第一篇：證明三-平行四邊形的性質(zhì)與判定

黃蕾

例題3，如圖，E、F是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點，BE∥DF，求證：AF?CE．A DB

例題

7、如圖，E，F(xiàn)是?ABCD的對角線AC上兩點，AF=CE．

求證：（1）△AFD≌△CEB．

（2）四邊形DFBE是平行四邊形．（利用兩種不同的方法）

例題8．如圖，已知在?ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，BE=DF，點G、H分別在BA和DC的延長線上，且AG=CH，連接GE、EH、HF、FG．

（1）求證：四邊形GEHF是平行四邊形；

（2）若點G、H分別在線段BA和DC上，其余條件不變，則（1）中的結(jié)論是否成立？（不用說明理由）

例題9．（2011?資陽）如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求證：BE=DF；

（2）若 M、N分別為邊AD、BC上的點，且DM=BN，試判斷四邊形MENF的形狀（不必說明理由）．

F

5．（2006?黃岡）如圖所示，DB∥AC，且

第二篇：平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明

4.1平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明

姓名：成績：

1．在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）Ａ．AD∥BC, AD=BCＢ.AB=DC,AD=BC Ｃ．AB∥DC,AD=BC

Ｄ．OA=OC,OD=OB

2．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD?5，AB?3，AE平分∠BAD交BC邊于點E，則線段BE，EC的長度分別為（）Ａ．2和

3Ｂ．3和

2Ｃ．4和

1Ｄ．1和

4E 3．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O．下列結(jié)論中正確的個數(shù)有（）結(jié)論：①OA?OC，②?BAD??BCD，③AC?BD，④?BAD??ABC?180?．

A

Ｄ．4個

第3題圖

Ａ．1個Ｂ．2個Ｃ．3個

4.能夠判別一個四邊形是平行四邊形的條件是（）

A.一組對角相等B.兩條對角線互相垂直且相等C.兩組對邊分別相等D.一組對邊平行 5.下列條件中不能確定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）

A.AB=CD，AD∥BCB.AB=CD，AB∥CDC.AB∥CD，AD∥BCD.AB=CD，AD=BC 6.一個四邊形的三個內(nèi)角的度數(shù)依次如下選項，其中是平行四邊形的是（）

A.88°，108°，88°B.88°，104°，108°C.88°，92°，92°D.88°，92°，88° 7.四邊形ABCD中，AD∥BC，要判別四邊形ABCD是平行四邊形，還需滿足條件（）

A.∠A+∠C=180°B.∠B+∠D=180°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠D=180° 8.以不在一條直線上的三點A、B、C為頂點的平行四邊形共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題

5．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，要使四邊形ABCD為平行四邊形，則應(yīng)添加的條件是

（添加一個條件即可）

6．在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=50,則∠A=_______,∠D=_________。7．如圖，平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點O，已知AB=8cm，BC=6cm，△AOB的周長為18cm，那么△AOD的周長為__________。

如圖2，BD是ABCD的對角線，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求證：四邊形AECF

為平行四邊形.?

D

第5題圖

C

C

A第7題圖

9．如圖：平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，MN過點O與AB、CD

相交于M、N，你認(rèn)為OM、ON有什么關(guān)系？為什么？

10．如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于點E，EF∥AC交BC于F，試說明

BE=CF。

A

12.如圖，D、E是△ABC的邊AB和AC中點，延長DE到F，使EF=DE，連結(jié)CF.四邊形BCFD是平行四邊形嗎？為什么？

13.如圖，□ABCD的對角線AC、BD交于O，EF過點O交AD于E，交BC于F，G是OA的中點，H是OC的中點，四邊形EGFH是平行四邊形，說明理由

.三、如圖3，田村有一口呈四邊形的池塘，在它的四個角A、B、C、D處均種有一棵大核桃樹.田村準(zhǔn)備開挖池塘建養(yǎng)魚池，想使池塘面積擴(kuò)大一倍，又想保持核桃樹不動，并要求擴(kuò)建后的池塘成平行四邊形的形狀，請問田村能否實現(xiàn)這一設(shè)想？

若能，請你設(shè)計并畫出圖形；若不能，請說明理由（畫圖要保留痕跡，不寫畫法）.

第三篇：平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明同步練習(xí)

平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明

一、選擇題

1．在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）

Ａ．AD∥BC, AD=BCＢ.AB=DC,AD=BC

Ｃ．AB∥DC,AD=BC

Ｄ．OA=OC,OD=OB

2．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD?5，AB?3，AE平分∠BAD交BC邊于點E，則線段BE，EC的長度分別為（）Ａ．2和

3Ｂ．3和

2Ｃ．4和

1E 第2 題圖

Ｄ．1和

4∠D=_________。

7．如圖，平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點O，已知AB=8cm，BC=6cm，△AOB的周長為18cm，那么△AOD的周長為__________。8．如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，如果AC?12，BD?10，AB?m，那么m的取值范圍是___________。

三、解答題

9．如圖：平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，MN過點O與AB、CD相交于M、N，你認(rèn)為OM、ON有什么關(guān)系？為什么？C

C

A

第7題圖

A

3．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O．下列結(jié)論中正確的個數(shù)有（）結(jié)論：①OA?OC，②?BAD??BCD，③AC?BD，④?BAD??ABC?180． Ａ．1個

Ｂ．2個

Ｃ．3個

Ｄ．4個

?

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的頂點A、B、D的坐標(biāo)分別是（0，0）（5，0）（2，3），則頂點C的坐標(biāo)是（）Ａ．（3，7）

二、填空題

Ｂ．（5，3）Ｃ．（7，3）Ｄ．（8，2）

10．如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于點E，EF∥AC交BC于F，試說明BE=CF。

x

5．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，要使四邊形ABCD為平行四邊形，則應(yīng)添加的條件是（添加一個條件即可）． 6．在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=50,則∠A=_______,?

D

第5題圖

C

∴BE=CF。

參考答案

一、選擇題C、B、C、C

二、填空題5．答案不唯一，可以是：AB?CD或AD∥BC等。

6．130，507．16cm8．1?m?1

1三、解答題

9．解：OM=ON

證明：∵平行四邊形ABCD

∴OB=OD , AB∥CD

∴∠ABD=∠CDB

又∵∠BOM=∠DON

∴△BOM≌△DON

∴OM=ON。

10．解：∵BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠DBC

∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC

∴∠ABD=∠EDB

∴BE=ED

∵DE∥BC，EF∥AC

∴四邊形EFCD是平行四邊形

∴CF=ED ??

第四篇：證明三平行四邊形

證明三（平行四邊形、梯形）

知識點一：平行四邊形

平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的判定定理：

①平行四邊形的對邊平行；①兩組對邊分別_________的四邊形是平行四邊形；②平行四邊形的對邊__相等__；②兩組對邊分別_________的四邊形是平行四邊形；

③平行四邊形的對角___相等_；③一組對邊______且______的四邊形是平行四邊形；

推論：

①平行四邊形的對角線___互相平分__①______________互相平分四邊形是平行四邊形；

②兩組對角分別_________的四邊形是平行四邊形

推論：夾在兩平行線間的平行線段_____

例1.□ABCD中，若∠A：∠B=2：3，則∠C=_______度，∠D=________度．

例2.下面給出的條件中，能判定一個四邊形是平行四邊形的是（）。

A．一組鄰角互補(bǔ)，一組對角相等。B．一組對邊平行，一組鄰角相等。

C．一組對邊相等，一組對角相等。D．一組對邊相等，一組鄰角相等。

例3．如圖，在□ABCD中，點E、F是對角線AC上兩點，且AE=CF．求證：四邊形BEDF是平行四

邊形．

練習(xí)

1．下列給出的四邊形ABCD中,∠A,∠B,∠C,∠D的度數(shù)之比,其中能判定ABCD為平行四邊形的是

()

A.1:2:3:4B.2:3:2:3C.2:2:3:3D.1;2;2;

32.若平行四邊形的周長為28㎝，兩鄰邊之比為4：3，則其中較長的邊長為（）

A.8㎝；B.10㎝；C.12㎝；D.16㎝。

3.下列給出的條件中，能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是()

A．AB∥CD，AD = BCB.∠B = ∠C；∠A = ∠D

C．AB =AD，CB = CDD.AB = CD，AD = BC

4.如圖，在□ABCD中，EF//AB，GH//AD，EF與GH交于點O，則該圖中的平行四邊形的個數(shù)共有（）.A．7B．8C．9 D．

15.已知：在□ABCD中，∠A的角平分線交CD于E，若DE:EC=3：1，AB的長為8，則ABCD的周長____________

6.平行四邊形ABCD中，∠A+∠C=200°，則∠B=______

解答題

1．（2012?廣東）已知如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，對角線AC、BD相交于點O，BO=DO．

求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

2.如圖，在平行四邊形ABCD中，BF=DE．求證：四邊形AFCE是平行四邊形．

3．（佛山）已知在平行四邊形ABCD中，EFGH分別是AB、BC、CD、DA上的點，且AE=CG，BF=DH。

求證：?AEH≌?

CGF

4.四邊形ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。

5.如圖，在□BEDF中，點A、B是對角線EF所在直線上兩點，且AE=CF．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

6.已知四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O,給出下列四個論斷:①OA＝OC,②AB＝CD,③∠BAD＝∠DCB ④AD∥BC.請你從中選擇兩個論斷作為條件,以“四邊形ABCD為平行四邊形”作為結(jié)論,完成下列各題：

①構(gòu)造一個真命題，畫圖并給出證明；②構(gòu)造一個假命題，舉反例加以說明.．．．．．．

7.如圖，在平行四邊形內(nèi)有一點E滿足ED⊥AD于D，∠EBC＝∠EDC，∠ECB＝45o，請在圖中找出

與BE相等的一條線段，并予以證明．

8.如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE．已知∠BAC=30o，EF⊥AB，垂足為F，連結(jié)DF．（1）試說明AC=EF；（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

二、等腰梯形

性質(zhì)定理：

1、兩腰相等

2、同一底上的兩個角相等

3、對角線相等。

4、是軸對稱圖形（一條對稱軸）

1．命題“等腰梯形的對角線相等”。它的逆命題是.2.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC = 3 cm，∠A=60°，BD平分∠ABC，則這個梯形的周長是（）

A.21 cmB.18 cmC.15 cmD.12 cm

3.如圖是用形狀、大小完全相同的等腰梯形密鋪成的圖案的一部分，這個圖案中∠1的度數(shù)是___________

4.已知等腰梯形ABCD，E為梯形內(nèi)一點，且EA=ED．求證：EB=EC．

5.如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD，對角線AC⊥BD，AD=6㎝,BC=12㎝，求梯形ABCD的面積。

第五篇：證明三平行四邊形

課題：第三章證明

（三）3.1平行四邊形（2）

課型：新授課

教學(xué)目標(biāo)：

1．經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展推理論證的能力。

2．能運(yùn)用綜合法證明平行四邊形的判定定理。

3．感悟在證明過程中所運(yùn)用的歸納、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法。

教學(xué)重點：掌握證明平行四邊形的方法。

教學(xué)難點：運(yùn)用綜合法證明問題的思路。

教法及學(xué)法指導(dǎo)：本科采取講練結(jié)合的方法，在教學(xué)中主要以學(xué)生進(jìn)行探索、猜測、合作、交流、質(zhì)疑等基本的數(shù)學(xué)方法去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的基本策略。充分顯示以學(xué)生為主，教師為主導(dǎo)的思想。

課前準(zhǔn)備

教具：教材、尺規(guī)、課件

學(xué)具：教材、尺規(guī)、練習(xí)

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)回顧

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平行四邊形的性質(zhì)和梯形的相關(guān)性質(zhì)，誰能來說一下平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)？

生：平行四邊形的性質(zhì)

定理1:平行四邊形的對邊平行.(由定義得)

定理2:平行四邊形的對邊相等.定理3:平行四邊形的對角相等.定理4:平行四邊形的對角線互相平分.師：那同學(xué)們還記不記得平行四邊形的判定呢？

生：平行四邊形的判定有4條兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

師：很好。那有沒有同學(xué)能夠從命題的角度指出到這四條判定的相同和不同之處？

生：這4個命題是平行四邊形性質(zhì)的逆命題。

生：他們都是真命題。

生：我們特別關(guān)注第一條，它是平行四邊形的定義，既是平行四邊形的判定，又

包含著平行四邊形的性質(zhì)，這是它與其它3條不同的地方。

師：大家剛才的發(fā)言都非常好，我補(bǔ)充一點第一條的特殊性決定了它是不需要證

明的。其它三條的正確性是需要我們證明的。

生：原來數(shù)學(xué)這么嚴(yán)密、只會用是不行的，還必須知道為什么。師：很好的體會，今天我們就來解決這個問題。

師：下面請同學(xué)們充分發(fā)揮你自己的聰明才智和團(tuán)隊的力量，去尋找解決問題的策略，或者找到解決問題路上的“坎兒”。

【設(shè)計意圖】充分調(diào)動學(xué)生的積極性，使他們能夠在自己已經(jīng)構(gòu)建的知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，提出符合其個人認(rèn)知層次的問題，從而為本節(jié)課找到了較為符合學(xué)生已有的知識建構(gòu)良好的切入點。二 合作探究

師：我們知道任何一個命題都由“條件”“結(jié)論”兩部分構(gòu)成，比如下面這個命

題：

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 條件和結(jié)論分別是什么？ 生：“一組對邊平行且相等”是它的條件，而“四邊形是平行四邊形”就是結(jié) 師：雖然能夠找到“條件和要解決的問題”但是它不象我們以前解決過的問題有

圖形。沒有圖形對我們解決問題有影響嗎？

生：那一組平行且相等的邊沒有標(biāo)記，會導(dǎo)致我們沒有辦法寫

過程，就算我們根據(jù)題意自己構(gòu)造了下面這個四邊形，哪一組

對邊是命題里說的那一組？你知道嗎？難道能隨便選擇一組對邊就可以？

師：看來上一組同學(xué)的問題（找不到已知條件）已經(jīng)解決了。對于這一小組同學(xué)的問題那些同學(xué)可以發(fā)表一下自己的見解？ 生：我們也不確定．．．．．．

師：那好，每一組同學(xué)分成兩部分，一部分選擇ＡＢ，ＣＤ為“平行且相等的對

邊”另一組同學(xué)選擇ＢＣ，ＤＡ為“平行且相等的對邊”看看我們能不能完成對

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 這個命題的證明。

生：我們選擇“ＡＢ，ＣＤ為“平行且相等的對邊””

這樣命題就變成了

已知：“四邊形ＡＢＣＤ中，ＡＢ//ＣＤ且ＡＢ＝ＣＤ，求證：四邊形ＡＢＣＤ是平行四邊形”（在老師的幫助下寫已知，求證和證明）證明：連接ＢＤ

∵ＡＢ//CD

∴ ∠ ABD=∠CDB

又∵ＡＢ＝ＣＤ，ＢＤ＝ＢＤ∴△ＡＤＢ≌△ＣＢＤ∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ∴ＣＢ//ＡＤ

∴四邊形ＡＢＣＤ是平行四邊形。

生：老師他們的這個題目連接ＡＣ也可以用同樣的方法證明。

師：很好，我們不僅解決了這個問題，同學(xué)們的思路也很開闊，能從不同的角度

對這個問題加以驗證。那選擇“選擇ＢＣ，ＤＡ為“平行且相等的對邊””的同學(xué)得到結(jié)論了嗎？

生：我們選擇“ＢＣ，ＤＡ為“平行且相等的對邊”” 這樣命題

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形就變成了

已知：“四邊形ＡＢＣＤ中，ＢＣ//ＤＡ且ＢＣ＝ＤＡ

求證：四邊形ＡＢＣＤ是平行四邊形”（學(xué)生模仿上面的自己寫找一個同學(xué)到黑

板上板書證明）證明：連接ＢＤ∵ＢＣ//ＤＡ∴ ∠ ＣBD＝∠ＡDB

又∵ＢＣ＝ＤＡ，ＢＤ＝ＢＤ∴△ＣＤＢ≌△ＡＢＤ∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ

∴ＡＢ//ＣＤ

∴四邊形ＡＢＣＤ是平行四邊形。

我們也可以連接ＡＣ再證明。

三 精講點撥 師：我們一塊來看一下黑板上的同學(xué)做的對不對？大家有沒有發(fā)現(xiàn)這兩道證明題都是通過做什么來完成的？ 生：輔助線

師：很好，做完輔助線會構(gòu)造三角形然后你會想到什么？ 生：證明三角形全等。師：大家太棒了。下面我們大家自主來完成這一個判別方法的證明做完后同位之間互相檢查。

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形已知：四邊形ＡＢＣＤ中ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＡＤ求證：四邊形ＡＢＣＤ是平行四邊形證明：連接ＢＤ

∵ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＡＤ又∵ＢＤ＝ＢＤ∴△ＡＤＢ≌△ＣＢＤ∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ∴ＡＢ//ＣＤ，ＢＣ//ＡＤ∴四邊形ＡＢＣＤ是平行四邊形。

同理我們也可以連接ＡＣ來證明。

師：這位同學(xué)對于基本的證明命題的思路已經(jīng)掌握得比較好。那還有沒有不同的思路？

生：老師我們也可以連接ＡＣ來證明

師：當(dāng)然可以，大家在觀察一下這個證明與證明一組對邊平行且相等的四邊形是

平行四邊形思路有什么相似之處么？

生：只要將剛才的思路稍加改動就可以得到另外一種思路

師：我們已經(jīng)證明了兩個定理，根據(jù)大家掌握的方法快速把兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形這個定理在練習(xí)本上證明一下

【設(shè)計意圖】將已證明的定理可以拿來使用來證明其他命題.由于前面對于證明的完成度較高，內(nèi)容講授較為豐富，所以對最后一條判定定理，教師在黑板給出

圖例，學(xué)生口述完成即可.四 應(yīng)用提高，深化體會

師：下面我們來處理一些具體問題 已知:如圖

求證:四邊形MNOP是平行四邊形生１展示其證明過程： 證明:

(x-3）—（x—5）=4?x=8 ?MN=5=PO ?PM=3=ON

∴四邊形MNOP是平行四邊形.師：還有不同的思路嗎？ 生２展示其證明過程： 證明：

(x-3）2—（x—5）2=42 ?x=8 ?PM=11-8=3 ?PM2+MO2=PO2 ??PMO=90? ?PM//ON 且ON=8-5=

3?四邊形MNOP是平行四邊形.分析證明過程：

我們還可以在得知ｘ＝８以后，證明△ＭＰＯ≌△ＯＮＭ，從而得到內(nèi)錯角

相等，利用兩組對邊分別平行得證。

【設(shè)計意圖】這是課本做一做的一道題目，本題綜合運(yùn)用勾股定理、方程、平行四邊形的判定定理進(jìn)行計算推理.在做本題的過程中可以鼓勵完成速度較快和完成度較高的同學(xué)嘗試用多種做法.五 課堂小結(jié)：

師：剛才大家的分析都非常好。下面我們總結(jié)一下本節(jié)課

生：學(xué)習(xí)了證明平行四邊形的判定定理同時也學(xué)會了應(yīng)用 師：那么大家一塊來檢測一下自己 六 達(dá)標(biāo)檢測

（1）不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A.AB＝CD，AD＝BCB.AB＝CD，AB∥CDC.AB＝CD，AD∥BCD.AB∥CD，AD∥BC

（2）如圖5，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上兩點，要使四邊形AECF是平行四邊形，則應(yīng)添加的條件是.（添加一個條件即可）

D

圖6

圖

（3）已知：如圖6，在平行四邊形ABCD中，BF＝DE.求證：四邊形AFCE是平行四邊形.七 課堂作業(yè)

基礎(chǔ)作業(yè)：P88，習(xí)題3.2：12

八 板書設(shè)計

九 教學(xué)反思:

1本節(jié)課就是以學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中生成的問題為主軸來完成本節(jié)課，而沒有機(jī)械的套用課本的設(shè)計。通過小組合作為學(xué)生提供展示自己聰明才智的機(jī)會，并且在此過程中更利于教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生分析問題解決問題的獨(dú)到見解，以及思維的誤區(qū)。課堂上要把激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和獲得學(xué)習(xí)能力放在教學(xué)首位，幫助學(xué)生形成積極主動的求知態(tài)度。本節(jié)課學(xué)生對證明方法比較熟悉，但是證明過程還要加強(qiáng)。