程組得：a1=-2，d=22-2.

【解后歸納】將所列方程組轉化為關于基本量a1，d的方程，是常規思路.此題是否有另外思路?讀者可自己尋找.●對應訓練分階提升

一、基礎夯實

1.在等比數列{an}中，a9+a10=a(a≠0)，a19+a20=b，則a99+a100等于()

bbb9b10

A.8B.()C.9D.()10

aaaa

2.已知等差數列{an}中，|a3|=|a9|,公差d<0，則使前n項和Sn取得最大值的自然數n是()

A.4和5B.5或6C.6或7D.不存在3.若{an}為一個遞減等比數列，公比為q，則該數列的首項a1和公比q一定為()A.q<0，a1≠0B.a1>0，01 C.q>1，a1<0D.00

4.由公差為d的等差數列a1，a2，a3，?，重新組成的數列a1+a4，a2+a5，a3+a6，?是()A.公差為d的等差數列B.公差為2d的等差數列 C.公差為3d的等差數列D.非等差

5.設2a=3，2b=6，2c=12，則a、b、c()A.是等差數列，但不是等比數列B.是等比數列，但不是等差數列 C.既不是等差數列，又不是等比數列D.既是等差數列，又是等比數列

6.若{an}是等比數列，a4a7=-512，a3+a8=124，且公比q為整數，則a10的值是()A.256B.-256C.512D.-51

27.設{an}是由正數組成的等比數列，且a5·a6=81，那么log3a1+log3a2+log3a3+?+log3a10的值是()A.5B.10C.20D.30

8.在3和9之間插入兩個正數，使前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，則這兩個數的和是()A.1

11111B.12C.13D.14 444

49.在等比數列{an}中，已知對任意自然數n，a1+a2+?+an=2n-1，則a1+a2+?+a2n=()A.(2n-1)2B.1n2n1

(2-1)C.4-1D.(4n-1)3

310.上一個n級的臺階，若每次可上一級或兩級，設上法的總數為f(n)，則下列猜想中正確的是()

A.f(n)=nB.f(n)=f(n-1)+f(n-2)

?n(n?1,2)

C.f(n)=f(n-1)·f(n-2)D.f(n)=?

f(n?1)?f(n?2)(n?3)?

二、思維激活

11.在等差數列{an}中，若Sm=n，Sn=m(Sn為前n項和)且m≠n，則Sm+n

三、能力提高

12.在等差數列{an}中，a1，a4，a25三個數依次成等比數列，且a1+a4+a25=114,求這三個數.13.已知{an}為等差數列，(公差d≠0)，{an}中的部分項組成的數列ak1，ak2，ak13，?，ak，?，n

恰好為等比數列，其中k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+k3+?+kn.14.設f(x)=a1x+a2x2+?+anxn(n為正偶數)，{an}是等差數列，若f(1)=(1)求an；(2)求證：f（1nn(n+1)，f(-1)=. 22)<2. 2

15.數列{an}的前n項和Sn=100n-n2(n∈N).(1){an}是什么數列?

(2)設bn=|an|，求數列|bn|的前n項和.第3課等差數列與等比數列的性質習題解答

1.A先求a1與公比q.2.B∵d<0，∴a3>a9，∴a3=-a9.3.B分別考察a1>0與a1<0兩種情況.4.B∵(an+an+3)-(an-1+an+2)=(an-an-1)+(an+3-an+2)=d+d=2d.5.A∵62=3×12，∴(2b)2=2a·2c?2b=a+c且b2≠ac.6.C∵a4a7=a3a8=-512，a3+a8=124，∴a3，a8是x2-124x-512=0的兩根.解之：a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4?q=-2或-

但q=-不合題意，∴a10=a8·q2=512.22

7.C其值為log3(a1a2?a10)=log3(a1a10)·(a2a9)?(a5a6)=log3(a5a6)5=5log3(a5·a6)=5log381=20.9?

x???x2?3y?2??8.A設這兩個正數為x，y，由題意可得：?.272y?x?9??y??4?

9.D∵Sn=2n-1，∴an+1=Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n，又a1=S1=21-1=1=21-1，∴an=2n-1.10.D每次可上一級或兩級，故需分段考慮.11.Sm+n=-(m+n)運用公式求和.2?a4?(a1?3d)2?a1(a1?24d)?a1?a25

??12.設公差d，依題意得：??

?a1?a4?a25?114?3a1?27d?114

?a4?38?a4?a1?3d?2?3?4?14?a1?38?a1?2

或?，或????

a?38a?a?24d?2?24?4?98d?0d?4?25??1?25

∴這三個數是38，38，38或2，14，98.

13.∵a1，a5，a17成等比數列，∴(a1+4d)2=a1(a1+16d)?d=

aa11，an=a1(n+1)，a5=a1+4d=3a1，∴q=5

22a1

=3，akn=

k?11

a1(kn+1)?akn=a1·qn-1=a1×3n-1，∴na1=a1×3n-1，∴kn=2×3n-1-1?k1+k2+k3+?22

n-1

2(1?3n)

+kn=2(1+3+9+?+3)-n= =3n-n-1.(1?3)?n

14.(1)設{an}的公差為d，則f(1)=a1+a2+?+an=d=1，由na1+

1nn

n(n+1)，f(-1)=-a1+a2-a3+a4+?-an-1+an=d=，∴222

n(n?1)n(n?1)

?得a1=1，∴an=n. 22

2n

1123111111?n(2)f()=+2+3+?+?(1-)]f()=+2+3+?+n+n?1

22222222222

兩式相減：

1??

1???1n

1111n?2n?nf()=1++2+?+n?1-n=-n=2-2n?1-2n<2. 22222?1?2

?1???2?

15.(1)an=Sn-Sn-1=(100n-n2)-［100(n-1)-(n-1)2］=101-2n(n≥2)，∵a1=S1=100×1-12=99=101-2×1，∴數列{an}的通項公式為an=101-2n又∵an+1-an=-2為常數.∴數列{an}是首項為a1=99，公差d=-2的等差數列.(2)令an=101-2n≥0得n≤50(n∈N*)，①當1≤n≤50時，an>0，此時bn=|an|=an，所以{bn}的前n項和Sn′=100n-n2且S50′=100×50-502=2500，②當n≥51時，an<0，此時bn=|an|=-an由b51+b52+?+bn=-(a51+a52+?+an)=-(Sn-S50)=S50-Sn得數列{bn}前n項和為Sn′=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn=2×2500-(100n-n2)=5000-100n+n2.?(n?N*,1?n?50)?100n?n

由①②得數列{bn}的前n項和為Sn′=?.2*

?(n?N,n?51)?5000?100n?n

第四篇：等差數列和等比數列的中項性質的拓展

等差數列和等比數列的中項性質的拓展

———福貢縣第一中學楊豪

摘要：等差數列和等比數列的中項性質是高中數學中的一個重要內容，也是高考數學命題的一個熱點。如果我們從本質上揭示等差數列和等比數列的中項性質的內涵，那么，不僅會給我們提升對數列特征的學習有所幫助，也會為進一步培養學生的邏輯推理能力有一定好處。

關鍵詞：等差數列和等比數列 〃中項性質 〃拓展

從特殊入手，研究數學對象的性質，再逐步推廣到一般是數學常用的研究方法。我們下面從等差數列和等比數列中項性質出發，推導出其角標性質。有利于提高我們對等差數列、等比數列的認識，一、內容介紹

等差數列和等比數列的角標性質——數列中任意序數和相等的兩項之間的關系。

（一）等差數列中項

1、概念與內容

由三個數a、A、b組成等差數列，這時，A叫做a與b的等差中項，即2A=a+b 或A=a?b

2〃

2、拓展與提升

若等差數列?an?中的項ap、aq、ar、as（p、q、r、s?N*）且滿足p+q=r+s，則有ap+aq=ar+as成立。

即等差數列?an?中任意兩項序數和相等的兩項的和相等。

3、證明其性質。

若等差數列?an?的公差為d，首項為a1，且p、q、r、s?N*，于是有，ap=a1 +(p-1)d，aq =a1 +(q-1)d，所以，ap+aq=2a1+(p+q-2)d，同理可得，ar+as=2a1+(r+s-2)d。

因為p+q=r+s，所以ap+aq=ar+as〃（Ⅰ）

（二）等比數列的中項

1、概念與內容

若在a與b兩個數之間插入一個數G，使a、G、b成等比數列，則稱G為a與b的等比中項（a、G、b都為非零數）。即G2=ab或G=?ab〃

12、拓展與提升

若等比數列?an?中的項am、an、ar、as（m、n、r、s?N*）且滿足p+q=r+s，則有am.an= ar.as成立。

即等比數列?an?中任意兩項序數和相等的兩項的積相等。

3、證明其性質。

若等比數列?an?的公比為q(q?0)，首項為a1，且m、n、r、s?N*，于是有，am =a1qm?1, an=a1qn?1，因此am.an=a12qm?n?2 同理可得，ar.as=a12.qr?s?2.因為m+n=r+s，所以am.an=ar.as(Ⅱ）

我們把（Ⅰ）、（Ⅱ）稱為等差數列和等比數列的角標性質。

（三）應用

我們知道，數學學習的宗旨就是要從特殊和表面現象中總結出一般規律，然后再去指導實踐解決實際問題。

二、處理教材中的練習與習題

1、已知?an?是等差數列（1）2a5=a3+a7是否成立？2a5=a1+a9成立嗎？為什么？（提示：5+5=3+7=1+9）

（2）2an=an?1+an?1（n>1）是否成立？據此你可能得出什么結論？(提示：n+n=(n-1)+(n+1))

（3）若2an=an?k+an?k（n>k>0）是否成立？你又能得出什么結論？（提示：n+n=(n-k)+(n+k)）

2、已知?an?是比差數列

（1）a52=a3.a是否成立？a52=a1.a9成立嗎？為什么？

7（提示：5+5=3+7=1+9）

（2）an2=an?1.an?1（n>1）是否成立？據此你可能得出什么結論？(提示：n+n=(n-1)+(n+1))

（3）若an2=an?k.an?k（n>k>0）是否成立？你又能得出什么結論？（提示：n+n=(n-k)+(n+k)）

三、解決高考中的數列問題

運用等差數列和等比數列的角標性質來解決高考問題，能夠使我們的考生事半功倍，增強考試信心。對指導復習工作具有重要意義。例如：

1、如果等差數列?an?中，a3+a4+a5=12，那么，a1+a2+…+a7=

（A）1

4(B)21(C)28(D)3

5(提示：a3+a5=a1+a7=2a4)

1、已知在等差數列?an?中，a1+a9=10，則a5的值為：

(B)6(C)8

(D)10

（A）

5(提示：a1+a9=2a5)

2、已知?an?是比差數列，Sn是它的前n項和。若a2a3=2a1，54且a4與2a7的等差中項為（A）35，則Sn為：

(D)29

54?a7

(B)33(C)

31(提示：由a2a3=a1a4=2a1?a4=2，再由a4+2a7=2×

q

=

14，=

a7a4

=

?q

=

2，從而可知a1=16，進一步可求得Sn)

當然，這一部分內容僅僅是高中數學內容的冰山一角。通過這樣的學習活動培養學生如何去思考、如何去鉆研的學習習慣和學習態度。從心理學來看，高中生的心理和生理都趨于成熟，我們應該著手于加強高中生的分析問題和理解問題能力的培養，提高他們的抽象思維能力和邏輯思維能力,從而提高學習效率。反對死記硬背和題海戰術，真正把他們從學習“苦海”中解救出來。這也是我們做老師的心得。參考文獻：

[1]人民教育出版社，中學數學室.數學（高中必修），2006年6月第 版.[2]施致良.中小學勞動與技術教育[J]教學案例專題研究，浙江大學出版社，2001年3月第一版。

說明：本文在2010年云南省第六屆教育教學論文研討活動中榮獲一等獎。因此，該文在2010年云南“教育研究專輯”中得到發表。

2011年4月

第五篇：等比數列性質（本站推薦）

等比數列

1，在等比數列?an?中，已知a3?a6?36,a4?a7?18,an?

12,求n。

2，在1與100之間插入n個正數，使這n個數成等比數列，求插入的n個數的積。3，在等比數列?an?中，若a2?2,a6?162,求a10。

4，在等比數列?an?中，a3a4a5?3,a6a7a8?24,求a9a10a11。

5，一個項數為偶數的等比數列，它的偶數項和是奇數項和的2倍，又它的首項為1，且中間兩項的和為24，求此等比數列的項數。

6，在等比數列?an?中，a9?a10?a?a?0?,a19?a20?b,求a99?a100。

7，已知由正數組成的等比數列?an?中，公比q?2，a1a2a3??????a30?245,求

a1?a4?a7??????a28

8，在等比數列?an?中，若a1?a2?a3?168,a2?a5?42,求a5與a7的等比中項。9，在等比數列?an?中，若a1?a2?a3?7,a1a2a3?8,求an 10，等比數列?an?的首項為a1?1024,公比q??則當n為何值時，f?n?有最大值。,12，設f?n?表示這個數列的前n項的積，