第一篇：數(shù)學(xué)分析期末考試題

數(shù)學(xué)分析期末考試題

一、敘述題：（每小題5分，共15分）

1、正交多項(xiàng)式

2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法

3、Rn上的基本列

二、計(jì)算題：（每小題7分，共35分）

?

1、?

40xtan2xdx2、計(jì)算

?1?0.5xlnxdx的cauchy主值 23n?(?2)n3、求?(x?1)n的收斂半徑和收斂域 nn?

14、設(shè)z?x2?y2sin(xy)，求函數(shù)的梯度

5、求u?x2?y2?z2在（1，1，1）點(diǎn)的全微分

三、討論與驗(yàn)證題：（每小題10分，共30分）

(y2?x)

21、討論f(x,y)?4（x，y）沿任何直線趨于（0，0）時(shí)的極限,(x,y)?(0,0)，2y?x

和函數(shù)的二重極限

2、討論1的斂散性 ?qnlnnn?2?

3、討論函數(shù)項(xiàng)fn(x)?nx(1?x2)n(0?x?1)的一致收斂性。

四、證明題：（每小題10分，共20分）

?1?

1、證明Riemann函數(shù)R(x)??p??0

yx?q為既約分?jǐn)?shù)在[0，1]上可積 px為無(wú)理數(shù)

2、設(shè)z?x(x?0,x?1)，證明它滿足方程x?z1?z??z y?xlnx?y

參考答案

一、1、設(shè)?gn(x)?是定義在[a,b]上的多項(xiàng)式，若對(duì)任意的m和n，gm(x)，gn(x)在[a,b]上可積，且有?的正交多項(xiàng)式連續(xù)。

2、設(shè)

b

a

m?n??b0

gm(x)gn(x)dx??則稱(chēng)?gn(x)?是[a,b]上

2g(x)dxm?n???an

?x,?y

nn?

1n?1

??

n

是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若存在常數(shù)A?0，成立xn?Ayn,n?1,2?則

?

?

?

（1）當(dāng)

?y

n?1

?

n

收斂時(shí)，?x

n?1

n

也收斂（2）當(dāng)

?x

n?1

n

發(fā)散時(shí)，也

?y

n?1

n

發(fā)散

n3、如果R上的點(diǎn)列?xk?滿足：對(duì)于任意給定的??0，存在正整數(shù)K,對(duì)任意的k,l?K，成立xl?xk??，則稱(chēng)?xk?為基本列。

?

?

?

二、1、?

xtanxdx??4xsecxdx??4xdx?

1dx?0（7分）

0.5xlnx

?

?

?

2?ln2（7分）3222、解：(cpv)?

nn

43?(?2)

3、：lim，由于x??時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，?3，收斂半徑為1/3（4分）

n??3n

x??

4、：

42級(jí)數(shù)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇?,?)（3分）33

3?z?z=2x?y3cos(xy)=2ysin(xy)?xy2cos(xy)（4分）?x?y

gradu?(2x?y3cos(xy),2ysin(xy)?xy2cos(xy))（3分）

5、ux?

xx?y?z

3uy?

yx?y?z

uz?

zx?y?z

（4分）

du?(dx?dy?dz)（3分）

(y2?x)2

2三、1、解、由于沿y?kx趨于（0，0）時(shí)，lim，而沿y?x趨于 ?

1(x,kx)?(0,0)y4?x

2（0，0）時(shí)極限為0，所以重極限不存在（5分）

1???

??|1dx?2p?12、函數(shù)非負(fù)遞減，（3分）且?(1?p)lnx??2xlnpxxlnqx???lnlnx|2?

分）由此僅p?1，收斂（2分）。

3、limfn(x)?0?f(x)（3分），取

n??

p?1p?

1，（511

fn(xn)?f(xn)?(1?2)n?1(n??)，所以函數(shù)列不一致收斂（7分）nn

四、證明題（每小題10分，共20分）

xn?

1、證明：由Riemann函數(shù)的性質(zhì)，???0在[0,1]上使得R(x)?

?的點(diǎn)至多只有有限個(gè),（3''

分）不妨設(shè)是k個(gè)，記為0?p1???pk?1作[0,1]的分點(diǎn)0?x0???x2k?1?1，使?jié)M足pi?[xi?1,xi],xi?xi?1?

2k?1i?

1k?1j?0

k?1j?1

'

?

2k,i?1,2,?k，由于

??i?xi???2j?1?x2j?1???2j?x2j，而在右邊的第一個(gè)和式中，有?x2j?1?

?

且

?

2k

且?2j?1?1，在第二個(gè)和式中有?2j?以函數(shù)可積（7分）

2、證明：

??x

j?1

k?1

2j

?1，因此得到??i?xi??，所

i?1

n

?u?ux?z1?zxy?11y

?yxy?1，?xylnx（6分）??yx?xlnx?z?x?yy?xlnx?yylnx

（4分）

第二篇：數(shù)學(xué)系第三學(xué)期數(shù)學(xué)分析期末考試題及答案

第三學(xué)期《數(shù)學(xué)分析》期末試題

一、選擇題：（15分，每小題3分）

1、累次極限存在是重極限存在的（）

A充分條件 B必要條件 C充分必要條件 D 無(wú)關(guān)條件

2、?f(x,y)|(x0,y0)?（）?xAlim?x?0f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)f(x0??x,y0)；

B lim；

?x?0?x?xf(x0??x,y0??y)?f(x0??x,y0)f(x0??x,y0)?f(x0,y0)；

Dlim。

?x?0?x?xClim?x?03、函數(shù)f(x,y)在（x0，y0）可偏導(dǎo)，則（D）

A f(x,y)在（x0，y0）可微

；

B f(x,y)在（x0，y0）連續(xù)；

C f(x,y)在（x0，y0）在任何方向的方向?qū)?shù)均存在 ；

D 以上全不對(duì)。

x2y24、f(x,y)?22的二重極限和二次極限各為（B）2xy?(x?y)A、0，0，0；

B、不存在，0，0，；

C、0，不存在，0；

D、0，0，不存在。

5、設(shè)z?e，則xxy?z?z?y?（A）?x?yA、0；

B、1；

C、-1；

D、2。

二、計(jì)算題（50分，每小題10分）

xy??

1、證明函數(shù)f(x,y)??x2?y2?0?但它在該點(diǎn)不可微；

xxx2?y2?0x2?y2?0

在（0，0）點(diǎn)連續(xù)且可偏導(dǎo)，2、設(shè)f(x)???e??d?dt,求f?(x),f(x)0t2；

?xy??z?zF?,??03、設(shè)有隱函數(shù)?zz?,其中F的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),求?x、?y；

4、計(jì)算?Cex(cosydx?sinydy)，其中C是任一條以為A(0,0)起點(diǎn)、B(a,b)為終點(diǎn)的光滑曲線；

??

5、計(jì)算?zdS22z?x?y?，其中為在z?14的部分；

三、驗(yàn)證或解答（滿分24分，每小題8分）

1、驗(yàn)證曲線積分原函數(shù)；

3、驗(yàn)證函數(shù) ?(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz與路線無(wú)關(guān)，并求被積表達(dá)式的L?2xy,x2?y2?0?22f(x,y)??x?y22??0,x?y?0

在原點(diǎn)（0，0）分別對(duì)每個(gè)自變數(shù)x或y(另一個(gè)看作常數(shù))都連續(xù)，但是二元函數(shù)在原點(diǎn)（0，0）卻不連續(xù).部分題目參考答案：

二、1、證明：0?|xyx?y22|?|xy|（4分）

(x,y)?(0,0)limxyx?y22=0所以函數(shù)在（0，0）點(diǎn)連續(xù)，（3分）又lim0?0，fx(0,0),fy(0,0)存在切等于0，（4分）但

?x?0?x?x?y不存在，故函數(shù)在（0，0）點(diǎn)不可微（3分）

(?x,?y)?(0,0)?x2??y2lim

xxxxx'x由于f(x)??(?e0tx2?t??2d?)dt,f?(x)???(?e0tx??2d?)dt?0?0??e?xdt?xe?x，所

0222112以 f(x)??tedt???e?td(?t2)??e?t2020x0121??e?x?.2

2二、3、[解法 1] 由隱函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法

?z???xzF1'?x?y?xF1'?yF2''?'?F1??2??F2??2??z??z? zF2'?xyxF1'?yF2'????''F1??2??F2??2??z??z?

F2'?1zF1'?1z?z???y [解法 2] 利用全微分,將隱函數(shù)方程兩邊取全微分,得

?x??F1'd???F2'd??z??

y?'zdx?xdz'zdy?ydz?0F??F?0?12?22z?zz，zF1'dx?zF2'dyzF1'?zdz??'''xF1?yF2，故 ?xxF1?yF2'

zF2'?z?'?yxF1?yF2'.由此可見(jiàn),用全微分來(lái)求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也是一個(gè)途徑.?Y?Xxxxecosy?esiny?esiny,故被積表?y?xYX

二、4、解 令=，=，則 ==xxxe(cosydx?sinxdy)d(ecosy)e達(dá)式一定有原函數(shù)，注意到=(cosydx?sinxdy),知

xxu(x,y)ecosye = 是(cosydx?sinxdy)的一個(gè)原函數(shù)，故由定理21.13，有

?Cex(cosydx?sinydy)=

a,b)excosy|((0,0)a =ecosb?1.2??1????22Dxy??(x,y)x?y?????2?????，而

二、5、解 曲面?在x0y平面上的投影區(qū)域?z?z?2x,?2y?x?y，于是曲面的面積微元

?dS?1??z?1?4x2?4y2d?x???zy?d??22

所以 ???zdS???(x2?y2)1?4x2?4y2d??Dxy

?2?0d??r21?4x2rdr120

（在極坐標(biāo)系下計(jì)算）

?2??1401t1?4t2(r?t)2

??8?12(u4?u2)du?1?2?60(u?1?4t).三、1、解

由于P?y?z,Q?z?x,R?x?y,所以曲線積分與路線無(wú)關(guān).現(xiàn)在求 u(x,y,z)??P?Q?Q?R?R?P??????1,?y?x?z?y?x?zM0M??(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz.取M0M為沿平行于x軸的直線到M1(x,y0,z0)，再沿平行于y軸的直線到M2(x,y,z0)，最后沿平行于z軸的直線到M(x,y,z).于是

xyzu(x,y,z)??(y0?z0)ds??(z0?x)dt??(x?y)drx0y0z0?(y0?z0)x?(y0?z0)x0?(z0?x)y?(z0?x)y0?(x?y)z?(x?y)z0 ?xy?yz?xz?c其中c??x0y0?x0z0?y0z0是一個(gè)常數(shù)，若取M0為原點(diǎn)，則得u(x,y,z)?xy?xz?yz.?y?R,?x?R,分別有l(wèi)imf(x,y)?lim

三、3、證明

x?02xy?0?f(0,y)x?0x2?y2，與limf(x,y)?limy?02xy?0?f(x,0)y?0x2?y2，即f(x,y)在原點(diǎn)（0，0）分別對(duì)x或y都連續(xù)

2xy2x2limf(x,y)?lim2?lim2?1?0?f(0,0)x?0x?0x?y2x?02xy?0y?0當(dāng)x?y時(shí)，卻有，即f(x,y)在原點(diǎn)（0，0）不連續(xù)（其實(shí)f(x,y)在原點(diǎn)（0，0）并不存在極限，當(dāng)然不連續(xù)）.

第三篇：一年級(jí)數(shù)學(xué)分析期末

2016-2017學(xué)年第一學(xué)期北師大版一年級(jí)

數(shù)學(xué)期末質(zhì)量分析

一、基本情況

一年級(jí)數(shù)學(xué)期末參試人數(shù)為22人，平均分94.68，及格人數(shù)21人，及格率95.45%；優(yōu)秀人數(shù)20人，優(yōu)秀率90.9%；良好人數(shù)21人，良好率95.45%。整體來(lái)說(shuō)，學(xué)生通過(guò)一學(xué)期的學(xué)習(xí)，成績(jī)有了很大進(jìn)步。

二、學(xué)生答題分析

1、學(xué)生答題的總體情況: 大部分學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，學(xué)習(xí)效果較好，特別是在計(jì)算部分、立體圖形的認(rèn)識(shí)、整時(shí)、半時(shí)的認(rèn)讀,數(shù)數(shù)、分類(lèi)上失分較少。但也反映出教學(xué)中存在的問(wèn)題，學(xué)生在提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、并解決問(wèn)題上存在困難，不能用自己學(xué)到的知識(shí)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。同學(xué)之間還存在較大的差距，如何扎實(shí)做好培優(yōu)輔差工作，如何加強(qiáng)班級(jí)管理，提高學(xué)習(xí)風(fēng)氣，在今后教育教學(xué)工作中應(yīng)該引起足夠的重視。

2、本次檢測(cè)結(jié)合試卷剖析，學(xué)生主要存在以下幾個(gè)方面的普遍錯(cuò)誤類(lèi)型：

第一、不良習(xí)慣造成錯(cuò)誤。學(xué)生在答題過(guò)程中，不認(rèn)真聽(tīng)老師讀題，造成抄寫(xiě)數(shù)字錯(cuò)誤、加減號(hào)看錯(cuò)等。

第二、審題不認(rèn)真造成錯(cuò)誤。學(xué)生在答題過(guò)程中，審題存在較大的問(wèn)題，有的題目需要學(xué)生在審題時(shí)必須通過(guò)分析才能找出答案，但學(xué)生經(jīng)常大意。

三、存在問(wèn)題

本次檢測(cè)，學(xué)生主要存在的問(wèn)題有：

1．第一題填空樂(lè)園。學(xué)生在數(shù)一串珠子時(shí)，從左數(shù)，黑珠子是第幾，黑珠子右邊有幾顆珠子，存在數(shù)錯(cuò)的情況。

2．第三題畫(huà)一畫(huà)，圈一圈。第一小題，比較兩個(gè)物體的多少，要求劃出錯(cuò)誤的答案，學(xué)生有劃錯(cuò)的情況。第二小題讓小狗跳臺(tái)階，每次跳三下，有些孩子不會(huì)3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)數(shù)，而失分。

3．第四題我是計(jì)算小能手。第一小題學(xué)生做口算時(shí)分不清加減號(hào)，把加法當(dāng)減法導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。第三小題學(xué)生對(duì)一共有多少不知用什么方法計(jì)算，導(dǎo)致錯(cuò)誤。

4.第五題解決問(wèn)題，學(xué)生對(duì)一共有多少、還剩多少區(qū)分不清，不清楚用什么方法導(dǎo)致錯(cuò)誤。

四、今后教學(xué)改進(jìn)措施

通過(guò)本次測(cè)試情況分析我們的教學(xué)現(xiàn)狀，在今后的教學(xué)與評(píng)價(jià)過(guò)程中應(yīng)作如下幾方面的工作：

1.培養(yǎng)學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。如：認(rèn)真思考、勤于動(dòng)腦、認(rèn)真聽(tīng)講、積極發(fā)言、獨(dú)立完成作業(yè)、書(shū)寫(xiě)整齊的習(xí)慣。加大學(xué)生在校輔導(dǎo)力度，避免回家家長(zhǎng)代做作業(yè)的情況，切實(shí)保證作業(yè)的質(zhì)量。加大對(duì)學(xué)生的教育，認(rèn)真對(duì)待考試，不亂寫(xiě)，勤于動(dòng)腦，發(fā)揮最好水平。

2．加強(qiáng)與其他老師的互相交流。對(duì)教學(xué)中出現(xiàn)的問(wèn)題要多向有經(jīng)驗(yàn)的教師請(qǐng)教，多聽(tīng)他們的課，學(xué)習(xí)他們?cè)诮虒W(xué)上的優(yōu)點(diǎn)，克服自己的不足，改進(jìn)自己的教學(xué)工作。

3.做好培優(yōu)輔差工作，與后進(jìn)生多溝通，多談心，消除他們的心理障礙；幫助后進(jìn)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；加強(qiáng)方法指導(dǎo)；嚴(yán)格要求后進(jìn)生，從最基礎(chǔ)的知識(shí)抓起，彌補(bǔ)知識(shí)漏洞。

4.嚴(yán)格遵循課標(biāo)，靈活處理教材。在新課標(biāo)理念指導(dǎo)下，把教材當(dāng)作學(xué)生從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本素材，重視現(xiàn)實(shí)生活中所蘊(yùn)藏著的更為豐富的教學(xué)資源，善于駕馭教材，能從學(xué)生的年齡特點(diǎn)和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，組織學(xué)生開(kāi)展有效地?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。

5.營(yíng)造和諧的環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)。教師要發(fā)揚(yáng)教學(xué)民主，保護(hù)每個(gè)學(xué)生的自尊心，尊重每個(gè)學(xué)生獨(dú)特的富有個(gè)性的見(jiàn)解，引導(dǎo)學(xué)生的主動(dòng)參與、親身實(shí)踐、獨(dú)立思考、合作探究，改變單一的記憶、接受、模仿的被動(dòng)學(xué)習(xí)方式，發(fā)展學(xué)生搜集和處理信息的能力。

6.結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，滲透數(shù)學(xué)思想方法。在課堂教學(xué)中，教師要意識(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)地檢查自己的思維活動(dòng)，反思自己是怎樣發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題的。7.在教學(xué)過(guò)程中，及時(shí)將知識(shí)加以明晰，進(jìn)行完整的歸納，讓學(xué)生形成清晰完整、準(zhǔn)確的知識(shí)體系。在教學(xué)中應(yīng)在學(xué)生理解意義的基礎(chǔ)上聯(lián)系，對(duì)比找出應(yīng)用題的不同點(diǎn)，給學(xué)生總結(jié)規(guī)律性的方法，強(qiáng)化理解，記憶訓(xùn)練的東西一定要到位，要落到實(shí)處。

通過(guò)這次的檢測(cè)反思，使我認(rèn)識(shí)到在今后的教學(xué)中應(yīng)做到：

1、加大題型的訓(xùn)練，多加強(qiáng)學(xué)生語(yǔ)言口頭能力的培養(yǎng)和書(shū)寫(xiě)能力的訓(xùn)練。

2、以后多出一些新穎，多樣化的題目讓學(xué)生練習(xí)。

3、培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，選擇計(jì)算方法的能力。

4、培養(yǎng)他們認(rèn)識(shí)做題的好習(xí)慣。

5、多鼓勵(lì)學(xué)生，培養(yǎng)他們愛(ài)學(xué)習(xí)，愛(ài)數(shù)學(xué)的自信心。

6、多培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，發(fā)展空間觀念，讓學(xué)生樂(lè)于交流，學(xué)會(huì)傾聽(tīng)的好習(xí)慣。

2017年1月9日

第四篇：數(shù)學(xué)系第三學(xué)期數(shù)學(xué)分析期末考試題及答案

第三學(xué)期《數(shù)學(xué)分析》期末試題

一、選擇題：（15分，每小題3分）

1、累次極限存在是重極限存在的（）

A充分條件B必要條件C充分必要條件D 無(wú)關(guān)條件

2、?f(x,y)?x

|(x0,y0)?（）

Alim

f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)

?x

?x?0

；B lim

f(x0??x,y0)

?x；

?x?0

Clim

f(x0??x,y0??y)?f(x0??x,y0)

?x

?x?0

；Dlim

f(x0??x,y0)?f(x0,y0)

?x。

?x?03、函數(shù)f(x,y)在（x0，y0）可偏導(dǎo)，則（D）

A f(x,y)在（x0，y0）可微；B f(x,y)在（x0，y0）連續(xù)；

C f(x,y)在（x0，y0）在任何方向的方向?qū)?shù)均存在 ；D 以上全不對(duì)。

4、f(x,y)?

xy

xy?(x?y)的二重極限和二次極限各為（B）

A、0，0，0；B、不存在，0，0，；C、0，不存在，0；D、0，0，不存在。

x5、設(shè)z?ey，則x

?z?x

?y

?z?y

?（A）

A、0；B、1；C、-1；D、2。

二、計(jì)算題（50分，每小題10分）

?

?

1、證明函數(shù)f(x,y)??

??

xyx?y0

2x?yx?y

?0?0

在（0，0）點(diǎn)連續(xù)且可偏導(dǎo)，2

但它在該點(diǎn)不可微；

xx

f(x)?

2、設(shè)

??e

0t

??

2d?dt,求f?(x),f(x)；

?z?xy??z

F?,??03、設(shè)有隱函數(shù)?zz?,其中F的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),求?x、?y；

4、計(jì)算?C的光滑曲線；

e(cosydx?sinydy)

x，其中C是任一條以為A(0,0)起點(diǎn)、B(a,b)為終點(diǎn)

5、??計(jì)算

?

zdS

z?x?y，其中?為在2

2z?

4的部分；

三、驗(yàn)證或解答（滿分24分，每小題8分）

1、驗(yàn)證曲線積分?(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz與路線無(wú)關(guān)，并求被積表達(dá)式的L

原函數(shù)；

??

2、說(shuō)明對(duì)任意

3、驗(yàn)證函數(shù)

??0,?e

?(??x)

sintdx關(guān)于t?(0,??)

均一致收斂；

?2xy2

2,x?y?0?22

f(x,y)??x?y

22?0,x?y?0?

在原點(diǎn)（0，0）分別對(duì)每個(gè)自變數(shù)x或y(另一個(gè)看作常數(shù))都連續(xù)，但是二元函數(shù)在原點(diǎn)（0，0）卻不連續(xù).?x?y?z?0

?33

3x?y?z?10?

四、（11分）求由方程組確定的隱函數(shù)y?y(x),z?z(x)在點(diǎn)P(1,1,?2)

處的一階導(dǎo)數(shù)。

部分題目參考答案：

二、1、證明：0?|

xyx?y

|?0?x

xy|（4分）

(x,y)?(0,0)

lim

xyx?y

=0所以函數(shù)在（0，0）

點(diǎn)連續(xù)，（3分）又lim

?x?y?x??y

?x?0

?0，fx(0,0),fy(0,0)存在切等于0，（4分）但

(?x,?y)?(0,0)

lim不存在，故函數(shù)在（0，0）點(diǎn)不可微（3分）

二、2、解

xx

??

xx

??

x

由于f(x)??(?e

x

d?)dt,f?(x)??

?(?e

t

d?)dt?0?0?

'x

?e

?x

dt?xe

?x，所

t

x

以 f(x)??te?dt??

t

2?e

?t

d(?t)??

x

e

?t

??

e

?x

?

.二、3、[解法 1]由隱函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法

F1?

??

'

1?

zF

1'

'

'

?z?x

x?y?'?'?

F1??2??F2??2??z??z?

1xF1?yF

2zF2

'

'

'

?z?y

F2?

??

'

'

y??x?'?

F1??2??F2??2??z??z?

?

xF1?yF2

[解法 2]利用全微分,將隱函數(shù)方程兩邊取全微分,得

dz?

?x??y?zdx?xdzzdy?ydz''''

F1d???F2d???0F1??F??0222

zz????zz，zF1dx?zF2dyxF1?yF2

'

'

'

'

?z，故

?x

?

zF1

'

'

'

?z?y

xF1?yF2

?

zF2

'

'

'

xF1?yF2

.由此可見(jiàn),用全微分來(lái)求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也是一個(gè)途徑.?Y

?X

二、4、解令X=

ecosy

x，Y=

?esiny

x，則

?x

x

=?y=?esiny,故被積表

=

e(cosydx?sinxdy)

x

x

達(dá)式知

e(cosydx?sinxdy)

x

一定有原函數(shù)，注意到

d(ecosy),xx

u(x,y)=ecosy 是e(cosydx?sinxdy)的一個(gè)原函數(shù)，故由定理21.13，有

?

C

e(cosydx?sinydy)

x

=

ecosy|(0,0)

x(a,b)

a

=ecosb?1.二、5、解曲面?在x0y平面上的投影區(qū)域

Dxy

??1????2

2??(x,y)x?y????

?2?????，而

?z?x

?2x,?z?y

?2y，于是曲面的面積微元

dS?

??2

?

所以

??

?

zdS?

??

Dxy

(x?y

??

?

2?0

d?

?

r

（在極坐標(biāo)系下計(jì)算）

?

81?

?2?

?

(r

?

t)

?

u?u)du?

(u?.?P?y

?Q?x

?Q?z

?R?y

?R?x

?P?z

三、1、解由于P?y?z,Q?z?x,R?x?y,所以曲線積分與路線無(wú)關(guān).現(xiàn)在求 u(x,y,z)?

??????1,??

M0M

(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz.取M0M為沿平行于x軸的直線到M1(x,y0,z0)，再沿平行于y軸的直線到

M2(x,y,z0)，最后沿平行于z軸的直線到M(x,y,z).于是

y

xz

u(x,y,z)?

?(y

x0

?z0)ds?

?(z

y0

?x)dt?

?(x?y)dr

z0

?(y0?z0)x?(y0?z0)x0?(z0?x)y?(z0?x)y0?(x?y)z?(x?y)z0 ?xy?yz?xz?c

其中c??x0y0?x0z0?y0z0是一個(gè)常數(shù)，若取M

u(x,y,z)?xy?xz?yz.為原點(diǎn)，則得

x?1時(shí)e

?(??x)

sint?e

?(??x)

?e

??

1e

x

?e

?x

1x

??,又

三、2、解當(dāng)

?x

收斂，所

??

?(??x)

以

?e

sintdt

關(guān)于t?(0,??)一致收斂.而積分0

??

?e

?(??x)

sintdt

是定積分，所以

?e

?(??x)

sintdx關(guān)于t?(0,??)

一致收斂.2xyx?y

?y?R,?x?R,分別有l(wèi)imf(x,y)?lim

三、3、證明

limf(x,y)?lim

y?0

x?0x?0

?0?f(0,y)，與

2xyx?y

y?0

?0?f(x,0)，即f(x,y)在原點(diǎn)（0，0）分別對(duì)x或y都連續(xù) 2xy

2x2x

2limf(x,y)?lim

當(dāng)x?y時(shí)，卻有

x?0

y?0x?0y?0

x?y

?lim

x?0

?1?0?f(0,0)，即f(x,y)在原點(diǎn)（0，0）不連續(xù)（其實(shí)f(x,y)在原點(diǎn)（0，0）并不存在極限，當(dāng)然不連續(xù)）.四、解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)有

1?y?(x)?z?(x)?0??(1)?

?222

?3x?3yy?(x)?3zz?(x)?0??(2)

(1)?3z

?(2)有:y?(x)??

zz

?x?y

z?(x)?

x?yz?y

222，代入（1）有：，所以

y?(1)??1，z?(1)?0.

第五篇：大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)分析考試題

姓名：__________大連理工大學(xué)

學(xué)號(hào)：__________ 課 程 名 稱(chēng)： 數(shù)學(xué)分析試卷： A考試形式：閉卷 學(xué)院（系）：_______授課院（系）：_數(shù)學(xué)___ 考試日期： 2006 年1月 5 日試卷共 ５ 頁(yè)

_____ 級(jí)_____ 班

裝

訂

線

一．簡(jiǎn)答題（20分）．下列命題如果正確，請(qǐng)給予證明；如果錯(cuò)誤，請(qǐng)給出反例． １． 集合??x?sinx|x??0,1????有界．２．如果limn??an?2，則limn??an?2．３．如果f?x?在?0,2?上連續(xù)，則f?x?在?0,2?上有界．1

４．如果函數(shù)f?x?在點(diǎn)x0可導(dǎo)，則f?x?在點(diǎn)x0一定連續(xù)．

二．證明下列命題（１２分）．

yn?A?0，１．利用極限定義證明：如果lim則存在自然數(shù)N，當(dāng)n?N時(shí)，yn?0． n??

２．設(shè)函數(shù)f?x?在點(diǎn)x0的鄰域N?x0,??中有定義，在點(diǎn)x0可導(dǎo)且有

f?x??f?x0?,x?N?x0,??,證明：f??x0??0．

三．計(jì)算下列各題（２０分）．

１． 設(shè)f?x??cos3(sinx)，求f??x?．

２．設(shè)f?x?,g?x?可導(dǎo)，且f?x??0,g?x??0，y?x??g?x?f?x?，求dy．

xa?ax?a?0?．３．計(jì)算極限 limx?ax?a

４．寫(xiě)出函數(shù)f?x??exsinx的馬克勞林（Ｍａｃｌａｕｒｉｎ）公式到５階． 2

四．完成下列各題（２４分）．

１．?dāng)⑹龊瘮?shù)f?x?在點(diǎn)a以實(shí)數(shù)A為極限的定義，并證明limx?1

?x2,x?1 ２．求A,B使函數(shù)f?x???，在x?1處可導(dǎo) ?Ax?B,x?12x?35?． 2?x3

３．?dāng)⑹龊瘮?shù)f?x?在區(qū)間I上一致連續(xù)的否定定義，并證明函數(shù)f?x??cos在?0,1?上不一致連續(xù)．

g?x?存在，求證g?x?在?2,???上一致連續(xù)． ４．設(shè)函數(shù)g?x?在?2,???上連續(xù)，且xlim???1x

五．證明下列各題（２４分）．

１．設(shè)f?x?在?a,b?上連續(xù)，且limf?x??A?0,limf?x??B?0，證明存在???a,b?使x?a?x?b?

得f????0.２．設(shè)函數(shù)f?x?在[a,b]上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，f?a??f?b??0, 且存在c??a,b?使得f?c??0，證明存在???a,b?使得f??????0.３．證明不等式：ln(1?x)?x(x??1).４．設(shè)函數(shù)f?x?在[0,1]上連續(xù)，在?0,1?內(nèi)可導(dǎo)，f?0??0,并滿足f??x??f?x,x??0,1?, 證明：f?x??0(x??0,1?)．