第一篇：平行四邊形的證明

一，教學銜接

（一）．檢查作業

（二）.平行四邊形

①定義

②性質

③判定定理

二，教學內容

1、課本給的判定定理之外的證明方法：（證明方法詳情PPT）

一組對邊平行一組對角相等的四邊形是平行四邊形

兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

兩組鄰角互補的四邊形是平行四邊形

2、中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。中位線：中點與中點的連線；

中 線：頂點與對邊中點的連線．

例1（教材P98例4）如圖，點D、E、分別為△ABC邊AB、AC的中點，求證：DE∥BC且DE=1BC．

2方法1：如圖（1），延長DE到F，使EF=DE，連接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四邊形BCFD是平行四邊形．所以DF∥BC，DF=BC，因為DE=11DF，所以DE∥BC且DE=BC． 22

（也可以過點C作CF∥AB交DE的延長線于F點，證明方法與上面大體相同）

方法2：如圖（2），定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．

【思考】：

（1）想一想：①一個三角形的中位線共有幾條？②三角形的中位線與中線有什么區別？

（2）三角形的中位線與第三邊有怎樣的關系

三角形中位線的性質：三角形的中位線平行與第三邊，且等于第三邊的一半．

〖拓展〗利用這一定理，你能證明出在三角形三邊中位線中分割出來的四個小三角形全等嗎？

例2 已知：如圖（1），在四邊形ABCD中，E、F、G、H

分別是 AB、BC、CD、DA的中點．

求證：四邊形EFGH是平行四邊形．

證明：連結AC（圖（2）），△DAG中，∵AH=HD，CG=GD，1AC（三角形中位線性質）．

21同理EF∥AC，EF=AC． 2∴HG∥AC，HG=

∴HG∥EF，且HG=EF．

∴四邊形EFGH是平行四邊形．

此題可得結論：順次連結四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形．

3、平行線間的距離處處相等。（相關證明PPT）

三，教學練習

1.A、B、C、D在同一平面內，從①AB∥CD；②AB=CD；③BC=AD；④BC∥AD這四個條件中任選兩個，能使四邊形ABCD是平行四邊形的選法有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

2.在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，如果只給出條件“AB∥CD”，那么還不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，給出以下六個說法中，正確的說法有（）

（1）如果再加上條件“AD∥BC”，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形；

（2）如果再加上條件“AB=CD”，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形；

（3）如果再加上條件“∠DAB=∠DCB”那么四邊形ABCD一定是平行四邊形；

（4）如果再加上“BC=AD”，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形；

（5）如果再加上條件“AO=CO”，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形；

（6）如果再加上條件“∠DBA=∠CAB”，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形.A.3個B.4個C.5個D.6個

圖1圖

23.如圖1，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC為∠BAD的平分線，圖中與∠AOE相等（不含∠AOE）的角有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

4.□ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F分別是OB、OD的中點，四邊形AECF是

_______.5．如圖，A、B兩點被池塘隔開，在AB外選一點C，連結AC和BC，并分別找出AC和BC的中點M、N，如果測得MN=20 m，那么A、B兩點的距離是m，理由是．

6.如圖，D、E是△ABC的邊AB和AC中點，延長DE到F，使EF=DE，連結CF.四邊形BCFD是平行四邊形嗎？為什么？

7.如圖，平行四邊形ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點，連結AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于點P，CM、DN交于點Q.四邊形MGNP是平行四邊形嗎？為什么？

四，教學總結

1、判定方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

2、可以證明的方法：一組對邊平行一組對角相等的四邊形是平行四邊形

兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

兩組鄰角互補的四邊形是平行四邊形

4、得出的結論：①中位線定理

②平行線間的距離處處相等，夾在兩條平行線間的平行線段相等 五，布置作業

1、能夠判別一個四邊形是平行四邊形的條件是（）

A.一組對角相等

B.兩條對角線互相垂直且相等

C.兩組對邊分別相等

D.一組對邊平行

2、下列條件中不能確定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）

A.AB=CD，AD∥BCB.AB=CD，AB∥CD

C.AB∥CD，AD∥BCD.AB=CD，AD=BC3、如圖，DE∥BC，AE=EC，延長DE到F，使EF=DE，連結AF、FC、CD，則圖中四邊形ADCF是______.4、在□ABCD中，點E、F在對角線AC上，其中AE=CF,求證：四邊形BEDF是平行四邊形

5．已知：如圖，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．

第二篇：證明平行四邊形

證明平行四邊形

如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE。已知∠BAC=30o，EF⊥AB，垂足為F，連結DF。

求證：四邊形ADFE是平行四邊形。

設BC=a,則依題意可得：AB=2a,AC=√3a,等邊△ABE,EF⊥AB=>AF=1/2AB=a,AE=2a,EF=√3a

∵∠DAF=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,AD=AC=√3a,∴DF=√(AD2+AF2)=2a

∴AE=DF=2a,EF=AD=√3a=>四邊形ADFE是平行四邊形

1兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形3一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4對角線互相平分的四邊形是平行四邊形5兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

1、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

2、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

3、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

4、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

21.畫個圓，里面畫個矩形2.假設圓里面的是平行四邊形3.因為對邊平行，所以4個角相等4.平行四邊四個角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圓內平行四邊形為矩形..3判定(前提：在同一平面內)(1)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

(2)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(3)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;(4)兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形(5)兩組對角分別相等的四邊形為平行四邊形(注：僅以上五條為平行四邊形的判定定理，并非所有真命題都為判定定理，希望各位讀者不要隨意更改。)(第五條對，如果對角相等，那么鄰角之和的二倍等于360°，那么鄰角之和等與180°，那么對邊平行，(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形)所以這個四邊形是平行四邊形)編輯本段性質(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形。)(1)平行四邊形對邊平行且相等。(2)平行四邊形兩條對角線互相平分。(3)平行四邊形的對角相等，兩鄰角互補。(4)連接任意四邊形各邊的中點所得圖形是平行四邊形。(推論)(5)平行四邊形的面積等于底和高的積。(可視為矩形)(6)過平行四邊形對角線交點的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。(7)對稱中心是兩對角線的交點。

性質9(8)矩形菱形是軸對稱圖形。(9)平行四邊形ABCD中(如圖)E為AB的中點，則AC和DE互相三等分，一般地，若E為AB上靠近A的n等分點，則AC和DE互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一種特殊的平行四邊形。(10)平行四邊形ABCD中，AC、BD是平行四邊形ABCD的對角線，則各四邊的平方和等于對角線的平方和。(11)平行四邊形對角線把平行四邊形面積分成四等分。(12)平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形。(13)平行四邊形中，兩條在不同對邊上的高所組成的夾角，較小的角等于平行四邊形中較小的角，較大的角等于平行四邊形中較大的角。(14)平行四邊形中,一個角的頂點向他對角的兩邊所做的高，與這個角的兩邊組成的夾角相等。編輯本段平行四邊形中常用輔助線的添法

一、連接對角線或平移對角線。

二、過頂點作對邊的垂線構成直角三角形。

三、連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構成線段平行或中位線。

四、連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構造相似三角形或等積三角形。

五、過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等。編輯本段面積與周長

1、(1)平行四邊形的面積公式：底×高(推導方法如圖);如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四邊形面積，則S平行四邊=ah(2)平行四邊形的面積等于兩組鄰邊的積乘以夾角的正弦值;如用“a”“b”表示兩組鄰邊長，@表示兩邊的夾角，“S”表示平行四邊形的面積，則S平行四邊形=ab*sin@

2、平行四邊形周長可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四邊形周長，則平行四邊的周長c=2(a+b)底×1X高

第三篇：平行四邊形證明

1、已知:如圖BD是平行四邊形ABCD的對角線，E、F在BD上，且BE=DF．求證:四邊形AECF是平行四邊形．

2、已知：如圖，ABCD中，AC是對角線，AE=CF，AM=CN.求證：MFNE是平行四邊形

.3、已知：如圖，四邊形ACED是平行四邊形，B是EC延長線上一點，且BC=CE，求證：四邊形ABCD是平形四邊形．

4、已知：如圖，平形四邊形ABCD中，AC是對角線，E，F是AC上的點，且AE=CF，點M、N在AB、CD上，且AM=CN，求證：MFNE是平行四邊形．

5、已知:如圖DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC，求證:四邊形ABCD是平行四邊形．

6.在□ABCD中，點M、N在對角線AC上，且AM=CN，四邊形BMDN是平行四邊形嗎？為什么？

7.如圖，□ABCD中，E、F分別在BA、DC的延長線上，且AE=AB，CF=CD，AF和CE的關系如何？說明理由

.121

28.如圖，D、E是△ABC的邊AB和AC中點，延長DE到F，使EF=DE，連結CF.四邊形BCFD是平行四邊形嗎？為什么？

9、.如圖，□ABCD的對角線AC、BD交于O，EF過點O交AD于E，交BC于F，G是OA的中點，H是OC的中點，四邊形EGFH是平行四邊形，說明理由

.10.如圖，平行四邊形ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點，連結AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于點P，CM、DN交于點Q.四邊形MGNP是平行四邊形嗎？為什么？

11、如圖，BD是ABCD的對角線，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求證：四邊形AECF為平行四邊形.12、如圖，在ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上，分別取點K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，則四邊形KLMN為平行四邊形嗎？

14、已知如圖：在ABCD中，延長AB到E，延長CD到F，使BE=DF，則線段AC與EF是否互相平分？說明理由.

第四篇：怎么證明平行四邊形

怎么證明平行四邊形

在平行四邊形ABCD中，AE，CF，分別是∠DAB、∠BCD的平分線，E、F點分別在DC、AB上，求證：四邊形AFCE是平行四邊形

證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形;

∴DC‖AB;

∴∠EAF=∠DEA

∵AE，CF，分別是∠DAB、∠BCD的平分線;

∴∠DAE=∠EAF;∠ECF=∠BCF;

∴∠EAF=∠CFB;

∴AE‖CF;

∵EC‖AF

∴四邊形AFCE是平行四邊形

1兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形3一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4對角線互相平分的四邊形是平行四邊形5兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

1、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

2、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

3、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

4、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

21.畫個圓，里面畫個矩形2.假設圓里面的是平行四邊形3.因為對邊平行，所以4個角相等4.平行四邊四個角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圓內平行四邊形為矩形..3判定(前提：在同一平面內)(1)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

(2)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(3)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;(4)兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形(5)兩組對角分別相等的四邊形為平行四邊形(注：僅以上五條為平行四邊形的判定定理，并非所有真命題都為判定定理，希望各位讀者不要隨意更改。)(第五條對，如果對角相等，那么鄰角之和的二倍等于360°，那么鄰角之和等與180°，那么對邊平行，(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形)所以這個四邊形是平行四邊形)編輯本段性質(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形。)(1)平行四邊形對邊平行且相等。(2)平行四邊形兩條對角線互相平分。(3)平行四邊形的對角相等，兩鄰角互補。(4)連接任意四邊形各邊的中點所得圖形是平行四邊形。(推論)(5)平行四邊形的面積等于底和高的積。(可視為矩形)(6)過平行四邊形對角線交點的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。(7)對稱中心是兩對角線的交點。

1兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形3一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4對角線互相平分的四邊形是平行四邊形5兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

第五篇：證明平行四邊形

證明

（三）平行四邊形導綱

一、引入：

平行四邊形的定義：

A

平行四邊形定義的應用：B⑴∵AB∥CD，AD∥BC

∴四邊形ABCD是⑵∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴

二、自主探究：

證明：平行四邊形的對邊相等，對角相等。已知： □ABCD（如圖）

求證:AB=CD,BC=DA;∠B=∠D,∠BAD=∠DCB 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴

D

AB

D

三、性質應用：.在□ABCD中，已知∠A =32。，求其余三個角的度數 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴

D

2.已知在□ ABCD中AB=6cm,BC=4cm,求□ ABCD 的周長。解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴

3.連結AC，已知□ABCD的周長等于20 cm，AC=7 cm，求△ABC的周長。

C

B

A

四、小組合作探究：

證明：平行四邊形的對角線互相平分

五．總結性質：

A D

D

B

C

六、鞏固練習：

1.已知O是□ ABCD的對角線交點，AC=10cm，BD=18cm，AD=?12cm，則△BOC?的周長是_______

2.如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線相交于O點，且AB≠BC，過O點作OE⊥AC，交BC于E，如果△ABE的周長為b，則平行四邊形ABCD的周長是（）。

A.b B.1.5bC.2bD.3b

AD

BEC

七、學以致用：

證明:夾在兩條平行線間的平行線段相等。

八、鞏固練習：

1、已知：如圖平行四邊形ABCD，E,F是直線BD上的兩點，且∠E= ∠F。求證：AE=CFC2、已知：如圖，□ABCD的對角線AC，BD相交于點O,過點O的直線與AD,BC分別相交

于點E,F.D 求證:OE=OF.B

F

九、自我檢測：

1.在□ABCD中，∠A= 50 ?，則∠°

2.如果□ABCD中，∠A+∠C=240°，則∠°

3.如果□ABCD的周長為28cm，且AB：BC=2∶5，那么，cm，cm，．

3、已知:如圖,AC,BD是□ABCD的兩條對角線,且AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E,F,求證:AE=CF.B

十、能力提高：

4、已知:在□ABCD中,點E,F在對角線AC上,且AF=CE.D

線段BE與DF之間有什么關系?請證明你的結論.A

若去掉題設中的AF=CE,請添加一個條件使BE與DF有以上同樣的性質.B