第一篇：函數極限存在的條件

§3 函數極限存在的條件

教學目的與要求：

掌握函數極限存在的判定方法，能熟練運用各種判定方法討論函數極限的存在性。教學重點，難點：

各種判定方法的證明和理解，單調有界性定理Cauchy準則的證明

教學內容：

一、歸結原則

定理3.8(歸結原則)設f在U0?x0;???內有定義.limf?x?存在的充要條件是: 對x?x0

任何含于U0?x0;???且以x0為極限的數列?xn?, 極限limf?xn?都存在且相等.n??

分析 充分性的證法:只須證明,若對任意數列?xn?,且limxn?x0,xn?x0,有n??

limf?xn??A,則limf?x??A.因為在已知條件中,具有這種性質的數列?xn?是任意的n??x?x0

(當然有無限多個),所以從已知條件出發直接證明其結論是困難的.這時可以考慮應用反證法.也就是否定結論,假設limf?x??A,根據極限定義的否定敘述,只要能構造某一個數列 x?x0

{xn},limxn?x0,xn?x0,但是limf?xn??A,與已知條件相矛盾.于是充分性得到n??n??

證明.注1 歸結原則也可簡述為

limf?x??A?對任何xn?x0?n???有limf?xn??A.x?x0n??

注2 雖然數列極限與函數極限是分別獨立定義的,但是兩者是有聯系的.海涅定理深刻地揭示了變量變化的整體與部分、連續與離散之間的關系, 從而給數列極限與函數極限之間架起了一座可以互相溝通的橋梁.它指出函數極限可化為數列極限,反之亦然.在極限論中海涅定理處于重要地位.有了海涅定理之后,有關函數極限的定理都可借助已知相應的數列極限的定理予以證明.例如

limf(x)f(x)x?x0若limf(x)?A,limg(x)?B(B?0), 則lim.?x?x0x?x0x?x0g(x)limg(x)

x?x0

證已知limf(x)?A與limg(x)?B,根據海涅定理的必要性,對任意數列?xn?,且x?x0x?x0

limxn?x0,xn?x0,有limf?xn??A,limg?xn??B.由數列極限的四則運算,對任意n??n??n??

數列?xn?,且limxn?x0,xn?x0,有limn??n??f(xn)A?.再根據海涅定理的充分性,由g(xn)B

limf(x)f(xn)Axf(x)?x0注3 海涅定理除上述重要的理論意義外, 它還為lim?lim??x?x0g(x)n??g(x)Blimg(x)nx?x0

證明某些函數極限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一個以x0為極限的數列?xn?,??使limf?xn?不存在,或找到兩個都以x0為極限的數列?x?n?與?xn?,使limf(x'n)與

n??

n??

??)都存在而不相等,則limf(x)不存在.limf(xn

n??

x?x0

例1證明極限limsin

x?0

不存在.x

函數y?sin的圖象如圖3-4所示,由圖象可見,當x?0時,其x

函數值無限次地在-1與1的范圍內振蕩,而不趨于任何確定的數.??

對于x?x0,x?x0,x???和x???為四種類型的單側極?

限,相應的歸結原則可表示為更強的形式.現以x?x0這種類型為例

闡述如下：

定理3.9 設函數f在點x0的某空心右鄰域U?(x0)有定

?

f(x)?A的充要條件是：對任何以x0為極限的遞減數列?xn??U?義.lim(x0),有?

x?x0

limf(xn)?A.n??

注5定理3.9充分性的證明可參照第二章第三節例3及定理3.8的證明.例如可取

?

?n?min{,xn?1?x0},以保證所找到的數列?xn?能遞減的趨于x0.n

二、單調有界定理

相應于數列極限的單調有界定理,關于上述四類單側極限也有相應的定理.現以

?

這種類型為例敘述如下： x?x0

f(x)存在.定理3.10設f為定義在U?(x0)上的單調有界函數,則右極限lim?

x?x0

注6(1)設f為定義在U?(x0)上的有界函數.若f遞增,則f(x0?0)?inf0

若f遞減,則f(x0?0)?sup

(2)設f為定義在U

x?U?(x0)

f(x);

f(x).x?U?(x0)

(x0)上的遞增函數,則

x?U?(x0)

f(x0?0)?supf(x), f(x0?0)?inf0

x?U?(x0)

f(x)

三函數極限的柯西收斂準則

定理3.11(柯西準則)設函數f在U?(x0;?')內有定義.limf(x)存在的充要條件是：

x?x0

任給??0,存在正數?(??'),使得對任何x',x???U?(x0;?)有f(x')?f(x??)??.[分析]充分性的證明可以利用數列極限的柯西準則和函數極限與數列極限的橋梁——海涅定理來證.分兩步：1)對任何以x0為極限的數列?xn??U?(x0;?), 數列?f(xn)?的極限都存在;2)證明對任何以x0為極限的數列?xn??U?(x0;?),數列?f(xn)?的極限都相等.注7 可以利用柯西準則證明函數極限limf(x)的不存在:

x?x0

設函數f在U?(x0;?')內有定義.limf(x)不存在的充要條件是：存在 ?0?0,對任

x?x0

意正數?(??'),存在x',x???U?(x0;?), 有f(x')?f(x??)??0.如在例1中我們可取?0?

1,對任何??0,設正整數n?,令

?

211, x'?,x???

n?n??2

則有x',x???U?(0;?),而sin

?sin?1??0于是按柯西準則,極限limsin不存在.x?0xx'x??

小結

1.證明函數極限存在或求函數極限的方法.(1)用定義證明函數極限的方法且limf(x)?A,尤其是分段函數的分段點.(2)用柯西收斂準則證明函數極限存在.(3)用迫斂性證明函數極限存在并求得極限值.(4)用海涅歸結原理證明函數極限存在并求得極限值.(5)用四則運算法則及一些熟悉的極限求值.(6)對于單側極限,單調有界定理可證得極限存在.2.證明函數極限不存在的主要方法:

(1)利用函數極限的定義證明函數極限不存在,(2)利用函數極限與單側極限的關系證明函數在某點不存在極限.特別對分段函數在分段點處的極限.(3)利用海涅歸結原理證明函數極限不存在.(4)利用柯西收斂準則證明函數極限不存在.復習思考題、作業題： 1，2，3，5

第二篇：函數極限

習題

1.按定義證明下列極限:

(1)limx???6x?5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x?2x

x2?5?1;(4)lim?(3)lim2x???x?1x?2

(5)limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;

2.根據定義2敘述limf(x)≠ A.x?x0

3.設limf(x)= A.,證明limf(x0+h)= A.x?x0h?0

4.證明:若limf(x)= A,則lim| f(x)| = |A|.當且僅當A為何值時反之也成立? x?x0x?x0

5.證明定理3.1

6.討論下列函數在x0→0 時的極限或左、右極限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

?2x;x?0.?(3)f(x)=?0;x?0.?1?x2,x?0.?

7.設 limf(x)= A,證明limf(x???x?x01)= A x

8.證明:對黎曼函數R(x)有limR(x)= 0 , x0∈[0,1](當x0=0或1時,考慮單側極限).x?x0

習題

1． 求下列極限：

x2?1（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;?x?02x2?x?1x?22

x2?1?x?1???1?3x?;

lim(3)lim;(4)

x?12x2?x?1x?0x2?2x3

xn?1(5)limm(n,m 為正整數)；（6）lim

x?1xx?4?1

（7）lim

x?0

?2x?3x?2

70；

a2?x?a?3x?6??8x?5?.（a>0）;(8)lim

x???x5x?190

2． 利用斂性求極限：(1)lim

x???

x?cosxxsinx

;(2)lim2

x?0xx?4

x?x0

3． 設 limf(x)=A, limg(x)=B.證明：

x?x0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

x?x0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)A

=(當B≠0時)g(x)B

4． 設

a0xm?a1xm?1???am?1x?am

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1

b0x?b1x???bn?1x?bn

試求 limf(x)

x???

5． 設f(x)>0, limf(x)=A.證明

x?x0

x?x0

lim

f(x)=A，其中n≥2為正整數.6.證明limax=1(0

x?0

7.設limf(x)=A, limg(x)=B.x?x0

x?x0

(1)若在某∪(x0)內有f(x)< g(x)，問是否必有A < B ? 為什么？

（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內有f(x)> g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數）：(1)lim ?

x?0

x

x11

lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x

x?x2???xn?n

(3)lim;(4)lim

x?0x?0x?1

?x?1

x

(5)lim

x??

?x?(提示：參照例1)

x

x?0

x?0

x?0

9．（1）證明：若limf(x3)存在，則limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，試問是否成立limf(x)=limf(x2)?

x?0

x?0

x?0

習題

1.敘述函數極限limf(x)的歸結原則,并應用它證明limcos x不存在.n???

n???

2.設f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數.證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在n???

[a,+?)上有上(下)界.3.(1)敘述極限limf(x)的柯西準則;

n???

(2)根據柯西準則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應用它證明limsin x不存在.n???

n???

4.設f在∪0(x0)內有定義.證明:若對任何數列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都

n??

n??

存在,則所有這極限都相等.提示: 參見定理3.11充分性的證明.5設f為∪0(x0)上的遞減函數.證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0x?u?

?x0?

0x?un(x0)

inff(x)

6.設 D(x)為狄利克雷函數,x0∈R證明limD(x)不存在.x?x0

7.證明:若f為周期函數,且limf(x)=0,則f(x)=0

x???

8.證明定理3.9

習題

1.求下列極限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x?0x?0sinx2x

(3)lim

x?

cosxx?

?

tanx?sinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x?0x?0xx

sin2x?sin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

x???x?axx?a

;(4)lim

x?0

tanx

;x

?cosx2

(9)lim;(10)lim

x?0x?01?cosxx?1?1

sin4x

2.求下列極限

12?x

(1)lim(1?);(2)lim?1?ax?x(a為給定實數);

n??x?0x

x

(3)lim?1?tanx?

x?0

cotx

;(4)lim?

?1?x?

?;

x?01?x??

(5)lim（x???

3x?22x?1?);(6)lim(1?)?x(?,?為給定實數)

n???3x?1x

3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結原則計算下列極限:(1)limnsin

n??

?

x?0n??

??

?

x2

xx???cos?1 2n??22??

?

n

;(2)

習題

1． 證明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);

+

(3)?x?1?o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 為正整數)(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 應用定理3.12求下列極限：

?x2?1x(1)lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx

x3． 證明定理3.13

4． 求下列函數所表示曲線的漸近線：

13x3?4

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx?2x

5． 試確定a的值，使下列函數與xa當x→0時為同階無窮小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1?x

(3)?tanx??sinx;(4)

x2?4x3

6． 試確定a的值，使下列函數與xa當x→∞時為同階無窮大量：

(1)

x2?x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 證明：若S為無上界數集，則存在一遞增數列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 證明：若f為x→r時的無窮大量，而函數g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r

時的無窮大量。

9． 設 f(x)~g(x)(x→x0)，證明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

總 練習題

1． 求下列極限：

?1

(x?[x])lim([x]?1)(1)lim;(2)??

x?3

x?1

(3)lim（x???

a?xb?x?a?xb?x)

xx?a

(4)lim

x???

(5)lim

xx?a

x???

(6)lim

?x??x?x??x

x?0

(7)lim?

n??m,m,n 為正整數 ?n?x?11?xm1?x??

2． 分別求出滿足下述條件的常數a與b：

?x2?1?

(1)lim??ax?b???0 x????x?1??

x(3)limx

(2)lim

x???x???x?2

??x?1?ax?b??0

?x?1?ax?b?0

x?2

3． 試分別舉出符合下列要求的函數f：

(1)limf(x)?f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 試給出函數f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點x0處有limf(x)?0。這同極限的x?x0

局部保號性有矛盾嗎？

5． 設limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出

x?a

g?A

limg(f(x))?B?

x?a

6． 設f(x)=x cos x。試作數列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 證明：若數列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無窮大數列：

(1)liman?r?1

n??

(2)lim

an?1

?s?1(an≠0,n=1,2,…)

n??an

n2

n2

8． 利用上題（1）的結論求極限：

(1)lim?1?

?n??

?1??1??(2)lim?1??

n??n??n?

9． 設liman???，證明

n??

(1)lim

(a1?a2???an)??? n??n

n??

(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結果求極限：

(1)limn!(2)lim

n??

In(n!)

n??n

11.設f為U-0(x0)內的遞增函數。證明：若存在數列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)?A，則有

n??

f(x0－0)=

supf(x)?A

0x?U?(x0)

12.設函數f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)

x???

13.設函數f在(0,+∞)此上滿足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)?f(1)lim?

x?0

x???

證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)

14.設函數f定義在(a,+∞)上，f在每一個有限區間內(a,b)有界，并滿足

x???

lim(f(x?1)?f(1))?A證明

x???

lim

f(x)

?A x

第三篇：函數極限

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

第三章 函數極限

教學目的：

1.使學生牢固地建立起函數極限的一般概念，掌握函數極限的基本性質； 2.理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數極限的存在性； 3.掌握兩個重要極限

和，并能熟練運用；

4.理解無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，會利用它們求某些函數的極限。教學重（難）點：

本章的重點是函數極限的概念、性質及其計算；難點是海涅定理與柯西準則的應用。

教學時數：16學時

§ 1 函數極限概念（3學時）

教學目的：使學生建立起函數極限的準確概念；會用函數極限的定義證明函數極限等有關命題。

教學要求：使學生逐步建立起函數極限的???定義的清晰概念。會應用函數極限的???定義證明函數的有關命題，并能運用???語言正確表述函數不以某實數為極限等相應陳述。

教學重點：函數極限的概念。

教學難點：函數極限的???定義及其應用。

一、復習：數列極限的概念、性質等

二、講授新課：

（一）時函數的極限：

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

例4 驗證

例5 驗證

例6 驗證

證 由 =

為使

需有

需有

為使

于是, 倘限制 , 就有

例7 驗證

例8 驗證(類似有

（三）單側極限:

1．定義：單側極限的定義及記法.幾何意義: 介紹半鄰域

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

我們引進了六種極限:.以下以極限，為例討論性質.均給出證明或簡證.二、講授新課：

（一）函數極限的性質: 以下性質均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調性(不等式性質):

Th 4 若使，證 設

和都有 =

(現證對 都存在, 且存在點 的空心鄰域)，有

註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有

5.6.以

迫斂性:

”為“ 舉例說明.”, 未必

四則運算性質:(只證“+”和“ ”)

（二）利用極限性質求極限： 已證明過以下幾個極限：

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

例8

例9

例10 已知

求和

補充題:已知

求和（）§ 3 函數極限存在的條件（4學時）

教學目的：理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數極限的存在性。教學要求：掌握海涅定理與柯西準則，領會其實質以及證明的基本思路。教學重點：海涅定理及柯西準則。教學難點：海涅定理及柯西準則 運用。

教學方法：講授為主，輔以練習加深理解，掌握運用。本節介紹函數極限存在的兩個充要條件.仍以極限

為例.一.Heine歸并原則——函數極限與數列極限的關系：

Th 1 設函數在,對任何在點

且的某空心鄰域

內有定義.則極限都存在且相等.(證)

存Heine歸并原則反映了離散性與連續性變量之間的關系,是證明極限不存在的有力工具.對單側極限,還可加強為

單調趨于

.參閱[1]P70.例1 證明函數極限的雙逼原理.7 《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

教學難點：兩個重要極限的證明及運用。

教學方法：講授定理的證明，舉例說明應用，練習。一．

（證）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 證明極限 不存在.二.證 對

有

例6

特別當 等.例7

例8

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

三． 等價無窮?。?/p>

Th 2(等價關系的傳遞性).等價無窮小在極限計算中的應用: Th 3(等價無窮小替換法則)

幾組常用等價無窮小:（見[2]）

例3 時, 無窮小

與

是否等價? 例4

四.無窮大量:

1.定義:

2.性質:

性質1 同號無窮大的和是無窮大.性質2 無窮大與無窮大的積是無窮大.性質3 與無界量的關系.無窮大的階、等價關系以及應用, 可仿無窮小討論, 有平行的結果.3.無窮小與無窮大的關系:

無窮大的倒數是無窮小,非零無窮小的倒數是無窮大

習題 課（2學時）

一、理論概述：

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

例7.求

.注意 時, 且

.先求

由Heine歸并原則

即求得所求極限

.例8 求是否存在.和.并說明極限

解;

可見極限 不存在.--32

第四篇：函數極限

數學之美2006年7月第1期

函數極限的綜合分析與理解

經濟學院 財政學 任銀濤 0511666

數學不僅僅是工具，更是一種能力。一些數學的方法被其它學科廣泛地運用。例如，經濟學中的邊際分析、彈性分析等方法。函數極限是高等數學中的一個重要問題。極限可以與很多的數學問題相聯系。例如，導數從根本上是求極限；函數連續首先要求函數在某一點的左極限等于右極限。有鑒于函數極限的重要性，結合自己的學習心得，筆者寫下了此文。其目的在于歸納和總結解決函數極限問題的實用方法和技巧，以期對函數極限問題的學習有所幫助。局限于筆者的認知水平，缺點和不足在所難免，歡迎批評指正。

一、函數極限的定義和基本性質

函數極限可以分成x→x0，x→∞兩類，而運用ε-δ定義更多的見諸于已知

極限值的證明題中。掌握這類證明對初學者深刻理解運用極限定義大有裨益。以x?x0的極限為例，f?x?在點x0以A極限的定義是：???0,???0,使當0?x?x0??時，有f(x)?A??(A為常數).問題的關鍵在于找到符合定義要求的?，在這一過程中會用到一些不等式技巧，例如放縮法等。1999年的研究生考試試題中，更是直接考察了考生對定義的掌握情況。詳見附例1。

函數極限性質的合理運用。常用的函數極限的性質有函數極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數極限的運算法則和復合函數的極限等等。如函數極限的唯一性（若lim存在，則在該點的極限是唯一的）可以體現在用海涅定理證明x?x0

''即如果f?xn??A，fxn，f?x?在x0處的極限不存在。?B（n??,xn和xn?x0）??

則f?x?在x0處的極限不存在。

運用函數極限的性質可以方便地求出一些簡單函數的極限值。例如對于有理分式f?x??P?x?P?x?,Q?x?均為多項式，Q?x??0）。設P?x?的次數為n,Q?x?的Qx次數為m，當x??時，若n?m，則f?x??0;若n?m，則f?x??P?x?與Q?x?的最高次項系數之比；若n?m，則f?x???。當x?x0時,f(x)?P(x0)(Q(x0)?0)。Q(x0)

二、運用函數極限的判別定理

最常用的判別定理包括單調有界定理和夾擠定理，在運用它們去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂，然后再求極限值，參見附例2。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數g?x?與

h?x?，并且要滿足g?x??f?x??h?x?，從而證明或求得函數f?x?的極限值。

三、應用等價無窮小代換求極限

掌握常用的等價無窮小很重要。等價無窮小代換可以將復雜的極限式變的簡單明了，讓求解過程變得簡明迅速。

x?0時，sinx與x，tanx與x，arcsinx與x，arctanx與x，1?cosx與x2，xa，ax?1與xlna，?1?a?與ax（a?0）等等可ln?1?x?與x，loga?1?x?與lna

以相互替換。特別需要注意的是，等價無窮小代換只能用于分子、分母中的乘積

sinx?x

因子，而對于加減法運算則不能運用。例如lim，不能直接把sinx替換

x?0x

3sinx?x

1??成x，得出極限值為0，實際上lim。

x?0x36

四、運用洛必達法則求函數極限

設函數f?x?，g?x?在點a的某空心鄰域可導，且g'(x)?0。當x?a時，f?x?f'?x?，f?x?和g?x?的極限同時為0或?時才適用?'?A（A為常數或?）

gxgx洛必達法則。洛必達法則實際上把求函數極限問題轉化為學生較為拿手的求導數

0??、00、1?、?0等類型則需要問題。這使得求解思路簡單程序化。而對于???、0?

對式子進行轉化，或通分或取倒數或取對數等轉化為型，再使用洛必達法

0?

則求極限。例如f?x?

g?x?的極限轉化為求eg?x?lnf?x?的極限等等。然而，對于數列，則必須轉化為函數再運用洛必達法則。這是因為如果把數列看作是自變量為n的函數時，它的定義域是一系列孤立的點，不存在導數。這是使用洛必達法則時必須要注意的一點。參見附例3。

五、泰勒公式的運用

對于使用洛必達法則不易求出結果的復雜函數式，可以考慮使用泰勒公式。這樣將函數式化為最高次項為相同或相近的式子，這時就變成了求多項式的極限值（接著求值見上文所述方法），使計算一目了然。因此掌握和記憶常用基本初

等函數的麥克勞林展開式是十分必要的。如ex，sinx，cosx，ln?1?x?等等。至于展開式展開多少，則要與題干中的自變量x最高次項保持一致。如

cosx?elimx?0x4x4)。

?x

2利用泰勒公式展開cosx,e

?

x22，展開到x4即可(原式x最高次項為

六、利用微分中值定理來求極限

f(x)在?a,b?上連續，在?a,b?上可導，則至少存在一點???a,b?，使

f'(?)?

f(b)?f(a)'f(b)?f(a),f(?)即可看成特殊的極限，用來求解。一般需

b?ab?a

要函數式可以看成同一函數的區間端點的差，這樣可以使用微分中值定理。參見附例4。

另外，一些重要的結論往往在求極限時可以直接加以引用，例如

lim(1?x)?e，lim

x?0

1x

sinx

?

1，?

1，?1等等。

x?0nnx

求極限的方法和技巧更多的在于實踐中的摸索和探討，上述方法只是筆者在高等數學學習和練習的一些心得，求極限的方法還有很多。局限于筆者的認知水平，缺點和不足在所難免，敬請批評指正。

南開大學張陽和張效成老師的課堂教學給了筆者很大的啟發，在此向兩位老師表示感謝。

附：例1：對任意給定的???0,1?，總存在正整數N,使得當n?N時，恒有。xn?a?2?，是數列?xn?收斂于a的（）

A 充分非必要條件 B必要非充分條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件

解析：這道題是1999年全國考研試卷(二)的數學選擇題，這道題直接考察了對極限定義的掌握和理解。

例2：若x1?a，y1?b（b?a?0），xn?1?xnyn，yn?1?明數列?xn?,?yn?有相同的極限。（見習題冊1 Page.18）

解析：由已知條件易知，b?y1?y2?……?yn?1?xn?1?……?x1?a，數列

xn?1?yn?

1，試證

2文中習題冊是指南開大學薛運華，趙志勇主編的《高等數學習題課講義（上冊）》，為學生用數學練習冊。

x?yn

limyn?1?lin?xn?，?yn?單調有界，可以推出?xn?，?yn?收斂。n??n??

n??

。設

limyn?A，limxn?B，則?A?

n??

A?B,?A?B。2

例3：求lim(ntan)n的值。（見課本2 Page.153）

n??n

1??

解析：這是數列。設f?x???xtan?，則對limf?x?可以運用洛必達法則，x???x??且原式=limf?x?。

x???

x2

aa

?arctan),a?0

n??nn?1

arctan解析：如例題3，設f?x??a，則在?x,x?1?上f?x?連續，在?x,x?1?內

x

例4：求limn2(arctan

可導。于是，????x,x?1?,f'(?)?arctan

aaa?arctan??2（使用微分中x?1xa??2

a)?a。22

a??

值定理可得）。x??,則???,原式=lim?2（???

參考書目

[1] 張效成主編，《經濟類數學分析（上冊）》，天津大學出版社，2005年7月 [2] 薛運華，趙志勇主編，《高等數學習題課講義（上冊）》，南開大學 [3] 張友貴等，《掌握高等數學（理工類、經濟類）》，大連理工出版社，2004年11月

[4]《碩士研究生入學考試試題》，1984—2005

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文中課本是指筆者使用的天津大學出版社05年7月版的《經濟類數學分析（上冊）》張效成主編

第五篇：函數極限存在的條件(精)

§3 函數極限存在的條件

教學目的：通過本次課的學習，使學生掌握函數極限的歸結原則和柯西準則并能加以應用解決函數極限的相關問題。

教學方式：講授。教學過程：

我們首先介紹x?x0這種函數極限的歸結原則（也稱Heine定理）。

定理3.8（歸結原則）。limf(x)?A存在的充要條件是：對任何含于Uo(x0;?')且以

x?x0x0為極限的數列{xn}，極限limf(xn)都存在且等于A。

n??證：[必要性] 由于limf(x)?A，則對任給的??0，存在正數?(??')，使得當

x?x00?|x?x0|??時，有。

另一方面，設數列{xn}?Uo(x0;?')且以x0為極限，則對上述的??0，存在N?0，當n?N時有0?|xn?x0|??，從而有|f(x)?A|??。這就證明了limf(xn)?A。

n??[充分性] 設對任何數列{xn}?Uo(x0;?')且以x0為極限，有limf(xn)?A?，F用

n??反證法推出limf(x)?A。事實上，倘若當x?x0時f不以A為極限，則存在某?0?0，x?x0對任何??0（無論多么小），總存在一點x，盡管0?|x?x0|??，但有|f(x)?A|??0。現依次取???',?2,?,?n,?，則存在相應的點x1,x2,?,xn,?，使得

0?|xn?x0|??n，而|f(xn)?A|??0,n?1,2,?

顯然數列{xn}?Uo(x0;?')且以x0為極限，但當n??時f(xn)不趨于A。這與假設相矛盾，故必有limf(x)?A。

x?x0'''注：（1）歸結原則可簡述為：

limf(x)?A?對任何xn?x0(n??)且xn?x0都有limf(xn)?A。

x?x0n??（2）歸結原則也是證明函數極限不存在的有用工具之一：若可找到一個以x0為極限

'“的數列{xn}，使limf(xn)不存在，或找到兩個都以x0為極限的數列{xn}，{xn}，使得n??'”limf(xn)，limf(xn)都存在而不相等，則limf(x)不存在。n??n??x?x0

（3）對于x?x0,x?x0,x??,x???,x???這幾種類型的函數極限的歸

??結原則，有類似的結論。（讓學生課堂練習，教師加以評正。）

例1設f(x)?sin1，x?0，證明極限limf(x)不存在。xx?0'證：設xn?1n?，xn?“'”，則顯然有（n?1,2,?)x?0,x?0(n??)，但 nn2n??1?2'“f(xn)?0?0,f(xn)?1?1(n??)。故由歸結原則即得結論。

??對于x?x0,x?x0,x???,x???這幾種類型的函數極限，除有類似于定理3.8的歸結原則外，還可以表述為更強的形式。

0f(x)?A的充要條件是：對任何含定理 3.9 設函數f在U?(x0;?')內有定義。lim?x?x00于U?(x0;?')且以x0為極限的遞減數列{xn}，極限limf(xn)都存在且等于A。

n??證：仿照定理3.8的證明，但在運用反證法證明充分性時，對?的取法要適當的修改。

?相應于數列極限的單調有界定理，關于函數的單側極限也有相應的定理?，F以x?x0這種類型為例闡述如下：

0f(x)存定理 3.10 設函數f是定義在U?(x0;?')上的單調有界函數，則右極限lim?x?x0在。

證：具體證明見教材。主要應用確界原理，確界的定義和單側極限的定義加以證明。

最后，我們敘述并證明關于函數極限的柯西準則。

limf(x)?A存在的充要條件是：定理3.1

1設函數f是定義在Uo(x0;?')內有定義，x?x0'任給??0，存在正數?(??)，使得對任何x',x”?Uo(x0,?)有|f(x')?f(x“)|??。

證明：[必要性] 設limf(x)?A，則對任給??0，存在正數?(??')，使得對任何

x?x0。于是對任何x',x”?Uo(x0,?)有 x?Uo(x0,?)有|f(x)?A|??2|f(x')?f(x“)|?|f(x')?A|?|f(x”)?A|??。

'[充分性] 設數列{xn}?且以x0為極限。按假設，對任給的??0，存在正數?(??)，使得對任何x',x“?Uo(x0,?)有|f(x')?f(x”)|??。由于，對上述的??0，存在N?0，o當n,m?N時有xn,xm?U(x0;?)，從而有

|f(xn)?f(xm)|??。

于是，按數列的柯西收斂準則，{f(xn)}數列的極限存在，記為 A，即limf(xn)?A。

n??設另一數列{yn}?Uo(x0;?)且limyn?x0，則如上所證，記為B。limf(yn)存在，n??n??現證明B?A，為此，考慮數列

{zn}:x1,y1,?,xn,yn,?

易見{zn}?Uo(x0;?)且limzn?x0。故如上所證，{f(zn)}也收斂。于是，作為{f(zn)}n??的兩個子列，{f(xn)}，{f(yn)}必有相同的極限，故由歸結原則推得limf(x)?A

x?x0??注：（1）對于x?x0,x?x0,x??,x???,x???這幾種類型的函數極限的柯西準則，有類似的結論。（讓學生課堂練習，教師加以評正。）

??

（2）對于x?x0,x?x0,x?x0,x??,x???,x???這幾種類型的函數極限的柯西準則的否命題，學生也必須掌握。比如例1就可以應用柯西準則的否命題解決。

課后作業：習題2、3、5、7。