第一篇：證明(三)平行四邊形

山丹育才中學講學稿

課 題3.1平行四邊形（2）

教學目標

1．能夠用綜合法證明平行四邊形的判定定理及相關結論。

2．理解平行四邊形的主要輔助線是對角線，把平行四邊形轉化為兩個三角形全等問題，通過平移梯形一腰把梯形轉化為“一個平行四邊形和一個三角形”。

三、展示交流 點撥提高3.平行四邊形的判定定理3：

定理：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

已知：畫圖 教學重點、難點:

重點證明平行四邊形的判定定理及相關結論。難點探索證明的思路和方法。教學過程

一、預習反饋 明確目標

1．回顧平行四邊形的性質定理，我們是如何證明的；

2．回顧平行四邊形的性質定理的逆定理就是平行四邊形的判定定理。

二、創設情境 自主探究1.平行四邊形的判定定理1：

定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。首先畫出符合題意的圖像，寫出已知、求證。已知：。

求證：畫圖

2.平行四邊形的判定定理2：

定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。已知：

求證：畫圖

求證：

四、師生互動 拓展延伸

已知:如圖所示，求證:四邊形MNOP是平行四邊形。

五、達標測試 鞏固提高課本P87 隨堂練習：1,2、3題。

1.證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

N

山丹育才中學講學稿

2、已知：如圖，在?ABCD中，BF＝DE.求證：四邊形AFCE是平行四邊形。

2.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，EF過點O且與AD、BC分別相交于E、F。你認為OE與OF有怎樣的關系？請證明你的結論。

3、已知：如圖，如圖，BD是三角形ABC的中線，延長BD至E，是的DE=BD,鏈接AE,CE.求證：∠BAE=∠BCE

◆ 作業布置

1.已知：如圖，在?ABCD中，∠ＡＢＣ的角平分線與AD相交于點求證：PD+CD=BC

A

3.已知：如圖，?ABCD中，E、F為對角線AC上的兩點，且AE＝CF。求證：四邊形BEDF是平行四邊形。

教學札記

第二篇：證明三平行四邊形

證明三（平行四邊形、梯形）

知識點一：平行四邊形

平行四邊形的性質：平行四邊形的判定定理：

①平行四邊形的對邊平行；①兩組對邊分別_________的四邊形是平行四邊形；②平行四邊形的對邊__相等__；②兩組對邊分別_________的四邊形是平行四邊形；

③平行四邊形的對角___相等_；③一組對邊______且______的四邊形是平行四邊形；

推論：

①平行四邊形的對角線___互相平分__①______________互相平分四邊形是平行四邊形；

②兩組對角分別_________的四邊形是平行四邊形

推論：夾在兩平行線間的平行線段_____

例1.□ABCD中，若∠A：∠B=2：3，則∠C=_______度，∠D=________度．

例2.下面給出的條件中，能判定一個四邊形是平行四邊形的是（）。

A．一組鄰角互補，一組對角相等。B．一組對邊平行，一組鄰角相等。

C．一組對邊相等，一組對角相等。D．一組對邊相等，一組鄰角相等。

例3．如圖，在□ABCD中，點E、F是對角線AC上兩點，且AE=CF．求證：四邊形BEDF是平行四

邊形．

練習

1．下列給出的四邊形ABCD中,∠A,∠B,∠C,∠D的度數之比,其中能判定ABCD為平行四邊形的是

()

A.1:2:3:4B.2:3:2:3C.2:2:3:3D.1;2;2;

32.若平行四邊形的周長為28㎝，兩鄰邊之比為4：3，則其中較長的邊長為（）

A.8㎝；B.10㎝；C.12㎝；D.16㎝。

3.下列給出的條件中，能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是()

A．AB∥CD，AD = BCB.∠B = ∠C；∠A = ∠D

C．AB =AD，CB = CDD.AB = CD，AD = BC

4.如圖，在□ABCD中，EF//AB，GH//AD，EF與GH交于點O，則該圖中的平行四邊形的個數共有（）.A．7B．8C．9 D．

15.已知：在□ABCD中，∠A的角平分線交CD于E，若DE:EC=3：1，AB的長為8，則ABCD的周長____________

6.平行四邊形ABCD中，∠A+∠C=200°，則∠B=______

解答題

1．（2012?廣東）已知如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，對角線AC、BD相交于點O，BO=DO．

求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

2.如圖，在平行四邊形ABCD中，BF=DE．求證：四邊形AFCE是平行四邊形．

3．（佛山）已知在平行四邊形ABCD中，EFGH分別是AB、BC、CD、DA上的點，且AE=CG，BF=DH。

求證：?AEH≌?

CGF

4.四邊形ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。

5.如圖，在□BEDF中，點A、B是對角線EF所在直線上兩點，且AE=CF．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

6.已知四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O,給出下列四個論斷:①OA＝OC,②AB＝CD,③∠BAD＝∠DCB ④AD∥BC.請你從中選擇兩個論斷作為條件,以“四邊形ABCD為平行四邊形”作為結論,完成下列各題：

①構造一個真命題，畫圖并給出證明；②構造一個假命題，舉反例加以說明.．．．．．．

7.如圖，在平行四邊形內有一點E滿足ED⊥AD于D，∠EBC＝∠EDC，∠ECB＝45o，請在圖中找出

與BE相等的一條線段，并予以證明．

8.如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE．已知∠BAC=30o，EF⊥AB，垂足為F，連結DF．（1）試說明AC=EF；（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

二、等腰梯形

性質定理：

1、兩腰相等

2、同一底上的兩個角相等

3、對角線相等。

4、是軸對稱圖形（一條對稱軸）

1．命題“等腰梯形的對角線相等”。它的逆命題是.2.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC = 3 cm，∠A=60°，BD平分∠ABC，則這個梯形的周長是（）

A.21 cmB.18 cmC.15 cmD.12 cm

3.如圖是用形狀、大小完全相同的等腰梯形密鋪成的圖案的一部分，這個圖案中∠1的度數是___________

4.已知等腰梯形ABCD，E為梯形內一點，且EA=ED．求證：EB=EC．

5.如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD，對角線AC⊥BD，AD=6㎝,BC=12㎝，求梯形ABCD的面積。

第三篇：證明三平行四邊形

課題：第三章證明

（三）3.1平行四邊形（2）

課型：新授課

教學目標：

1．經歷探索、猜想、證明的過程，進一步發展推理論證的能力。

2．能運用綜合法證明平行四邊形的判定定理。

3．感悟在證明過程中所運用的歸納、類比、轉化等思想方法。

教學重點：掌握證明平行四邊形的方法。

教學難點：運用綜合法證明問題的思路。

教法及學法指導：本科采取講練結合的方法，在教學中主要以學生進行探索、猜測、合作、交流、質疑等基本的數學方法去發現問題、提出問題、解決問題的基本策略。充分顯示以學生為主，教師為主導的思想。

課前準備

教具：教材、尺規、課件

學具：教材、尺規、練習

教學過程：

一、復習回顧

師：上節課我們學習了平行四邊形的性質和梯形的相關性質，誰能來說一下平行四邊形的相關性質？

生：平行四邊形的性質

定理1:平行四邊形的對邊平行.(由定義得)

定理2:平行四邊形的對邊相等.定理3:平行四邊形的對角相等.定理4:平行四邊形的對角線互相平分.師：那同學們還記不記得平行四邊形的判定呢？

生：平行四邊形的判定有4條兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

師：很好。那有沒有同學能夠從命題的角度指出到這四條判定的相同和不同之處？

生：這4個命題是平行四邊形性質的逆命題。

生：他們都是真命題。

生：我們特別關注第一條，它是平行四邊形的定義，既是平行四邊形的判定，又

包含著平行四邊形的性質，這是它與其它3條不同的地方。

師：大家剛才的發言都非常好，我補充一點第一條的特殊性決定了它是不需要證

明的。其它三條的正確性是需要我們證明的。

生：原來數學這么嚴密、只會用是不行的，還必須知道為什么。師：很好的體會，今天我們就來解決這個問題。

師：下面請同學們充分發揮你自己的聰明才智和團隊的力量，去尋找解決問題的策略，或者找到解決問題路上的“坎兒”。

【設計意圖】充分調動學生的積極性，使他們能夠在自己已經構建的知識結構基礎上，提出符合其個人認知層次的問題，從而為本節課找到了較為符合學生已有的知識建構良好的切入點。二 合作探究

師：我們知道任何一個命題都由“條件”“結論”兩部分構成，比如下面這個命

題：

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 條件和結論分別是什么？ 生：“一組對邊平行且相等”是它的條件，而“四邊形是平行四邊形”就是結 師：雖然能夠找到“條件和要解決的問題”但是它不象我們以前解決過的問題有

圖形。沒有圖形對我們解決問題有影響嗎？

生：那一組平行且相等的邊沒有標記，會導致我們沒有辦法寫

過程，就算我們根據題意自己構造了下面這個四邊形，哪一組

對邊是命題里說的那一組？你知道嗎？難道能隨便選擇一組對邊就可以？

師：看來上一組同學的問題（找不到已知條件）已經解決了。對于這一小組同學的問題那些同學可以發表一下自己的見解？ 生：我們也不確定．．．．．．

師：那好，每一組同學分成兩部分，一部分選擇ＡＢ，ＣＤ為“平行且相等的對

邊”另一組同學選擇ＢＣ，ＤＡ為“平行且相等的對邊”看看我們能不能完成對

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 這個命題的證明。

生：我們選擇“ＡＢ，ＣＤ為“平行且相等的對邊””

這樣命題就變成了

已知：“四邊形ＡＢＣＤ中，ＡＢ//ＣＤ且ＡＢ＝ＣＤ，求證：四邊形ＡＢＣＤ是平行四邊形”（在老師的幫助下寫已知，求證和證明）證明：連接ＢＤ

∵ＡＢ//CD

∴ ∠ ABD=∠CDB

又∵ＡＢ＝ＣＤ，ＢＤ＝ＢＤ∴△ＡＤＢ≌△ＣＢＤ∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ∴ＣＢ//ＡＤ

∴四邊形ＡＢＣＤ是平行四邊形。

生：老師他們的這個題目連接ＡＣ也可以用同樣的方法證明。

師：很好，我們不僅解決了這個問題，同學們的思路也很開闊，能從不同的角度

對這個問題加以驗證。那選擇“選擇ＢＣ，ＤＡ為“平行且相等的對邊””的同學得到結論了嗎？

生：我們選擇“ＢＣ，ＤＡ為“平行且相等的對邊”” 這樣命題

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形就變成了

已知：“四邊形ＡＢＣＤ中，ＢＣ//ＤＡ且ＢＣ＝ＤＡ

求證：四邊形ＡＢＣＤ是平行四邊形”（學生模仿上面的自己寫找一個同學到黑

板上板書證明）證明：連接ＢＤ∵ＢＣ//ＤＡ∴ ∠ ＣBD＝∠ＡDB

又∵ＢＣ＝ＤＡ，ＢＤ＝ＢＤ∴△ＣＤＢ≌△ＡＢＤ∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ

∴ＡＢ//ＣＤ

∴四邊形ＡＢＣＤ是平行四邊形。

我們也可以連接ＡＣ再證明。

三 精講點撥 師：我們一塊來看一下黑板上的同學做的對不對？大家有沒有發現這兩道證明題都是通過做什么來完成的？ 生：輔助線

師：很好，做完輔助線會構造三角形然后你會想到什么？ 生：證明三角形全等。師：大家太棒了。下面我們大家自主來完成這一個判別方法的證明做完后同位之間互相檢查。

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形已知：四邊形ＡＢＣＤ中ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＡＤ求證：四邊形ＡＢＣＤ是平行四邊形證明：連接ＢＤ

∵ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＡＤ又∵ＢＤ＝ＢＤ∴△ＡＤＢ≌△ＣＢＤ∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ∴ＡＢ//ＣＤ，ＢＣ//ＡＤ∴四邊形ＡＢＣＤ是平行四邊形。

同理我們也可以連接ＡＣ來證明。

師：這位同學對于基本的證明命題的思路已經掌握得比較好。那還有沒有不同的思路？

生：老師我們也可以連接ＡＣ來證明

師：當然可以，大家在觀察一下這個證明與證明一組對邊平行且相等的四邊形是

平行四邊形思路有什么相似之處么？

生：只要將剛才的思路稍加改動就可以得到另外一種思路

師：我們已經證明了兩個定理，根據大家掌握的方法快速把兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形這個定理在練習本上證明一下

【設計意圖】將已證明的定理可以拿來使用來證明其他命題.由于前面對于證明的完成度較高，內容講授較為豐富，所以對最后一條判定定理，教師在黑板給出

圖例，學生口述完成即可.四 應用提高，深化體會

師：下面我們來處理一些具體問題 已知:如圖

求證:四邊形MNOP是平行四邊形生１展示其證明過程： 證明:

(x-3）—（x—5）=4?x=8 ?MN=5=PO ?PM=3=ON

∴四邊形MNOP是平行四邊形.師：還有不同的思路嗎？ 生２展示其證明過程： 證明：

(x-3）2—（x—5）2=42 ?x=8 ?PM=11-8=3 ?PM2+MO2=PO2 ??PMO=90? ?PM//ON 且ON=8-5=

3?四邊形MNOP是平行四邊形.分析證明過程：

我們還可以在得知ｘ＝８以后，證明△ＭＰＯ≌△ＯＮＭ，從而得到內錯角

相等，利用兩組對邊分別平行得證。

【設計意圖】這是課本做一做的一道題目，本題綜合運用勾股定理、方程、平行四邊形的判定定理進行計算推理.在做本題的過程中可以鼓勵完成速度較快和完成度較高的同學嘗試用多種做法.五 課堂小結：

師：剛才大家的分析都非常好。下面我們總結一下本節課

生：學習了證明平行四邊形的判定定理同時也學會了應用 師：那么大家一塊來檢測一下自己 六 達標檢測

（1）不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A.AB＝CD，AD＝BCB.AB＝CD，AB∥CDC.AB＝CD，AD∥BCD.AB∥CD，AD∥BC

（2）如圖5，平行四邊形ABCD中，E，F是對角線BD上兩點，要使四邊形AECF是平行四邊形，則應添加的條件是.（添加一個條件即可）

D

圖6

圖

（3）已知：如圖6，在平行四邊形ABCD中，BF＝DE.求證：四邊形AFCE是平行四邊形.七 課堂作業

基礎作業：P88，習題3.2：12

八 板書設計

九 教學反思:

1本節課就是以學生在學習過程中生成的問題為主軸來完成本節課，而沒有機械的套用課本的設計。通過小組合作為學生提供展示自己聰明才智的機會，并且在此過程中更利于教師發現學生分析問題解決問題的獨到見解，以及思維的誤區。課堂上要把激發學生學習熱情和獲得學習能力放在教學首位，幫助學生形成積極主動的求知態度。本節課學生對證明方法比較熟悉，但是證明過程還要加強。

第四篇：證明(三)平行四邊形

山丹育才中學講學稿

課 題3.1平行四邊形（1）

班級姓名

教學目標

1．能夠用綜合法證明平行四邊形的性質定理和其他相關的結論。2．靈活運用平行四邊形的性質定理和其他相關的結論。教學重點、難點:

重點掌握平行四邊形的性質定理和其他相關的結論。難點探索證明的思路和方法。教學過程

一、預習反饋 明確目標1．回顧平行四邊形的性質定理； 2．回顧等腰梯形的性質； 3．等腰梯形的判定。

二、創設情境 自主探究1．證明平行四邊形的性質： 定理：平行四邊形的對邊相等。

分析：命題的題設和結論是什么？如何借助于已有的知識來證明它？可以借助于三角形的全等來證明，通過添加輔助線，將四邊形的問題轉化為三角形來證明。已知：。

求證：。

證明：

2.由上面的證明過程，你還能得到什么結論？ 定理：平行四邊形的對角相等。

證明：

學生討論，教師總結，得到平行四邊形的性質2。

三、展示交流 點撥提高

1.例 證明：等腰梯形在同一底上的的兩個角相等。

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC。求證：∠B=∠C,∠A=∠D。

提示：我們證明過“等腰三角形的兩個底角相等”如果可以將∠B與∠C轉化為等腰三角形的兩個底角，那么就容易證明了，為此，可以將AB平移到DE的位置。

證明：

2.這個命題的逆命題成立嗎？如果成立，請證明它。定理：同一底上的兩個角相等的梯形是等腰三角形。

山丹育才中學講學稿

四、師生互動 拓展延伸課本P84頁 隨堂練習：

1.證明：平行四邊形的對角線互相平分。

2.證明：夾在兩條平行線間的平行線段相等。

五、達標測試 鞏固提高

已知:如圖,AC,BD是□ABCD的兩條對角線,且AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E,F, 求證:AE=CF。

◆ 作業布置

1．證明：等腰梯形的兩條對角線相等。

2.已知：如圖，平行四邊形的對角線AC,BD相交與點O，過點O的直線與AD,BC分別相交于點E,F.求證：OE=OF.3已知:在□ABCD中,點E,F在對角線AC上,且AF=CE。① 線段BE與DF之間有什么關系?請證明你的結論；

E

F

② 若去掉題設中的AF=CE,請添加一個條件使BE與DF有以上同樣的性質。

◆ 教學札記

圖3－5

圖3－

第五篇：證明三：平行四邊形(一、二)

平行四邊形

（一）教師：張賢班級：九（5）、（10）

執行時間：2013年10月9日

一、溫故知新

1、平行四邊形的概念

2、平行四邊形的性質

①邊②角③對角線④對稱性⑤面積

二、合作探究

1、證明：平行四邊形的對邊相等

已知：

求證：

證明：

2、平行四邊形的對角相等

已知：

求證：

證明：

3、等腰梯形同一底上上的兩底角相等

已知：

求證：

證明：

三、練一練：同一底上兩個底角相等的梯形是等腰梯形

四、小結：通過這節課的學習，同學們有什么收獲？

五、當堂檢測

1、等腰梯形的腰與上底相等且等于下底的一半，則該梯形的腰與下底的夾角為.2、梯形ABCD中，AD∥BC,BD平分∠ABC,∠C=60°,當AB=CD=4時，梯形ABCD的周長

3．如圖在中，AE平分∠BAD交DC于點E，AD=5cm，AB=8cm，求EC的長．（6分）

4．如圖.在中，AD⊥DB，AC與BD相交于點O，OD=1，∠CAD=30°，求AC和DC的長．（8分）

平行四邊形

（二）教師：張賢班級：九（5）、（10）

執行時間：2013年10月10日

一、溫故知新：

（一）平行四邊形的判別條件1、2、3、4、二、合作交流

1、證明：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

已知：

求證：

證明：

2、證明：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

已知：

求證：

證明：

三、練一練

證明;對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

四：課堂小結：通過這節課的學習，同學們有什么收獲？

五、達標檢測

1、下面給出的條件中，能判定一個四邊形是平行四邊形的是（）

Ａ．一組對邊平行，另一組對邊相等Ｂ．一組對邊平行，一組對角互補

Ｃ．一組對角相等，一組鄰角互補Ｄ．一組對角相等，另一組對角互補

2、在下面給出的條件中，能判定四邊形ＡＢＣＤ是平行四邊形的是（）

Ａ．ＡＢ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＣＤＢ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ

Ｃ．ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ=∠ＤＤ．∠Ａ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠Ｄ

3、如圖，在平行四邊形ＡＢＣＤ中，ＥＦ∥ＡＤ，ＭＮ∥ＡＢ，ＥＦ，ＭＮ相交于點Ｐ，則除平行四邊形ＡＢＣＤ外，圖中共有平行四邊形（）

Ａ．４個Ｂ．６個Ｃ．８個Ｄ．１０個

4、用兩個全等的三角形按不同的方法拼成四邊形，在這些拼出的四邊形中，平行四邊形最多有（）Ａ．１個Ｂ．２個Ｃ．３個Ｄ．４個

5、在下列條件中，能判定四邊形ＡＢＣＤ為平行四邊形的是（）

Ａ．ＡＢ＝ＡＤ，ＣＢ＝ＣＤＢ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ

Ｃ．ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣＤ．∠Ａ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠Ｄ

6．已知：如圖在中，AC，BD交于點O，EF過點O，分別交CB，AD?的延長線于點E，F，求證：AE=CF．（10分）

6、已知：如圖，在平行四邊形ＡＢＣＤ中，點Ｇ，Ｈ分別是ＡＢ，ＣＤ的中點，點Ｅ，Ｆ在ＡＣ上，且ＡＥ＝ＣＦ．

求證：四邊形ＥＧＦＨ是平四邊形．（10分）

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