第一篇：極限存在準則,兩個重要極限

西南石油大學《高等數學》專升本講義

極限存在準則 兩個重要極限

【教學目的】

1、了解函數和數列的極限存在準則；

2、掌握兩個常用的不等式；

3、會用兩個重要極限求極限。

【教學內容】

1、夾逼準則；

2、單調有界準則；

3、兩個重要極限。

【重點難點】

重點是應用兩個重要極限求極限。

難點是應用函數和數列的極限存在準則證明極限存在，并求極限。

【教學設計】從有限到無窮，從已知到未知，引入新知識（5分鐘）。首先給出極限存在準則（20分鐘），并舉例說明如何應用準則求極限（20分鐘）；然后重點講解兩個重要的極限類型，并要求學生能利用這兩個重要極限求極限（40分鐘）；課堂練習（15分鐘）。

【授課內容】

引入：考慮下面幾個數列的極限

10001、limn???i?

1n1n?i1

n?i221000個0相加，極限等于0。

2、limn???i?1無窮多個“0”相加，極限不能確定。

3、lim

xn，其中xn=n??

x1=

對于2、3就需要用新知識來解決，下面我們來介紹極限存在的兩個準則：

一、極限存在準則

1.夾逼準則

準則Ⅰ如果數列xn,yn及zn滿足下列條件:

(1)yn?xn?zn

n??(n?1,2,3?)n??(2)limyn?a,limzn?a,n?? 那么數列xn的極限存在, 且limxn?a.證：?yn?a,zn?a,???0,?N1?0,N2?0,使得

當n?N1時恒有yn?a??, 當n?N2時恒有zn?a??,取N=max{N1,N2},上兩式同時成立,即a???yn?a??, a???zn?a??, 當n>N時，恒有 a???yn?xn?zn?a??,即xn?a??成立, ?limxn?a.n??

上述數列極限存在的準則可以推廣到函數的極限 準則Ⅰ′ 如果當x?U(x0,?)(或x?M)時,有

o

(1)g(x)?f(x)?h(x),(2)limg(x)?A,limh(x)?A,x?x0(x??)

x?x0(x??)

那么limf(x)存在, 且等于A.x?x0(x??)

準則 ?和準則 ?'稱為夾逼準則。

【注意】利用夾逼準則求極限的關鍵是構造出yn與zn，并且yn與zn的極限是容易求的。

例

1求n

+

+?+

解：

n??

1?1n

+?+

n

?lin??

?1,又lim

n??

nn?n

?lim ?1,lin??

n?1

?

1n

2由夾逼定理得：lim（n??

1n?1

?

1n?2

???

1n?n)?1.【說明】夾逼準則應恰當結合“放縮法”使用

2.單調有界準則

準則Ⅱ單調有界數列必有極限.加的；如果數列?xn?滿足條件x1?x2?x3???xn?xn?1??，就稱數列?xn?是單調減少的。單調增加和單調減少的數列統稱為單調數列。

幾何解釋:

如果數列?xn?滿足條件x1?x2?x3???xn?xn?1??，就稱數列?xn?是單調增

例2

證明數列xn=【分析】已知xn?1?

23nn?1

A

n重根式）的極限存在2?xn，x1?2，求limxn。首先證明是有界的，然后證明是

n??

單調的，從而得出結論

證：

1、證明極限存在 a)證明有上界

x1??2，設xn??xn?1?2，則xn?1?2?xn??2?

2所以對任意的n，有xn?2 b)證明單調上升

xn?1?xn?2?xn?xn?xn?xn?xn?2xn?xn?xn?xn?xn?0

所以limxn存在n??

2、求極限

設limxn?l，則l?

n??

2?l，解得l?2（l??1舍去）

所以limxn=

2n??

二、兩個重要極限

1.lim

sinx

?

1x?0x

如右圖所示，設單位圓O,圓心角?AOB?x,(0?x?

?)，作單位圓的切線，得?ACO.扇形OAB的圓心角為x,?OAB的高為BD,于是有sinx?BD,x?弧AB,tanx?AC,sinx?

?1,上式對于??x?0也成立.?sinx?x?tanx, 即cosx?x2xx2x

2當0?x?時,0?cosx??1?cosx ?2sin,?2()?

2222

?

sinxx2

?1.?lim?0, ?lim(1?cosx)?0,?limcosx?1, 又?lim1?1, ?lim

x?0x?0x?0x?0x?02x

例3求下列極限（1）lim

1-cosx

.x?0x2

2sin2

解：原極限=lim

x?0

xxx

sin2sin

?1lim()2 ?1?12 ?1.?1lim

222x?0(x)22x?0xx2

（2）limxsin

x??

x

解：原極限=lim

1siny

=1（令y=）

y?0xy

（3）lim

x??

sinx x??

解：原極限=lim

sin?(x??)?????1； x??x??

1x1n?

2.lim(1?)?e，lim(1?x)x?e，lim(1?)?e；“1”型

x??n???x?0xn

【說明】

（1）上述三種形式也可統一為模型lim?1???x??

?(x)?0?

?(x)

?e

（2）第二個重要極限解決的對象是1型未定式。例如，lim?2?x?

x??1

2x?1

??

?lim??1??x?1??x?1??e2 x??1??

例4求下列極限（1）lim(1-x

1x).x

x

解：原極限=lim[(1+

1-x-1

] ?lim

x??-x

?.?xe(1?)

?x

?x?2?

（2）lim??

x??x?3??

5??解：原極限=lim?1??x??x?3??

?

x

?

x?3?5x

?5x?

3=e

?5xx??x?3lim

=e

?

5【補充】“1”型計算公式：lim?1?f(x)?

x?x0

g(x)

?e

x?x0

limg(x)f(x)

其中x?x0時，f(x)?0,g(x)??。

證明：lim?1?f(x)?

x?x0

g(x)

?limeg(x)In?1?f(x)??ex?x0

x?x0

limg(x)In?1?f(x)?

?e

x?x0

limg(x)f(x)

例5求下列極限

（1）lim(1?tanx?sinx)

x?0

x

【分析】是冪指數函數，“1”型，考慮用“1”型計算公式

x

??

解：lim(1?tanx?sinx)=e

x?0

1x

tanx?sinxx?0xlim

=e

sinx(1?cosx)

x?0xcosxlim

=e

x3

x?02xlim

=1

（2）lim(cosx?sinx)

x?0

【分析】是冪指函數，“1”型，考慮用“1”型計算公式。

2?1

2x

12x

sin2xx?02xlim

??

解：原極限?lim(cosx?sinx)

x?0

?lim(1?sin2x)

x?0

?e?e。

（3）lim（x??

x?2x)x?3

?

?

【分析】是冪指數函數，“1”型，考慮用“1”型計算公式，但它不是標準型，通過“加1減1”變成標準型。

?5xxlim

lim(1?)=e??x?3?e?5 解：原極限=x??x?3

【思考題1】設有k個正數a1，a2，?，ak，令a=max{a1，a2，?，an}，求

nn

（“大數優先”準則）。lima1n?a2???ak

nn

an?a1n?a2???ak?an?an???an?kan?ka

?5x

n??

解：a?

nnn

而limka?a，所以由夾逼準則：limna1?a2???ak?a n??

n??

【思考題2】設x0?0，xn?1?

(xn?)，求limxn

n??2xn

212

?2，所以數列{xn}有下界。(xn?)?xn?xn2xn

解：顯然 xn?0。因為xn?1?

121xn2?xn

又因為xn?1?xn?(xn?)?xn????0，所以數列{xn}單調下降，即

2xnxn22xn

n??

limxn存在。設limxn=l，則l?

n??

(l?)，解得l?2，所以limxn=2

n??2l

【思考題3】求limcos

n??

xxx

cos2?cosn； 222

解：原極限=lim

n??

sinx2nsin

x

2n

?lim

sinx

?1(x?0)

n??x

【思考題4】求極限lim3?9

x???

?

x

1xx

解：lim3?9

x???

?

x

1xx

?lim9

x???

?1xx

??1??1?

?x?1? ?9?lim??1?x?

x???3??3????

x

3x

????

13?x

?9?e?9

n

【課堂練習】求 lim

i

n??

?2

in

?n?i。

?1

解：

n(n?1)212n

n2?n?n?n2?n?n?n2?n?n???n2

?n?n

?

12n2+n+1n2+n+2+?+n

n2+n+n

?

12nn(n+n2+n+1

n2+n+1+?+n2+n+1=1)2

n2

+n+1

而n(n?1)21n(nlim??n2?n?n?2，limn?1)2n??n2?n?1?12

所以 原極限?1

【內容小結】 o1、夾逼準則

當

x?U(x0,?)時，有

f(x)?g(x)?h(x)xlim?xf(x)?A=limh(x)，則lim0

x?x0

x?xg(x)?A。

2、單調有界準則

（1）單調上升有上界的數列，極限一定存在；（2）單調下降有下界的數列，極限一定存在。

3、兩個重要極限（1）lim

sinx

x?0x

?1

(x為弧度）；

（2）lim??(1?11

x)x

?e，limx?0(1?x)xx?e

且，

第二篇：兩個重要的極限（推薦）

《數學分析》教案

§４ 兩個重要的極限

教學目的：掌握兩個重要極限，并能熟練應用。

教學要求：掌握兩個重要極限，牢記結論；掌握證明的基本思路和方法，并能靈活運用。教學重點：兩個重要極限的證明及運用。

教學難點：兩個重要極限的證明及運用。

教學方法：講授定理的證明，舉例說明應用，練習。

教學程序：

一關于函數極限的性質

１）性質１－性質４常用于說明函數極限的一些性質。

例１． 設f(x)?0，limf(x)?

A，證明：limx?x0x?x0?例２． 設limf(x)?A，limg(x)?B.（1）若在某U0(x0)內有f(x)?g(x)，問是否有A?B？x?x0x?x0

為什么？（2）證明：若A?B，則在某U0(x0)內有f(x)?g(x).２）性質５－性質６（迫斂性、四則運算）常用于計算。

x2?1x2?12?1?Ｐ51： １:（１）lim2(sinx?cosx?x)?2?；（２）lim2；（３）lim2；

?x?0x?122x?x?12x?x?13x?22?

2(3x?6)70(8x?5)20370?8204（６）（８）lim.??；9090x???x?(5x?1)53２: limxsinx?0.x???x2?

4sinx?1.例 limx?0x

二、關于歸結原則(Heine定理)

１． 定理的內容:

２． 定理的意義:

３． 定理的用途:

１）說明極限不存在，如limsinx?01的極限不存在； x

２）利用數列極限的性質證明函數極限的性質。

例１． 證明函數極限的唯一性。

例２． 證明函數極限四則運算。

例３． 證明單調有界定理。

３）利用函數極限求數列極限。

例４．

例５． limnsinn??1.nlim(1?n??11?2).nn

４． 歸結原則有不同的敘述（在不同的極限形式下），要注意靈活應用。

三、關于單調有界定理

１． 內容。

２． 意義。

四、關于Cauchy準則

１． 內容

２． 意義

３． 用途：

１）證明limf(x)存在； x??

２）證明limf(x)不存在。如limsinx???x???1。x

證明中用到歸結原則，數列極限的Cauchy準則。

§４ 兩個重要的極限

sinx?1的證明 x?0x

sinx?1的應用 二 limx?0x

sinx例１． 求lim.x????x

1?cosx例２． 求lim.x?0x2一 lim

?limnsin1，直接利用limsinx?1是不嚴格的；注：利用歸結原則，可求數列極限。如求limx?0n??n??1xn

n

sinx??，1故取xn?,(n?1,?2,，)但已知li則xn?0(n??)，從而由歸結原則x?0xn

1sin?0.limf(xn)?limn??n??n

tgx例３． 求lim.x?0xsin

1?1?三 證明lim?1???e或lim?1?????e.??0x???x?x

四 應用

例１． 求lim?1?2x?x?0

x1x.例２． 求lim?1?x?.x?0

例３． 求lim(1?n??11n?2).nn

練習：Ｐ３９ ４ ?(1??

?1n?)?為遞增數列。n?1?

n??Ｐ３９ ９ ?(1?)n?1?為為遞減數列。

Ｐ５５ ２ 設f為定義在[a,??)上的增（減）函數，證明：limf(x)存在?f在[a,??)上x?????

有上（下）界。

第三篇：08 第八節 極限存在準則 兩個重要極限

第八節 極限存在準則

兩個重要極限

分布圖示

★ 夾逼準則

★ 例1 ★ 例4 ★ 例7 ★ 例10 ★ 例12 ★ 例15 ★ 例18 ?1?★ lim?1???e

x???n?x★ 單調有界準則

sinx★ lim?1

x?0x

★ 例2 ★ 例5 ★ 例8 ★ 例11 ★ 例13 ★ 例16

★ 例3 ★ 例6 ★ 例9 ★ 例14 ★ 例17

★ 例19 ★ 例20

★ 例21 ★ 例24

★ 例22 ★ 例23 ★ 例25 ★ 柯西極限存在準則 ★ 連續復利（例26）★ 內容小結

★ 課堂練習★習題 1-8

內容要點

一、準則I（夾逼準則）：如果數列xn,yn及zn滿足下列條件:（1）yn?xn?zn(n?1,2,3,?);

（2）limyn?a,limzn?a，n??n??那末數列xn的極限存在, 且limxn?a.n??注：利用夾逼準則求極限，關鍵是構造出yn與zn, 并且yn與zn的極限相同且容易求.二、準則II（單調有界準則）：單調有界數列必有極限.三、兩個重要極限：

sinx?1?1.lim?1；

2．lim?1???e.x???x?0xx?

四、連續復利

設初始本金為p(元), 年利率為r, 按復利付息, 若一年分m次付息, 則第n年末的本利和為

r??sn?p?1???m?mnx

如果利息按連續復利計算, 即計算復利的次數m趨于無窮大時, t年末的本利和可按如下公式計算

r??s?plim?1??m???m?mt?pert 若要t年末的本利和為s, 則初始本金p?se?rt.例題選講

夾逼準則的應用

?111??.例1(E01)求 lim??????222n???n?2n?n??n?1解

?nn?n2?1n?12???1n?n2?nn?12

又limn??nn?n2?limn??111?n?1,limn??nn?12?limn??111?2n?1，由夾逼定理得

?1?11??1.lim??????2n???n2?2n2?n??n?1

nn1/n例2 求 lim(1?2?3).n??解 1nnn由(1?2?3)??2??1??3?1???????,易見對任意自然數n,有 ???3??3????2??1?1?1???????3，?3??3?nnn1n?n1故3?1n1??2??1??3?1????????3?3n.???3??3???n1n?n1而lim3?1nn???3,1lim3?3nn???3,所以

1nnn2?3)n??lim(1???2??1??lim3?1????????3.n?????3??3???n1n?n

例3 求 lim??解

設xn??111??.????22?n??n2(n?1)(n?n)??111????.顯然，n2(n?1)2(n?n)2n?1111111n?1??????x??????2 n22222224n(2n)(2n)(2n)nnnn又limn?1n?1?0,lim?0,由夾逼準則知limxn?0，n??4n2n??n2n???111???0.即lim?????22?n???n2(n?1)(n?n)??

an(a?0).例4 求 limn??n!a?a?a?aana?a?a?ac?a?c??解 ?，([a]?2)([a]?3)?nn!1?2?3?([a]?1)([a]?2)?nna?a?aanc?aanc?a,因此0??,而lim?0.其中c??0,所以limn??n!n??n1?2?3?([a]?1)n!n

n!.n??nnn!1?2?3?n1?2?n?n?nn!222解 由n???2,易見0?n?2.又lim2?0.n??nn?n?n?nn?n?n?nnnnnn!所以 lim2?0.n??n 例5(E02)求 lim例6(E03)求極限limcosx.x?0xx2?x??2????解 因為0?1?cosx?2sin,故由準則I?,得 22?2?22lim(1?cosx)?0, 即 limcosx?1

x?0x?0

例7 求 limnn.n??解

令nn?1?rn(rn?0),則

n?(1?rn)n?1?nrn?2n(n?1)2n(n?1)2.rn???rnn?rn(n?1),因此 , 0?rn?n?12!2!由于limn??2?0,所以limrn?0.故limnn?lim(1?rn)?1?limrn?1.n??n??n??n??n?1

例8 求證limna?1(a?0).解

(1)n??當a?1時, n1?1,故limna?lim1?1.n??n??(2)

當a?1時,設xn?na,顯然xn?1.當n?a時,xn?na?nn.由例3知limnn?1,所以

n??n??limna?1(a?1).(3)

當0?a?1時，總存在一個正數b(b?1),使得a?1/b,由(2)知limnb?1,所以

n??n??limna?limnn??111???1, blimnb1n??綜合上述證明可知

limna?1(a?0).n??

例9 求極限 limx??.x?0?x?1?1?1?1?解

當x?0時, ?1????，因此，當x?0時, 1?x?x???1

x?x?x?x??1??1?x?0x?1,1?x?x由夾逼定理可得lim當時，有???x??1 x?0??x????1??1?x?1,limx由夾逼定理可得lim從而????1.x?0?x?0??x??x?

例10(E04)設有數列x1?1??3,x2?3?x1,?,xn?3?xn?1,?,求

limx.n??n證

顯然xn?1?xn,?{xn}是單調遞增的.下面利用數學歸納法證明{xn}有界.因為x1?3?3,假定xk?3,則xk?1?3?xk?3?3?3.所以{xn}是有界的.從而limxn?A存在.n??222由遞推關系xn?1?3?xn,得xn?1?3?xn,故limxn?1?lim(3?xn),即A?3?A，n??n??解得A?1?131?131?13,A?.(舍去).所以limxn?n??222

例11 設 a?0為常數, 數列xn由下列定義:

xn?1?a???x?(n?1,2,??)n?1??2?xn?1?其中x0為大于零的常數, 求limxn.n??解

先證明數列xn的極限的存在性.1?a?2222??2xnxn?1?xn由xn??即x?(x?x)?x?ax?a.?a,?n?1nn?1nn?1?2?xn?1??由a?0,x0?0,知xn?0,因此xn?a,即xn有下界.又xn?11?a???1?1a?1,故數列xn單調遞減，由極限存在準則知limxn存在.??1?2?2n??xn2??xn?22xn

1?a?1?a??A?A?不妨設limxn?A,對式子xn??兩邊取極限得:x???.n?1?n??2A2?x??n?1??解之得A?a,即limxn?a.n??

tanx.x?0xtanxsinx1sinx1?1.解 lim?lim??lim?limx?0xx?0xx?0x?0cosxxcosx 例12(E05)求 lim例13 求 limtan3x.x?0sin5xsin3x31tan3xsin3x1133解 lim?lim3x??lim????1?.5x5co3x?0sin5xx?0sinsx155xco3sxx?0sin55x

例14(E06)求 lim1?cosx.2x?0x2xx?x?sin?2sinsin2?2??1?12?1.2?1lim2?1lim?解

原式?limx?02x?0?x?2x?0?x?222x2?????2??2?2

例15

下列運算過程是否正確：

limtanxtanxxtanxx?lim.?limlim?1.x?xsinxx?xxsinxx?xxx?xsinxtanxx?1,?1,本題x??,所以不能應用上述xsinx解

這種運算是錯誤的.當x?0時,方法進行計算.正確的作法如下：

令x???t,則x???t;當x??時, t?0,于是

tanxtan(??t)tanttanttlim?lim?lim?lim???1.x??sinxt?0sin(??t)t?0?sintt?0t?sint

例16

計算 lim解 lim cosx?cos3x.2x?0xcosx?cos3x2sin2xsinx4sin2xsinx?4.?lim??lim22x?0x?0x?02xxxxx2例17 計算 lim.x?01?xsinx?cosxx2(1?xsinx?cosx)1?xsinx?cosx)?lim解 lim ?limx?0x?01?xsin1?cosxxsinxx?01?xsinx?cosxx?cosx?2xx2x2?1?14?.1?132

x?sin2x.x?0x?sin2xsin2xsin2x1?1?2x?sin2xx?lim2x?1?2??1.解 lim?limx?0x?sin2xx?0sin2xx?0sin2x1?231?1?2x2x 例18(E07)計算 lim?1?例19(E08)

求 lim?1??n???n?n?3.1?????1?n??n?1?解 lim?1??n???n?n?3???lim??1?n?????1??n?3??1??1???lim?1????1???e?1?e.n???n??n???n3

1/x例20(E09)

求 lim(1?2x).x?0解 1lim(1?2x)xx?01????lim?(1?2x)2x?x?0?????2?e?2.?k?例21(E10)求lim?1??.x???x?xx????kkkk?k?????k解 lim?1???lim??1?????lim?1????e.x??x????x???x???x??x??????xkkx?1?特別地，當k??1時，有lim?1???e?1.x???x?

?3?x?例22(E11)求 lim??.x???2?x??3?x?解 lim??x???2?x?2xxx?2?2?????1??1??lim??1?? ???lim??1??x????x??x?2x?2??????????x?2?4??1???1?2?lim??1????1???e.x????x?2??x?2????222x2x ?x2??.例23 求 lim?x???x2?1???xx???x2?11??????lim解 lim??1?2??lim??1?2x???x2?1?x????x???x?1x?1?????xxx2?1?x?12????e0?1.x1/x例24 計算 lim(e?x).x?01(ex?解 limx?01x)x?1?lim(ex)x?1?x?0?e?x?xx???elim1???x?x?0?ex???e??1?xx?ex?2??e?e?e.??

tan2x.例25 求極限 lim(tanx)x??/4解

令t?tanx?1,則tanx?t?1,當x??4時,t?0,又

tan2x?2(t?1)2tanx12(t?1)? ???22tt?21?tanx1?(t?1)12(t?1)??lim(1?t)tt?2t?01?2(t?1)lim[(1?t)t]t?2t?0故lim(tanx)tan2x?x???1?[lim(1?t)t]t?0limt?0?2(t?1)t?2?e?1.連續復利

例26(E12)

小孩出生之后，父母拿出P元作為初始投資，希望到孩子20歲生日時增長到100000元，如果投資按8%連續復利，計算初始投資應該是多少？

解 利用公式S?Pe，求P.現有方程

rt100000?Pe0.08?20

由此得到

e

P?100000?1.6?20189.65

于是，父母現在必須存儲20189.65元，到孩子20歲生日時才能增長到100000元.計算現值可以理解成從未來值返回到現值的指數衰退.一般地，t年后金額S的現值P, 可以通過解下列關于P的方程得到

S?Pekt，P?

P?kt?Pe.ekt課堂練習

1.求極限 limtanx?sinx.x?0x2sinx2.求極限lim

x???1(3x?9x)x.

第四篇：兩個重要極限的證明

兩個重要的極限

1．證明：lim

sinxx

x?0

?1

證明：如圖（a）作單位圓。當0

12x?

?2

時，顯然有ΔOAD面積<扇形OAD面積<ΔOAB面積。

xsinx

?

1cosx

tgx，sinx

?2

或1?

sinxx

?cosx

?2

?x?0

時也成立。

圖（a）

故（1）式對一切滿足不等式0?|x|?的x都成立。

sinxx

?1。

由limcosx=1及函數極限的迫斂性定理立刻可得lim

x?0

x?0

函數f(x)=

sinxx的圖象如圖（b）所示。

2．證明：lim(1?)n存在。

n??

n

證明：先建立一個不等式，設b>a>0，于是對任一自然數n有

b

n?1

圖（b）

n?1

?a

n?1

b?a

?(n?1)b或b

n

n?1

?a

n?1

?(n?1)b(b?a)，整理后得不等式a

n（1）?b[(n?1)a?nb]。

n

令a=1+故有(1?

1n?1)

n?1，b=1+

1n)

1n

n，將它們代入（1）。由于(n?1)a?nb?(n?1)(1?

1n?1)?n(1?

1n)?1，n?1

?(1?

12n，這就是說{(1?)n}為遞增數列。

n

12n)?

再令a=1，b=1+代入（1）。由于(n?1)a?nb?(n?1)?n(1?

12n)

2n，故有1?(1?

12n)

n

12，2?(1?

12n1n)

n。

不等式兩端平方后有4?(1?，它對一切自然數n成立。聯系數列的單調性，由此又推得數列{(1?)n}

是有界的。于是由單調有界定理知道極限lim(1?)n是存在的。

n??

n

3．證明：lim(1?)x?e。

x??

x

證明：所求證的極限等價于同時成立下述兩個極限：

x???

lim(1?

1x)?e

x

（1）

x???

lim(1?

1x)?e

x

（2）

現在先應用2中數列極限lim(1?)n?e，證明（1）式成立。

n??

n

設n≤x

1n?1

?1?

1x

?1?

1n

及(1?

1n?1)

n

1n?1)?(1?

n

1x)?(1?

x

1n)

n?1，（3）

作定義在[1，+?)上的階梯函數。f(x)?(1?，n≤x

n

由（3）有f(x)<(1?)x?g(x)，x∈[1，??)。由于limf(x)?lim(1?

x

x???

n??

11n?1

(1?)?lim

n

n??

n?1

11?

n?)

n?1

?e

x???limg(x)?lim(1?n??1n)n?1?lim(1?n??1n)(1?n1

n)?e，根據迫斂性定理便得（1）式。

y)?y現在證明（2）式。為此作代換x=-y，則(1?)x?(1?x?(1?1

y?1)?(1?y1

y?1)y?1(1?1

y?1)

因為當x→-∞時，有y-1→+∞，故上式右端以e為極限，這就證得lim(1?)x?e。

x???1x

以后還常常用到e的另一種極限形式lim(1?a)a?e a?0

1x（4）1

a?0因為，令a?1x，則x→∞和a→0是等價的，所以，lim(1?)?lim(1?a)a。x??x

第五篇：關于兩個重要極限的認識

關于兩個重要極限的認識

陳乙德

（河南大學 計算機與信息工程學院，開封 475001）

摘要：本文重點討論了微積分中的兩個重要極限，一是它在概念引出中的重要作用，二是兩個重要極限的一般形式和應用 關鍵詞：兩個重要極限；一般形式；應用

中途分類號：O172文獻標志碼：A

1x在微積分的眾多常用極限中之所以要把limsinxxx→x0=1, lim 1+x =e這兩個極限稱為重要極限是因為在x→∞

由導數概念到建立初等函數求導公式這一過程以及求函數極限中，這兩個重要極限起了必不可少的紐帶作用。

1．兩個重要極限在微分學中的重要性

微分學的基礎概念——導數是建立在極限概念基礎上的。即求一個函數f(x)在點x的導數f′（x），就是計算極限limf x+△x —f（x）

△xx→x01），如果求函數導數都計算極限（1）的話，顯然是非常繁瑣的，勢必限

制導數的廣泛應用，事實上，在求函數導數時，只需根據基本初等函數的求導公式及求導法則就可以很方便地求得任何一個初等函數的導數。下面來看看正弦函數sinx的求導公式，(sinx)′=limf x+△x —f（x）

△x

2cos?(x+)sin

△x

△xsin△x2x→x0=lim△x2x→x0=limcos(x+2)△x→0△x

2=cosx·

1=cosx

其中應用第一個重要極限limsinxxx→x0=1，即：limsin△x→0△x2sinuu→0u2,△x→0時，u→0)。求得(sinx)′△x=cosx后，其余的三角函數和反三角函數的導數公式就可利用多個求導法則得到了。其次，對數函數logax的求導公式。由導數定義，（logax）′=limloga（x+△x）—logax

△x

△xx1△x→0=limloga（1+△x→0）

1xx=limloga（1+△x→0

1△xx△xx））x

△x=xlimloga（1+△x→0

=xlogae

作者簡介：陳乙德（1991-），男，河南信陽人，在校本科生。E-mail:282143947@qq.com 1

=1

xlna

1x其中應用了第二重要極限lim 1+x=e，即 x→∞

△x→0limloga（1+△xx）=limloga（1+）logae（u=△x→0u

xlnax1ux△x，△x→0時，u→∞）求得了（logax）′=

可見，兩個重要極限在導出基本初等函數的求導公式過程中，特別是涉及三角函數與對數函數的求導中起到了關鍵性作用，沒有這兩個重要極限，兩類函數的求導公式就不可能得出。

2.兩個重要極限的一般形式

2.1關于極限lim

在limsinxxsinxxx→x0=1 x→x0中，x只是一個符號，并沒有具體意義。

sinf（x）

f（x）故將其變形為lim

lim

limsinf（x）x→x0，該式成立的條件是：當x→x0時，f（x）→0。將其推廣后便有=1?limf（x）x→x0g（x）x→x0g（x）x→x0g（x）f（x）=limsinf（x）f（x）x→x0?f（x）g（x）=limf（x），該式成立的條件是當x→x0時，f（x)→0且

x→x0g（x）可求。

sinxx需要注意的是：應用limx→x0模型解題時符號x必須統一，包括系數、正負符號等。

00解題方法：湊出以下三點，①的未定式。②分母為關于x的冪指數。③sin函數內的式子要與分母的式子一致。

2.2關于極限lim 1+x=e x→∞1x

同樣在lim 1+=e中，x也只是一個符號，沒有具體意義。令y=x→∞時，y→0，那么xxx→∞

y→01x1lim 1+y =e。

故將其變形為lim 1+g（x）x→x01g（x）1=e，該式成立的條件是：x→x0時，g（x）→0。將其推廣后便有

g（x）

x→x0lim 1+g（x）

g（x）

x→x0f（x）1f（x）=lim 1+g（x）x→x0g（x）1g（x）f（x）=limex→x0f（x）=ex→x0f（x）limg（x），該式成立的條件是當x→x0時，g（x）→0且lim可求。

需要注意的是：g（x）形式上一定要統一，括號內必須是“+”號，如果是“?”號，需要變形后放到分母上去。

一般解題方法：湊出以下三點，①注意x的趨向，始終保證極限式的形式。②構造“1+” ③括號內除去“1+”之外部分與指數上的式子要一致，互為倒數。

特殊解題方法：如果lim f（x）=0, lim g（x）=∞,且lim f（x）g（x）=A；則 x→x0x→x0x→x0

lim1+f（x）x→x0g（x）=eA

g（x）證明：令lim1+f（x）x→x0=B.利用初等函數的連續性及對數性質有：

f（x）g（x）B=lim1+f（x）x→x0g（x）

=lim1+f（x）x→x01f（x）

兩邊取對數有，lnB=lim f（x）g（x）ln 1+f（x）x→x01f（x）

=Alne

=A

所以B=eA

即lim1+f（x）x→x0g（x）=eA

特例見例5

3.兩個重要極限在計算極限中的應用

經分析可得，limx→0sinxx=1為（0limx→∞ 1+x =e為（1∞）型未定式。在解題過程中也01x

可以用羅比達法則或等價無窮小求解。這里我們主要介紹如何在求解極限中應用這兩個重要極限。例1：求limxsinx x→+∞

2x2解：令t=，可知t→0，limxsinx=limx→+∞2sinx2xx→+∞

sintt?2 =limt→0?2

=2

例2：求limx→0sinsinsinxx

解：設sinsinx=a，sinx=b，知a→0，b→0

limx→0sinsinsinxxlim（x→0sinsinsinxsinsinx?

?sinsinxsinxsinxx?sinxx）=lim（x→0sinaa?sinbb）

=1?1?1

=1

例3：求lim（1?x）x→∞

x2?x解：設-2=t，知t→∞，lim（1?）=lim1?xxx→∞x→∞2?x2?22

=lim1+tt→∞21t

=e2

例4：求lim3x?1x→+∞3x+22x?1

解：令3x?13=t，知t→+∞，3x+22x?1lim3x?1x→+∞=lim 1+ 3x?1x→+∞

lim3（2x?1）x→+∞3x?133x?13 2x?1= e

2?x=e2 例5：求lim 1?xx→∞

解：法一［普通法］

原式=lim1?x =lim1?x =e2 2x→∞?02?x22?x2

法二［特殊法］

因為lim（?x）（-x）=2，所以lim 1?xx→∞x→∞22?x=e2

參考文獻彭英.淺談兩個重要極限的應用[J].山西科技，20082 郎宏志.對兩個重要極限的討論[J].中國科技信息，20063 呂楠.關于兩個重要極限的理解[J].科教文匯，20074 王達開.兩個重要極限應用探討[J].遼寧教育行政學院學報，2004