第一篇：初三數學圓知識點總結

初三數學 圓知識點總結

一、本章知識框架

二、本章重點

1．圓的定義：

(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓．

(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合． 2．判定一個點P是否在⊙O上． 設⊙O的半徑為R，OP＝d，則有 d>r點P在⊙O 外； d＝r點P在⊙O 上； d

(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角．

圓心角的性質：圓心角的度數等于它所對的弧的度數．

(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．

圓周角的性質：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半． ②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角．

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形． ⑤圓內接四邊形的對角互補；外角等于它的內對角．

(3)弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角． 弦切角的性質：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角．

弦切角的度數等于它夾的弧的度數的一半．

4．圓的性質：

(1)旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等．

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經過圓心的任一直線都是它的對稱軸．

垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．

(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧．

(4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夾的弧相等．

5．三角形的內心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內心：是三角形三個角平分線的交點，它是三角形內切圓的圓心，在三角形內部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示．

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示．

(4)垂心：是三角形三邊高線的交點．

6．切線的判定、性質：(1)切線的判定：

①經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． ②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．

(2)切線的性質：

①圓的切線垂直于過切點的半徑．

②經過圓心作圓的切線的垂線經過切點． ③經過切點作切線的垂線經過圓心．

(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長．

(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．

7．圓內接四邊形和外切四邊形

(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內接四邊形，圓內接四邊形對角互補，外角等于內對角．

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等．

8．直線和圓的位置關系：

設⊙O 半徑為R，點O到直線l的距離為d．

(1)直線和圓沒有公共點直線和圓相離d>R．

(2)直線和⊙O有唯一公共點直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O 有兩個公共點直線l和⊙O 相交d

9．圓和圓的位置關系：（不考了）設(1)外離(2)含(3)外切(4)dr)，圓心距

．

沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部d>R＋r． 沒有公共點，且的每一個點都在外部

內有唯一公共點，除這個點外，內切d＝R－r．

相交(5)有兩個公共點R－r

10．兩圓的性質：

(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線．

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經過切點．

11．圓中有關計算： 圓的面積公式：，周長C＝2πR．

圓心角為n°、半徑為R的弧長．

圓心角為n°，半徑為R，弧長為l的扇形的面積弓形的面積要轉化為扇形和三角形的面積和、差來計算．

．

圓柱的側面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為面積為2πRl，全面積為

．，側（補考圓錐面積了）圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側面積為πRl，全面積為半徑之間有

【經典例題精講】

例1 如圖23-2，已知AB為⊙O直徑，C為上一點，CD⊥AB于D，∠OCD的平分線CP交⊙O于P，試判斷P點位置是否隨C點位置改變而改變？

分析：要確定P點位置，我們可采用嘗試的辦法，在上再取幾個符合條件的點試一試，觀察P點位置的變化，然后從中觀察規律． 解：

連結OP，．，母線長、圓錐高、底面圓的

P點為中點．

小結：此題運用垂徑定理進行推斷． 例2 下列命題正確的是()A．相等的圓周角對的弧相等 B．等弧所對的弦相等 C．三點確定一個圓

D．平分弦的直徑垂直于弦． 解：

A．在同圓或等圓中相等的圓周角所對的劣弧相等，所以A不正確．

B．等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此B正確． C．三個點只有不在同一直線上才能確定一個圓． D．平分弦(不是直徑)的直徑垂直于此弦． 故選B．

例3 四邊形ABCD內接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D． 分析：圓內接四邊形對角之和相等，圓外切四邊形對邊之和相等． 解：

設∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x． x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°． ∴∠D＝90°．

小結：此題可變形為：四邊形ABCD外切于⊙O，周長為20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的長．

例4 為了測量一個圓柱形鐵環的半徑，某同學采用如下方法：將鐵環平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，用如圖23-4所示方法得到相關數據，進而可以求得鐵環半徑．若測得PA＝5cm，則鐵環的半徑是__________cm． 分析：測量鐵環半徑的方法很多，本題主要考查切線長性質定理、切線性質、解直角三角形的知識進行合作解決，即過P點作直線OP⊥PA，再用三角板畫一個頂點為A、一邊為AP、大小為60°的角，這個角的另一邊與OP的交點即為圓心O，再用三角函數知識求解． 解：

．

小結：應用圓的知識解決實際問題，應將實際問題變成數學問題，建立數學模型．

例5 已知

相交于A、B兩點，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB＝16，求兩圓的圓心距． 解：分兩種情況討論：(1)若位于AB的兩側(如圖23-8)，設

與AB交于C，連結又∵AB＝16 ∴AC＝8．，則垂直平分AB，∴

． 在在故(2)若中，中，．

位于AB的同側(如圖23-9)，設

．

∵垂直平分AB，的延長線與

． ．

AB交于C，連結∴．

又∵AB＝16，∴AC＝8． 在在故中，中，．

． ．

注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個點到圓上各點的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時，要注意雙解或多解問題．

1.相交弦定理

圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經過圓內一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）

說明：幾何語言：

若弦AB、CD交于點P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

例1． 已知P為⊙O內一點，P任作一弦AB，設為

。解：由相交弦定理得，⊙O半徑為，過，則關于的函數關系式，即，其中

2.切割線定理

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

說明：幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC^2=PA·PB

例2． 已知PT切⊙O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長。

解：設TD=，BP=，由相交弦定理得：即由切割線定理，理，∴ ∴，（舍）

由勾股定

∴

四、輔助線總結（重要）1.圓中常見的輔助線

1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等．

2）．作弦心距，利用垂徑定理進行證明或計算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關系進行證明．

3）．作半徑和弦心距，構造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進行計算．

4）．作弦構造同弧或等弧所對的圓周角．

5)．作弦、直徑等構造直徑所對的圓周角——直角． 6)．遇到切線，作過切點的弦，構造弦切角． 7)．遇到切線，作過切點的半徑，構造直角．

8)．欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點時，常連結公共點和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑．

9)．遇到三角形的外心常連結外心和三角形的各頂點．

10)．遇到三角形的內心，常作：(1)內心到三邊的垂線；(2)連結內心和三角形的頂點．

11)．遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線． 12)．遇兩圓相切，常過切點作兩圓的公切線．

13)．求公切線時常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊．

2、圓中較特殊的輔助線

1)．過圓外一點或圓上一點作圓的切線． 2)．將割線、相交弦補充完整． 3)．作輔助圓．

例1如圖23-10，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長為()

A．2 B．3 C．4 D．5

分析：連結OC，由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB知CD＝DE．設AE＝x，則在Rt△CEO中，即，則，(舍去)．

答案：A．

例2如圖23-11，CA為⊙O的切線，切點為A，點B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于()

A．35° B．90° C．110° D．120°

分析：由弦切角與所夾弧所對的圓心角的關系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．

例3 如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那么側面積等于()A． B．

C．

D．

分析：圓柱的側面展開圖是矩形，這個矩形的一邊長等于圓柱的高，即圓柱的母線長；另一邊長是底面圓的周長，所以圓柱的側面積等于底面圓的周長乘以圓柱的高，即

．答案：B．

例4 如圖23-12，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點，延長CM交⊙O于E，且EM>MC，連結OE、DE，．

求：EM的長．

簡析：(1)由DC是⊙O的直徑，知DE⊥EC，于是．設EM＝x，則AM·MB＝x(7－x)，即．所以

．而EM>MC，即EM＝4．

例5如圖23-13，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點B，PA交⊙O于點C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關于x的方程

(其中m為實數)的兩根．

(1)求證：BE＝BD；(2)若，求∠A的度數．

簡析：(1)由BE、BD是關于x的方程的兩根，得，則m＝－2．所以，原方程為

．得

．故BE＝BD．

(2)由相交弦定理，得，即

．而PB切⊙O于點B，AB為⊙O的直徑，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易證∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，則，所以，所以

．在Rt△ACB中，故∠A＝60°．

第二篇：初三數學圓知識點總結

初三數學

圓知識點總結

一、本章知識框架

二、本章重點

1．圓的定義：

(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓．

(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合．

2．判定一個點P是否在⊙O上．

設⊙O的半徑為R，OP＝d，則有

d>r點P在⊙O

外；

d＝r點P在⊙O

上；

d

內．

3．與圓有關的角

(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角．

圓心角的性質：圓心角的度數等于它所對的弧的度數．

(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．

圓周角的性質：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半．

②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．

③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角．

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．

⑤圓內接四邊形的對角互補；外角等于它的內對角．

(3)弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角．

弦切角的性質：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角．

弦切角的度數等于它夾的弧的度數的一半．

4．圓的性質：

(1)旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等．

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經過圓心的任一直線都是它的對稱軸．

垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．

(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．

(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧．

(4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．

(5)平行弦夾的弧相等．

5．三角形的內心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內心：是三角形三個角平分線的交點，它是三角形內切圓的圓心，在三角形內部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示．

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示．

(4)垂心：是三角形三邊高線的交點．

6．切線的判定、性質：

(1)切線的判定：

①經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．

②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．

(2)切線的性質：

①圓的切線垂直于過切點的半徑．

②經過圓心作圓的切線的垂線經過切點．

③經過切點作切線的垂線經過圓心．

(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長．

(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．

7．圓內接四邊形和外切四邊形

(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內接四邊形，圓內接四邊形對角互補，外角等于內對角．

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等．

8．直線和圓的位置關系：

設⊙O

半徑為R，點O到直線l的距離為d．

(1)直線和圓沒有公共點直線和圓相離d>R．

(2)直線和⊙O有唯一公共點直線l和⊙O相切d＝R．

(3)直線l和⊙O

有兩個公共點直線l和⊙O

相交d

9．圓和圓的位置關系：

設的半徑為R、r(R>r)，圓心距．

(1)沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部外離d>R＋r．

(2)沒有公共點，且的每一個點都在外部內含d

(3)有唯一公共點，除這個點外，每個圓上的點都在另一個圓外部外切d＝R＋r．

(4)有唯一公共點，除這個點外，的每個點都在內部內切d＝R－r．

(5)有兩個公共點相交R－r

10．兩圓的性質：

(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線．

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經過切點．

11．圓中有關計算：

圓的面積公式：，周長C＝2πR．

圓心角為n°、半徑為R的弧長．

圓心角為n°，半徑為R，弧長為l的扇形的面積．

弓形的面積要轉化為扇形和三角形的面積和、差來計算．

圓柱的側面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為，側面積為2πRl，全面積為．

圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側面積為πRl，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有．

【經典例題精講】

例1

如圖23-2，已知AB為⊙O直徑，C為上一點，CD⊥AB于D，∠OCD的平分線CP交⊙O于P，試判斷P點位置是否隨C點位置改變而改變？

分析：要確定P點位置，我們可采用嘗試的辦法，在上再取幾個符合條件的點試一試，觀察P點位置的變化，然后從中觀察規律．

解：

連結OP，P點為中點．

小結：此題運用垂徑定理進行推斷．

例2

下列命題正確的是（）

A．相等的圓周角對的弧相等

B．等弧所對的弦相等

C．三點確定一個圓

D．平分弦的直徑垂直于弦．

解：

A．在同圓或等圓中相等的圓周角所對的劣弧相等，所以A不正確．

B．等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此B正確．

C．三個點只有不在同一直線上才能確定一個圓．

D．平分弦(不是直徑)的直徑垂直于此弦．

故選B．

例3

四邊形ABCD內接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．

分析：圓內接四邊形對角之和相等，圓外切四邊形對邊之和相等．

解：

設∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．

x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．

∴∠D＝90°．

小結：此題可變形為：四邊形ABCD外切于⊙O，周長為20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的長．

例4

為了測量一個圓柱形鐵環的半徑，某同學采用如下方法：將鐵環平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，用如圖23-4所示方法得到相關數據，進而可以求得鐵環半徑．若測得PA＝5cm，則鐵環的半徑是__________cm．

分析：測量鐵環半徑的方法很多，本題主要考查切線長性質定理、切線性質、解直角三角形的知識進行合作解決，即過

P點作直線OP⊥PA，再用三角板畫一個頂點為A、一邊為AP、大小為60°的角，這個角的另一邊與OP的交點即為圓心O，再用三角函數知識求解．

解：

．

小結：應用圓的知識解決實際問題，應將實際問題變成數學問題，建立數學模型．

例5

已知相交于A、B兩點，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB＝16，求兩圓的圓心距．

解：分兩種情況討論：

(1)若位于AB的兩側(如圖23-8)，設與AB交于C，連結，則垂直平分AB，∴．

又∵AB＝16

∴AC＝8．

在中，．

在中，．

故．

(2)若位于AB的同側(如圖23-9)，設的延長線與AB交于C，連結．

∵垂直平分AB，∴．

又∵AB＝16，∴AC＝8．

在中，．

在中，．

故．

注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個點到圓上各點的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時，要注意雙解或多解問題．

三、相關定理：

1.相交弦定理

圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經過圓內一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）

說明：幾何語言：　　若弦AB、CD交于點P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

例1．

已知P為⊙O內一點，⊙O半徑為，過P任作一弦AB，設，則關于的函數關系式為。

解：由相交弦定理得，即，其中

2.切割線定理

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

說明：幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC^2=PA·PB

例2．

已知PT切⊙O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長。

解：設TD=，BP=，由相交弦定理得：

即，（舍）

由切割線定理，由勾股定理，∴

∴

∴

四、輔助線總結

1.圓中常見的輔助線

1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等．

2）．作弦心距，利用垂徑定理進行證明或計算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關系進行證明．

3）．作半徑和弦心距，構造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進行計算．

4）．作弦構造同弧或等弧所對的圓周角．

5)．作弦、直徑等構造直徑所對的圓周角——直角．

6)．遇到切線，作過切點的弦，構造弦切角．

7)．遇到切線，作過切點的半徑，構造直角．

8)．欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點時，常連結公共點和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑．

9)．遇到三角形的外心常連結外心和三角形的各頂點．

10)．遇到三角形的內心，常作：(1)內心到三邊的垂線；(2)連結內心和三角形的頂點．

11)．遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線．

12)．遇兩圓相切，常過切點作兩圓的公切線．

13)．求公切線時常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊．

2、圓中較特殊的輔助線

1)．過圓外一點或圓上一點作圓的切線．

2)．將割線、相交弦補充完整．

3)．作輔助圓．

例1如圖23-10，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長為（）

A．2

B．3

C．4

D．5

分析：連結OC，由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB知CD＝DE．設AE＝x，則在Rt△CEO中，即，則，(舍去)．

答案：A．

例2如圖23-11，CA為⊙O的切線，切點為A，點B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于（）

A．35°

B．90°

C．110°

D．120°

分析：由弦切角與所夾弧所對的圓心角的關系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．

例3

如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那么側面積等于（）

A．

B．

C．

D．

分析：圓柱的側面展開圖是矩形，這個矩形的一邊長等于圓柱的高，即圓柱的母線長；另一邊長是底面圓的周長，所以圓柱的側面積等于底面圓的周長乘以圓柱的高，即．答案：B．

例4

如圖23-12，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點，延長CM交⊙O于E，且EM>MC，連結OE、DE，．

求：EM的長．

簡析：(1)由DC是⊙O的直徑，知DE⊥EC，于是．設EM＝x，則AM·MB＝x(7－x)，即．所以．而EM>MC，即EM＝4．

例5如圖23-13，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點B，PA交⊙O于點C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關于x的方程(其中m為實數)的兩根．

(1)求證：BE＝BD；

(2)若，求∠A的度數．

簡析：(1)由BE、BD是關于x的方程的兩根，得，則m＝－2．所以，原方程為．得．故BE＝BD．

(2)由相交弦定理，得，即．而PB切⊙O于點B，AB為⊙O的直徑，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易證∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，則，所以，所以．在Rt△ACB中，故∠A＝60°．

第三篇：初三數學圓的知識點整理

1.經過三角形的三個頂點可以做一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。

2.經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

3.圓的切線垂直于過切點的半徑。

4.經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。

5.從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

6.與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心。

7.如果兩個圓沒有公共點，那么就說這兩個圓相離，（分外離和內含）如果兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切，（分外切和內切）。如果這兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓相交。

8.兩圓圓心的距離叫做圓心距。

9.我們把一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。

10.在半徑是R的圓中，因為360°圓心角所對的弧長就是圓周長C＝2πR，所以n°的圓心角所對的弧長為

nπR

L＝——

180

11.在半徑是R的圓中，因為360°的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積S＝πR2nπR2

S扇形＝——

360

12.我們把連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線。

37.RT△a+b-c

r內＝——

38.任意三角形中2S

r內＝——

C

第四篇：初三數學圓知識點總結和初中數學圓解題技巧

初三數學圓知識點總結和初中數學圓解題技巧

初三數學圓知識點總結

一、圓的相關概念

1、圓的定義

在一個個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。

2、直線圓的與置位關系

1.線直與圓有唯公一共時,點做直叫與圓線切

2.三角的外形圓接的圓叫做三心形角外心

3.弦切角于所等夾弧所對的的圓心角

4.三角的內形圓切的圓叫做三心形角內心

5.垂于直徑半直線必為圓的的切線

6.過徑半外的點并且垂直端于半的徑直線是圓切線

7.垂于直徑半直線是圓的的切線

8.圓切線垂的直過切于點半徑

3、圓的幾何表示

以點O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O”

二、垂徑定理及其推論

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

推論1：(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

(2)弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

(3)平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

垂徑定理及其推論可概括為：

過圓心

垂直于弦

直徑平分弦 知二推三

平分弦所對的優弧

平分弦所對的劣弧

三、弦、弧等與圓有關的定義

1、弦

連接圓上任意兩點的線段叫做弦。(如圖中的AB)

2、直徑

經過圓心的弦叫做直徑。(如途中的CD)

直徑等于半徑的2倍。

3、半圓

圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

4、弧、優弧、劣弧

圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

弧用符號“⌒”表示，以A，B為端點的弧記作“ ”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。

大于半圓的弧叫做優弧(多用三個字母表示);小于半圓的弧叫做劣弧(多用兩個字母表示)

四、圓的對稱性

1、圓的軸對稱性

圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。

2、圓的中心對稱性

圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。

五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理

1、圓心角

頂點在圓心的角叫做圓心角。

2、弦心距

從圓心到弦的距離叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。

六、圓周角定理及其推論

1、圓周角

頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

2、圓周角定理

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。

推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑。

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

七、點和圓的位置關系

設⊙O的半徑是r，點P到圓心O的距離為d，則有：

d＜r點P在圓內

d=r 點P在⊙O上;

d>r 點P在⊙O外。

八、過三點的圓

1、過三點的圓

不在同一直線上的三個點確定一個圓。

2、三角形的外接圓

經過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓。

3、三角形的外心

三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它叫做這個三角形的外心。

4、圓內接四邊形性質(四點共圓的判定條件)

圓內接四邊形對角互補。

九、反證法

先假設命題中的結論不成立，然后由此經過推理，引出矛盾，判定所做的假設不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。

十、直線與圓的位置關系

直線和圓有三種位置關系，具體如下：

(1)相交：直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線，公共點叫做交點;

(2)相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，(3)相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：

直線l與⊙O相交 d

直線l與⊙O相切 d=r;

直線l與⊙O相離 d>r;

十一、切線的判定和性質

1、切線的判定定理

經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

2、切線的性質定理

圓的切線垂直于經過切點的半徑。

十二、切線長定理

1、切線長

在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。

2、切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

十三、圓和圓的位置關系

1、圓和圓的位置關系

如果兩個圓沒有公共點，那么就說這兩個圓相離，相離分為外離和內含兩種。

如果兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切，相切分為外切和內切兩種。

如果兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓相交。

2、圓心距

兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。

3、圓和圓位置關系的性質與判定

設兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，那么

兩圓外離 d>R+r

兩圓外切 d=R+r

兩圓相交 R-r

兩圓內切 d=R-r(R>r)

兩圓內含 dr)

4、兩圓相切、相交的重要性質

如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線;相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。十四、三角形的內切圓

1、三角形的內切圓

與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。

2、三角形的內心

三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心。

十五、與正多邊形有關的概念

1、正多邊形的中心

正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。

2、正多邊形的半徑

正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑。

3、正多邊形的邊心距

正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距。

4、中心角

正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角。

十六、正多邊形和圓

1、正多邊形的定義

各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

2、正多邊形和圓的關系

只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以做出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。

十七、正多邊形的對稱性

1、正多邊形的軸對稱性

正多邊形都是軸對稱圖形。一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。

2、正多邊形的中心對稱性

邊數為偶數的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。

3、正多邊形的畫法

先用量角器或尺規等分圓，再做正多邊形。

十八、弧長和扇形面積

1、弧長公式

n°的圓心角所對的弧長l的計算公式為

2、扇形面積公式

其中n是扇形的圓心角度數，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長。

3、圓錐的側面積

其中l是圓錐的母線長，r是圓錐的地面半徑。

初中數學圓解題技巧

半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。

切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。

要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內接圓，內角平分線夢圓。

如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內外相切的兩圓，經過切點公切線。

若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗。

基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經常總結方法顯。

切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。

虛心勤學加苦練，成績上升成直線。

第五篇：初三數學知識點總結和歸納

小編整理了關于初三數學知識點總結和歸納，包括三角形的定義、實數的概念運算、圓的知識點、代數、函數等有關知識點，初三數學知識點以供同學們參考和學習!

初三數學知識點 第一章 實數

★重點★ 實數的有關概念及性質，實數的運算

☆內容提要☆

一、重要概念

1.數的分類及概念

數系表：

說明：“分類”的原則：1)相稱(不重、不漏)

2)有標準

2.非負數：正實數與零的統稱。(表為：x≥0)

常見的非負數有：

性質：若干個非負數的和為0，則每個非負擔數均為0。

3.倒數： ①定義及表示法

②性質：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.01;a>1時，1/a<1;D.積為1。

4.相反數： ①定義及表示法

②性質：A.a≠0時，a≠-a;B.a與-a在數軸上的位置;C.和為0,商為-1。

5.數軸：①定義(“三要素”)

②作用：A.直觀地比較實數的大小;B.明確體現絕對值意義;C.建立點與實數的一一對應關系。

6.奇數、偶數、質數、合數(正整數—自然數)

定義及表示：

奇數：2n-1

偶數：2n(n為自然數)

7.絕對值：①定義(兩種)：

代數定義：

幾何定義：數a的絕對值頂的幾何意義是實數a在數軸上所對應的點到原點的距離。

②│a│≥0,符號“││”是“非負數”的標志;③數a的絕對值只有一個;④處理任何類型的題目，只要其中有“││”出現，其關鍵一步是去掉“││”符號。

二、實數的運算

1.運算法則(加、減、乘、除、乘方、開方)

2.運算定律(五個—加法[乘法]交換律、結合律;[乘法對加法的]

分配律)

3.運算順序：A.高級運算到低級運算;B.(同級運算)從“左”

到“右”(如5÷ 35);C.(有括號時)由“小”到“中”到“大”。

三、應用舉例(略)

附：典型例題

1.已知：a、b、x在數軸上的位置如下圖，求證：│x-a│+│x-b│

=b-a.2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判斷a、b的符號。

初三數學知識點 第二章 代數式

★重點★代數式的有關概念及性質，代數式的運算

☆內容提要☆

一、重要概念

分類：

1.代數式與有理式

用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫做代數式。單獨

的一個數或字母也是代數式。

整式和分式統稱為有理式。

2.整式和分式

含有加、減、乘、除、乘方運算的代數式叫做有理式。

沒有除法運算或雖有除法運算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法運算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.單項式與多項式

沒有加減運算的整式叫做單項式。(數字與字母的積—包括單獨的一個數或字母)

幾個單項式的和，叫做多項式。

說明：①根據除式中有否字母，將整式和分式區別開;根據整式中有否加減運算，把單項式、多項式區分開。②進行代數式分類時，是以所給的代數式為對象，而非以變形后的代數式為對象。劃分代數式類別時，是從外形來看。如，=x, =│x│等。

4.系數與指數

區別與聯系：①從位置上看;②從表示的意義上看

5.同類項及其合并

條件：①字母相同;②相同字母的指數相同

合并依據：乘法分配律

6.根式

表示方根的代數式叫做根式。

含有關于字母開方運算的代數式叫做無理式。

注意：①從外形上判斷;②區別：、是根式，但不是無理式(是無理數)。

7.算術平方根

⑴正數a的正的平方根([a≥0—與“平方根”的區別]);

⑵算術平方根與絕對值

① 聯系：都是非負數，=│a│

②區別：│a│中，a為一切實數;中，a為非負數。

8.同類二次根式、最簡二次根式、分母有理化

化為最簡二次根式以后，被開方數相同的二次根式叫做同類二次根式。

滿足條件：①被開方數的因數是整數，因式是整式;②被開方數中不含有開得盡方的因數或因式。

把分母中的根號劃去叫做分母有理化。

9.指數

⑴(—冪，乘方運算)

① a>0時，>0;②a<0時，>0(n是偶數)，<0(n是奇數)

⑵零指數： =1(a≠0)

負整指數： =1/(a≠0,p是正整數)

二、運算定律、性質、法則

1.分式的加、減、乘、除、乘方、開方法則

2.分式的性質

⑴基本性質： =(m≠0)

⑵符號法則：

⑶繁分式：①定義;②化簡方法(兩種)

3.整式運算法則(去括號、添括號法則)

4.冪的運算性質：① 2 =;② ÷ =;③ =;④ =;⑤

技巧：

5.乘法法則：⑴單3單;⑵單3多;⑶多3多。

6.乘法公式：(正、逆用)

(a+b)(a-b)=

(a±b)=

7.除法法則：⑴單÷單;⑵多÷單。

8.因式分解：⑴定義;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分組分解法;E.求根公式法。

9.算術根的性質： =;;(a≥0,b≥0);(a≥0,b>0)(正用、逆用)

10.根式運算法則：⑴加法法則(合并同類二次根式);⑵乘、除法法則;⑶分母有理化：A.;B.;C..11.科學記數法：(1≤a<10,n是整數=

三、應用舉例(略)

四、數式綜合運算(略)初三數學知識點：第三章 統計初步

★重點★

☆ 內容提要☆

一、重要概念

1.總體：考察對象的全體。

2.個體：總體中每一個考察對象。

3.樣本：從總體中抽出的一部分個體。

4.樣本容量：樣本中個體的數目。

5.眾數：一組數據中，出現次數最多的數據。

6.中位數：將一組數據按大小依次排列，處在最中間位置的一個數(或最中間位置的兩個數據的平均數)

二、計算方法

1.樣本平均數：⑴;⑵若，?，,則(a—常數，，?，接近較整的常數a);⑶加權平均數：;⑷平均數是刻劃數據的集中趨勢(集中位置)的特征數。通常用樣本平均數去估計總體平均數，樣本容量越大，估計越準確。

2.樣本方差：⑴;⑵若 , ,?, ,則(a—接近、、?、的平均數的較“整”的常數);若、、?、較“小”較“整”，則;⑶樣本方差是刻劃數據的離散程度(波動大小)的特征數，當樣本容量較大時，樣本方差非常接近總體方差，通常用樣本方差去估計總體方差。

3.樣本標準差：

三、應用舉例(略)

初三數學知識點：第四章 直線形

★重點★相交線與平行線、三角形、四邊形的有關概念、判定、性質。

☆ 內容提要☆

一、直線、相交線、平行線

1.線段、射線、直線三者的區別與聯系

從“圖形”、“表示法”、“界限”、“端點個數”、“基本性質”等方面加以分析。

2.線段的中點及表示

3.直線、線段的基本性質(用“線段的基本性質”論證“三角形兩邊之和大于第三邊”)

4.兩點間的距離(三個距離：點-點;點-線;線-線)

5.角(平角、周角、直角、銳角、鈍角)

6.互為余角、互為補角及表示方法

7.角的平分線及其表示

8.垂線及基本性質(利用它證明“直角三角形中斜邊大于直角邊”)

9.對頂角及性質

10.平行線及判定與性質(互逆)(二者的區別與聯系)

11.常用定理：①同平行于一條直線的兩條直線平行(傳遞性);②同垂直于一條直線的兩條直線平行。

12.定義、命題、命題的組成 13.公理、定理

14.逆命題二、三角形

分類：⑴按邊分;

⑵按角分

1.定義(包括內、外角)

2.三角形的邊角關系：⑴角與角：①內角和及推論;②外角和;③n邊形內角和;④n邊形外角和。⑵邊與邊：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。⑶角與邊：在同一三角形中，3.三角形的主要線段

討論：①定義②33線的交點—三角形的3心③性質

① 高線②中線③角平分線④中垂線⑤中位線

⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等邊三角形

4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形)的判定與性質

5.全等三角形

⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)

⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②專用方法

6.三角形的面積

⑴一般計算公式⑵性質：等底等高的三角形面積相等。

7.重要輔助線

⑴中點配中點構成中位線;⑵加倍中線;⑶添加輔助平行線

8.證明方法

⑴直接證法：綜合法、分析法

⑵間接證法—反證法：①反設②歸謬③結論

⑶證線段相等、角相等常通過證三角形全等

⑷證線段倍分關系：加倍法、折半法

⑸證線段和差關系：延結法、截余法

⑹證面積關系：將面積表示出來三、四邊形

分類表：

1.一般性質(角)

⑴內角和：360°

⑵順次連結各邊中點得平行四邊形。

推論1：順次連結對角線相等的四邊形各邊中點得菱形。

推論2：順次連結對角線互相垂直的四邊形各邊中點得矩形。

⑶外角和：360°

2.特殊四邊形

⑴研究它們的一般方法:

⑵平行四邊形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定義、性質和判定

⑶判定步驟：四邊形→平行四邊形→矩形→正方形

┗→菱形——↑

⑷對角線的紐帶作用：

3.對稱圖形

⑴軸對稱(定義及性質);⑵中心對稱(定義及性質)

4.有關定理：①平行線等分線段定理及其推論1、2

②三角形、梯形的中位線定理

③平行線間的距離處處相等。(如，找下圖中面積相等的三角形)

5.重要輔助線：①常連結四邊形的對角線;②梯形中常“平移一腰”、“平移對角線”、“作高”、“連結頂點和對腰中點并延長與底邊相交”轉化為三角形。

6.作圖：任意等分線段。

四、應用舉例(略)初三數學知識點 第五章 方程(組)

★重點★一元一次、一元二次方程，二元一次方程組的解法;方程的有關應用題(特別是行程、工程問題)

☆ 內容提要☆

一、基本概念

1.方程、方程的解(根)、方程組的解、解方程(組)

2.分類：

二、解方程的依據—等式性質

1.a=b←→a+c=b+c

2.a=b←→ac=bc(c≠0)

三、解法

1.一元一次方程的解法：去分母→去括號→移項→合并同類項→

系數化成1→解。

2.元一次方程組的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法

②加減法四、一元二次方程

1.定義及一般形式：

2.解法：⑴直接開平方法(注意特征)

⑵配方法(注意步驟—推倒求根公式)

⑶公式法：

⑷因式分解法(特征：左邊=0)

3.根的判別式：

4.根與系數頂的關系：

逆定理：若，則以 為根的一元二次方程是：。

5.常用等式：

五、可化為一元二次方程的方程

1.分式方程

⑴定義

⑵基本思想：

⑶基本解法：①去分母法②換元法(如，)

⑷驗根及方法

2.無理方程

⑴定義

⑵基本思想：

⑶基本解法：①乘方法(注意技巧！)②換元法(例，)⑷驗根及方法

3.簡單的二元二次方程組

由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組都可用代入法解。

初三數學知識點

六、列方程(組)解應用題

一概述

列方程(組)解應用題是中學數學聯系實際的一個重要方面。其具體步驟是：

⑴審題。理解題意。弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相等關系是什么。

⑵設元(未知數)。①直接未知數②間接未知數(往往二者兼用)。一般來說，未知數越多，方程越易列，但越難解。

⑶用含未知數的代數式表示相關的量。

⑷尋找相等關系(有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關系給出)，列方程。一般地，未知數個數與方程個數是相同的。

⑸解方程及檢驗。

⑹答案。

綜上所述，列方程(組)解應用題實質是先把實際問題轉化為數學問題(設元、列方程)，在由數學問題的解決而導致實際問題的解決(列方程、寫出答案)。在這個過程中，列方程起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應用題的關鍵。

二常用的相等關系

1.行程問題(勻速運動)

基本關系：s=vt

⑴相遇問題(同時出發)：

+ =;

⑵追及問題(同時出發)：

若甲出發t小時后，乙才出發，而后在B處追上甲，則

⑶水中航行：;

2.配料問題：溶質=溶液3濃度

溶液=溶質+溶劑

3.增長率問題：

4.工程問題：基本關系：工作量=工作效率3工作時間(常把工作量看著單位“1”)。

5.幾何問題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關比例性質等。

三注意語言與解析式的互化

如，“多”、“少”、“增加了”、“增加為(到)”、“同時”、“擴大為(到)”、“擴大了”、??

又如，一個三位數，百位數字為a，十位數字為b，個位數字為c，則這個三位數為：100a+10b+c，而不是abc。

四注意從語言敘述中寫出相等關系。

如，x比y大3，則x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x與y的差為3，則x-y=3。五注意單位換算

如，“小時”“分鐘”的換算;s、v、t單位的一致等。

七、應用舉例(略)

初三數學知識點：第六章 一元一次不等式(組)

★重點★一元一次不等式的性質、解法

☆ 內容提要☆

1.定義：a>b、a

2.一元一次不等式：ax>b、ax

3.一元一次不等式組：

4.不等式的性質：⑴a>b←→a+c>b+c

⑵a>b←→ac>bc(c>0)

⑶a>b←→ac

⑷(傳遞性)a>b,b>c→a>c

⑸a>b,c>d→a+c>b+d.5.一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6.一元一次不等式組的解、解一元一次不等式組(在數軸上表示解集)

7.應用舉例(略)初三數學知識點 第七章 相似形

★重點★相似三角形的判定和性質

☆內容提要☆

一、本章的兩套定理

第一套(比例的有關性質)：

涉及概念：①第四比例項②比例中項③比的前項、后項，比的內項、外項④黃金分割等。

第二套：

注意：①定理中“對應”二字的含義;

②平行→相似(比例線段)→平行。

二、相似三角形性質

1.對應線段?;2.對應周長?;3.對應面積?。

三、相關作圖

①作第四比例項;②作比例中項。

四、證(解)題規律、輔助線

1.“等積”變“比例”，“比例”找“相似”。

2.找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來。⑴

⑵

⑶

3.添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。

4.對比例問題，常用處理方法是將“一份”看著k;對于等比問題，常用處理辦法是設“公比”為k。

5.對于復雜的幾何圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來的辦法處理。

五、應用舉例(略)

初三數學知識點 第八章 函數及其圖象

★重點★正、反比例函數，一次、二次函數的圖象和性質。

☆ 內容提要☆

一、平面直角坐標系

1.各象限內點的坐標的特點

2.坐標軸上點的坐標的特點

3.關于坐標軸、原點對稱的點的坐標的特點

4.坐標平面內點與有序實數對的對應關系

二、函數

1.表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶圖象法。

2.確定自變量取值范圍的原則：⑴使代數式有意義;⑵使實際問題有

意義。

3.畫函數圖象：⑴列表;⑵描點;⑶連線。

三、幾種特殊函數

(定義→圖象→性質)

1.正比例函數

⑴定義：y=kx(k≠0)或y/x=k。

⑵圖象：直線(過原點)

⑶性質：①k>0，?②k<0，?

2.一次函數

⑴定義：y=kx+b(k≠0)

⑵圖象：直線過點(0,b)—與y軸的交點和(-b/k,0)—與x軸的交點。

⑶性質：①k>0,?②k<0,?

⑷圖象的四種情況：

3.二次函數

⑴定義：

特殊地，都是二次函數。

⑵圖象：拋物線(用描點法畫出：先確定頂點、對稱軸、開口方向，再對稱地描點)。用配方法變為，則頂點為(h,k);對稱軸為直線x=h;a>0時，開口向上;a<0時，開口向下。

⑶性質：a>0時，在對稱軸左側?，右側?;a<0時，在對稱軸左側?，右側?。

4.反比例函數

⑴定義： 或xy=k(k≠0)。

⑵圖象：雙曲線(兩支)—用描點法畫出。

⑶性質：①k>0時，圖象位于?，y隨x?;②k<0時，圖象位于?，y隨x?;③兩支曲線無限接近于坐標軸但永遠不能到達坐標軸。

四、重要解題方法

1.用待定系數法求解析式(列方程[組]求解)。對求二次函數的解析式，要合理選用一般式或頂點式，并應充分運用拋物線關于對稱軸對稱的特點，尋找新的點的坐標。如下圖：

2.利用圖象一次(正比例)函數、反比例函數、二次函數中的k、b;a、b、c的符號。

六、應用舉例(略)

初三數學知識點 第九章 解直角三角形

★重點★解直角三角形

☆ 內容提要☆ 一、三角函數

1.定義：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，則sinA=;cosA=;tgA=;ctgA=.2.特殊角的三角函數值：

0° 30° 45° 60° 90°

sinα

cosα

tgα /

ctgα /

3.互余兩角的三角函數關系：sin(90°-α)=cosα;?

4.三角函數值隨角度變化的關系

5.查三角函數表

二、解直角三角形

1.定義：已知邊和角(兩個，其中必有一邊)→所有未知的邊和角。

2.依據：①邊的關系：

②角的關系：A+B=90°

③邊角關系：三角函數的定義。

注意：盡量避免使用中間數據和除法。

三、對實際問題的處理

1.俯、仰角： 2.方位角、象限角： 3.坡度：

4.在兩個直角三角形中，都缺解直角三角形的條件時，可用列方程的辦法解決。

四、應用舉例(略)

初三數學知識點 第十章 圓

★重點★①圓的重要性質;②直線與圓、圓與圓的位置關系;③與圓有關的角的定理;④與圓有關的比例線段定理。

☆ 內容提要☆

一、圓的基本性質

1.圓的定義(兩種)

2.有關概念：弦、直徑;弧、等弧、優弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同心圓。

3.“三點定圓”定理

4.垂徑定理及其推論

5.“等對等”定理及其推論

5.與圓有關的角：⑴圓心角定義(等對等定理)

⑵圓周角定義(圓周角定理，與圓心角的關系)

⑶弦切角定義(弦切角定理)

二、直線和圓的位置關系

1.三種位置及判定與性質：

2.切線的性質(重點)

3.切線的判定定理(重點)。圓的切線的判定有⑴?⑵?

4.切線長定理

三、圓換圓的位置關系

1.五種位置關系及判定與性質：(重點：相切)

2.相切(交)兩圓連心線的性質定理

3.兩圓的公切線：⑴定義⑵性質

四、與圓有關的比例線段

1.相交弦定理

2.切割線定理

五、與和正多邊形

1.圓的內接、外切多邊形(三角形、四邊形)

2.三角形的外接圓、內切圓及性質

3.圓的外切四邊形、內接四邊形的性質

4.正多邊形及計算

中心角：

內角的一半：(右圖)

(解Rt△OAM可求出相關元素,、等)

六、一組計算公式

1.圓周長公式

2.圓面積公式

3.扇形面積公式

4.弧長公式

5.弓形面積的計算方法

6.圓柱、圓錐的側面展開圖及相關計算

七、點的軌跡

六條基本軌跡

八、有關作圖

1.作三角形的外接圓、內切圓

2.平分已知弧

3.作已知兩線段的比例中項

4.等分圓周：

4、8;

6、3等分

九、基本圖形

十、重要輔助線

1.作半徑

2.見弦往往作弦心距

3.見直徑往往作直徑上的圓周角

4.切點圓心莫忘連

5.兩圓相切公切線(連心線)

6.兩圓相交公共弦