第一篇：新版小學六年級空間與幾何知識點

空間與幾何六年級知識點

六年級上冊

第二單元 位置與方向

（二）【知識要點】

1.記憶方向的兒歌：早上起來，面對太陽；前面是東，后面是西；左面是北，右面是南；東西南北，認清方向。

2.根據一個方向確定其它七個方向：

（1）南與北相對，西與東相對；西北與東南相對，東北與西南相對。（2）東、南、西、北按順時針方向排列。

3.地圖通常是按“上北下南左西右東”繪制的。（書：練習一第3、4題；）4.了解繪制簡單示意圖的方法：先確定好觀察點，把選好的觀察點畫在平面圖的中心位置，再確定好各物體相對于觀察點的方向。在紙上按“上北 下南、左西右東”繪制，用箭頭“↑”標出北方。（書：習二第2題。）

5、看簡單的路線圖描述行走路線。

（1）看簡單路線圖的方法：先要確定好自己所處的位置，以自己所處的位置為中心，再根據上北下南，左西右東的規律來確定目的地和周圍事物所處的方向，最后根據目的地的方向和路程確定所要行走的路線。

（2）描述行走路線的方法：以出發點為基準，再看哪一條路通向目的地，最后把行走路線描述出來（先向哪走，再向哪走）。有時還要說明路程有多遠。（書：p5和p9的做一做）（3）綜合性題目：給出路線圖，說出去某地的走法，并根據信息求出所用時間、應該按什么速度行駛、或幾時能到達、付多少錢買車票等等。

6.可以借助太陽等身邊事物辨別方向，也可以借助指南針等工具辨別方向。7.并能看懂地圖。（p4例2：知道建筑或地點在整個地圖的什么方向，地圖上兩個地點之間的位置關系：誰在誰的什么方向等）

第四單元 圓

【知識要點】

一、.圓的特征

1、圓是平面內封閉曲線圍成的平面圖形，.2、圓的特征：外形美觀，易滾動。

3、圓心o：圓中心的點叫做圓心．圓心一般用字母O表示．圓多次對折之后，折痕的相交于圓的中心即圓心。圓心確定圓的位置。

半徑r：連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑。在同一個圓里，有無數條半徑，且所有的半徑都相等。半徑確定圓的大小。

直徑d: 通過圓心且兩端都在圓上的線段叫做直徑。在同一個圓里，有無數條直徑，且所有的直徑都相等。直徑是圓內最長的線段。

1d同圓或等圓內直徑是半徑的2倍：d=2r 或 r=d÷2=2d=2

4、等圓：半徑相等的圓叫做同心圓，等圓通過平移可以完全重合。

同心圓：圓心重合、半徑不等的兩個圓叫做同心圓。

5、圓是軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形是軸對稱圖形。折痕所在的直線叫做對稱軸。

有一條對稱軸的圖形：半圓、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角 有二條對稱軸的圖形：長方形 有三條對稱軸的圖形：等邊三角形 有四條對稱軸的圖形：正方形 有無條對稱軸的圖形：圓，圓環

6、畫圓

（1）圓規兩腳間的距離是圓的半徑。（2）畫圓步驟：定半徑、定圓心、旋轉一周。

二、圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，周長用字母C表示。

1、圓的周長總是直徑的三倍多一些。

2、圓周率：圓的周長與直徑的比值是一個固定值，叫做圓周率，用字母π表示。

周長 即：圓周率π=直徑=周長÷直徑≈3.14 所以,圓的周長(c)=直徑(d)×圓周率(π)——周長公式： c=πd, c=2πr 注：圓周率π是一個無限不循環小數，3.14是近似值。

3、周長的變化的規律：半徑擴大多少倍直徑也擴大多少倍，周長擴大的倍數與半徑、直徑擴大的倍數相同。

如果r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3

14、半圓周長=圓周長一半+直徑=2×2πr=πr+d

三、圓的面積s

1、圓面積公式的推導

如圖把一個圓沿直徑等分成若干份，剪開拼成長方形，份數越多拼成的圖像越接近長方形。

圓的半徑 = 長方形的寬 圓的周長的一半 = 長方形的長 長方形面積 = 長 ×寬

所以：圓的面積 = 長方形的面積 = 長 ×寬 = 圓的周長的一半（πr）×圓的半徑（r）S圓 = πr × r S圓 = πr×r = πr

2、幾種圖形，在面積相等的情況下，圓的周長最短，而長方形的周長最長；反之，在周長相等的情況下，圓的面積則最大，而長方形的面積則最小。

周長相同時，圓面積最大，利用這一特點，籃子、盤子做成圓形。

3、圓面積的變化的規律：半徑擴大多少倍直徑、周長也同時擴大多少倍，圓面積擴大的倍數是半徑、直徑擴大的倍數的平方倍。

如果: r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3=2∶3∶4

則：S1∶S2∶S3=4∶9∶16

4、環形面積 = 大圓 – 小圓=πr大-πr小=π（r大-r小）

n2 扇形面積 = πr×360（n表示扇形圓心角的度數）

5、跑道：每條跑道的周長等于兩半圓跑道合成的圓的周長加上兩條直跑道的和。因為兩條直跑道長度相等，所以，起跑線不同，相鄰兩條跑道起跑線也不同，間隔的距離是：2×π×跑道寬度。

注：一個圓的半徑增加a厘米，周長就增加2πa厘米

一個圓的直徑增加b厘米，周長就增加πb 厘米

6、任意一個正方形的內切圓即最大圓的直徑是正方形的邊長，它們的面積比是4∶π

7、常用數據

π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7

六年級下冊

第三單元 圓柱和圓錐

【知識要點】

1、圓柱：以矩形的一邊為軸，旋轉一周所圍成的立體圖形，叫圓柱。如蠟燭、石柱、易拉罐等。

圓柱由3個面圍成。圓柱的上、下兩個面叫做底面；圓柱周圍的面（上下底面除外），叫做側面；圓柱的兩個底面之間的距離叫做高。

2、圓柱的表面積：

圓柱的表面積＝圓柱的側面積＋兩個底面的面積 S表＝S側＋2S底＝2πr(h＋r)圓柱的側面積＝底面的周長×高，S側＝Ch（注：c為πd）

3、圓柱的體積：圓柱所占空間的大小，叫做這個圓柱體的體積。

圓柱的體積＝底面積×高

V=Sh 或V=πr2h；

4、圓錐：以直角三角形邊為軸，旋轉一周所圍成的立體圖形，叫圓錐。生活中經常出現的圓錐有：沙堆、漏斗、帽子等。

5、圓錐的體積：一個圓錐所占空間的大小，叫做這個圓錐的體積。一個圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱的體積的圓錐體積公式：V=

1。31Sh 3S是圓錐的底面積，h是圓錐的高，r是圓錐的底面半徑

6、圓錐的表面積：一個圓錐表面的面積叫做這個圓錐的表面積。圓錐的表面積由側面積和底面積兩部分組成。S=πR2（n1n）+πr2或αR2+πr2（此n為角度制，α為弧度制，α=π（）36021807、圓柱與圓錐的關系：與圓柱等底等高的圓錐體積是圓柱體積的三分之一。

體積和高相等的圓錐與圓柱（等低等高）之間，圓錐的底面積是圓柱的三倍。體積和底面積相等的圓錐與圓柱（等低等高）之間，圓錐的高是圓柱的三倍。底面積和高不相等的圓柱圓錐不相等。

第二篇：六年級下冊圖形與幾何知識點總結

六年級下冊數學復習專題 圖形與幾何圖形的認識、測量

量的計量

一、長度單位是用來測量物體的長度的。常用的長度單位有千米、米、分米、厘米、毫米。

二、長度單位：1千米=1000米

1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米

1米=100厘米

1米=1000毫米

三、面積單位是用來測量物體的表面或平面圖形的大小的。常用面積單位：平方千米、公頃、平方米、平方分米、平方厘米。

四、測量和計算土地面積，通常用公頃作單位。邊長100米的正方形土地，面積是1公頃。

五、測量和計算大面積的土地，通常用平方千米作單位。邊長1000米的正方形土地，面積是1平方千米。

六、面積單位：

1平方千米=100公頃

1公頃=10000平方米

1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米

七、體積單位是用來測量物體所占空間的大小的。常用的體積單位有：立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）。

八、體積單位：（1000）

1立方米=1000立方分米

1立方分米=1000立方厘米

1升=1000毫升

九、常用的質量單位有：噸、千克、克。

十、質量單位：

1噸=1000千克

1千克=1000克

十一、常用的時間單位有：

世紀、年、季度、月、旬、日、時、分、秒。

十二、時間單位：（60）

1世紀=100年

1年=12個月 1年=4個季

1個季度=3個月

1個月=3旬 大月=31天 小月=30天

平年二月=28天

閏年二月=29天

1天=24小時

1小時=60分

1分=60秒

十三、高級單位的名數改寫成低級單位的名數應該乘以進率；低級單位的名數改寫成高級單位的名數應該除以進率。

十四、常用計量單位用字母表示：千米：km

米：m

分米：dm

厘米：cm

毫米：mm

噸：t

千克：kg

克：g

升：l

毫升：ml

平面圖形【認識、周長、面積】

一、用直尺把兩點連接起來，就得到一條線段；把線段的一端無限延長，可以得到一條射線；把線段的兩端無限延長，可以得到一條直線。線段、射線都是直線上的一部分。線段有兩個端點，長度是有限的；射線只有一個端點，直線沒有端點，射線和直線都是無限長的。

過一點可以畫無數條直線、過兩點只能畫一條直線。

二、從一點引出兩條射線，就組成了一個角。角的大小與兩邊叉開的大小有關，與邊的長短無關。角的大小的計量單位是（°）。

三、角的分類：小于90度的角是銳角；等于90度的角是直角；大于90度小于180度的角是鈍角；等于180度的角是平角；等于360度的角是周角。

四、相交成直角的兩條直線互相垂直；在同一平面不相交的兩條直線互相平行。同一平面內的兩條直線有兩種位置關系：平行和相交（垂直是相交的特殊情況）過直線上（外）一點只能畫一條直線和已知直線垂直。五、三角形是由三條線段圍成的圖形。圍成三角形的每條線段叫做三角形的邊，每兩條線段的交點叫做三角形的頂點。三角形有三條高。六、三角形按角分，可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。按邊分，可以分為等腰三角形和任意三角形(等邊三角形是等腰三角形的特殊情況）。七、三角形的內角和等于180度，四邊形的內角和是360°，多邊形的內角和=（邊數-2）×180°。

八、在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊。

九、在一個三角形中，最多只有一個直角或最多只有一個鈍角，最少有兩個銳角。十、四邊形是由四條邊圍成的圖形。常見的特殊四邊形有：平行四邊形、長方形、正方形、梯形。

十一、圓是一種曲線圖形。圓上的任意一點到圓心的距離都相等，這個距離就是圓的半徑的長。通過圓心并且兩端都在圓的線段叫做圓的直徑。兩個圓，半徑比=直徑比=周長比，面積比等于它們平方的比。圓周率π是無限不循環小數。圓周率最早是有我國的祖沖之發現的。同圓或等圓中：所有的半徑相等、所有的直徑相等。周長相等的兩個圓，面積相等

周長相等的情況下：圓的面積﹥正方形的面積﹥長方形的面積

長方形和正方形都是特殊的平行四邊形，長方形對邊相等，正方形四邊相等。半徑2厘米的圓，周長和面積不相等

圓的半徑擴大2倍，周長和直徑都分別擴大2倍，面積則擴大4倍。

十二、有一些圖形，把它沿著一條直線對折，直線兩側的圖形能夠完全重合，這樣的圖形就是軸對稱圖形。這條直線叫做對稱軸。

正方形有4條對稱軸、長方形有2條對稱軸、等邊三角形有3條對稱軸、等腰三角形有一條對稱軸、等腰梯形有一條對稱軸、圓有無數條對稱軸、半圓有1條對稱軸，扇形有1條對稱軸，平行四邊形沒有對稱軸。

十三、圍成一個圖形的所有邊長的總和就是這個圖形的周長。

十四、物體的表面或圍成的平面圖形的大小，叫做它們的面積。

十五、平面圖形的面積計算公式推導： 【1】平行四邊形面積公式的推導過程？

①把平行四邊形通過剪切、平移可以轉化成一個長方形。

②長方形的長等于平行四邊形的底，長方形的寬等于平行四邊形的高，長方形的面積等于平行四邊形的面積。

③因為：長方形面積=長×寬，所以：平行四邊形面積=底×高。即：S=ah。把一個長方形拉成平行四邊形，周長不變，面積變小（高變小，底不變）。【2】三角形面積公式的推導過程？

①用兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形。

②平行四邊形的底等于三角形的底，平行四邊形的高等于三角形的高，三角形 3 面積等于和它等底等高的平行四邊形面積的一半

③因為：平行四邊形面積=底×高，所以：三角形面積=底×高÷2。

即：S=ah÷2。

三角形的底=面積×2÷高

三角形的高=面積×2÷底 【3】梯形面積公式的推導過程？

①用兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形。

②平行四邊形的底等于梯形的上底和下底的和，平行四邊形的高等于梯形的高，梯形面積等于平行四邊形面積的一半。

③因為：平行四邊形面積=底×高，所以：梯形面積=（上底＋下底）×高÷2。即：S=（a+b）h÷2。

梯形的高=面積×2÷（上底+下底）

梯形的（上底+下底）=面積×2÷高

【4】畫圖說明圓面積公式的推導過程

①把圓分成若干等份，剪開后，拼成了一個近似的長方形。②長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑。

③因為：長方形面積=長×寬，所以：圓面積=πr×r=πr2。即：S=πr2。

十六、平面圖形的周長和面積計算公式：

長方形周長 =（長+寬）× 2

長方形面積 = 長 × 寬 正方形周長 = 邊長 × 4

正方形面積 = 邊長 × 邊平行四邊形面積 = 底 × 高

三角形面積 = 底 × 高 ÷ 2 圓的面積，我國的劉徽的《割圓術》

十七、常用數據： 常用π值

2π=6.28

3π=9.42 4π=12.56

5π=15.7

6π=18.84

7π=21.98

8π=25.1 2 9π=28.26

10π=31.4

12π=37.68

15π=47.116π=50.24

18π=56.52

20π=62.8

25π=78.32π=100.48

6.25π=19.625

2.25π=7.065

立體圖形【認識、表面積、體積】

一、長方體、正方體都有6個面，12條棱，8個頂點。正方體是特殊的長方體。

二、圓柱的特征：一個側面、兩個底面、無數條高。

三、圓錐的特征：一個側面、一個底面、一個頂點、一條高。

四、表面積：立體圖形所有面的面積的和，叫做這個立體圖形的表面積。

五、體積：物體所占空間的大小叫做物體的體積。容器所能容納其它物體的體積叫做容器的容積。

六、圓柱和圓錐三種關系：

1①等底等高，圓錐的體積是圓柱的，圓柱的高是圓錐的3倍。

3②等底等體積：圓錐的高是圓柱高的3倍。③等高等體積：圓錐的底面積是圓柱的3倍。

七、等底等高的圓柱和圓錐：

1①圓錐體積是圓柱的，②圓柱體積是圓錐的3倍，32 ③圓錐體積比圓柱少，④圓柱體積比圓錐多2倍。

3八、等底等高的圓柱和圓錐：錐

1、差

2、柱

3、和4。

九、立體圖形公式推導：

【1】圓柱的側面展開后得到一個什么圖形？這個圖形的各部分與圓柱有何關系？（圓柱側面積公式的推導過程）

①圓柱的側面展開后一般得到一個長方形。

②長方形的長相當于圓柱的底面周長，長方形的寬相當于圓柱的高。③因為：長方形面積=長×寬，所以：圓柱側面積=底面周長×高。④圓柱的側面展開后還可能得到一個正方形。

正方形的邊長=圓柱的底面周長=圓柱的高。

【2】我們在學習圓柱體積的計算公式時，是把圓柱轉化成以前學過的一種立體圖形（近似的）進行推導的，請你說出這種立體圖形的名稱以及它與圓柱體有關部分之間的關系？

①把圓柱分成若干等份，切開后拼成了一個近似的長方體。②長方體的底面積等于圓柱的底面積，長方體的高等于圓柱的高。

③因為：長方體體積=底面積×高，所以：圓柱體積=底面積×高。即：V=Sh。

【3】請畫圖說明圓錐體積公式的推導過程？ ①找來等底等高的空圓錐和空圓柱各一只。

②將圓錐裝滿沙子，倒入圓柱中，發現三次正好裝滿，將圓柱里的沙子倒入圓錐中，發現三次正好倒完。

③通過實驗發現：圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的三分之一；圓柱的1體積等于和它等底等高的圓錐體積的三倍。即：V=Sh。

3十、立體圖形的棱長總和、表面積、體積計算公式：

長方體棱長總和 =（長+寬+高）× 4

長方體表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2 長方體體積=長×寬×高

正方體棱長總和=棱長×12

正方體表面積=棱長×棱長×6 正方體體積=棱長×棱長×棱長

圓柱體側面積=底面周長×高

圓柱體表面積=側面積+底面積×2 圓柱體體積=底面積×高

1圓錐體體積=底面積×高×

3（二）圖形與變換

一、變換圖形位置的方法有對稱、平移、旋轉等，在變換位置時，每個圖形的相應頂點、線段、曲線應同步平移，旋轉相同的角度。

二、不改變圖形的形狀，只改變它的大小時，通常要使每個圖形的要素，如長方形的長與寬，三角形的底與高等同時按相同比例放大或縮小。

三、對稱圖形是對稱軸兩邊的圖形經對折后能夠完全重合，而不是完全相同。

（三）圖形與位置

一、當我們處在實際生活及情景中，面對教短距離時，通常用上、下、前、后來描述具體位置。

二、當我們面對地圖、方位圖時，通常用東、西、南、北，南偏東、北偏東……來描述方向。再結合所示比例尺計算出具體距離，把方向與距離結合起來確定位置。

第三篇：淺談小學數學中幾何與空間觀念

淺談小學數學中幾何與空間觀念

這一次的國培學習中，在《解密“圖形與幾何”》這一章節，講授的專家一直強調：在小學階段，要注重學生空間觀念的培養。下面我結合平時的教學，對于如何培養學生的空間觀念說說自己的一些認識和做法。

新課程標準強調學生空間觀念的培養。空間觀念就是要求學生能根據幾何形體的名稱，再現出它的表象。隨著空間觀念的累積，可以逐步形成空間想象力，這將為以后的學習奠定相當重要的基礎。如果說幼兒對一些簡單圖形的初步認識是在游戲和生活中獲得的，那么小學生的空間觀念往往是在他們學習幾何初步知識的過程中形成的，而且空間觀念的形成又直接幫助他們更好地掌握幾何知識。如何更科學地實施教學，培養學生的空間觀念呢？

一、更新觀念，培養對空間觀念的認識

空間觀念和空間想象力，是學生理解數學知識、掌握計算公式、提高應用解題能力不可忽視的素質。新課程標準要求培養學生初步的空間概念。我認為，在教學中，學生首先要有數學的基礎和初步的幾何觀念，但這種能力最初是靠“猜想”來實現的。其實猜想也是一種思維活動，是有目標的猜想和判斷。從學生的學習過程來看，猜想應該是學生有效學習的良好準備，它包括新的知識準備、積極動機和良好情感。培養學生的猜想意識，引導學生進行積極的猜想，是學生挖掘新知識和再創新的良好開端。學習直觀幾何，就必須采用兒童喜愛的“看一看折一折、剪一剪、拼一拼、擺一擺、量一量、畫一畫”等實際活動的方式，讓他們通過親自觸摸、觀察、測量、作圖和實驗，把視聽覺、觸覺、運動覺等協同利用起來，強有力地促進心理活動的內化，從而掌握圖形的特征，形成空間觀念。這些實際操作活動應該貫穿在幾何初步知識教學的始終，低年級需要，中高年級也絕不能忽視；認識圖形時固然必不可少，學習求積公式時，也必須通過學生自己的實驗，逐步推出。這樣，可使學生真正知道公式的由來，并促進空間觀念的形成。觀察和實驗既是小學幾何知識的基本教學方法，低中高年級也要有不同的要求。例如，指導小學生作圖，低年級可在方格紙上連點成線、畫線段、畫直角；中年級就應在方格紙上畫長方形、正方形等；高年級要求利用直尺和三角板直接畫垂線、平行線、長方形和正方形等。這樣，要求逐步提高，能力得到相應的培養。

二、觀察思考，提高對空間觀念的認識

空間觀念是現實中的物體和幾何體的形狀、大小、位置關系及其變化的整體把握。從現實中的物體和幾何體出發，就會涉及把現實中的經驗移動到幾何空間中，以此把握幾何空間，在用幾何空間中抽象而成的特征、性質來解釋現實空間，在這樣抽象、還原的過程中空間觀念才能建立。例如，在教學“圓柱體側面積”這一內容時，我引導學生將準備好的圓柱體模型側面剪開，并觀察剪開后的長方形或平行四邊形、正方形各個部分之間與圓柱各部分之間的關系，從而概括出圓柱的側面積公式通過這一系列操作觀察思考概括，不僅使學生理解并掌握了圓柱側面積公式，而且也增強了學生的操作意識，提高了學生變抽象為具體的思考方法，從而提高了對空間觀念的認識。

三、動手操作，升華對空間觀念的認識。

學生空間觀念的形成，單靠觀察是不夠的，還需要通過自己動手操作，才會產生穩固的認識。動手操作是學生直接獲取經驗知識的最好的途徑，它可以啟發學生積極參與思考，激發學生對數學產生興趣與探索欲望。學生的動手操作過程其實是學生手、眼、腦等多種器官協同合作的過程。它可以調動學生的多種感官參與學習過程。通過操作活動，可以幫助學生準確地想象出幾何圖形形成現實空間。圖形的形象，能準確地描述實物或幾何圖形的運動和變化，使學生能進一步在大腦中留下空間圖形的形象，從而建立空間觀念。發展空間觀念能力總是伴隨人的活動而產生和提高的，培養空間觀念的一個重要方法，就是加強空間想象的訓練。例如，在教學正方體有幾個頂點幾個面幾條棱時，首先以小組為單位（要求教師提供學具）搭一個正方體，學生紛紛動手，但問題隨即出現了：有些小組搭出了正方體，有些小組搭不出來。我抓住這一機遇向學生提問，于是全班同學開始討論，最后得出結論：原來不能搭成正方體的小組小棒只有根，搭得不好的正方體雖有根，但長短不一。從而使學生認識到正方體有條棱，每條棱都相等。只有在實踐中探究，才能把握幾何體的特征。

另外，新課程強調學生在學習中的感受和體驗，學生只有在活動中才能感悟出空間概念的真諦，才能養成良好的習慣，培養創新意識和能力。離開空間，離開學生的活動，創新能力的培養就成了無根之木，無源之水。所以要給學生一個活動空間，讓學生去發現、探索、創造。

總之，只要我們能創設情境激發興趣，從生活實際出發，讓學生動手操作實踐，注意培養學生的想象能力，就一定能使學生的空間觀念得到形成和發展。

第四篇：線性代數與空間幾何,教學大綱

《線性代數與空間解析幾何》A教學大綱

Linear Algebra and Analytic Geometry A

課程編碼：09A00110

學分：3.課程類別：專業基礎課（必修課）計劃學時：56

其中講課：56

實驗或實踐：0

上機：0 適用專業：信息科學與工程、機械工程、自動化與電氣控制、土木建筑、資源與環境、物理科學與技術等學院理工類各專業

推薦教材：于朝霞 張蘇梅 苗麗安主編.線性代數與空間解析幾何(第二版).北京：高等教育出版社，2016.參考書目：

1、鄭寶東主編.線性代數與空間解析幾何(第三版).北京：高等教育出版社，2015.2、馬柏林等主編.線性代數與解析幾何.北京：科學出版社，2001.3、黃廷祝，成孝予主編.線性代數與空間解析幾何(第三版).北京：高等教育出版社，2014.4、馮良貴等編著.線性代數與解析幾何.北京：科學出版社，2013.5、龔冬保等主編.線性代數與空間解析幾何要點與解題.西安：西安交通大學出版社，2006.6、黃廷祝，余時偉主編.線性代數與空間解析幾何學習指導教程.北京：高等教育出版社，2005.課程的教學目的與任務

線性代數與空間解析幾何具有較強的抽象性與邏輯性，所介紹的方法廣泛地應用于各個學科，是高等學校本科各專業的一門重要的基礎理論課。

通過本課程的教學，使得學生系統地獲取線性代數與空間解析幾何的基本知識、基本理論與基本方法，了解代數與幾何的相互滲透關系，會用代數理論去解決幾何方面的問題，具有較熟練的運算能力。通過本課程的學習使學生初步熟悉和了解抽象的、嚴格的代數證明方法，理解具體與抽象、特殊與一般的辯證關系，提高空間想象、抽象思維、邏輯推理的能力。學會理性的數學思維技術和模式，培養學生的創新意識和能力，能運用所獲取的知識去分析和解決問題，并為后繼課程的學習和進一步深造打下良好的基礎。

課程的基本要求

通過本課程的學習，要求學生達到以下要求：

1.了解行列式的概念，熟記行列式的性質，掌握行列式的基本計算方法。2.掌握矩陣的基本運算，理解矩陣秩的概念及初等矩陣與初等變換的關系性質。

3.理解線性相關性、向量組的秩的概念，掌握線性相關性的性質及判定定理、三秩相等定理。4.掌握平面、直線、二次曲面的方程及方程所表示的曲面形狀。

5.理解線性方程組解的存在定理、解的結構定理，掌握其在討論空間平面位置關系中的應用。6.理解特征值、特征向量的概念。掌握方陣可相似對角化的條件及方法，正交變換化二次型為標準形的方法。掌握二次型理論在判別三元二次方程所表示的幾何形狀的應用。7.借助矩陣的初等行變換熟練掌握各類線性問題解的刻畫及求解方法步驟。8.掌握線性方程組理論及二次型理論在幾何上的應用。

各章節授課內容、教學方法及學時分配建議

本課程的內容按教學要求的不同，分為兩個層次.其中，概念、理論用“理解”一詞表述的，方法、運算用“掌握”一詞表述的，屬較高要求，必須使學生深入理解，牢固掌握，熟練應用；概念、理論用“了解”一 詞表述的，方法、運算用“會”或“了解”表述的，也是教學中必不可少的，只是在要求上低于前者。第一章： 行列式

建議學時：8 [教學目的與要求]

1．理解n階行列式的定義。

2．理解行列式的性質，掌握行列式的計算。3.了解克拉默(Cramer)法則。

[教學重點與難點] 行列式的性質，行列式的計算。

[授

課

方

法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習為輔。[授

課

內

容] 1.1 二階與三階行列式 1.1.1 二階行列式 1.1.2 三階行列式

1.2 n階行列式的定義 1.2.1 排列與逆序數 1.2.2 n階行列式的定義 1.3 行列式的性質與計算

1.3.1 行列式的性質 1.3.2 行列式的計算 1.4 克拉默法則習題課

第二章：矩陣及其運算

建議學時：10 [教學目的與要求]

1．理解矩陣的概念，知道某些特殊矩陣的定義及性質。2．熟練掌握矩陣的線性運算，乘法運算，轉置及相關運算性質。

3．理解伴隨陣概念及性質，理解逆矩陣的概念和性質、矩陣可逆充要條件。4．理解矩陣秩的概念，知道滿秩矩陣及其性質。

5．理解矩陣的初等變換，熟練地用初等行變換求逆矩陣、求矩陣的秩、解矩陣方程。6．了解分塊矩陣的運算，掌握準對角矩陣的運算性質。[教學重點與難點]

重點：矩陣、逆矩陣、矩陣的秩及矩陣的初等變換的概念。矩陣的各類運算及運算性質。矩陣可逆的充要條件。初等矩陣與初等變換的關系性質，用初等變換求逆矩陣、矩陣的秩、矩陣方程的解的方法。

難點：矩陣秩的概念，有關矩陣秩的性質的應用問題。

[授

課

方

法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習為輔。[授

課

內

容]

2.1 矩陣及其運算 2.1.1 矩陣的概念 2.1.2 矩陣的運算 2.2 逆矩陣 2.2.1逆矩陣的定義 2.2.2 方陣可逆的充要條件 2.3 分塊矩陣及其運算 2.3.1 分塊矩陣的概念 2.3.2 分塊矩陣的運算

2.4 矩陣的初等變換與矩陣的秩 2.4.1 矩陣的初等變換 2.4.2 矩陣秩的概念與求法 2.5 初等矩陣

2.5.1 初等矩陣及其性質 2.5.2 用初等變換求逆矩陣習題課

第三章：向量與向量空間

建議學時：10 [教學目的與要求]

1.了解空間直角坐標系、幾何向量的坐標表示及運算。

2.理解n維向量的概念、理解線性相關性概念。會判別向量組的線性相關性。

3.理解向量組的最大無關組、秩的概念，理解三秩相等定理。掌握用矩陣的初等變換求向量組的最大無關組及秩的方法。

4.理解n維向量空間、子空間、基、維數、坐標等概念，會求向量空間的基、維數。

[教學重點與難點]

重點：向量組的線性相關性的概念及性質，向量組的線性相關性的矩陣判別法及其推論以及上述結論的應用；向量組的最大無關組與秩的概念與求法；三秩相等定理及應用；向量空間、基底及維數的概念。

難點：向量組的線性相關性、向量組的最大無關組與秩及相關證明題。[授

課

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法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習為輔。[授

課

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容] 3.1 幾何向量及其線性運算 3.1.1 幾何向量的基本概念 3.1.2 幾何向量的線性運算 3.2 空間直角坐標系 3.2.1 空間直角坐標系 3.2.2 幾何向量的坐標表示 3.2.3 用坐標進行向量運算

3.3 n維向量及其線性運算 3.3.1 n維向量的概念 3.3.2 n維向量的線性運算 3.4 向量組的線性相關性 3.4.1 向量組及其線性組合 3.4.2 線性相關與線性無關的概念 3.4.3 線性相關性的性質 3.4.4 線性相關性的判定 3.5 向量組的秩

3.5.1 最大線性無關組 3.5.2 向量組的秩

3.5.3 矩陣的秩與向量組的秩的關系 3.6 向量空間

3.6.1 向量空間的概念 3.6.2 坐標變換習題課

第四章：歐氏空間

建議學時：8 [教學目的與要求]

1.理解向量的內積、長度、夾角等概念及性質；理解標準正交基、正交矩陣;會求幾何向量的內積和外積。

2.掌握空間直線的標準式方程與平面的點法式、一般式方程。3.理解空間曲面、空間曲線的概念，會求空間曲線在坐標面上的投影。4.知道二次曲面方程及其所表示圖形的形狀。

[教學重點與難點] 標準正交基；直線與平面方程、曲面方程。

[授

課

方

法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習為輔。[授

課

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容] 4.1 向量的內積

歐氏空間 4.1.1 R3中向量的內積

4.1.2 n維向量的內積

歐氏空間 4.2 標準正交基

4.3 R3中向量的外積和混合積

4.3.1 向量的外積 4.4 R3中的直線與平面 4.4.1平面及其方程 4.4.2 空間直線及其方程 4.4.3 位置關系 4.5 空間曲面及其方程

4.5.1 球面 4.5.2 旋轉曲面 4.5.3 柱面

4.6 空間曲線及其方程 4.6.1 空間曲線的一般方程 4.6.2 空間曲線的參數方程 4.6.3 空間曲線在坐標面上的投影 4.7 二次曲面 4.7.1 橢球面 4.7.2 拋物面 4.7.3 雙曲面 4.7.4 二次錐面習題課

第五章：線性方程組

建議學時：6 [教學目的與要求]

1．理解齊次線性方程組有非零解的充要條件及非齊次線性方程組有解的充要條件。2．理解齊次線性方程組的基礎解系，線性方程組的通解的概念及解的結構。3．熟練掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法。

4.掌握線性方程組解的理論在向量組的線性相關性和在幾何上的應用。

[教學重點與難點] 齊次線性方程組有非零解的判斷及基礎解系的概念；非齊次線性方程組有解的判 斷及通解結構；用矩陣的初等行變換求解線性方程組；線性方程組解的理論在幾何上的應用。[授

課

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法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習為輔。[授

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容] 5.1 線性方程組有解的充要條件 5.2 線性方程組解的結構 5.2.1 齊次線性方程組解的結構 5.2.2 非齊次線性方程組解的結構

5.3 用初等變換解線性方程組及線性方程組的應用 5.3.1 用矩陣的初等行變換求解線性方程組

5.3.2 線性方程組應用舉例（只介紹在幾何中的應用）習題課

第六章：特征值、特征向量及相似矩陣

建議學時：8 [教學目的與要求]

1．理解矩陣的特征值與特征向量的概念并掌握其求法。

2．理解相似矩陣的概念與性質，理解矩陣可相似對角化的充要條件。

[教學重點與難點]

重點：矩陣的特征值與特征向量的概念、性質及求法；實對稱矩陣的相似對角化。

難點：矩陣可相似對角化的條件及相關問題。

[授

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容] 6.1 特征值與特征向量 6.1.1 特征值與特征向量的概念 6.1.2 特征值與特征向量的性質 6.2相似矩陣

6.2.1 相似矩陣的概念及性質 6.2.2 方陣的相似對角化問題 6.3 實對稱矩陣及其對角化

6.3.1 實對稱矩陣的特征值與特征向量 6.3.2 實對稱矩陣的正交相似對角化習題課

第七章：二次型

建議學時：6 [教學目的與要求]

1.了解二次型及其矩陣表示、二次型的秩及二次型的標準形等概念。

2.掌握用正交變換將二次型化為標準形的方法,會用配方法化二次型為標準形。3.會用二次型理論討論討論一般二次曲面的形狀。[教學重點與難點] 用正交變換化二次型為標準型。

[授

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法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習為輔。[授

課

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容] 7.1 二次型

7.1.1 二次型的定義及其矩陣 7.1.2 矩陣的合同 7.2 化二次型為標準形

7.2.1 用正交變換化二次型為標準形 7.2.2 用配方法化二次型為標準形 7.3 正定二次型 7.3.1 二次型的慣性定理 7.3.2 正定二次型

7.4 二次型在研究二次曲面中的應用 7.4.2 二次曲面方程化標準形

習題課

撰稿人：張蘇梅

審核人：楊殿武

第五篇：空間幾何證明

立體幾何中平行、垂直關系證明的思路

平行垂直的證明主要利用線面關系的轉化：

線∥線???線∥面???面∥面性質

?判定???線⊥線???線⊥面???面⊥面????

線∥線???線⊥面???面∥面

線面平行的判定：

a∥b，b?面?，a???a∥面?

a b ??

線面平行的性質：

?∥面?，??面?，????b?a∥b

三垂線定理（及逆定理）：

PA⊥面?，AO為PO在?內射影，a?面?，則

a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO

P ??O a

線面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?

a O α b c

面面垂直：

a⊥面?，a?面???⊥?

面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?

α a l β

a⊥面?，b⊥面??a∥b

面?⊥a，面?⊥a??∥?

a b ??

定理：

1.如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。作用：判斷直線是否在平面內；證明點在平面內；檢驗平面。2.過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

作用：確定平面；判斷兩個平面是否重合；證明點線共面。推論：a.經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；

b.經過兩相交直線，有且只有一個平面；

c.經過兩條平行直線，有且只有一個平面。

3.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

作用：a.判定兩個不重合平面是否相交；

b.判斷點在直線上。

4.平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（平行線的傳遞性）。5.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。6.（直線與平面平行的判定定理）

平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與該平面平行。條件：a.一條直線在平面外；

b.一條直線在平面內；

c..這兩條直線互相平行。7.（平面與平面平行的判定定理）

一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。條件：a.兩條相交直線；

b.相交直線在一個平面內；

c.對應平行。

8.（直線與平面平行的性質定理）

一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

條件：a.一條直線與一個平面平行；

b.過這條直線的任一個平面與此平面相交；

c.交線與直線平行。9.（平面與平面平行的性質定理）

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。條件：a.兩個平行平面：平面1和平面2和第三個平面：平面3

b.平面1與3相交，平面2與3相交

c.交線平行

點、線、面的相關證明

一.多點共線和多線共點問題證明

方法：公理3的熟練應用；兩個相交平面有且只有一條公共直線。

1.如下圖，在四邊形ABCD中，已知AB//CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，F，G，H。求證：E，F，G，H四點必定共線。

2.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設線段A1C與平面ABC1D1交于Q.求證：B，Q，D1三點共線。

3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB 的中點，F為AA1的中點，求證：

a.E，C，D1，F四點共面；

b.CE，D1F，DA三線共點。

二．計算異面直線所成角度

方法：平移法和輔助線（中位線）構造角度

1.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角度為______________.2.如圖所示，正四棱錐P-ABCD的底面面積為3，體積為√2/2，E為側棱PC的中點，則PA與BE 所成的角為____________.3.如圖所示，正三棱錐S-ABC（側面為全等的等腰三角形，底面為正三角形）的側棱長與底面邊長相等，E、F分別是SC、AB的中點，異面直線EF與SA所成的角為____________.4.如下圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點，已知AB=2，AD=2√2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面積；

（2）異面直線BC與AE所成的角的大小.5.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分別是棱AB、BC、CD、CC1的中點，直線MN與PQ所成的度數_______________.