第一篇：如何培養孩子的幾何空間思維

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如何培養孩子的幾何空間思維

幾何初步知識是小學數學的主要內容之一，通過對幾何圖形最基礎的知識的教學，使學生逐步形成簡單幾何形體的形狀、大小和相互位置關系的表象，能夠識別所學的幾何形體，并能根據幾何形體的名稱再現它們的表象，培養初步的空間觀念。

學生對幾何形體特征的理解，對周長、面積、體積的計算，往往是離開了這些幾何實體，而依賴于頭腦中對物體的形狀、大小和相互位置關系的形象的反映，這就要求學生具有一定的空間觀念。因此，我們在進行幾何初步知識的教學時，要充分利用各種條件，運用各種手段，引導學生通過對物體、模型、圖形的觀察、測量、拼擺、畫圖、制作、實驗等活動，讓學生獲取和運用幾何初步知識，并在運用幾何初步知識的過程中培養初步的空間觀念。

本文就這一問題，談一些粗淺的看法。

一、通過觀察、演示、操作等感知活動，使學生逐步形成幾何形體的表象

要認識幾何形體，必須理解幾何形體的本質屬性，形成正確、清晰的幾何概念。幾何概念是人們在長期的生活、生產實踐中，通過對大量的現實世界的空間形式進行高度的抽象概括后得到的。所以我們要重視引導學生進行觀察等感知活動，使學生形成幾何形體的表象，得到正確清晰的幾何概念。

例如怎樣認識長方體和正方體？教材沒有給長方體下定義，而是通過課本中圖形的觀察，指出某些物體的形狀是長方體。但是由6個面、12條棱、8個頂點所組成的立體不一定都是長方體，所以在教學時，就要拿出學生熟悉的日常生活中的實物，如裝食品的紙盒、鉛筆盒、保健箱等，引導學生仔細觀察這些實物的面、棱、頂點的情況。然后把作為教具的空紙盒展開成平面圖（相對的面和相對的棱課前分別涂上不同的顏色，見圖47），讓學生觀察、比較一下，著重加深對長方體的“6個面都是長方形（也可能有兩個相對的面是正方形），相對的面的面積相等”、“相對的棱的長度相等”的認識，使具體事物的形象在頭腦里得到全面的反映，從而使學生對長方體的理解更加深刻。接著再引入正方體的知識，學生通過對實物和平面展開圖的觀察，突出正方體這一屬概念所具有的，區別于其它屬概念的性質是長、寬、高都相等，并且能了解正方體和長方體之間的關系。

有些幾何形體的概念，不僅要借助教具的演示，而且還要通過學生自己動手實際操作和測量，來理解它的本質涵義。例如“體積”的概念，本身是抽象的、先驗性的。教學時，教師請學生觀察教室里墻角的書柜之類的物品，想一想，這塊地方不把書柜搬走，還 書人教育

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能放別的東西嗎？還可在講桌上出示一個盛水的玻璃容器，把一塊金屬塊放入容器中，水面為什么會上升？通過這樣的演示，使學生理解了這是因為書柜或容器中的金屬塊占據了一定大小的空間，把抽象的概念轉換成看得到摸得著的感知活動，使學生初步理解“空間”“體積”的實際意義，獲取一定的空間觀念。又如教學長方形的周長時，教師把一張長方形紙的周長貼上彩色紙條后，再拉直展開成相連的4條線段（長和寬用不同的顏色區別），讓學生到黑板前實際測量后列出不同的算式計算，讓學生思考：一個長方形有幾條長和幾條寬？怎樣計算周長比較方便？從而使學生獲得長方形“周長”的表象，并掌握長方形周長的計算公式。接著，讓學生自己動手操作測量某些實物的長和寬，計算出它們的周長，如教室中的玻璃窗、數學課本的封面、桌面等。

學生要得到一個正確清晰的幾何概念，需要借助于直觀演示、動手操作等感知活動來完成。如三角形面積公式的教學之前，學生對長方形、正方形、平行四邊形、三角形等基本圖形的表象已有所認識。我們把所有三角形作為一個整體來看，那么，銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形便都是這個整體的一部分。三角形面積公式的教學，教材中是通過數三角形和平行四邊形的方格，再將兩個銳角三角形拼擺成平行四邊形來推導出面積公式。但教師在課前讓學生自行準備好的兩個形狀、大小完全一樣的三角形，并不一定都是兩個銳角三角形，因此我們在課堂上讓學生自己動手拼擺時，學生完全可能由兩個全等的直角三角形、銳角三角形或鈍角三角形拼擺出長方形、正方形或平行四邊形（見下列三組拼擺圖形，圖48、49、50）。所以在公式的推導過程中，還需要考慮到知識的完整性和方法的多樣性，最后再歸納推導出三角形的面積公式=底×高÷2。

二、在運用幾何知識的過程中，加深學生對幾何概念的理解，培養初步的空間觀念

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在學生運用幾何初步知識的過程中，教師還應引導學生運用圖形的分解、組合、平移、旋轉等數學方法，加深對幾何形體的感知，培養初步的空間觀念。

例如，“計算圖形陰影部分的面積。”

學生從圖形的直覺感知中，已知圖51中4塊小陰影部分的面積是相等的，空間觀念較弱的學生一般只會從兩個角度去思考，或按步就班地先算出1塊陰影部分的面積，再算出4塊陰影部分的面積；或者從大長方形面積里減去空白部分的面積，得到陰影部分的面積，但這樣就不能兩次計算十字空白交叉處的面積（2×2）。如何化靜為動，從運動的觀點出發，啟發學生通過想象圖形中空白十字的移動，使它們變換成圖52的樣子，從而就可以較簡便地計算出圖形陰影部分的面積是（20-2）×（10-2）=144（平方米）

分解、組合平面圖形和進行圖形的變換，不僅對學習、推導平面圖形的面積公式是重要的，而且在測量、計算幾何圖形的面積時，也有著重要的意義，可以看出學生空間知覺能力的水平。如果學生掌握了圖形的本質特征，不論圖形的形狀、大小、方位等如何變化，都能正確地求得解答。

又如下面一題，“如圖53求圖中兩個圓的陰影部分的面積之差?！?/p>

學生雖然已經學過了圓面積的求積公式，但是大圓和小圓的陰影部分的面積是不易于直接求得的。這就需要學生具有一定的空間觀念，特別是對空間關系的知覺與想象能力。可以讓學生自己動手操作，通過平移小圓或翻轉小圓的實踐活動，變成下面三種情況：見圖54，小圓向右平移，兩圓相切，縮小相等的空白部分，同時擴大相等的陰影部分。

小圓向左平移，圓心重疊，擴大相等的空白部分，同時縮小相等的陰影部分。

小圓向左翻180°，擴大相等的空白部分，同時縮小相等的陰影部分。

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雖然兩圓的相互位置關系起了變化，陰影部分和空白部分的大小邊起了變化，但是可以看出，兩個圓的陰影部分的面積之差實質上就是兩個圓的面積之差。所以答案是（32-22）×3.14＝15.7（平方厘米）。

再如，我們在圓柱和圓錐知識教學之后，出了這樣一道題目如圖55：

“在一只底面半徑是10厘米的圓柱形玻璃瓶中，水深8厘米。要在瓶中放入長和寬都是8厘米，高是15厘米的一塊鐵塊，（1）如果把鐵塊橫放在水中，水面上升幾厘米？

（2）如果把鐵塊豎放在水中，水面上升幾厘米？（得數保留整厘米數）”

對此題的解答，需要引導學生實驗演示，或讓學生想象出鐵塊浸沒在水中的兩種情況之下的不同的形狀、方位、大小，培養學生的空間觀念。

第（1）小題，學生容易理解把鐵塊橫放在水中，將會全部浸沒。上升的容積就是鐵塊的體積。若用算術方法解：

15×8×8÷（102×3.14）≈3（厘米）

水面上升的 圓柱底面積 水面上升

容積 的高度

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（也就是鐵塊體積）

第（2）小題，學生首先要考慮，把鐵塊豎放在水中，鐵塊能全部浸沒嗎？顯然不能。因為橫放在水中，水面只上升了約3厘米，而豎放在水中，鐵塊的體積不變，底面積變小了，所以水面不可能上升到15厘米這一高度。進而再考慮，把鐵塊豎放在水中，水面是肯定要上升的，因為有部分鐵塊將浸沒在水中。若用方程解：

解：設把鐵塊豎放在水中，水面上升到x厘米。

102×3.14×x-82×x= 102×3.14×8

水面上升后的浸沒在水中的那水面上升前的

容積部分鐵塊的體積容積

x≈10

10-8＝2（厘米）→水面上升2厘米。

三、溝通幾何知識的內在聯系抓住綜合運用，提高空間觀念的積累水平

在學生掌握了部分幾何知識，且具有初步的空間觀念以后，如何進一步溝通幾何知識的內在聯系，我認為還應抓住綜合運用，啟發學生從多角度去思考問題，采用多種方法去解決問題，以利于提高空間觀念的積累水平。

如在學生對于平行四邊形、三角形和梯形的面積具有初步的空間觀念之后，要求學生運用多種方法解答下題：

“求平行四邊形ABCD中陰影部分的面積”。（見圖56）

（單位：厘米）

首先，平行四邊形中的陰影部分不是直接可以用求積公式計算的基本圖形；其次必須先對整個圖形的結構作粗略的視覺分析，找出可分解為哪幾個基本圖形；然后再尋找出各個小圖形（基本圖形）中各自隱蔽的條件。這就要求學生具有較強的綜合分析能力，書人教育

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具有整體的空間觀念。此題有兩種解法是可取的，可以從直接相關連的有緊密聯系的幾何圖形中計算出陰影部分的面積，并且可以減少計算步驟。即：解法一：陰影部分的面積，可以從梯形ABCE的面積中減去△BCF的面積求得：

解法二：陰影部分的面積，可以從△ABD的面積中減去△EFD的面積求得：

又如“一個底面周長和高相等的圓柱體，如果高縮短2厘米，表面積就減少12.56平方厘米，這個圓柱體的體積是多少立方厘米？”

這是一道幾何形體的應用題，難度較大。對立體圖形的認知（且不說是完全用文字抽象表示的應用題），光有空間知覺能力是不夠的，還需要有更高水平的空間想象能力。感知只能涉及立體圖形局部的明顯的部分、已知的條件，而對某些隱蔽的部分、未知的條件，必須在空間知覺的基礎上，經過分析綜合、抽象概括、假設推理等思維方法，產生出豐富的空間想象，才能完整全面地認識它。并且在解題過程中，把構成幾何形體的諸要素溝通起來，依賴已有的空間觀念，求出答案。此題的思考過程如下：

第一步：已知條件“如果高縮短2厘米，表面積就減少12.56平方厘米”，這是假設，題目要求的問題仍然是一個底面周長和高相等的圓柱體的原有的體積是多少立方厘米。

第二步：理解“表面積減少了12.56平方厘米”實質上是指減少了高為2厘米的這樣一個圓柱體的側面積。

第三步：抓住底面周長、高和側面積三者的關系，根據已知條件假設高是2厘米，側面積（即題中所指表面積）是12.56平方厘米，就可以求出這個圓柱體的底面周長（也就是這個圓柱體的高）。

12.56÷2＝6.28（厘米）

第四步：要求出圓柱體的體積，還必須知道底面積。根據“半徑×2×3.14=圓周長”，先求出底面半徑。

6.28÷3.14÷2＝1（厘米）

第五步：根據公式“底面積×高=體積”，最后求出圓柱體的體積。

12×3.14×6.28＝19.7192（立方厘米）

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四、重視發散思維的訓練開闊解題思路，發展學生的空間觀念

數學研究中有兩種思維，一種是收斂思維，又稱求同思維或集中思維。收斂思維是從若干已知條件中探求同一解題方法的思維過程，思維方向集中于同一方面，即向同一方向進行思考。這種思維形式能使學生的思維條理化、邏輯化、嚴密化，是培養學生理解和掌握知識所必不可少的。另一種是發散思維，又稱求異思維。發散思維是從同樣的已知條件中探求不同的（包括奇異的）解題方法的思維過程，思維方向分散于不同方面，即向不同方向進行思考。這種思維形式能使學生的思維活躍、靈活，具有創新意識。

在幾何知識的教學中，我們根據學生的知識層次、實際水平，設計出一些數學題目，有目的、有計劃地對學生進行發散思維的訓練，對于開發學生的智力，活躍解題思路，發展學生的空間觀念，仍然是十分必要的。下面略舉兩例，作些說明。

例如圖57是由一個長5厘米、寬3厘米的長方形和一個邊長為3厘米的正方形組成，你能用多少種方法求出陰影部分的面積？

這道題的問題只有一個，即求出陰影部分的面積。學生通過“割”“補”“移”的方法，思維向多方向擴展，從而得到以下一些解法：

（1）陰影三角形加上陰影梯形。

（2）從整個圖形中減去空白三角形。

5×3+3×3-（3+3）×5÷2＝9（平方厘米）

（3）添輔助線，從三角形中減去一個長方形。（見圖58）

6×5÷2-3×（5-3）＝9（平方厘米）

（4）陰影三角形旋轉到空白三角形位置，則正方形面積就是陰影部分面積（見圖59）。

3×3＝9（平方厘米）

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例如某鐵路線上，在起點和終點之間原有7個車站（包括起點站和終點站），現在新增加了3個車站。鐵路上兩站之間往返的車票不一樣。這樣，需要增加幾種不同的車票？

這道題目可啟發學生按照文字敘述的題意先構思出圖形（一條直線上有若干個點，求點與點之間的線段數）。學生一般的解法是利用求幾個連續數

需要增加90-42＝48（種）車票。但我們在教學中，還應該啟發學生尋求最佳解法，讓學生憑直覺、猜想等思維形式和方法，充分發揮空間想象的能力，以求得最優的解答方法?？梢赃@樣設想：

（1）原來有7個車站，如果增加1個車站，應該增加幾種車票（如圖60）？

7×2＝14（種）

（2）現在有3個車站了，如果再增加1個車站，又應該增加幾種車票？（想象圖，仿圖60，略）

8×2=16（種）

（3）已經有9個車站了，如果再增加1個車站，又應該增加幾種車票？（想象圖，仿圖60，略）

9×2＝18（種）

（4）這樣，一共新增加了3個車站，增加了幾種不同的車票呢？

14+16+28＝48（種）

所以此題的解答，只要列出下面的算式就可以了：14+16+18＝48（種），或（7+8+9）×2＝48（種）。

五、在培養學生初步空間觀念的教學活動中，應注意的兩個問題

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首先，應根據不同層次水平的學生，精心設計練習。

發展學生的空間觀念，要求教師根據學生現有的幾何知識水平，堅持由淺入深，由易到難的原則，精心設計出適合于不同層次水平的學生練習的題目。形式上，也可以采用系列題組的形式出現。練習時，應從學生的實際水平出發，對于大部分學生可要求完成一些基本題（A題）和綜合題（B題），以達到教材的基本要求；對于優等生，可以讓他們做一些靈活題（C題），使思維更加活躍和發展，使他們的空間觀念達到一個新的境界。這里略舉幾組題目，以作拋磚引玉之用（見附表）。

其次，練習題的設計編寫，或引用現成的幾何題目時，要注意數據的科學性。

例如，有這樣三道題目：

1.用40厘米長的一根鐵絲，圍成一個最大的長方形，長是12厘米，寬是多少厘米？

2.選擇適當的底和高，分別算出圖61，圖62兩圖形的面積。（單位：厘米）

3.求圖63中直角梯形中陰影部分的面積。

（單位：厘米）

這三道題目的命題都是錯誤的，也就是說，題目中的有關數據均不確切，不符合實際情況。第1題，要求圍成的是一個最大的長方形，且長已確定為12厘米，那么寬只能是8厘米，無選擇余地。但事實是，若在整厘米數范圍內計算，長應該是11厘米，寬是9厘米，圍成的長方形的面積最大，是99平方厘米；若在小數范圍內計算，長應該是10.1，10.01，10.001，??相應的寬應該是9.9，9.99，9.999，??長和寬都應該是一個無限迫近10的循環小數。第2題中的第（1）小題（見圖61），找出底邊和相對應的高后，用兩種方法求出的平行四邊形的面積應該是一樣的，但實際上計算的結果卻不相同：第（2）小題（見圖62），編寫者忽 書人教育

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視了“兩條平行線之間所作的幾條線段中，以和平行線垂直的線段最短。”這一重要性質，斜線的數據5厘米小于垂線的數據6厘米。第3題是要求出直角梯形中陰影部分的面積，解法一：陰影部分的面積，從三角形ACD的面積中減去三角形AOD

但為什么計算的結果不相同呢？

原來問題發生在題中的數據不符合科學性。據圖可知△AOD∽△BOC，FO＝1.6厘來，那么EO的長度應該是1.2厘米而不應該是1厘米。改正數據之后，兩種解法的得數就相同了。

總之，學生必須以掌握幾何形體的基本知識為基礎，并在運用幾何初步知識的過程中逐步形成、加深、提高和發展空間觀念。同時，有賴于我們教師的精心指導和培養。

第二篇：培養孩子的逆向思維

培養孩子的逆向思維

常聽商界大亨們說的一句話就是：逆勢而思，順勢而為。為什么要反過來從形勢、勢態去思考呢？與常規思維不同，逆向思維是反過來思考問題，是用絕大多數人沒有想到的思維方式去思考問題。那究竟什么是逆向思維呢？這種思維對我們有什么作用呢？

逆向思維也叫求異思維、反向思維或創新思維，是一種重要的思維方式；是一種對慣性思維已成定論的事物或觀點反過來思考的思維方式。是打破常規的思維模式、方法，拋開固有的思維定式和方向，從相反的方向去探索、分析、判斷并解決問題的思維方式就叫逆向思維。簡而言之，逆向思維就是克服思維定勢，從問題的相反方向進行思索，從而顯露出新的思想的思維方式。逆向思維能力也可以稱為求異思維能力或創新思維能力。

熟語有“反其道而行之”之說，孔子有“三思而后行”之道，這些都是古人最早運用逆向思維的寫照。而今我們要準確地說是“反其道而思之”，因為先人已經早就告訴我們要先思而后行，三思而后行了，說的就是要人們從問題的對立面去思索，從問題的相反面進行探索，尤其是對于某些特殊問題，從結論往回推，從求解回到已知條件，倒過來思考，或許會使問題簡單化，使解決它變得輕而易舉，運用逆向思維去思考和處理問題，實際上就是以“出奇”去達到“制勝”。

小故事，大思維

我國古代有這樣一個故事，一位母親有兩個兒子，大兒子開染布作坊，小兒子做雨傘生意。每天，這位老母親都愁眉苦臉，下雨了，怕大兒子染的布沒法曬干；天晴了，又怕小兒子做的傘沒有人買。一位鄰居開導她，叫她反過來想：雨天，小兒子的傘生意做得紅火；晴天，大兒子染的布很快就能曬干。從那以后，老太太再也不發愁了，因為不管是下雨還是天晴，對她的兒子們都有好處！逆向思維使這位老母親眉開眼笑了。

我們再看“司馬光砸缸”的故事，小朋友落水了，常規的思維模式就是要把人救出來——“救人離水”，而孩子們自己是沒有能力的，于是，面對這樣的緊急情況，其他的孩子都走了，而只有司馬光面對緊急險情，運用了逆向思維，果斷地用石頭把缸砸破了，把“救人離水”轉換成了“破缸流水”，救了小伙伴性命。

因此，逆向思維的結果常常會令人大吃一驚，喜出望外，別有所得。甚至因此而有所發現，創造出驚天動地的奇跡來，這就是逆向思維和它的魅力。

而這種思維對我們作用有：

1、正向思維決定態度，逆向思維決定廣度。如果孩子只接受到單向思維的訓練，形成了一種固定的思維模式以后，思維靈活性就會明顯降低。而逆向思維是一種可逆性思維，它既能把事物的本質從常人的習慣思維中反映出來，也能讓你去關注一般人想不到的一面，通過分析和處理，把問題呈現出來。這樣，就能幫助我們從順向和逆向兩個方面更全面、更靈活地去看問題、思考問題，從而提高對生活的適應能力。

2、單向思維反映常規和外部屬性，雙向思維反映特質及內在規律。在遇到問題時，我們思考問題一般都是單一的從事物的明顯的外部特質來分析和解決問題，這叫單向思維，它只能反映出事物的局部。

具有逆向思維的人的有以下三大優勢：

優勢一：事半功倍，高效快捷。生活中自覺運用逆向思維的人，會將復雜問題簡單化，從而使辦事效率和效果成倍提高。

優勢二：見解獨到，出奇制勝。在日常生活中，按常規性的思維難以解決的問題，對于具有逆向思維的人則會獨辟蹊徑，發現到常人慣性思維注意不到的地方，有所建樹，從而制勝于出人意料。

優勢三：思考維度更廣、更深。逆向思維的人會思考出多種解決問題的方法，并從中獲得最佳方法和途徑。

人們常常習慣于沿著事物發展的正方向去思考問題并尋求解決辦法，而逆向思維最大的價值就是它對人們認識的挑戰，是對事物認識的不斷深化，并由此而產生“原子彈爆炸”般的威力！

3~12歲是逆向思維發展的關鍵期

“光生七歲，凜然如成人……群兒戲于庭，一兒登甕，足跌沒水中，眾皆棄去，光持石擊甕破之，水迸，兒得活?！彼抉R光砸缸的事情是發生在他七歲那年，是什么原因讓一個七歲的孩童就具有這般機警、沉著的思維呢？除了，他自幼“手不釋書，至不知饑渴寒暑。”更為重要的是“聞講《左氏春秋》，愛之，退為家人講，即了其大指?！逼邭q時，他就能夠熟練地背誦《左傳》，并能把二百多年的歷史梗概講述得十分清楚了。

從司馬光的成長經歷中，我們可以了解到孩子逆向思維發展的基礎首先是要具備自由閱讀的能力，然后是邏輯推理能力的發展，這樣，才能激發孩子逆向思維的良好發展。而作為父母，我們應當把握住3-6歲逆向思維發展的關鍵期，掌握正確的引導方法，讓孩子的邏輯推理智能創造更多的奇跡。

訓練孩子的逆向思維是很有必要的。發展逆向思維有助于寶寶在今后的學習和工作中更全面地思考問題，提高其對社會的適應性。所謂順（正）向思維即單向思維，而逆向思維則是雙向思維，它可以從正逆兩個方面來揭示事物的特點及其規律。

所以，家長應多結合生活情境，為寶寶創造訓練逆向思維的機會。讓孩子知道思考問題和解決問題，完全可以從不同的角度入手。

（一）在孩子3歲以前，我們可以用以下的兩個方法：

方法

一、用反義詞和兒歌來訓練孩子的逆向思維。例如：

學說反義詞

夏天熱，冬天冷，樹兒高，草兒矮，猴兒瘦，豬兒胖，兔子快，烏龜慢，大老虎，小老鼠，你說東來我說西。

目標：豐富寶寶的詞匯，幫助其理解反義詞的意思，并學會將在日常生活中觀察到的事物的本質特征加以歸納和總結。

跑跑曲

一大一小地上跑。

卡車大來摩托?。?/p>

一多一少天上跑，飛機多來飛船少；

一長一短拉人跑，火車汽車拉人跑；

分清大小和多少，大家拍手笑一笑。

用這種對比句來學說反義詞，不僅有豐富孩子的詞匯的功能，更重要是它能培養孩子逆向思維的能力，這是訓練逆向思維的一種很重要又簡單的方法。在日常生活中，家長要多為孩子創造使用和學習反義詞的機會。例如：“爸爸穿大鞋，寶寶穿小鞋”、“媽媽坐寬凳子，寶寶坐窄凳子”等。

方法

二、正反提問法。就是同樣的結論，采用不同的發問方式引發孩子的自主思考。例如“誰會采蜜呀？”和“會采蜜的是誰呀？”這兩個問題，一順一逆，對于3-5歲的孩子來說，回答出“蜜蜂會采蜜”會容易一些，而要回答出“會采蜜的是蜜蜂”，則要看回答者的思維水準而定了。

（二）3歲以上的孩子，除了上面介紹的方法，在生活中還可以這樣做：

方法

一、制造錯誤，讓孩子找出錯誤，增強其自信心。這里有兩個兒歌游戲旨在為大家拋磚引玉。

顛倒歌

機器貓，早早起，戴上衣服，穿帽子，扣好鞋帶，系扣子；

媽媽催他把牙洗，他說：不急不急，月亮公公還沒起！

聰明的孩子就是你，說說哪兒有問題？

目標：促進寶寶逆向思維、空間想像力和短時記憶力的發展，提高寶寶專注力的質量和語言組織能力的水平，學會傾聽。

希奇調

希奇希奇真希奇，動物園里放大戲，瘦豬胖猴來唱戲，小虎大鼠來演戲，高兔矮象扮夫妻，你說希奇不希奇！

目標：通過提供錯誤的信息來刺激寶寶的大腦運轉，提高其記憶力，讓其思維變得更敏捷，并使其創造力和創新能力得到充分發揮。

方法

二、運用利弊分析法，讓孩子自主選擇并承擔結果。就是針對同一觀點通過對其好的地方和不好的地方分析，并發表自己的觀點。例如不吃水果的好處有哪些？不好的地方呢？那你會怎么選擇呢？在我們自己遇到育兒的困惑時，甚至可以把困惑說出來請孩子一起來參與出謀劃策。如對于做事磨嘰的孩子我們可以說：“哎呀，媽媽很想你做作業的時候，快一點，可真的不知道怎么才能讓你快，怎么辦啊？你看要是你動作快，早完成十分鐘，就多了十分鐘可以自由支配啊！”然后，跟孩子一起來計算并體驗十分鐘可以做些什么？

采用逆向思維，有許多成功的發明創造的例子。刀削鉛筆，以前是：刀動筆不動；采用逆向思維后，筆動刀不動，于是就有了旋筆刀。人上樓梯，人動梯不動；采用逆向思維，梯動人不動，于是就有了電梯。

“逆向思維”，就是一種從反方面分析問題，進而提出與眾不同的見解的議論方法。從思維上說，它是一種擴散性思維，是一種發散思維，是由一個起點或多個起點向外發散，而我們要做的就是培養孩子找出不同的起點的能力。它是培養孩子的創新能力，激勵創新思維的最佳途徑。

第三篇：空間幾何證明

立體幾何中平行、垂直關系證明的思路

平行垂直的證明主要利用線面關系的轉化：

線∥線???線∥面???面∥面性質

?判定???線⊥線???線⊥面???面⊥面????

線∥線???線⊥面???面∥面

線面平行的判定：

a∥b，b?面?，a???a∥面?

a b ??

線面平行的性質：

?∥面?，??面?，????b?a∥b

三垂線定理（及逆定理）：

PA⊥面?，AO為PO在?內射影，a?面?，則

a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO

P ??O a

線面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?

a O α b c

面面垂直：

a⊥面?，a?面???⊥?

面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?

α a l β

a⊥面?，b⊥面??a∥b

面?⊥a，面?⊥a??∥?

a b ??

定理：

1.如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。作用：判斷直線是否在平面內；證明點在平面內；檢驗平面。2.過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

作用：確定平面；判斷兩個平面是否重合；證明點線共面。推論：a.經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；

b.經過兩相交直線，有且只有一個平面；

c.經過兩條平行直線，有且只有一個平面。

3.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

作用：a.判定兩個不重合平面是否相交；

b.判斷點在直線上。

4.平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（平行線的傳遞性）。5.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。6.（直線與平面平行的判定定理）

平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與該平面平行。條件：a.一條直線在平面外；

b.一條直線在平面內；

c..這兩條直線互相平行。7.（平面與平面平行的判定定理）

一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。條件：a.兩條相交直線；

b.相交直線在一個平面內；

c.對應平行。

8.（直線與平面平行的性質定理）

一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

條件：a.一條直線與一個平面平行；

b.過這條直線的任一個平面與此平面相交；

c.交線與直線平行。9.（平面與平面平行的性質定理）

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。條件：a.兩個平行平面：平面1和平面2和第三個平面：平面3

b.平面1與3相交，平面2與3相交

c.交線平行

點、線、面的相關證明

一.多點共線和多線共點問題證明

方法：公理3的熟練應用；兩個相交平面有且只有一條公共直線。

1.如下圖，在四邊形ABCD中，已知AB//CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，F，G，H。求證：E，F，G，H四點必定共線。

2.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設線段A1C與平面ABC1D1交于Q.求證：B，Q，D1三點共線。

3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB 的中點，F為AA1的中點，求證：

a.E，C，D1，F四點共面；

b.CE，D1F，DA三線共點。

二．計算異面直線所成角度

方法：平移法和輔助線（中位線）構造角度

1.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角度為______________.2.如圖所示，正四棱錐P-ABCD的底面面積為3，體積為√2/2，E為側棱PC的中點，則PA與BE 所成的角為____________.3.如圖所示，正三棱錐S-ABC（側面為全等的等腰三角形，底面為正三角形）的側棱長與底面邊長相等，E、F分別是SC、AB的中點，異面直線EF與SA所成的角為____________.4.如下圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點，已知AB=2，AD=2√2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面積；

（2）異面直線BC與AE所成的角的大小.5.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分別是棱AB、BC、CD、CC1的中點，直線MN與PQ所成的度數_______________.

第四篇：反思幾何解題培養思維品質

反思幾何解題培養思維品質

[摘 要] 培養學生的思維品質要從嚴謹性、發散性、深層性、廣闊性、創造性五大特征入手.數學幾何學習對培養學生的思維品質具有獨特而顯著的作用，本文通過實例闡述如何借助幾何解題進行反思，培養學生良好的思維品質.[關鍵詞] 幾何；思維品質；解題思路；嚴謹

數學幾何是對圖形的概括，是學生思維發展的“橋梁”，是師生進行交流的“紐帶”.因此在課堂中作為“主導者”的教師，要善于利用一些例題、習題，充分挖掘題目背后深層次的含義，幫助學生準確理解知識點，并掌握解決問題的一般方法，從而養成良好的思維品質.筆者結合自己多年的幾何教學實踐，就幾何教學中如何培養學生思維品質，談幾點體會.借助幾何直觀，深化概念理解，培養學生思維的深層性

思維的深層性要求學生在解決問題時，要抓住問題的本質和內在聯系，善于舉一反三，解題以后能夠及時總結一般規律和通法，并能把知識和方法進行遷移，用于解決其他類似問題.數學概念，就是用簡練的數學語言、符號去概括對象的本質屬性.要抓住對象的本質屬性，必須對概念理解到位.一直以來概念教學是一個難點，對學生理解能力要求較高.而通過幾何直觀，可以幫助學生突破概念理解上的難點.例如在函數概念學習中，如何理解“對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值”，如果僅僅靠解讀字面意思，學生比較難以理解，更難達到數學應用的境地.若借以幾何直觀，加以辨析，從感性認識著手，則可以達到較好的教學效果.例1：給出以下幾個圖形（圖1），讓學生指出哪些圖形所反映的是函數的圖像.通過對這四個圖的比較與辨析，能很直觀地發現A、B、C三個圖形中，同一個x的值，有兩個y的值與它對應，這就不是函數的對應關系了.解后回顧，培養學生思維的嚴

謹性

思維的嚴謹性是指思維過程的嚴密性和邏輯性，而數學幾何解題嚴謹、條理清晰，能很好地培養學生思維嚴謹性.教師要引導學生題后回顧，特別是針對一些典型錯誤的及時分析，能讓學生明白前后邏輯關系的重要性，并在解決問題時要注重條件與結論之間關系的嚴謹性.例2：已知△ABC為鈍角三角形，其最長邊AC上有一點P（點P與點A，C不重合），過點P作直線l，使直線l截△ABC所得的三角形與原三角形相似，這樣的直線l可作幾條？

有學生解答：如圖2，過點P分別作兩條平行線并且使∠ABP=∠C（或∠PBC=∠A），這樣滿足條件的直線有3條.分析：是否存在點P必有∠ABP=∠C或∠PBC=∠A？因此，上述解答中思維有漏洞，即思維不嚴謹，從而產生了錯誤的解答.正確解答：如圖3所示，其中∠ABD=∠C或∠EBC=∠A，當點P位于點A至D之間（包括點D）或位于點C至E之間（包括點E）時，滿足條件的直線有3條；而當點P位于點E至D之間（不包括點D，E）時，滿足條件的直線有2條.以上例題讓學生經歷從一開始的想當然認為所有點P都能畫出3條，到后來發現當點P在特殊位置時會出現不一樣的特殊情況，從而感受到考慮問題必須全面，不能以特殊代替一般，也不能忽視特殊情況，以及邏輯上是否前后存在矛盾等.利用結論開放，培養學生思維的發散性

思維的發散性是指個體在思維活動中獨立發現解決問題的方法及推廣程度.這就要求教師在平時教學中多“留白”，從已知條件出發，能得到哪些相關的結論，對同一試題探求出各種各樣的方案.這種試題的解法多樣，思路廣闊，既能鞏固深化原有知識，又能提升學生思維活動的發散性.例3：如圖4，P為⊙O外一點，PAB為⊙O割線，交⊙O于A，B兩點，PC切⊙O于C，∠CPB的平分線交AC于E，交BC于F.結論1：CF=CE；結論2：△PCE∽△PBF；結論3：△PAE∽△PCF；結論4：=……

通過這類習題的訓練，不但能鞏固知識點之間的關系，還讓學生對這類問題有了深入的認識，大膽猜想并嚴謹論證，通過自我評價解題思路和方法，培養了思維的發散性.一題多用，培養學生思維的廣

闊性

思維廣闊性是指個體思維活動的廣泛程度.它的特點包括：一是從多角度來分析問題，抓住問題的關鍵；二從分析過程中，提煉出解決問題的方法；三是技能的遷移能力，如我們平時說的“舉一反三”；四是善于歸納總結，到達“運用自如”的境界.1.一題多解，解中求真，提升學生思維的廣闊性

例4：如?D5，在直角坐標系中，Rt△ABC的邊長BC=1，AC=2，∠C=90°，點A、點B分別在x、y軸正半軸滑動，求線段OB長的最值？

分析一：根據三角形三邊關系，可構造出以OB為一邊的△OBD，其中點D為AC的中點.由此可知：隨著線段AC滑動，線段BD和線段OD的位置也隨之改變.當BD和OD成一直線時，即線段OB剛好通過中點D時，OB為最?。划擝D和OD重合時，OB為最大.因此BD-OD≤OB≤BD+OD，即-1≤OB≤+1.分析二：根據相對運動理論，轉變觀察角度，把“動點A，C相對于不動點O運動”變為“動點O相對于不動點A，C運動”，此時點O的運動軌跡是以AC為直徑的圓.如圖6所示，OB最值的情況顯而易見了：-1≤OB≤+1.此題從兩個截然不同的角度，都十分巧妙地構造相關圖形得到兩種較好的解法，使學生對問題的理解更深刻，培養從不同角度理解問題的能力，同時培養其思維的多向性、廣闊性.2.一題多變，趨異求同，培養學生思維的廣闊性

以基本圖形為“生長點”，通過將其引申變換為相關圖形而得到“再生”題組，培養學生對幾何圖形的空間想象力，從而培養學生思維的廣闊性、多向性.例5：如圖7分別以△ABC三邊a，b，c為邊向外作正方形.若S+S=S成立，則△ABC是直角三角形嗎？

變式1：向外作正三角形呢？（如圖8）

變式2：向外作等腰直角三角形呢？（如圖9）

變式3：向外作半圓呢？（如圖10）

變式4：向外作相似三角形呢？（如圖11）

分析：由△ABF∽△ACE∽△BCD，得=2，=2，=，S+S=S，得a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形.通過對上述變式的理解和深入，我們可得到以下結論：分別以△ABC三邊a，b，c為直徑向外作任意相似多邊形.若S+S=S成立，則△ABC都是直角三角形！

例6：如圖12，一個邊長為1.2 m的正三角形金屬架，能通過一個直徑為1.1 m的呼啦圈嗎？請證明你的判斷？

分析：邊長為1.2的正三角形的高為<1.1，所以能通過這樣的呼啦圈.變式1：把正三角形改成直角三角形呢？（如圖13）

變式2：把正三角形改成梯形呢？如圖14，已知一塊直角梯形的鐵板，兩底長分別為4 cm、10 cm，且有一個內角為60°，請用數據說明鐵板能否從一個直徑為8.7 cm的圓洞穿過.分析：根據上述思考，過點B作a∥CD，過點B作BE⊥CD交CD于E，求得BE=5< 8.7，所以能穿過圓洞.因此，在教學過程中要求養成從不同角度，不同方位思考問題的習慣，進行一題多解、一題多變的練習，廣闊地運用公式、法則、命題，對一個對象用多種方式表達，對一個方法或理論作多方面的應用，培養其舉一反

三、觸類旁通的思維品質，從而培養學生思維的廣闊性.一圖多用，培養學生思維的創

造性

有創造性地解決問題的能力是衡量個人能力高低很重要的指標，特別是在幾何學習中尤為突出.為了提升學生的創造性，這就要求教師精心設計，讓學生對圖形進行觀察、分析、發現題中基本圖形，然后鼓勵學生大膽提出“猜想”，經過對基本圖形相關性質理性分析對猜想予以證明，最后及時題后反思，自行改編題目，以到達提高思維的創造性的目的.它的一般程序是“觀察發現基本圖形――提出猜想――證明猜想――題后反思――改編題目”.現結合例子具體闡述.例7：如圖15，已知△ABC中，BD，CE是高，F，G分別是BC，DE的中點，則FG與ED之間有什么關系？并給以證明.（1）觀察基本圖形

根據圖形及條件，觀察發現組成圖形的基本圖形是：直角三角形中線基本圖形、等腰三角形三線合一基本圖形.本題中的兩個基本圖形不完整，因此要把它補充完整，這也是添加輔助線的主要方向.（2）提出猜想

根據基本圖形及已知條件，大膽猜想FG與ED的關系是：FG垂直平分ED.（3）證明猜想（證明略）

（4）題后反思

題后反思概括性越高，知識系統性越強，減縮性越大，遷移能力越廣闊，注意力越集中，則思維的創造性就越突出.而題目的關鍵是通過添加輔助線補充完整圖中的兩個基本圖形，使直角三角形中線性質和等腰三角形三線合一性質有機結合.同時，圖形中共斜邊的兩個直角三角形也給我們留下了深刻的印象，利用中線性質可構造等腰三角形，可謂妙哉！結合兩個三角形的位置，通過反思整理“生長”出如下“基本圖形”，如圖16～18.（5）改編題目

產生“創造”的原因在于主體對知識經驗或思維材料的高度概括后集中而系統地遷移，進行新穎地組合分析，從而找出新奇的層次和交結點.而學生自行改編題目，需要學生廣泛、深刻、跳躍性的思維，很顯然，這有利于培養學生的創新能力，這有利于培?B思維的創造性.現摘錄如下學生改編的題目：

①已知△ABC中，BD，CE是高，F，G分別是BC，DE的中點，探索題目滿足什么條件時，△ADE是等腰直角三角形（如圖19）、正三角形（如圖20）？

②如圖21，在△ABC中，E，F分別是AB，AC上的點.若DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥EF，求證：AD平分∠BAC.通過大家的大膽探索、猜想，對于改編后第一題，最后得出有趣的結論：若△ADE是等腰直角三角形，那么△ABF肯定也是等腰直角三角形；若△ADE是正三角形，則△ABF必為含30°的直角三角形.對于第二題，學生根據自己題后反思，改變了原題中共斜邊的兩個直角三角形的位置，從而能打破原題、常規，讓圖形“活”起來，隨之提升學生思維能力.總之，教師在平時的幾何教學中，要引導學生對幾何例題、習題的解題進行多維度反思，將教學與實踐相結合，從思維的深度、廣度等多方位提升學生的思維品質.

第五篇：如何開發培養孩子的數學思維

如何開發培養孩子的數學思維

1如何開發培養孩子的數學思維

訓練學生的數學思維要有方向

小學生學習數學的思維方向明顯特點是單向直進,即順著一個方向前進,對周圍的其他因素“視而不見”。而皮亞杰認為思維水平的區分標志是“守恒”和“可逆性”。這里在所謂“守恒”就是當一個運算發生變化時,仍有某些因素保持不變,這不變的恒量稱為守恒。而“可逆性”是指一種運算能用逆運算作補償。學生要能進行“運算”,這個運算應當是具有可逆性的內化了的動作。

因此,教師在教學中既要注重定向集中思維,又要注重多向發散思維。前者是利用已有的信息積累和記憶模式,集中向一個目標進行分析推理,全力找到的合理的答案。后者是重組眼前或記憶系統中的信息,產生新的信息。解答者可以從不同角度,朝不同方向進行思索,探求多種答案。在對培養學生創造能力越來越強烈的今天,我們必須十分注重學生數學思維的方向性,要利用一切教材中的有利因素,訓練學生一題多解、一題多變、一題多用的思維方法。

多媒體教學培養數學思維能力

多媒體作為常規教學的輔助手段，越來越受到小學數學教師的重視，這與它的積極作用是分不開的?；脽?、投影的特點之一就是具體形象、生動直觀，能給學生提供鮮明、生動、明晰的視覺形象，激起學生學習的興趣和求知欲，調動學生學習的積極性。如“量角器的認識和使用”一節，如照書本插圖或模型教具講解，可見度太低，會影響學生學習積極性。假如把透明量角器放在投影儀的載物臺上，通過投影進行講解，則能滿足學生視覺直觀需要，使學生聚精會神、興趣盎然地投入到學習活動中。

思維能力是智力的核心。思維起源于觀察，觀察又給思維提供資料?；脽簟⑼队澳茉谳^短時間內向學生提供豐富的感性材料，使學生的感官和思維處于活躍狀態。如平行四邊形面積公式的推導，若運用活動而色彩鮮艷的幻燈片，再輔之以簡單明確的表達，就很容易引起學生的注意，從而激發學生對平行四邊形切割、拼湊方法的興趣，幫助學生理解平行四邊形面積公式，同時搞清平行四邊形和長方形之間的內在聯系，為以后學習三角形、梯形面積公式的推導打下良好的基礎。觀察是思維的觸角，是學生認識世界，增長知識的重要能力?；脽簟⑼队安粌H為學生提供從未涉及過的事物或現象，而且為直接感知觀察這些事物或現象創造了條件，并且把間接知識、抽象的概念具體化、形象化。既突出了事物的重點和本質特性，又便于學生觀察，形成表象，促進學生在實踐中提高觀察力。如講“圓柱體表面積”一節內容時，投影圓柱體和圓柱體表面展開后的復合幻燈片，學生就能清楚地認識到圓柱體的表面積是由“兩個相同上、下底圓面積和一個側面積組成”。而側面展開后恰好是一個長方形，這個長方形的長是上(或下)底面的周長，寬是圓柱的高。

2如何培養孩子的數學思維能力

抓好習題課教學，培養學生的思維運用能力?

數學教材課后的習題，很多都是具有代表性的典型題型等特點。在教學中不但應注重學生掌握課本中的概念知識，還善于引導學生去挖掘習題的涵與外延，使學生在探究問題中能夠融會貫通，應用自如。在拓寬學生的數學基礎知識的同時，加強了概念的理解，從而提高學生的思維運用能力。?

另外，在教學中可以根據情況設計一些有代表性、難度相當、鞏固性和靈活性的習題，通過多種練習形式，不僅有助于加深理解所學的數學知識，而且有助于發展學生思維的靈活性，并激發學生思考問題的興趣。

注重新舊知識的聯系，培養學生的思維發展能力?

數學知識具有嚴密的邏輯系統。就學生的學習過程來說，某些舊知識是新知識的基礎，新知識又是舊知識的引申和發展，學生的認識活動也總是以已有的舊知識和經驗為前提。每教一點新知識都盡可能復習有關的舊知識，充分利用已有的知識來搭橋鋪路，引導學生運用知識遷移規律，在獲取新知識的過程中發展思維。

如在教圓的面積時，先復習了長方形、正方形、三角形、平行四邊形等面積求法，然后引導學生從圖形的變換中得出圓的面積求法，通過觀察、比較，讓學生自己總結出求面積的公式。這樣引導學生通過溫故知新，將新知識納入原來的知識系統中，既鞏固了知識，思維也得到了發展。

3如何培養學生學習數學的思維

訓練學生的數學思維應有規律

數學思維中的規律包括形式邏輯規律和辯證邏輯規律以及數學本身的特殊規律。它們之間又是相互聯系的。存在著形式和內容、具體與抽象、特殊與一般的關系。要使學生學習富有成效,必須揭示知識的內在的聯系與規律。如整數、小數、分數、百分數概念之間的聯系;四則計算中的五大運算定律,是數系運算根據的通性公式;和、差、倍、分四種基本數量關系是各種應用題的基礎等等。

規律揭示得愈基本、愈概括,則學生的理解愈容易,愈方便,教學的效果也越好。因此,教師在新知識教學時,要充分利用遷移的功能,讓學生用已有的知識和思維方法,去解決新的問題。如我們在教了“5乘以幾”的乘法口訣后,可以讓學生用這種思考方法去推導其他乘法口訣;學了“加法交換律”的推導后,可以同樣的方法學習乘法交換律;學了“三角形的面積公式”推導后,可以同樣的方法學習梯形的面積公式推導等等。

促進學生數學思維脈絡清晰化

1.引導學生抓住思維的起點。數學知識的脈絡是前后銜接、環環緊扣的，并總是按照發生—發展—延伸的自然規律構成每個單元的知識體系。學生獲得知識的思維過程也是如此，或從已有的經驗開始，或從舊知識引入，這就是思維的開端。從學生思維的起點入手，把握住思維發展的各個層次，逐步深入直至終結。如果這個開端不符合學生的知識水平或思維特點，學生就會感到問題的解決無從下手，其思維脈絡就不會在有序的軌道上發展。

2.引導學生抓住思維的轉折點。學生的思維有時會出現“卡殼”的現象，這就是思維的障礙點。此時教學應適時地加以疏導、點撥，促使學生思維轉折，并以此為契機促進學生思維發展。

4思維能力的培養與訓練

勤練,培養思維的靈活性

由于小學生抽象邏輯思維發展很慢,因此我們會發現學生思維呆板和功能僵化是大量存在的,這與教師的教學質量有著密切的聯系。傳統的灌輸式和注入式的教學導致學生缺乏應變能力,學生陷于題海不能自拔,不能靈活解題。課堂講授例題,過多地或片面地強調程式化和模式化,也容易造成學生只會按模式解題,不能適應形勢發展的需要。

數學教學的特點之一是練習較多,這里所說的練習包括口答與筆練。一連串有計劃的課堂提問,可以加快學生的思維節奏,使學生的大腦處于高速運轉狀態。有些提問是學生無法預測的,因為那是教師在教學過程中適時提出來的。應用各種方法轉換教學形式,使學生適應各種變化,加快思維節奏,對培養學生思維的靈活性很有好處。

有序,培養思維的組織性

學生由于較多地依賴教師的復習總結,比較習慣于單一地思考問題,不善于把所學的內容歸納整理。還有一些學生只能應付做題,對所學知識不能構成體系。教師要善于引導學生對已學過的內容加以組織和整理,使知識系統化,這種系統不能簡單地認為是課本上已有的,而要進行思維加工,使之符合認識規律。

而對于高年級學生,更需要進行這方面的思維訓練。數學學科的系統性較強,知識的前后聯系較緊密。因此,每學完一個單元,教師要提醒學生自覺地整理與總結,按自己的體會將知識串起來,這樣有利于理解和鞏固所學的知識。