第一篇：等差數列、等比數列知識點梳理
等差數列和等比數列知識點梳理
第一節：等差數列的公式和相關性質
1、等差數列的定義：對于一個數列，如果它的后一項減去前一項的差為一個定值，則稱這個數列為等差數列，記：an?an?1?d（d為公差）（n?2，n?N*）注：下面所有涉及n，n?N*省略，你懂的。
2、等差數列通項公式：
an?a1?(n?1)d，a1為首項，d為公差
推廣公式：an?am?(n?m)d
變形推廣：d?
3、等差中項
（1）如果a，A，那么A叫做a與b的等差中項．即：b成等差數列，A?a?b2an?am n?m或2A?a?b
（2）等差中項：數列?an?是等差數列
?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2
4、等差數列的前n項和公式：
Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22d212 ?n2?(a1?d)n?An2?Bn
（其中A、B是常數，所以當d≠0時，Sn是關于n的二次式且常數項為0）
特別地，當項數為奇數2n?1時，an?1是項數為2n+1的等差數列的中間項
S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（項數為奇數的等差數列的各項和等于項數乘以中間項）
5、等差數列的判定方法（1）定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數n?N?)? ?an?是等差數列．
（2）等差中項：數列?an?是等差數列
?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2
（3）數列?an?是等差數列?an?kn?b（其中k,b是常數）。
（4）數列?an?是等差數列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常數）。
6、等差數列的證明方法
定義法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常數n?N?)? ?an?是等差數列．
7、等差數列相關技巧：
（1）等差數列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。
（2）設項技巧：
①一般可設通項an?a1?(n?1)d
②奇數個數成等差，可設為?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差為d）；
③偶數個數成等差，可設為?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差為2d）
8、等差數列的性質：
（1）當公差d?0時，等差數列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關于n的一次函數，且斜率為公差d；前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關于n的二次函數且常數項為2220。
（2）若公差d?0，則為遞增等差數列，若公差d?0，則為遞減等差數列，若公差d?0，則為常數列。
（3）當m?n?p?q時,則有am?an?ap?aq，特別地，當m?n?2p時，則有am?an?2ap。（注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，）當然擴充到3項、4項??都是可以的，但要保證等號兩邊項數相同，下標系數之和相等。
（4）?an?、?bn?為等差數列，則??an?b?，??1an??2bn?都為等差數列
(5)若{an}是等差數列，則Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，?也成等差數列
(6)數列{an}為等差數列,每隔k(k?N*)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等差數列
（7）?an?、{bn}的前n和分別為An、Bn，則an?A2n?1
bnB2n?1（8）等差數列{an}的前n項和Sm?n，前m項和Sn?m，則前m+n項和Sm?n???m?n?，當然也有an?m,am?n，則am?n?0
(9)求Sn的最值
法一：因等差數列前n項和是關于n的二次函數，故可轉化為求二次函數的最值，但要注意數列的特殊性n?N*。
法二：（1）“首正”的遞減等差數列中，前n項和的最大值是所有非負項之和
即當a1?0，d?0，由??an?0可得Sn達到最大值時的n值． a?0?n?1（2）“首負”的遞增等差數列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。
即 當a1?0，d?0，由??an?0可得Sn達到最小值時的n值． a?0?n?1或求?an?中正負分界項
法三：直接利用二次函數的對稱性：由于等差數列前n項和的圖像是過原點的二次函數，故n取離二次函數對稱軸最近的整數時，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對稱軸為n?
注意：Sn?Sn?1?an(n?2)，對于任何數列都適用，但求通項時記住討論當n?1的情況。
p?q 2解決等差數列問題時，通常考慮兩類方法：
①基本量法：即運用條件轉化為關于a1和d的方程； ②巧妙運用等差數列的性質，一般地運用性質可以化繁為簡，減少運算量。（以上加上藍色的性質希望讀者能夠自己證明，不是很難，并能夠學會運用）
第二節：等比數列的相關公式和性質
1、等比數列的定義：
2、通項公式：
an?a1qn?1，a1為首項，q為公比
an?q?q?0??n?2?，q為公比 an?1推廣公式：an?amqn?m，從而得qn?m?
3、等比中項
an am（1）如果a,A,b成等比數列，那么A叫做a與b的等差中項．即：A2?ab或A??ab 注意：同號的兩個數才有等比中項，并且它們的等比中項有兩個（兩個等比中項互為相反數）
（2）數列?an?是等比數列?an2?an?1?an?1
4、等比數列的前n項和Sn公式：(1)當q?1時，Sn?na1(2)當q?1時，Sn?
?a1?1?qn?1?q?a1?anq 1?qa1a?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A（'A,B,A',B'為常數）1?q1?q5、等比數列的判定方法（1）用定義：對任意的n,都有an?1?qan或為等比數列
an?1?q(q為常數，an?0)?{an}an（2）等比中項：an2?an?1an?1（an?1an?1?0）?{an}為等比數列（3）通項公式：an?A?Bn?A?B?0??{an}為等比數列（4）前n項和公式：
Sn?A?A?Bn或Sn?A'Bn?A'?A,B,A',B'為常數??{an}為等比數列
6、等比數列的證明方法 依據定義：若an?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}為等比數列 an?
17、等比數列相關技巧：
（1）等比數列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。
（2）為減少運算量，要注意設項的技巧，一般可設為通項：an?a1qn?1
如奇數個數成等比，可設為?，aa2?（公比為q，中間項，a,aq,aq2qq用a表示）；注意隱含條件公比q的正負
8、等比數列的性質：(1)當q?1時
①等比數列通項公式an?a1qn?1?a1nq?A?Bn?A?B?0?是關于n的帶有系q數的類指數函數，底數為公比q ②前n項和Sn?a1?1?qn?1?qa1?a1qna1a??1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'，系1?q1?q1?q數和常數項是互為相反數的類指數函數，底數為公比q
(2)對任何m,n?N*,在等比數列{an}中,有an?amqn?m,特別的,當m=1時,便得到等比數列的通項公式。因此,此公式比等比數列的通項公式更具有一般性。
(3)若m?n?s?t(m,n,s,t?N*),則an?am?as?at。特別的,當m?n?2k時,得an?am?ak2
注：a1?an?a2?an?1?a3an?2???
(4)列{an},{bn}為等比數列,則數列{},{k?an},{ank},{k?an?bn}{n}(k為非零常數)均為等比數列。
(5)數列{an}為等比數列,每隔k(k?N*)項取出一項(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等比數列
(6)如果{an}是各項均為正數的等比數列,則數列{logaan}是等差數列(7)若{an}為等比數列,則數列Sn，S2n?Sn，S3n?S2n,???，成等比數列(8)若{an}為等比數列,則數列a1?a2?????an,an?1?an?2?????a2n，a2n?1?a2n?2??????a3n成等比數列
kanabn(9)①當q?1時，②當0 ③當q=1時,該數列為常數列（此時數列也為等差數列）;④當q<0時,該數列為擺動數列。 (10)在等比數列{an}中, 當項數為2n(n?N*)時,S奇S偶?1,。 q(11)若{an}是公比為q的等比數列,則Sn?m?Sn?qn?Sm 注意：在含有參數的數列時，若是等比數列，一定要考慮到公比q?1的特殊情況。 解決等比數列問題時，通常考慮兩類方法： ①基本量法：即運用條件轉化為關于a1和q的方程； ②巧妙運用等比數列的性質，一般地運用性質可以化繁為簡，減少運算量。 關于等差、等比兩個引申：an?kan?1?b模式（其中k,b為常數，；an?pan?1?pn模式（其中p為常數，n?2）n?2）在這里我們以具體的例子給出，使其更容易理解： 例1 已知數列?an?，有an?3an?1?4（n?2），則求該數列的通項公式 解題大致思路：先設an?b?3(an?1?b)，則對于an?3an?1?4?an?2?3(an?1?2)，那么我們就可以構造數列?an?2?為等比數列，利用等比的相關性質去解決，注意：構造新數列的首項和公比分別是多少？還有你考慮到當n?1的這種情況了嗎？ 例2 已知數列?bn?，有bn?2bn?1?2（n?2），求該數列的通項公式 n解題的大致思路：bn?2bn?1?2（n?2）?nbn2bn?1bnbn?1??1?n?1?1，相信你已?nnn2222經知道構造什么數列了吧，這兩個模式考試中喜歡考，也比較基礎，當然也希望通過這兩個模式能讓你意識到求數列中的構造思想。 等差數列等比數列綜合練習題 一．選擇題 1.已知an?1?an?3?0，則數列?an?是（） A.遞增數列 B.遞減數列 C.常數列 D.擺動數列 1，那么它的前5項的和S5的值是（）231333537A． B． C． D． 22223.設Sn是等差數列{an}的前n項和，若S7=35，則a4=（）2.等比數列{an}中，首項a1?8，公比q? A.8 B.7 C.6 D.5 ,則2a9?a10?（）4.等差數列{an}中，a1?3a8?a15?120 A．24 B．22 C．20 D．-8 215.已知數列?an?中，a1?1,an?2an?1?3，求此數列的通項公式.16.設等差數列 ?an?的前n項和公式是sn?5n2?3n,求它的前3項，并求它的通項公式.5.數列?an?的通項公式為an?3n?28n，則數列?an?各項中最小項是（） A.第4項 B.第5項 C.第6項 D.第7項 2a?b等于（） 2c?d11 1A．1 B． C． D． 824a20?（）7.在等比數列?an?中,a7?a11?6,a4?a14?5,則a1023232 3A.B.C.或 D.?或 ? 3232328.已知等比數列?an?中,an>0,a2a4?2a3a5?a4a6?25,那么a3?a5=（）6.已知a，b，c，d是公比為2的等比數列，則 A.5 B.10 C.15 D.20 二．填空題 9．已知{an}為等差數列，a15＝8，a60＝20，則a75＝________ 10.在等比數列{an}中，a2?a8?16，則a5=__________ 11．在等差數列{an}中，若a7＝m，a14＝n，則a21＝__________ 12.等差數列{an}的前n項和為Sn,若a3+a17=10,則S19的值_________ 13.已知等比數列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，則前9項之和等于_________ 三.解答題 14.設三個數成等差數列，其和為6，其中最后一個數加上1后，這三個數又成等比數列，求這三個數.等差數列、等比數列同步練習題 等差數列 一、選擇題 1、等差數列-6，-1，4，9，……中的第20項為（） A、89 B、-101 C、101 D、-89 2． 等差數列{an}中，a15=33，a45=153，則217是這個數列的（） A、第60項 B、第61項 C、第62項 D、不在這個數列中 3、在-9與3之間插入n個數，使這n+2個數組成和為-21的等差數列，則n為 A、4 B、5 C、6 D、不存在 4、等差數列{an}中，a1+a7=42，a10-a3=21，則前10項的S10等于（） A、720 B、257 C、255 D、不確定 5、等差數列中連續四項為a，x，b，2x，那么 a ：b 等于（） A、B、C、或 1 D、6、已知數列{an}的前n項和Sn=2n2-3n，而a1，a3，a5，a7，……組成一新數 列{Cn}，其通項公式為（） A、Cn=4n-3 B、Cn=8n-1 C、Cn=4n-5 D、Cn=8n-9 7、一個項數為偶數的等差數列，它的奇數項的和與偶數項的和分別是24與30 若此數列的最后一項比第-10項為10，則這個數列共有（） A、6項 B、8項 C、10項 D、12項 8、設數列{an}和{bn}都是等差數列，其中a1=25，b1=75，且a100+b100=100，則數列{an+bn}的前100項和為（） A、0 B、100 C、10000 D、505000 答案1． A 2、B 3、B 4、C 5、B 6、D 7、A 8、C 二、填空題 9、在等差數列{an}中，an=m，an+m=0，則am= ______。 10、在等差數列{an}中，a4+a7+a10+a13=20，則S16= ______。11． 在等差數列{an}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，則從a15到a30的和是 ______。 12． 已知等差數列 110，116，122，……，則大于450而不大于602的各項之和為 ______。 三、解答題 13． 已知等差數列{an}的公差d=，前100項的和S100=145求： a1+a3+a5+……+a99的值 14． 已知等差數列{an}的首項為a，記 (1)求證：{bn}是等差數列 (2)已知{an}的前13項的和與{bn}的前13的和之比為 3 ：2，求{bn}的公差。 15． 在等差數列{an}中，a1=25，S17=S9(1)求{an}的通項公式 (2)這個數列的前多少項的和最大？并求出這個最大值。 16、等差數列{an}的前n項的和為Sn，且已知Sn的最大值為S99，且|a99|〈|a100| 求使Sn〉0的n的最大值。 答案： 二、填空題 9、n10、80 11、-368 12、13702 13、∵{an}為等差數列∴ an+1-an=d ∴ a1+a3+a5+…+a99=a2+a4+a6+…+a100-50d 又（a1+a3+a5+…+a99）+（a2+a4+a6+…+a100）=S100=145 ∴ a1+a3+a5+…+a99= =60 14、(1)證：設{an}的公差為d則an=a+（n-1）d 當n≥0時 b n-bn-1= d 為常數∴ {bn}為等差數列 （2）記{an}，{bn}的前n項和分別為A13，B13則，∴{bn}的公差為 15、S17=S9 即 a10+a11+…+a17= ∴ an=27-2n =169-（n-13）2 當n=13時，Sn最大，Sn的最大值為169 16、S198=（a1+a198）=99(a99+a100)<0 S197= (a1+a197)= (a99+ a99)>0 又 a99>0，a100<0則 d<0 ∴當n<197時，Sn>0 ∴ 使 Sn>0 的最大的n為197 等比數列 一、選擇題 1、若等比數列的前3項依次為A、1 B、C、D、，……，則第四項為（） 2、等比數列{an}的公比q>1，其第17項的平方等于第24項，求：使a1+a2+a3+……+an> 成立的自然數n的取值范圍。 2、公比為的等比數列一定是（） A、遞增數列 B、擺動數列 C、遞減數列 D、都不對 3、在等比數列{an}中，若a4·a7=-512，a2+a9=254，且公比為整數，則a12=（） A、-1024 B、-2048 C、1024 D、2048 4、已知等比數列的公比為2，前4項的和為1，則前8項的和等于（） A、15 B、17 C、19 D、21 5、設A、G分別是正數a、b的等差中項和等比中項，則有（） 3、已知等比數列{an}，公比q>0，求證：SnSn+2 6、{an}為等比數列，下列結論中不正確的是（） A、{an2}為等比數列 B、為等比數列 C、{lgan}為等差數列 D、{anan+1}為等比數列 7、a≠0，b≠0且b≠1，a、b、c為常數，b、c必須滿足（） 一個等比數列前幾項和Sn=abn+c，那么a、A、a+b=0 B、c+b=0 C、c+a=0 D、a+b+c=0 8、若a、b、c成等比數列，a，x，b和b，y，c都成等差數列，且xy≠0，則 的值為（） A、1 B、2 C、3 D、4 4、數列{an}的前幾項和記為An，數列{bn}的前幾項和為Bn，已知答案： 一、1、A 2、D 3、B 4、B 5、D 6、C 7、C 8、B 求Bn及數列{|bn|}的前幾項和Sn。 二、填空題 1、在等比數列{an}中，若S4=240，a2+a4=180，則a7= _____,q= ______。 2、數列{an}滿足a1=3，an+1=-，則an = ______，Sn= ______。 3、等比數列a，-6，m，-54，……的通項an = ___________。 4、{an}為等差數列，a1=1，公差d=z，從數列{an}中，依次選出第1，3，32……3n-1項，組成數 列{bn},則數列{bn}的通項公式是__________，它的前幾項之和是_________。 二、計算題 1、有四個數，前三個數成等差數列，后三個成等比數列，并且第一個數與第四個數的和為37，第 二個數與第三個數的和為36，求這四個數。，答案 一、1、6；32、3、-2·3n-1或an=2（-3）n-1 4、2·3n-1-1；3n-n-1 二、1、解：由題意，設立四個數為a-d，a，a+d，則 由（2）d=36-2a（3） 把（3）代入（1）得 4a2-73a+36×36=0（4a-81）（a-16）=0 ∴所求四數為或12，16，20，25。 2、解：設{an}的前幾項和Sn，的前幾項的和為Tn an=a1qn-1 ∵Sn>Tn ∴即>0 又 ∴a12qn-1>1（1） 又a172=a24即a12q32>a1q23 ∴a1=q-9（2）由（1）（2） ∴n≥0且n∈N 3、證一：（1）q=1 Sn=na1 SnSn+2-Sn+12=（na1）[（n+2）a1]-[（n+1）a1]2=-a12（2）q≠1 =-a12qn<0 ∴SnSn+2 SnSn+2-Sn+12=Sn（a1+qSn+1）-Sn+1（a1+qSn）=a1（Sn-Sn+1） =-a1a n+1=-a12qn<0 ∴SnSn+2 4、解：n=1 n≥2時，∴ bn=log2an=7-2n ∴{bn}為首項為5，公比為（-2）的等比數列 令bn>0，n≤3 ∴當n≥4時，bn〈0 1≤n≤3時，bn〉0 ∴當n≤3時，Sn=Bn=n（6-n），B3=9 當n≥4時，Sn=b1+b2+b3-（b4+b5+…+bn）=2B3-Bn=18-n（6-n）=n2-6n+18 精英輔導學校楊景勛專用2011年12月16日星期五 （一）等差數列I1、等差數列{an}中，a1=1，公差d=3，an=2005則n=_____ 2、等差數列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，則2a10-a12的值為______ 3、等差數列{an}中，a1=-5，前11項的平均值為5，若從中抽出一項，余下的10項的平均值為4，則抽取的（一）等差數列II 等差數列{an}中，1、若a1=-6，a9=6，Sn是數列的前n項和，則（）A、S4 4、正項等差數列{an}中，公差d≠0，有（） A、a1a8>a4a5B、a1a8 7、已知數列{an}前四項為-1，3，-6，10，則{an}的一個通項式為_______________ 8、等差數列a-d，a，a+d的一個通項公式是____________ 9、已知(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四個根組成一個首項為1 4的等差數列，則|m-n|=_______ 10、等差數列{an}中，若a1=25，從第10項開始小于1，則公差d的范圍是________ 11、（2006全國卷II）已知等差數列{an}中，a2=7, a4=15，則前10項的和S10=_______ 12、一個等差數列{an}中前4項和為40，最后4項的和為80，所有項和210，求項數n.13、等差數列{an}中，若Sm=30，S2m=100，求S3m.2、a1=25，S17=S9，問數列的前多少項之和最大，并求出最大值。 3、a3=12，S12>0，S13<0，①求公差d 的取值范圍；②指出S1，S2…S12中哪一個值最大，說明理由。） 4、（2004年重慶考試卷）a1>0，a2003+a2004>0，a2003?a2004<0，則使前n項和S>0成立的最大自然數n是（A、4005B、4006C、4007D=4008 5、（2004年福建卷試卷）若 a5Sa=5，則求939 S=_______ 56、（2001年上海考試卷）設數列的通項為an=2n-7（n∈N*），則|a1|+|a2|+…+|a15|=______ n7、已知公差d>0，首項a1>0，Sn= ?1，則i?1aiai?1 limSn=________ n?? 8、（2006北京卷）設等差數列{an}的首項a1及公差d都為整數，前n項和為Sn，（1）若a11=0，S14=98，求數列{an}的通項公式； （2）若a1≥6，a11>0，S14≤77，求所有可能的數列{an}的通項公式。/ 1） 第24課 等差數列與等比數列的性質 ●考試目標主詞填空 1.等差數列的性質. ①等差數列遞增的充要條件是其公差大于0，②在有窮等差數列中，與首末兩端距離相等的和相等.即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?=ak+an+1-k，③在等差數列{an}中，使am+a0=ap+aq成立的充要條件是是等差數列，⑤若數列{an}與{bn}均為等差數列，且m，k為常數，則{man+kbn}Sn=an2+bn+c能表示等差數列前n項和的充要條件是2.等比數列的性質.①在等比數列{an}中，公比為q，其單調性的考察應視a1及q的取值范圍而定.②在有窮的等比數列{an}即：a1an=a2·an-1=a3·an-2=?=ak·an+1-k. ③在等比數列{an}中，使am·a0=ap·ak成立的充要條件是m+n=p+k. ④在等比數列中，每隔相同的項抽出來，依原來的順序構成一個新數列，則此新數列仍是等比數列.?man?⑤若數列{an}與{bn}均為等比數列，m是不等于零的常數，則{m·an·bn}與??仍為等比數列.b?n? ●題型示例點津歸納 【例1】證明下列論斷： (1)從等差數列中每隔相同的項抽取一些項依原順序構成的新數列仍然是等差數列.(2)從等比數列中每隔相同的項抽取一些項依原順序構成的新數列仍然是等比數列. 【解前點津】等差數列的公差以及等比數列的公比都是已知常數，且每隔k項抽取一個數中的k邊應視為已知正整數，按定義證明即可.【規范解答】(1)設{xn}是公差為d的等差數列，抽取的第一個數為xm，隔k項抽取的第二個數為xm+k，再隔k項抽取的第三個數為xm+2k，依次類推，則新數列的第p項(p≥1)必為xm+(p-1)k ·第p+1項為xm+pk.由通項公式： ∵xm+pk-xm+(p-1)k=x1+(m+pk-1)d-［x1+(m+pk-k-1)d］=(k-1)d是一個p無關的常數，故新數列是一個公差為kd的等差數列.(2)設{yn}是一個公比為q的等比數列，抽取的第一個數為ym，隔k項抽取的第二個數為ym+k，再隔k項抽取的第三個數為ym+2k，依次類推，則新數列的第p項(p≥1)必為ym+(p-1)k，第p+1項為ym+pk.由等比數列通項公式： ∵ym?pk ym?(p?1)ky1?qm?pk?1k==q是一個與p無關的常數.m?pk?k?1y1?q 故新數列是一個公比為qk的一個等比數列.【解后歸納】證明{xn}是一個等差數列，只須證明xn-xn-1=常數即可，類似地，證明{yn}是一個等比數列，只證明yn=常數即可. yn? 1【例2】設x，y，z∈R，3x，4y，5z成等比數列，且 111xz，成等差數列，求?的值.xzxyz 【解前點津】依條件列方程組，從方程組中推導 xz ?之值. zx ?(4y)2?(3x)?(5z) 2xz? ?y=【規范解答】由題意得：?211代入第一個方程消去y得： x?z?y?x?z ?2xz2xz34(x?z)26416()=15xz?=，故?=.x?z15zx15xz 【解后歸納】因（xz ?)中不含y，故在方程組中，y成為消去的對象.zx 【例3】已知數列{an}滿足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n項之和為Sn，求滿足不等式|Sn-n-6|<的最小正整數n. 12 5【解前點津】構造“新數列”，求出通項公式，注意到3(an+1-1)=-(an-1).【規范解答】由條件得：3(an+1-1)=-(an-1).視為3xn+1=-xn，∵a1-1=8，故新數列{an-1}是首項為8，公比為-的一個等比數列.故： 3??1?n?8?1???? ?3???1n-11n-1???=6-6×(-1)n，an-1=8(-)，即an=1+8(-)Sn-n= 333?1? ?1???3? 11?n-1 ∴|Sn-n-6|=6×()n <3>250>35?n-1>5.3125 ∴n>6從而n≥7.故n=7是所求的最小正整數. 【解后歸納】將一個簡單的遞推公式進行變形，從而轉化為一個等差數列，或一個等比數列的模型.這是一種“化歸”的數學思想.【例4】設{an}為等差數列，{bn}為等比數列，且b1=a1，b2=a2，b3=a3(a1 n?? 2+bn)=2+1,試求{an}的首項與公差.【解前點津】設 b2b =q，則1=2+1.1?qb1 【規范解答】設{an}的公差為d，{bn}的公比為q，則由條件知，b2=b1b3?(a2)2=(a1)·(a3) a2 =(1+2)(2+1) a1 (a1+d) 4=a22，a12a22=a1 ·(a1+2d)?(a1+d)=|a1(a1+2d)|又b1=(1+q)（22 2+1),故 2a1 42即a1=［a1+(a1+d)2］(2+1)，解關于a1及d的方程組得：a1=-2，d=22-2. 【解后歸納】將所列方程組轉化為關于基本量a1，d的方程，是常規思路.此題是否有另外思路?讀者可自己尋找.●對應訓練分階提升 一、基礎夯實 1.在等比數列{an}中，a9+a10=a(a≠0)，a19+a20=b，則a99+a100等于() bbb9b10 A.8B.()C.9D.()10 aaaa 2.已知等差數列{an}中，|a3|=|a9|,公差d<0，則使前n項和Sn取得最大值的自然數n是() A.4和5B.5或6C.6或7D.不存在3.若{an}為一個遞減等比數列，公比為q，則該數列的首項a1和公比q一定為()A.q<0，a1≠0B.a1>0，0 4.由公差為d的等差數列a1，a2，a3，?，重新組成的數列a1+a4，a2+a5，a3+a6，?是()A.公差為d的等差數列B.公差為2d的等差數列 C.公差為3d的等差數列D.非等差 5.設2a=3，2b=6，2c=12，則a、b、c()A.是等差數列，但不是等比數列B.是等比數列，但不是等差數列 C.既不是等差數列，又不是等比數列D.既是等差數列，又是等比數列 6.若{an}是等比數列，a4a7=-512，a3+a8=124，且公比q為整數，則a10的值是()A.256B.-256C.512D.-51 27.設{an}是由正數組成的等比數列，且a5·a6=81，那么log3a1+log3a2+log3a3+?+log3a10的值是()A.5B.10C.20D.30 8.在3和9之間插入兩個正數，使前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，則這兩個數的和是()A.1 11111B.12C.13D.14 444 49.在等比數列{an}中，已知對任意自然數n，a1+a2+?+an=2n-1，則a1+a2+?+a2n=()A.(2n-1)2B.1n2n1 (2-1)C.4-1D.(4n-1)3 310.上一個n級的臺階，若每次可上一級或兩級，設上法的總數為f(n)，則下列猜想中正確的是() A.f(n)=nB.f(n)=f(n-1)+f(n-2) ?n(n?1,2) C.f(n)=f(n-1)·f(n-2)D.f(n)=? f(n?1)?f(n?2)(n?3)? 二、思維激活 11.在等差數列{an}中，若Sm=n，Sn=m(Sn為前n項和)且m≠n，則Sm+n 三、能力提高 12.在等差數列{an}中，a1，a4，a25三個數依次成等比數列，且a1+a4+a25=114,求這三個數.13.已知{an}為等差數列，(公差d≠0)，{an}中的部分項組成的數列ak1，ak2，ak13，?，ak，?，n 恰好為等比數列，其中k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+k3+?+kn.14.設f(x)=a1x+a2x2+?+anxn(n為正偶數)，{an}是等差數列，若f(1)=(1)求an；(2)求證：f（1nn(n+1)，f(-1)=. 22)<2. 2 15.數列{an}的前n項和Sn=100n-n2(n∈N).(1){an}是什么數列? (2)設bn=|an|，求數列|bn|的前n項和.第3課等差數列與等比數列的性質習題解答 1.A先求a1與公比q.2.B∵d<0，∴a3>a9，∴a3=-a9.3.B分別考察a1>0與a1<0兩種情況.4.B∵(an+an+3)-(an-1+an+2)=(an-an-1)+(an+3-an+2)=d+d=2d.5.A∵62=3×12，∴(2b)2=2a·2c?2b=a+c且b2≠ac.6.C∵a4a7=a3a8=-512，a3+a8=124，∴a3，a8是x2-124x-512=0的兩根.解之：a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4?q=-2或- 但q=-不合題意，∴a10=a8·q2=512.22 7.C其值為log3(a1a2?a10)=log3(a1a10)·(a2a9)?(a5a6)=log3(a5a6)5=5log3(a5·a6)=5log381=20.9? x???x2?3y?2??8.A設這兩個正數為x，y，由題意可得：?.272y?x?9??y??4? 9.D∵Sn=2n-1，∴an+1=Sn+1-Sn=2n+1-1-(2n-1)=2n，又a1=S1=21-1=1=21-1，∴an=2n-1.10.D每次可上一級或兩級，故需分段考慮.11.Sm+n=-(m+n)運用公式求和.2?a4?(a1?3d)2?a1(a1?24d)?a1?a25 ??12.設公差d，依題意得：?? ?a1?a4?a25?114?3a1?27d?114 ?a4?38?a4?a1?3d?2?3?4?14?a1?38?a1?2 或?，或???? a?38a?a?24d?2?24?4?98d?0d?4?25??1?25 ∴這三個數是38，38，38或2，14，98. 13.∵a1，a5，a17成等比數列，∴(a1+4d)2=a1(a1+16d)?d= aa11，an=a1(n+1)，a5=a1+4d=3a1，∴q=5 22a1 =3，akn= k?11 a1(kn+1)?akn=a1·qn-1=a1×3n-1，∴na1=a1×3n-1，∴kn=2×3n-1-1?k1+k2+k3+?22 n-1 2(1?3n) +kn=2(1+3+9+?+3)-n= =3n-n-1.(1?3)?n 14.(1)設{an}的公差為d，則f(1)=a1+a2+?+an=d=1，由na1+ 1nn n(n+1)，f(-1)=-a1+a2-a3+a4+?-an-1+an=d=，∴222 n(n?1)n(n?1) ?得a1=1，∴an=n. 22 2n 1123111111?n(2)f()=+2+3+?+?(1-)]f()=+2+3+?+n+n?1 22222222222 兩式相減： 1?? 1???1n 1111n?2n?nf()=1++2+?+n?1-n=-n=2-2n?1-2n<2. 22222?1?2 ?1???2? 15.(1)an=Sn-Sn-1=(100n-n2)-［100(n-1)-(n-1)2］=101-2n(n≥2)，∵a1=S1=100×1-12=99=101-2×1，∴數列{an}的通項公式為an=101-2n又∵an+1-an=-2為常數.∴數列{an}是首項為a1=99，公差d=-2的等差數列.(2)令an=101-2n≥0得n≤50(n∈N*)，①當1≤n≤50時，an>0，此時bn=|an|=an，所以{bn}的前n項和Sn′=100n-n2且S50′=100×50-502=2500，②當n≥51時，an<0，此時bn=|an|=-an由b51+b52+?+bn=-(a51+a52+?+an)=-(Sn-S50)=S50-Sn得數列{bn}前n項和為Sn′=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn=2×2500-(100n-n2)=5000-100n+n2.?(n?N*,1?n?50)?100n?n 由①②得數列{bn}的前n項和為Sn′=?.2* ?(n?N,n?51)?5000?100n?n 龍源期刊網 http://.cn 等差數列與等比數列的證明 作者：劉春建 來源：《高考進行時·高三數學》2013年第03期 一、考綱要求 1.理解等差數列的遞推關系，并能夠根據遞推關系證明等差數列。 2.理解等比數列的遞推關系，并能夠根據遞推關系證明等比數列。 3.能夠利用等差中項和等比中項證明等差數列和等比數列。 二、難點疑點 1.在證明等差數列和等比數列的過程中，部分學生只是求出了等差數列和等比數列的通項公式，而沒有利用遞推關系或者等差、等比中項進行證明。 2.在用等比中項證明等比數列的時候，沒有交代各項均不為零。 3.要注意整體思想在證明等差數列和等比數列中的靈活運用。第二篇：等差數列、等比數列綜合習題
第三篇：等差數列知識點
第四篇：等差數列與等比數列的性質
第五篇：等差數列與等比數列的證明
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