第一篇：關于初三數學知識點總結
學好數學的關鍵就在于要適時適量地進行總結歸類，接下來小編就為大家整理了關于初三數學知識點總結，希望可以對大家有所幫助。
一、直線、相交線、平行線
1.線段、射線、直線三者的區別與聯系
從圖形、表示法、界限、端點個數、基本性質等方面加以分析。
2.線段的中點及表示
3.直線、線段的基本性質(用線段的基本性質論證三角形兩邊之和大于第三邊)
4.兩點間的距離(三個距離：點-點;點-線;線-線)
5.角(平角、周角、直角、銳角、鈍角)
6.互為余角、互為補角及表示方法
7.角的平分線及其表示
8.垂線及基本性質(利用它證明直角三角形中斜邊大于直角邊)
9.對頂角及性質
10.平行線及判定與性質(互逆)(二者的區別與聯系)
11.常用定理：①同平行于一條直線的兩條直線平行(傳遞性);②同垂直于一條直線的兩條直線平行。
12.定義、命題、命題的組成13.公理、定理
14.逆命題二、三角形
分類：⑴按邊分;
⑵按角分
1.定義(包括內、外角)
2.三角形的邊角關系：⑴角與角：①內角和及推論;②外角和;③n邊形內角和;④n邊形外角和。⑵邊與邊：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。⑶角與邊：在同一三角形中，3.三角形的主要線段
討論：①定義②線的交點-三角形的心③性質
① 高線②中線③角平分線④中垂線⑤中位線
⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等邊三角形
4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形)的判定與性質
5.全等三角形
⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)
⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②專用方法
6.三角形的面積
⑴一般計算公式⑵性質：等底等高的三角形面積相等。
7.重要輔助線
⑴中點配中點構成中位線;⑵加倍中線;⑶添加輔助平行線
8.證明方法
⑴直接證法：綜合法、分析法
⑵間接證法-反證法：①反設②歸謬③結論
⑶證線段相等、角相等常通過證三角形全等
⑷證線段倍分關系：加倍法、折半法
⑸證線段和差關系：延結法、截余法
⑹證面積關系：將面積表示出來三、四邊形
分類表：
1.一般性質(角)
⑴內角和：360
⑵順次連結各邊中點得平行四邊形。
推論1：順次連結對角線相等的四邊形各邊中點得菱形。
推論2：順次連結對角線互相垂直的四邊形各邊中點得矩形。
⑶外角和：360
2.特殊四邊形
⑴研究它們的一般方法:
⑵平行四邊形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定義、性質和判定
⑶判定步驟：四邊形平行四邊形矩形正方形
⑷對角線的紐帶作用：
3.對稱圖形
⑴軸對稱(定義及性質);⑵中心對稱(定義及性質)
4.有關定理：①平行線等分線段定理及其推論1、2②三角形、梯形的中位線定理
③平行線間的距離處處相等。(如，找下圖中面積相等的三角形)
5.重要輔助線：①常連結四邊形的對角線;②梯形中常平移一腰、平移對角線、作高、連結頂點和對腰中點并延長與底邊相交轉化為三角形。
6.作圖：任意等分線段。
第二篇：初三數學圓知識點總結
初三數學 圓知識點總結
一、本章知識框架
二、本章重點
1．圓的定義：
(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓．
(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合． 2．判定一個點P是否在⊙O上． 設⊙O的半徑為R，OP＝d，則有 d>r點P在⊙O 外； d＝r點P在⊙O 上； d (1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角． 圓心角的性質：圓心角的度數等于它所對的弧的度數． (2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角． 圓周角的性質： ①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半． ②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角． ④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形． ⑤圓內接四邊形的對角互補；外角等于它的內對角． (3)弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角． 弦切角的性質：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角． 弦切角的度數等于它夾的弧的度數的一半． 4．圓的性質： (1)旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心． 在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等． (2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經過圓心的任一直線都是它的對稱軸． 垂徑定理及推論： (1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧． (2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧． (4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夾的弧相等． 5．三角形的內心、外心、重心、垂心 (1)三角形的內心：是三角形三個角平分線的交點，它是三角形內切圓的圓心，在三角形內部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示． (2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示． (3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示． (4)垂心：是三角形三邊高線的交點． 6．切線的判定、性質：(1)切線的判定： ①經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． ②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線． (2)切線的性質： ①圓的切線垂直于過切點的半徑． ②經過圓心作圓的切線的垂線經過切點． ③經過切點作切線的垂線經過圓心． (3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長． (4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 7．圓內接四邊形和外切四邊形 (1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內接四邊形，圓內接四邊形對角互補，外角等于內對角． (2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等． 8．直線和圓的位置關系： 設⊙O 半徑為R，點O到直線l的距離為d． (1)直線和圓沒有公共點直線和圓相離d>R． (2)直線和⊙O有唯一公共點直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O 有兩個公共點直線l和⊙O 相交d 9．圓和圓的位置關系：（不考了）設(1)外離(2)含(3)外切(4)d ． 沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部d>R＋r． 沒有公共點，且的每一個點都在外部 內有唯一公共點，除這個點外，內切d＝R－r． 相交(5)有兩個公共點R－r 10．兩圓的性質： (1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線． (2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經過切點． 11．圓中有關計算： 圓的面積公式：，周長C＝2πR． 圓心角為n°、半徑為R的弧長． 圓心角為n°，半徑為R，弧長為l的扇形的面積弓形的面積要轉化為扇形和三角形的面積和、差來計算． ． 圓柱的側面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為面積為2πRl，全面積為 ．，側（補考圓錐面積了）圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側面積為πRl，全面積為半徑之間有 【經典例題精講】 例1 如圖23-2，已知AB為⊙O直徑，C為上一點，CD⊥AB于D，∠OCD的平分線CP交⊙O于P，試判斷P點位置是否隨C點位置改變而改變？ 分析：要確定P點位置，我們可采用嘗試的辦法，在上再取幾個符合條件的點試一試，觀察P點位置的變化，然后從中觀察規律． 解： 連結OP，．，母線長、圓錐高、底面圓的 P點為中點． 小結：此題運用垂徑定理進行推斷． 例2 下列命題正確的是()A．相等的圓周角對的弧相等 B．等弧所對的弦相等 C．三點確定一個圓 D．平分弦的直徑垂直于弦． 解： A．在同圓或等圓中相等的圓周角所對的劣弧相等，所以A不正確． B．等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此B正確． C．三個點只有不在同一直線上才能確定一個圓． D．平分弦(不是直徑)的直徑垂直于此弦． 故選B． 例3 四邊形ABCD內接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D． 分析：圓內接四邊形對角之和相等，圓外切四邊形對邊之和相等． 解： 設∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x． x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°． ∴∠D＝90°． 小結：此題可變形為：四邊形ABCD外切于⊙O，周長為20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的長． 例4 為了測量一個圓柱形鐵環的半徑，某同學采用如下方法：將鐵環平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，用如圖23-4所示方法得到相關數據，進而可以求得鐵環半徑．若測得PA＝5cm，則鐵環的半徑是__________cm． 分析：測量鐵環半徑的方法很多，本題主要考查切線長性質定理、切線性質、解直角三角形的知識進行合作解決，即過P點作直線OP⊥PA，再用三角板畫一個頂點為A、一邊為AP、大小為60°的角，這個角的另一邊與OP的交點即為圓心O，再用三角函數知識求解． 解： ． 小結：應用圓的知識解決實際問題，應將實際問題變成數學問題，建立數學模型． 例5 已知 相交于A、B兩點，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB＝16，求兩圓的圓心距． 解：分兩種情況討論：(1)若位于AB的兩側(如圖23-8)，設 與AB交于C，連結又∵AB＝16 ∴AC＝8．，則垂直平分AB，∴ ． 在在故(2)若中，中，． 位于AB的同側(如圖23-9)，設 ． ∵垂直平分AB，的延長線與 ． ． AB交于C，連結∴． 又∵AB＝16，∴AC＝8． 在在故中，中，． ． ． 注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個點到圓上各點的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時，要注意雙解或多解問題． 1.相交弦定理 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經過圓內一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等） 說明：幾何語言： 若弦AB、CD交于點P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 例1． 已知P為⊙O內一點，P任作一弦AB，設為 。解：由相交弦定理得，⊙O半徑為，過，則關于的函數關系式，即，其中 2.切割線定理 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項 說明：幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC^2=PA·PB 例2． 已知PT切⊙O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長。 解：設TD=，BP=，由相交弦定理得：即由切割線定理，理，∴ ∴，（舍） 由勾股定 ∴ 四、輔助線總結（重要）1.圓中常見的輔助線 1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等． 2）．作弦心距，利用垂徑定理進行證明或計算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關系進行證明． 3）．作半徑和弦心距，構造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進行計算． 4）．作弦構造同弧或等弧所對的圓周角． 5)．作弦、直徑等構造直徑所對的圓周角——直角． 6)．遇到切線，作過切點的弦，構造弦切角． 7)．遇到切線，作過切點的半徑，構造直角． 8)．欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點時，常連結公共點和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑． 9)．遇到三角形的外心常連結外心和三角形的各頂點． 10)．遇到三角形的內心，常作：(1)內心到三邊的垂線；(2)連結內心和三角形的頂點． 11)．遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線． 12)．遇兩圓相切，常過切點作兩圓的公切線． 13)．求公切線時常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊． 2、圓中較特殊的輔助線 1)．過圓外一點或圓上一點作圓的切線． 2)．將割線、相交弦補充完整． 3)．作輔助圓． 例1如圖23-10，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長為() A．2 B．3 C．4 D．5 分析：連結OC，由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB知CD＝DE．設AE＝x，則在Rt△CEO中，即，則，(舍去)． 答案：A． 例2如圖23-11，CA為⊙O的切線，切點為A，點B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于() A．35° B．90° C．110° D．120° 分析：由弦切角與所夾弧所對的圓心角的關系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C． 例3 如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那么側面積等于()A． B． C． D． 分析：圓柱的側面展開圖是矩形，這個矩形的一邊長等于圓柱的高，即圓柱的母線長；另一邊長是底面圓的周長，所以圓柱的側面積等于底面圓的周長乘以圓柱的高，即 ．答案：B． 例4 如圖23-12，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點，延長CM交⊙O于E，且EM>MC，連結OE、DE，． 求：EM的長． 簡析：(1)由DC是⊙O的直徑，知DE⊥EC，于是．設EM＝x，則AM·MB＝x(7－x)，即．所以 ．而EM>MC，即EM＝4． 例5如圖23-13，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點B，PA交⊙O于點C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關于x的方程 (其中m為實數)的兩根． (1)求證：BE＝BD；(2)若，求∠A的度數． 簡析：(1)由BE、BD是關于x的方程的兩根，得，則m＝－2．所以，原方程為 ．得 ．故BE＝BD． (2)由相交弦定理，得，即 ．而PB切⊙O于點B，AB為⊙O的直徑，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易證∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，則，所以，所以 ．在Rt△ACB中，故∠A＝60°． 初三知識整理 全套教科書包含了課程標準（實驗稿）規定的“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”“實踐與綜合應用”四個領域的內容 在體系結構的設計上力求反映這些內容之間的聯系與綜合 使它們形成一個有機的整體 九年級上冊包括二次根式、一元二次方程、旋轉、圓、概率初步五章內容 學習內容涉及到了《課程標準》的四個領域 包含以下章節： 第21章 二次根式 第22章 一元二次方程 第23章 旋轉 第24章 圓 第25 章 概率初步 本冊書內容分析如下： 第21章 二次根式 學生已經學過整式與分式 知道用式子可以表示實際問題中的數量關系 解決與數量關系有關的問題還會遇到二次根式 “二次根式” 一章就來認識這種式子 探索它的性質 掌握它的運算 在這一章 首先讓學生了解二次根式的概念 并掌握以下重要結論： （1）是一個非負數； （2）≥0）； （3）(a≥0)． 注：關于二次根式的運算 由于二次根式的乘除相對于二次根式的加減來說更易于掌握 教科書先安排二次根式的乘除 再安排二次根式的加減 “二次根式的乘除”一節的內容有兩條發展的線索 一條是用具體計算的例子體會二次根式乘除法則的合理性 并運用二次根式的乘除法則進行運算；一條是由二次根式的乘除法則得到 (a≥0 b≥0)(a≥0 b>0) 并運用它們進行二次根式的化簡 “二次根式的加減”一節先安排二次根式加減的內容 再安排二次根式加減乘除混合運算的內容 在本節中 注意類比整式運算的有關內容 例如 讓學生比較二次根式的加減與整式的加減 又如 通過例題說明在二次根式的運算中 多項式乘法法則和乘法公式仍然適用 這些處理有助于學生掌握本節內容 第22章 一元二次方程 學生已經掌握了用一元一次方程解決實際問題的方法 在解決某些實際問題時還會遇到一種新方程--一元二次方程 “一元二次方程”一章就來認識這種方程 討論這種方程的解法 并運用這種方程解決一些實際問題 本章首先通過雕像設計、制作方盒、排球比賽等問題引出一元二次方程的概念 給出一元二次方程的一般形式 然后讓學生通過數值代入的方法找出某些簡單的一元二次方程的解 對一元二次方程的解加以體會 并給出一元二次方程的根的概念 “22.2降次--解一元二次方程”一節介紹配方法、公式法、因式分解法三種解一元二次方程的方法 下面分別加以說明 （1）在介紹配方法時 首先通過實際問題引出形如的方程 這樣的方程可以化為更為簡單的形如的方程 由平方根的概念 可以得到這個方程的解 進而舉例說明如何解形如的方程 然后舉例說明一元二次方程可以化為形如的方程 引出配方法 最后安排運用配方法解一元二次方程的例題 在例題中 涉及二次項系數不是1的一元二次方程 也涉及沒有實數根的一元二次方程 對于沒有實數根的一元二次方程 學了“公式法”以后 學生對這個內容會有進一步的理解 （2）在介紹公式法時 首先借助配方法討論方程的解法 得到一元二次方程的求根公式 然后安排運用公式法解一元二次方程的例題 在例題中 涉及有兩個相等實數根的一元二次方程 也涉及沒有實數根的一元二次方程 由此引出一元二次方程的解的三種情況 （3）在介紹因式分解法時 首先通過實際問題引出易于用因式分解法的一元二次方程 引出因式分解法 然后安排運用因式分解法解一元二次方程的例題 最后對配方法、公式法、因式分解法三種解一元二次方程的方法進行小結 “22.3實際問題與一元二次方程”一節安排了四個探究欄目 分別探究傳播、成本下降率、面積、勻變速運動等問題 使學生進一步體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型 第23章 旋轉 學生已經認識了平移、軸對稱 探索了它們的性質 并運用它們進行圖案設計 本書中圖形變換又增添了一名新成員――旋轉 “旋轉”一章就來認識這種變換 探索它的性質 在此基礎上 認識中心對稱和中心對稱圖形 “23.1旋轉”一節首先通過實例介紹旋轉的概念 然后讓學生探究旋轉的性質 在此基礎上 通過例題說明作一個圖形旋轉后的圖形的方法 最后舉例說明用旋轉可以進行圖案設計 “23.2中心對稱”一節首先通過實例介紹中心對稱的概念 然后讓學生探究中心對稱的性質 在此基礎上 通過例題說明作與一個圖形成中心對稱的圖形的方法 這些內容之后 通過線段、平行四邊形引出中心對稱圖形的概念 最后介紹關于原點對稱的點的坐標的關系 以及利用這一關系作與一個圖形成中心對稱的圖形的方法 “23.3課題學習圖案設計”一節讓學生探索圖形之間的變換關系（平移、軸對稱、旋轉及其組合） 靈活運用平移、軸對稱、旋轉的組合進行圖案設計 第24章 圓 圓是一種常見的圖形 在“圓”這一章 學生將進一步認識圓 探索它的性質 并用這些知識解決一些實際問題 通過這一章的學習 學生的解決圖形問題的能力將會進一步提高 “24.1圓”一節首先介紹圓及其有關概念 然后讓學生探究與垂直于弦的直徑有關的結論 并運用這些結論解決問題 接下來 讓學生探究弧、弦、圓心角的關系 并運用上述關系解決問題 最后讓學生探究圓周角與圓心角的關系 并運用上述關系解決問題 “24.2與圓有關的位置關系”一節首先介紹點和圓的三種位置關系、三角形的外心的概念 并通過證明“在同一直線上的三點不能作圓”引出了反證法 然后介紹直線和圓的三種位置關系、切線的概念以及與切線有關的結論 最后介紹圓和圓的位置關系 “24.3正多邊形和圓”一節揭示了正多邊形和圓的關系 介紹了等分圓周得到正多邊形的方法 “24.4弧長和扇形面積”一節首先介紹弧長公式 然后介紹扇形及其面積公式 最后介紹圓錐的側面積公式 第25 章 概率初步 將一枚硬幣拋擲一次 可能出現正面也可能出現反面 出現正面的可能性大還是出現反面的可能性大呢？學了“概率”一章 學生就能更好地認識這個問題了 掌握了概率的初步知識 學生還會解決更多的實際問題 “25.1概率”一節首先通過實例介紹隨機事件的概念 然后通過擲幣問題引出概率的概念 “25.2用列舉法求概率”一節首先通過具體試驗引出用列舉法求概率的方法 然后安排運用這種方法求概率的例題 在例題中 涉及列表及畫樹形圖 “25.3利用頻率估計概率”一節通過幼樹成活率和柑橘損壞率等問題介紹了用頻率估計概率的方法 “25.4課題學習鍵盤上字母的排列規律”一節讓學生通過這一課題的研究體會概率的廣泛應用 知識點總結 第21章 二次根式 知識框圖 學習目標 對于本章內容 教學中應達到以下幾方面要求： 1.理解二次根式的概念 了解被開方數必須是非負數的理由； 2.了解最簡二次根式的概念； 3.理解并掌握下列結論： （1）是非負數；（2）；（3）； 4.掌握二次根式的加、減、乘、除運算法則 會用它們進行有關實數的簡單四則運算； 5.了解代數式的概念 進一步體會代數式在表示數量關系方面的作用 I.二次根式的定義和概念： 1、定義：一般地 形如√ā（a≥0）的代數式叫做二次根式 當a＞0時 √a表示a的算數平方根 √0=0 2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式 √ā（a≥0）是一個非負數 II.二次根式√ā的簡單性質和幾何意義 1）a≥0;√ā≥0 [ 雙重非負性 ] 2）（√ā）^2=a（a≥0）[任何一個非負數都可以寫成一個數的平方的形式] 3)√(a^2+b^2)表示平面間兩點之間的距離 即勾股定理推論 III.二次根式的性質和最簡二次根式 1）二次根式√ā的化簡 a(a≥0） √ā=|a|={ -a(a＜0) 2）積的平方根與商的平方根 √ab=√a·√b（a≥0 b≥0） √a/b=√a /√b（a≥0 b>0） 3）最簡二次根式 條件： （1）被開方數的因數是整數或字母 因式是整式； （2）被開方數中不含有可化為平方數或平方式的因數或因式 如：不含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有√ 2、√ 3、√a（a≥0）、√x+y 等； 含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有√ 4、√ 9、√a^ 2、√（x+y）^ 2、√x^2+2xy+y^2等 IV.二次根式的乘法和除法 運算法則 √a·√b=√ab（a≥0 b≥0） √a/b=√a /√b（a≥0 b>0） 二數二次根之積 等于二數之積的二次根 共軛因式 如果兩個含有根式的代數式的積不再含有根式 那么這兩個代數式叫做共軛因式 也稱互為有理化根式 V.二次根式的加法和減法 同類二次根式 一般地 把幾個二次根式化為最簡二次根式后 如果它們的被開方數相同 就把這幾個二次根式叫做同類二次根式 合并同類二次根式 把幾個同類二次根式合并為一個二次根式就叫做合并同類二次根式 3二次根式加減時 可以先將二次根式化為最簡二次根式 再將被開方數相同的進行合并 Ⅵ.二次根式的混合運算 1確定運算順序 2靈活運用運算定律 3正確使用乘法公式 4大多數分母有理化要及時 5在有些簡便運算中也許可以約分 不要盲目有理化 VII.分母有理化 分母有理化有兩種方法 I.分母是單項式 如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b II.分母是多項式 要利用平方差公式 如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b III.分母是多項式 要利用平方差公式 如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b 第22章 一元二次方程 知識框圖 第23章 旋轉 知識框圖 旋轉的定義 在平面內 將一個圖形繞一個圖形按某個方向轉動一個角度 這樣的運動叫做圖形的旋轉 這個定點叫做旋轉中心 轉動的角度叫做旋轉角 圖形的旋轉是圖形上的每一點在平面上繞著某個固定點旋轉固定角度的位置移動 其中對應點到旋轉中心的距離相等 對應線段的長度、對應角的大小相等 旋轉前后圖形的大小和形狀沒有改變 旋轉對稱中心 把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后 與初始圖形重合 這種圖形叫做旋轉對稱圖形 這個定點叫做旋轉對稱中心 旋轉的角度叫做旋轉角（旋轉角小于0° 大于360°） 中心對稱和中心對稱圖形是兩個不同而又緊密聯系的概念．它們的區別是：中心對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關系 這兩個圖形關于一點對稱 這個點是對稱中心 兩個圖形關于點的對稱也叫做中心對稱．成中心對稱的兩個圖形中 其中一個上所有點關于對稱中心的對稱點都在另一個圖形上 反之 另一個圖形上所有點的對稱點 又都在這個圖形上；而中心對稱圖形是指一個圖形本身成中心對稱．中心對稱圖形上所有點關于對稱中心的對稱點都在這個圖形本身上．如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形） 那么這個圖形就是中心對稱圖形；一個中心對稱圖形 如果把對稱的部分看成是兩個圖形 那么它們又是關于中心對稱． 也就是說： ① 中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與自身重合 那么我們就說 這個圖形成中心對稱圖形 ②中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與另一個圖形重合 那么我們就說 這兩個圖形成中心對稱 中心對稱圖形 正（2N）邊形（N為大于1的正整數）線段 矩形 菱形 圓 只是中心對稱圖形 平行四邊形等． 既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形 不等邊三角形 非等腰梯形等． 中心對稱的性質 ①關于中心對稱的兩個圖形是全等形 ②關于中心對稱的兩個圖形 對稱點連線都經過對稱中心 并且被對稱中心平分 ③關于中心對稱的兩個圖形 對應線段平行（或者在同一直線上）且相等 識別一個圖形是否是中心對稱圖形就是看是否存在一點 使圖形繞著這個點旋轉180°后能與原圖形重合 中心對稱是指兩個圖形繞某一個點旋轉180°后 能夠完全重合 稱這兩個圖形關于該點對稱 該點稱為對稱中心.二者相輔相成 兩圖形成中心對稱 必有對稱中點 而點只有能使兩個圖形旋轉180°后完全重合才稱為對稱中點.第二十四章圓 知識框圖 【圓的基本知識】 〖幾何中圓的定義〗 幾何說：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓 定點稱為圓心 定長稱為半徑 軌跡說：平面上一動點以一定點為中心 一定長為距離運動一周的軌跡稱為圓周 簡稱圓 集合說：到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓 〖圓的相關量〗 圓周率：圓周長度與圓的直徑長度的比叫做圓周率 值是3.14******************253421170679...通常用π表示 計算中常取3.14為它的近似值(但奧數常取3或3.1416) 圓弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧 簡稱弧 大于半圓的弧稱為優弧 小于半圓的弧稱為劣弧 連接圓上任意兩點的線段叫做弦 經過圓心的弦叫做直徑 圓心角和圓周角：頂點在圓心上的角叫做圓心角 頂點在圓周上 且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角 內心和外心：過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓 其圓心叫做三角形的外心 和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓 其圓心稱為內心 扇形：在圓上 由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形 圓錐側面展開圖是一個扇形 這個扇形的半徑稱為圓錐的母線 〖圓和圓的相關量字母表示方法〗 圓-⊙ 半徑-r 弧-⌒ 直徑-d 扇形弧長／圓錐母線-l 周長-C 面積-S 〖圓和其他圖形的位置關系〗 圓和點的位置關系：以點P與圓O的為例（設P是一點 則PO是點到圓心的距離）P在⊙O外 PO＞r；P在⊙O上 PO＝r；P在⊙O內 PO＜r 直線與圓有3種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交 這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切 這條直線叫做圓的切線 這個唯一的公共點叫做切點 以直線AB與圓O為例（設OP⊥AB于P 則PO是AB到圓心的距離）：AB與⊙O相離 PO＞r；AB與⊙O相切 PO＝r；AB與⊙O相交 PO＜r 兩圓之間有5種位置關系：無公共點的 一圓在另一圓之外叫外離 在之內叫內含；有唯一公共點的 一圓在另一圓之外叫外切 在之內叫內切；有兩個公共點的叫相交 兩圓圓心之間的距離叫做圓心距 兩圓的半徑分別為R和r 且R≥r 圓心距為P：外離P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；內切P=R-r；內含P＜R-r 圓的平面幾何性質和定理 一有關圓的基本性質與定理 ⑴圓的確定：不在同一直線上的三個點確定一個圓 圓的對稱性質：圓是軸對稱圖形 其對稱軸是任意一條通過圓心的直線 圓也是中心對稱圖形 其對稱中心是圓心 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦 并且平分弦所對的2條弧 逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦 并且平分弦所對的2條弧 ⑵有關圓周角和圓心角的性質和定理 在同圓或等圓中 如果兩個圓心角 兩個圓周角 兩組弧 兩條弦 兩條弦心距中有一組量相等 那么他們所對應的其余各組量都分別相等 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半 直徑所對的圓周角是直角 90度的圓周角所對的弦是直徑 ⑶有關外接圓和內切圓的性質和定理 ①一個三角形有唯一確定的外接圓和內切圓 外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點 到三角形三個頂點距離相等； ②內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點 到三角形三邊距離相等 ③S三角=1/2*△三角形周長*內切圓半徑 ④兩相切圓的連心線過切點（連心線：兩個圓心相連的線段） ⑤圓O中的弦PQ的中點M 過點M任作兩弦AB CD 弦AD與BC分別交PQ于X Y 則M為XY之中點 〖有關切線的性質和定理〗 圓的切線垂直于過切點的半徑；經過半徑的一端 并且垂直于這條半徑的直線 是這個圓的切線 切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 切線的性質：（1）經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線（2）經過切點垂直于切線的直線必經過圓心（3）圓的切線垂直于經過切點的半徑 切線長定理：從圓外一點到圓的兩條切線的長相等 那點與圓心的連線平分切線的夾角 〖有關圓的計算公式〗 1.圓的周長C=2πr=πd 2.圓的面積S=πr^2;3.扇形弧長l=nπr/180 4.扇形面積S=π（R^2-r^2）5.圓錐側面積S=πrl 圓的解析幾何性質和定理 〖圓的解析幾何方程〗 圓的標準方程：在平面直角坐標系中 以點O（a b）為圓心 以r為半徑的圓的標準方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2 圓的一般方程：把圓的標準方程展開 移項 合并同類項后 可得圓的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 和標準方程對比 其實D=-2a E=-2b F=a^2+b^2-r^2 圓的離心率e=0 在圓上任意一點的曲率半徑都是r 〖圓與直線的位置關系判斷〗 平面內 直線Ax+By+C=0與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關系判斷一般方法是： 1.由Ax+By+C=0 可得y=（-C-Ax）／B（其中B不等于0）代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 即成為一個關于x的一元二次方程f（x）=0 利用判別式b^2-4ac的符號可確定圓與直線的位置關系如下： 如果b^2-4ac>0 則圓與直線有2交點 即圓與直線相交 如果b^2-4ac=0 則圓與直線有1交點 即圓與直線相切 如果b^2-4ac<0 則圓與直線有0交點 即圓與直線相離 2.如果B=0即直線為Ax+C=0 即x=-C／A 它平行于y軸（或垂直于x軸） 將x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化為（x-a）^2+（y-b）^2=r^2 令y=b 求出此時的兩個x值x1、x2 并且規定x1 當x=-C／A 當x1 半徑r 直徑d 在直角坐標系中 圓的解析式為：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 =>(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F => 圓心坐標為(-D/2-E/2) 其實不用這樣算 太麻煩了 只要保證X方Y方前系數都是1 就可以直接判斷出圓心坐標為(-D/2-E/2) 這可以作為一個結論運用的 且r=根號（圓心坐標的平方和-F）圓知識點總結 平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓 圓心：圓中心固定的一點叫做圓心 用字母0表示 直徑：通過圓心 并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑 用字母d表示 半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段 叫做圓的半徑 用字母r表示 圓的直徑和半徑都有無數條 在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍 半徑是直徑的1／2.圓的半徑決定了圓的大小 圓心決定了圓的位置 圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長 用C表示 圓的周長與直徑的比值叫做圓周率 圓周率是一個固定的數 它是一個無限不循環小數 用字母π表示近似等于3.14 直徑所對的圓周角是直角 90度的圓周角所對的弦是直徑 圓的面積公式：πr方 用字母S表示 第25章 概率初步 知識框圖 第26章 二次函數 知識框圖 定義與定義表達式 一般地 自變量x和因變量y之間存在如下關系： 一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0 a、b、c為常數)則稱y為x的二次函數 頂點式：y=a(x-h)^2+k 交點式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：（a b c為常數 a≠0 且a決定函數的開口方向 a>0時 開口方向向上 a<0時 開口方向向下 IaI還可以決定開口大小 IaI越大開口就越小 IaI越小開口就越大） 二次函數表達式的右邊通常為二次 x是自變量 y是x的二次函數 x1 x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)二次函數的圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數y=x2的圖像 可以看出 二次函數的圖像是一條永無止境的拋物線 拋物線的性質 1.拋物線是軸對稱圖形 對稱軸為直線x =-b/2a 對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P 特別地 當b=0時 拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0） 2.拋物線有一個頂點P 坐標為P(-b/2a(4ac-b2)/4a) 當-b/2a=0時 P在y軸上；當Δ= b2-4ac=0時 P在x軸上 3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小 當a＞0時 拋物線向上開口；當a＜0時 拋物線向下開口 |a|越大 則拋物線的開口越小 4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置 當a與b同號時（即ab＞0） 對稱軸在y軸左； 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0 也就是-b/2a<0 所以b/2a要大于0 所以a、b要同號 當a與b異號時（即ab＜0）對稱軸在y軸右 因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0 也就是-b/2a>0 所以b/2a要小于0 所以a、b要異號 事實上 b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數解析式（一次函數）的斜率k的值 可通過對二次函數求導得到 5.常數項c決定拋物線與y軸交點 拋物線與y軸交于（0 c） 6.拋物線與x軸交點個數 Δ= b2-4ac＞0時 拋物線與x軸有2個交點 Δ= b2-4ac=0時 拋物線與x軸有1個交點 _______ Δ= b2-4ac＜0時 拋物線與x軸沒有交點 X的取值是虛數（x=-b±√b2－4ac的值的相反數 乘上虛數i 整個式子除以2a） 當a>0時 函數在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函數 在{x|x>-b/2a}上是增函數；拋物線的開口向上；函數的值域是{y|y≥4ac-b2/4a}相反不變 當b=0時 拋物線的對稱軸是y軸 這時 函數是偶函數 解析式變形為y=ax2+c(a≠0) 7.定義域：R 值域：（對應解析式 且只討論a大于0的情況 a小于0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b2)/4a 正無窮）；②[t 正無窮） 奇偶性：偶函數 周期性：無 解析式： ①y=ax2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a＞0 則拋物線開口朝上；a＜0 則拋物線開口朝下； ⑶極值點：（-b/2a(4ac-b2)/4a）； ⑷Δ=b2-4ac Δ＞0 圖象與x軸交于兩點： （[-b-√Δ]/2a 0）和（[-b+√Δ]/2a 0）； Δ＝0 圖象與x軸交于一點： （-b/2a 0）； Δ＜0 圖象與x軸無交點； ②y=a(x-h)2+t[配方式] 此時 對應極值點為（h t） 其中h=-b/2a t=(4ac-b2)/4a）； ③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式] a≠0 此時 x1、x2即為函數與X軸的兩個交點 將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用） [編輯本段]二次函數與一元二次方程 特別地 二次函數（以下稱函數）y=ax2+bx+c 當y=0時 二次函數為關于x的一元二次方程（以下稱方程） 即ax2+bx+c=0 此時 函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根 函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根 1．二次函數y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2 +k y=ax2+bx+c(各式中 a≠0)的圖象形狀相同 只是位置不同 它們的頂點坐標及對稱軸如下表： 解析式 y=ax2 y=ax2+K y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 頂點坐標 (0 0) (0 K) (h 0) (h k) (-b/2a sqrt[4ac-b2]/4a) 對 稱 軸 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 當h>0時 y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動h個單位得到 當h<0時 則向左平行移動|h|個單位得到． 當h>0 k>0時 將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位 再向上移動k個單位 就可以得到y=a(x-h)2+k的圖象； 當h>0 k<0時 將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位 再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)2+k的圖象； 當h<0 k>0時 將拋物線向左平行移動|h|個單位 再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)2+k的圖象； 當h<0 k<0時 將拋物線向左平行移動|h|個單位 再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)2+k的圖象； 因此 研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象 通過配方 將一般式化為y=a(x-h)2+k的形式 可確定其頂點坐標、對稱軸 拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便． 2．拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時 開口向上 當a<0時開口向下 對稱軸是直線x=-b/2a 頂點坐標是(-b/2a [4ac-b2]/4a)． 3．拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)若a>0 當x ≤-b/2a時 y隨x的增大而減小；當x ≥-b/2a時 y隨x的增大而增大．若a<0 當x ≤-b/2a時 y隨x的增大而增大；當x ≥-b/2a時 y隨x的增大而減小． 4．拋物線y=ax2+bx+c的圖象與坐標軸的交點： (1)圖象與y軸一定相交 交點坐標為(0 c)； (2)當△=b2-4ac>0 圖象與x軸交于兩點A(x? 0)和B(x? 0) 其中的x1 x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x?-x?| 另外 拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－A |（A為其中一點的橫坐標） 當△=0．圖象與x軸只有一個交點； 當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時 圖象落在x軸的上方 x為任何實數時 都有y>0；當a<0時 圖象落在x軸的下方 x為任何實數時 都有y<0． 5．拋物線y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)則當x=-b/2a時 y最小(大)值=(4ac-b2)/4a． 頂點的橫坐標 是取得最值時的自變量值 頂點的縱坐標 是最值的取值． 6．用待定系數法求二次函數的解析式 (1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時 可設解析式為一般形式： y=ax2+bx+c(a≠0)． (2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸或極大（小）值時 可設解析式為頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)． (3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時 可設解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)． 7．二次函數知識很容易與其它知識綜合應用 而形成較為復雜的綜合題目 因此 以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題 往往以大題形式出現． 第27章 相似 知識框圖 相似三角形的認識 對應角相等 對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形（similar triangles） 互為相似形的三角形叫做相似三角形 相似三角形的判定方法 根據相似圖形的特征來判斷（對應邊成比例 對應角相等） 1.平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交 所構成的三角形與原三角形相似； （這是相似三角形判定的引理 是以下判定方法證明的基礎 這個引理的證明方法需要平行線分線段成比例的證明） 2.如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等 那么這兩個三角形相似； 3.如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等 并且相應的夾角相等 那么這兩個三角形相似； 4.如果兩個三角形的三組對應邊的比相等 那么這兩個三角形相似； 絕對相似三角形 1.兩個全等的三角形一定相似 2.兩個等腰直角三角形一定相似 3.兩個等邊三角形一定相似 直角三角形相似判定定理 1.斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似 2.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似 并且分成的兩個直角三角形也相似 射影定理 三角形相似的判定定理推論 推論一：頂角或底角相等的那個的兩個等腰三角形相似 推論二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似 推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似 推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似 推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例 那么這兩個三角形相似 推論六：如果一個三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例 那么這兩個三角形相似 相似三角形的性質 1.相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比 2.相似三角形周長的比等于相似比 3.相似三角形面積的比等于相似比的平方 相似三角形的特例 能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形（congruent triangles） 全等三角形是相似三角形的特例 全等三角形的特征： 1.形狀完全相同 相似比是k=1 全等三角形一定是相似三角形 而相似三角形不一定是全等三角形 因此 相似三角形包括全等三角形 全等三角形的定義 能夠完全重合的兩個三角形稱為全等三角形 （注：全等三角形是相似三角形中的特殊情況） 當兩個三角形完全重合時 互相重合的頂點叫做對應頂點 互相重合的邊叫做對應邊 互相重合的角叫做對應角 由此 可以得出：全等三角形的對應邊相等 對應角相等 (1)全等三角形對應角所對的邊是對應邊 兩個對應角所夾的邊是對應邊； (2)全等三角形對應邊所對的角是對應角 兩條對應邊所夾的角是對應角； (3)有公共邊的 公共邊一定是對應邊； (4)有公共角的 角一定是對應角； (5)有對頂角的 對頂角一定是對應角； 三角形全等的判定公理及推論 1、三組對應邊分別相等的兩個三角形全等(簡稱SSS或“邊邊邊”)這一條也說明了三角形具有穩定性的原因 2、有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS或“邊角邊”) 3、有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等(ASA或“角邊角”) 由3可推到 4、有兩角及一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS或“角角邊”) 5、直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(HL或“斜邊 直角邊”) 所以 SSS SAS ASA AAS HL均為判定三角形全等的定理 注意：在全等的判定中 沒有AAA和SSA 這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀 A是英文角的縮寫(angle)S是英文邊的縮寫(side) 全等三角形的性質 1、全等三角形的對應角相等、對應邊相等 2、全等三角形的對應邊上的高對應相等 3、全等三角形的對應角平分線相等 4、全等三角形的對應中線相等 5、全等三角形面積相等 6、全等三角形周長相等 7、三邊對應相等的兩個三角形全等（SSS) 8、兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS) 9、兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等(ASA) 10、兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS) 11、斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(HL) 全等三角形的運用 1、性質中三角形全等是條件 結論是對應角、對應邊相等 而全等的判定卻剛好相反 2、利用性質和判定 學會準確地找出兩個全等三角形中的對應邊與對應角是關鍵 在寫兩個三角形全等時 一定把對應的頂點 角、邊的順序寫一致 為找對應邊 角提供方便 當圖中出現兩個以上等邊三角形時 應首先考慮用SAS找全等三角形 4、用在實際中 一般我們用全等三角形測等距離 以及等角 用于工業和軍事 有一定幫助 全等三角形做題技巧 一般來說考試中線段和角相等需要證明全等 因此我們可以來采取逆思維的方式 來想要證全等 則需要什么 另一種則要根據題目中給出的已知條件 求出有關信息 然后把所得的等式運用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）證明三角形全等 位似 概念：相似且對應頂點的連線相交于一點 對應邊互相平行的兩個圖形叫做位似 位似一定相似但相似不一定位似~ 第二十八章銳角三角函數 知識框圖 第25章 投影與視圖 知識框圖 ?? ?? ?? ?? 我這棵小樹是從沙石風雨中長出來的,你們可以去山上試試,由沙石長出來的小樹,要拔去是多么的費力啊!但從石縫里長出來的小樹,則更富有生命力. 數學是被很多人稱之攔路虎的一門科目，同學們在掌握數學知識點方面還很欠缺，以下是小編為大家收集整理的初三數學知識點整式總結，歡迎閱讀參考。 一、代數式 1.概念：用基本的運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數與字母連接而成的式子叫做代數式。單獨的一個數或字母也是代數式。 2.代數式的值：用數代替代數式里的字母，按照代數式的運算關系，計算得出的結果。 二、整式 單項式和多項式統稱為整式。 1.單項式：1)數與字母的乘積這樣的代數式叫做單項式。單獨的一個數或字母(可以是兩個數字或字母相乘)也是單項式。 2)單項式的系數：單項式中的 數字因數及性質符號叫做單項式的系數。 3)單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。 2.多項式：1)幾個單項式的和叫做多項式。在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項。一個多項式有幾項就叫做幾項式。 2)多項式的次數：多項式中，次數最高的項的次數，就是這個多項式的次數。 3.多項式的排列： 1).把一個多項式按某一個字母的指數從大到小的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母降冪排列。 2).把一個多項式按某一個字母的指數從小到大的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升冪排列。 由于單項式的項，包括它前面的性質符號，因此在排列時，仍需把每一項的性質符號看作是這一項的一部分，一起移動。 三、整式的運算 1.同類項所含字母相同，并且相同字母的次數也相同的項叫做同類項，幾個常數項也叫同類項。同類項與系數無關，與字母排列的順序也無關。 2.合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項叫做合并同類項。即同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變。 3.整式的加減：有括號的先算括號里面的，然后再合并同類項。 4.冪的運算： 5.整式的乘法： 1)單項式與單項式相乘法則：把它們的系數、同底數冪分別相乘，其余只在一個單項式里含有的字母連同它的指數作為積的因式。 2)單項式與多項式相乘法則：用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。 3)多項式與多項式相乘法則：先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。 6.整式的除法 1)單項式除以單項式：把系數與同底數冪分別相除作為上的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。 2)多項式除以單項式：把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加。 四、因式分解把一個多項式化成幾個整式的積的形式 1)提公因式法：(公因式多項式各項都含有的公共因式)吧公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式。取各項系數的最大公約數作為因式的系數，取相同字母最低次冪的積。公因式可以是單項式，也可以是多項式。 2)公式法：A.平方差公式;B.完全平方公式： 以上內容由數學網獨家專供，希望這篇新編初三數學知識點：整式知識點總結能夠幫助到大家。 三角形的定義 三角形是多邊形中邊數最少的一種。它的定義是：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。 三條線段不在同一條直線上的條件，如果三條線段在同一條直線上，我們認為三角形就不存在。另外三條線段必須首尾順次相接，這說明三角形這個圖形一定是封閉的。三角形中有三條邊，三個角，三個頂點。 三角形中的主要線段 三角形中的主要線段有：三角形的角平分線、中線和高線。這三條線段必須在理解和掌握它的定義的基礎上，通過作圖加以熟練掌握。并且對這三條線段必須明確三點： （1）三角形的角平分線、中線、高線均是線段，不是直線，也不是射線。 （2）三角形的角平分線、中線、高線都有三條，角平分線、中線，都在三角形內部。而三角形的高線在當△ABC是銳角三角形時，三條高都是在三角形內部，鈍角三角形的高線中有兩個垂足落在邊的延長線上，這兩條高在三角形的外部，直角三角形中有兩條高恰好是它的兩條直角邊。 （3）在畫三角形的三條角平分線、中線、高時可發現它們都交于一點。在以后我們可以給出具體證明。今后我們把三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內心，三條中線的交點叫做三角形的重心，三條高的交點叫做三角形的垂心。三角形的按邊分類 三角形的三條邊，有的各不相等，有的有兩條邊相等，有的三條邊都相等。所以三角形按 的相等關系分類如下： 等邊三角形是等腰三角形的一種特例。判定三條邊能否構成三角形的依據 △ ABC的三邊長分別是a、b、c，根據公理“連接兩點的所有線中，線段最短”。可知： △ ③a+b＞c，①a+c＞b，②b+c＞a △ 定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊。△ 由②、③得 b―a＜c，且b―a＞―c △ 故|a―b|＜c，同理可得|b―c|＜a，|a―c|＜b。從而得到推論： 三角形任意兩邊的差小于第三邊。 上述定理和推論實際上是一個問題的兩種敘述方法，定理包含了推論，推論也可以代替定理。另外，定理和推論是判定三條線段能否構成三角形的依據。如：三條線段的長分別是5、4、3便能構成三角形，而三條線段的長度分別是5、3、1，就不能構成三角形。判定三條邊能否構成三角形 對于某一條邊來說，如一邊a，只要滿足|b-c|＜a＜b+c，則可構成三角形。這是因為|b-c|＜a，即b-c＜a，且b-c＞-a.也就是a+c＞b且a+b＞c，再加上b+c＞a，便滿足任意兩邊之和大于第三邊的條件。反過來，只要a、b、c三條線段滿足能構成三角形的條件，則一定有|b-c|＜a＜b+c。 在特殊情況下，如果已知線段a最大，只要滿足b+c>a就可判定a、b、c三條線段能夠構成三角形。同時如果已知線段a最小，只要滿足|b-c|＜a，就能判定三條線段a、b、c構成三角形。 證明三角形的內角和定理 除了課本上給出的證明方法外還有多種證法，這里再介紹兩種證法的思路： 方法1 如圖，過頂點A作DE‖BC，運用平行線的性質，可得∠B＝∠2，∠C＝∠1，從而證得三角形的內角 和等于平角∠DAE。 方法2 如圖，在△ABC的邊BC上任取 一點D，過D作DE‖AB，DF‖AC，分別交AC、AB于E、F，再運用平行 線的性質可證得△ABC的內角和等于平角∠BDC。三角形按角分類 根據三角形的內角和定理可知，三角形的任一個內角都小于180°，其內角可能都是銳角，也可能有一個直角或一個鈍角。三角形按角可分類如下： 根據三角形的內角和定理可有如下推論： 推論1 直角三角形的兩個銳角互余。 推論2 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。推論3 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。同時我們還很容易得到如下幾條結論：（1）一個三角形最多有一個直角或鈍角。（2）一個三角形至少有兩個內角是銳角。 （3）一個三角形至少有一個角等于或小于60°（否則，若三個內角都大于60°；則這個三角形的內角和大于180°，這與定理矛盾）。(4)三角形有六個外角，其中兩兩是對頂角相等，所以三角形的三個外角和等于360°。全等三角形的性質 全等三角形的兩個基本性質 （1）全等三角形的對應邊相等。（2）全等三角形的對應角相等。 確定兩個全等三角形的對應邊和對應角 怎樣根據已知條件準確迅速地找出兩個全等三角形的對應邊和對應角？其方法主要可歸結為： （1）若兩個角相等，這兩個角就是對應角，對應角的對邊是對應邊。（2）若兩條邊相等，這兩條邊就是對應邊，對應邊的對角是對應角。（3）兩個對應角所夾的邊是對應邊。（4）兩個對應邊所夾的角是對應角。由全等三角形的定義判定三角形全等 由全等三角形的定義知，要判定兩個三角形全等，需要知道三條邊，三個角對應相等，但在應用中，利用定義判定兩個三角形全等卻是十分麻煩的，因而需要找到能完全確定一個三角形的條件，以便用較少的條件，簡便的方法來判定兩個三角形的全等。判定兩個三角形全等的邊、角、邊公理 內容：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（即SAS）。 這個判定方法是以公理形式給出的，我們可以通過實踐操作去驗證它，但驗證不等于證明，這點要區分開來。 公理中的題設條件是三個元素：邊、角、邊，意指兩條邊和這兩條邊所夾的角對應相等。不能理解成兩邊和其中一個角相等。否則，這兩個三角形就不一定全等。例如 在△ABC和△A′B′C′中，如右圖，AB=A′B′，∠A=∠A′，BC=A′C′，但是△ABC不全等于 △A′B′C′。又如，右圖，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B=∠B′，AC＝A′C′，但△ABC和△A′B′C′不全等。 原因就在于兩邊和一角對應相等不是 公理中所要求的兩邊和這兩條邊的夾 角對應相等的條件。 說明：從以上兩例可以看出，SAS≠SSA。判定兩個三角形全等的第二個公理 內容：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（即ASA）。這個公理也應該通過畫圖和實驗去進一步理解它。 公理強調了兩角和這兩角的夾邊對應相等，這里實質上包含了一個順序關系。千萬不能理解成為在其中一個三角形中是兩角和其夾邊，而在另一個三角形中卻是兩角和其中一角的對邊。 如右圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB＝A′C′，但這兩個三角形顯然不全等。原因就是 沒有注意公理中“對應”二字。 公理一中的邊、角、邊，其順序是不能改變的，即SAS不能改為SSA或ASS。而ASA 公理卻能改變其順序，可改變為AAS或SAA，但兩個三角形之間的“對應”二字不能變。同時這個公理反映出有兩個角對應相等，實質上是在兩個三角形中有三個角對應相等，故在應用過程中只須注意有一條對應邊相等就行了。 由公理二可知，有一個銳角與一條邊對應相等的兩個直角三角形全等 判定兩個三角形全等的邊、邊、邊公理 公理：三條邊對應相等的兩個三角形全等（即邊、邊、邊公理）。 邊、邊、邊公理在判定兩個三角形全等時，其對應邊就是相等的兩條邊。 這個公理告訴我們，只要一個三角形的三邊長度確定了，則這個三角形的形狀就完全確定了。這就是三角形的穩定性。判定兩個三角形全等 通過以上三個公理的學習，可以知道，在判定兩個三角形全等時，無需根據定義去判定兩個三角形的三角和三邊對應相等，而只需要其中三對條件。 三個角和三條邊這六個條件中任取三個條件進行組合。無非有如下情況：（1）三邊對應相等。（2）兩邊和一角對應相等。（3）一邊和兩角對應相等。（4）三角對應相等。 HL公理 我們知道，滿足邊、邊、角對應相等的兩個三角形不一定全等。 但是，對于兩個直角三角形來說，這個結論卻一定成立。 斜邊、直角邊公理：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（簡寫為HL）。這個公理的題設實質上也是三個元素對應相等，其本身包含了一個直角相等。這種邊、邊、角對應相等的兩個三角形全等成立的核心是有一個角是直角的條件。由于直角三角形是一種特殊的三角形，所以過去學過的四種判定方法對于直角三角形照常適用。角平分線的性質定理和逆定理 性質定理：在角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。 逆定理：到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。點在角平分線上點到這個角的兩邊距離相等。用符號語言表示角平分線的性質定理和逆定理 性質定理： ∵P在∠AOB的平分線上 PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD＝PE 逆定理： ∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB ∴點P在∠AOB的平分線上。 角平分線定義 如果一條射線把一個角分成兩個相等的角，那么這條射線叫做這個角的平分線。角的平分線是到角兩邊距離相等的所有點的集合。三角形角平分線性質 三角形三條平分線交于一點，并且交點到三邊距離相等。互逆命題 在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題，如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。 原命題和逆命題的真假性 每個命題都有逆命題，但原命題是真命題，而它的逆命題不一定是真命題，原命題和逆命題的真假性一般有四種情況：真、假；真、真；假、假；假、真。互逆定理 如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個叫做另一個的逆定理。 每個命題都有逆命題，但不是所有的定理都有逆定理 尺規作圖 限定用直尺（沒有刻度）和圓規的作圖方法叫尺規作圖。基本作圖 最基本最常見的尺規作圖稱之為基本作圖，主要有以下幾種：（1）作一個角等于已知角；（2）平分已知角； （3）過一點作已知直線的垂線；（4）作已知線段的垂直平分線； （5）過直線外一點作已知直線的平行線。有關概念 有兩邊相等的三角形稱為等腰三角形。 三邊都相等的三角形稱為等邊三角形，又稱為正三角形。有一個直角的等腰三角形稱為等腰直角三角形。 等邊三角形和等腰直角三角形都是等腰三角形的特例。等腰三角形的有關概念 等腰三角形中，相等的兩邊稱為腰，另一邊稱為底邊，兩腰的夾角稱為頂角，底邊上的兩個角稱為底角。 等腰三角形的主要性質 兩底角相等。 如圖，ΔABC中AB＝AC，取BC中點D，連結AD，容易證明：ΔABD≌ΔACD，∴∠B＝∠C。如圖，ΔABC中為等邊三角形，那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C，由CA＝CB，得∠A＝∠B，于是∠A＝∠B＝∠C，但∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60° 如圖，ΔABC中AB＝AC，且AD平分∠BAC，那么由ΔABD≌ΔACD，可得BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，但∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝90°，從而AD⊥BC，由此又可得到另外兩個重要推論。 兩個重要推論 等腰三角形頂角的平分線垂直且平分底邊； 等邊三角形各內角相等，且都等于60°。等腰三角形性質及其推論的另一種論述方法 三角形中，相等的邊所對的角相等。 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和高三線合而為一。 等腰三角形的判定定理及其兩個推論的核心都可概括為等角對等邊。它們都是證明兩條線段相等的重要方法。推論3 在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 容易證明：這個推論的逆命題也是正確的。即：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°。運用 利用等腰三角形的判定定理和性質定理容易證明結論：“在一個三角形內，如果兩條邊不等，那么它們所對的角也不等，大邊所對的角也較大；反過來，在一個三角形中，如果兩個角不等，那么它們所對的邊也不等，大角所對的邊較大。” 對稱軸及中心 線段的垂直平分線把線段分為相等的兩部分。 線段的中點就是它的中心，今后要學習“線段是關于中點對稱的中心圖形”。線段是以它的中垂線為對稱軸的圖形。三線合一的定理的逆定理 如圖所示，線段中垂線的性質定理的幾何語言為：，于是可以用來判定等腰三角形，其定理實質上是 三線合一定理的逆定理。 “距離”不同，“心”也不同 “線段垂直平分線的性質定理與逆定理中的“距離”是指“兩點間的距離”，而角平分線的性質定理與逆定理中的“距離”是指“點到直線的距離”。三角形三條角平分線相交于一點，這點到三邊的距離相等(這點稱為三角形的內心)。 三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這點到三個頂點的距離相等(這點稱為三角形的外心)。 重要的軌跡 圖(A）所示。到角的兩邊OA、OB的距 離相等的點P1、P2，P3…組成一條射 線OP，即點的集合。 如圖(B)所示，到線段AB的兩端點的距離 相等的所有點P1、P2、P3…組成一條直 線P1P2，因此這條直線可以看成動點形 成的“軌跡”。 第十三節軸線稱和軸對稱圖形 軸對稱 把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么這兩個圖形叫做關于這條直線對稱，也稱軸對稱。 根據定義，兩個圖形和如果關于直線l軸對稱，則：（1）和這兩個圖形的大小及形狀完全相同。 （2）把其中一個圖形沿l翻折后，和應完全重合，自然兩個圖形中的有關對應點也應重合。事實上，直線l是兩個軸對稱圖形中對應點連線的垂直平分線。所以容易得到如下性質： 性質1 關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。 性質2 如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線。 性質3 兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點必在對稱軸上。不難看出，如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱。軸對稱圖形 如果一個圖形沿著一條直線翻折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形。 軸對稱和軸對稱圖形的區別和聯系 區別 ①軸對稱是指兩個圖形關于某條直線對稱，而軸對稱圖形是一個圖形關于某條直線對稱。②軸對稱的對應點分別在兩個圖形上，而軸對稱圖形中的對應點都在這一個圖形上。 ③軸對稱中的對稱軸可能在兩個圖形的外邊，而軸對稱圖形中的對稱軸一定過這個圖形。聯系 ①都是沿著某一條直線翻折后兩邊能夠完全重合。 ②如果把軸對稱的兩個圖形看成是一個整體，那么這個整體反映出的圖形便是一個 軸對稱圖形；反過來，如果把一個軸對稱圖形中關于對稱軸的兩邊部分看成是兩個 圖形，那么這兩部分對應的兩個圖形則關于這條對稱軸而成軸對稱。第十四節 勾股定理 直角三角形 直角三角形中，兩銳角互余，夾直角的兩邊叫直角邊，直角的對邊叫斜邊，斜邊最長。等腰直角三角形 等腰直角三角形是直角三角形中的特例。也是等腰三角形中的特例。等腰直角三角形的兩個底角都等于45°，頂角等于90°，相等的兩條直角邊是腰。 勾股定理 直角三角形中，兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即，這就是勾股定理。判定直角三角形 如果ΔABC的三邊長為a、b、c，且滿足，那么ΔABC是直角三角形，其中∠C＝90°。第十五節勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 勾股定理是直角三角形的性質定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。即：在△ABC中，若a2＋b2＝c2，則△ABC為Rt△。如何判定一個三角形是否是直角三角形 首先求出最大邊（如c）。 驗證c2與a2＋b2是否具有相等關系。 若c2＝a2＋b2，則△ABC是以∠C＝90°的直角三角形。若c2≠a2＋b2，則△ABC不是直角三角形。 ********************** *****攻關秘技**** 方法1： 證明“文字敘述的幾何命題”的方法 這類題目證明起來較一般幾何題要難，但還是有一定的思路和方法，一般先對題目進行總體分析，分析內容大致分為以下四點，然后逐步解決。 （1）分析命題的題設和結論； （2）結合題設和結論畫出圖形； （3）綜合題設結論和圖形寫出已知、求證； （4）進行證題分析。 方法2： 等腰三角形的邊角求值法 在解等腰三角形的邊角求值題時，應考慮到各種可能的情況，還要排除不能構成三角形的情形。特別在解決線段或角的和差倍半關系時，常利用合成法或分解法，借助添加輔助線來完成。 方法3： 判定一個三角形是 直角三角形的方法 判定一個直角三角形可利用勾股定理的逆定理、線段的垂直平分線性質或直角三角形的定義等，這些方法都要求掌握并能靈活運用。 方法4： 作圖題 幾何作圖題的每一步都必須有根有據，所以就要求我們掌握好已學過的公理、定理等。要掌握好尺規作圖，還要多畫多練。 知識點： 全等三角形的判定與性質 方 法： 分析法 能 力： 分析與解決問題的能力 難 度： 中等 知識點： 全等三角形；角平分線 方 法： 合成法；分解法 能 力： 分析與解決問題的能力； 邏輯推理能力 難 度： 中等偏難 知識點： 等腰直角三角形的性質； 線段的垂直平分線性質；勾股定理 方 法： 綜合法 能 力： 分析與解決問題的能力 難 度： 中等偏難 知識點： 線段的性質 方 法： 數形結合法 能 力： 空間想象能力； 分析與解決問題的能力 難 度： 中等偏難 專題1： 一題多問、一題多圖和多題一解 提高分析問題和解決問題能力的方法是多種多樣的，而認真的設計課本中例題、習題的變式，挖掘其潛能也是方法之一。課本中的例題、習題為中考命題提供了豐富的源泉，它們具有豐富的內涵，在由知識轉化為能力上具有示范性和啟發性，在解題思路和方法上具有典型性和代表性。如果我們不以得到解答為滿足，而是在解完之后，深入其中作進一步的挖掘和多方位探索，不僅可得到一系列的新命題，也可從“題海”中解脫出來，達到事半功倍的效果。而且通過不同角度、不同方位去思考問題，探索不同的解答方案，從而拓寬了思路，培養了思維的靈活性和應變能力。 專題2： 利用擴、剖、串、改提高解題能力 學習幾何時，感到例題好學易懂，但對稍加變化拓寬引申的問題束手無策，原因是把例題的學習看成是孤立的學一道題，學完就了事，致使解題時缺乏應變能力，但如果平時能重視對題目的擴充、剖解、串聯和改編，就能較好地解決這一問題。1．擴充：將原題條件拓展，使結論更加豐富充分。 2．剖解：分析原題，將較復雜的圖形肢解為若干個基本圖形，使問題化隱為顯。3．串聯：由例題的形式（條件、結論等），聯想與它相似、相近、相反的問題。4．改編：改變原題的條件形式，探索結論是否成立？ 專題3： 分析、綜合、輔助線 我們研究不等式的有關問題時，會發現很多巧妙的方法，還會不斷學習掌握類比的數學思想，形數結合的思想，從未知向已知轉化的化歸思想，通過研究這些不斷變化的問題，全面把握不等式及不等式組的解法，從而提高我們分析問題、解決問題的能力。 專題4： 不等式的若干應用 在平面幾何里，證題思路主要有：（1）分析法，即從結論入手，逐步逆推，直至達到已知事實后為止。（2）綜合法，先從已知條件入手，運用已學過的公式、定理、性質等推出證明的結論。（3）兩頭湊，就是將綜合法和分析法有機地結合起來思考：一方面“從已知推可知”，從已知看可以推出哪些結論；另一方面“由未知看需知”，從所求結論逆推看需要什么條件，一旦可知與需知溝通，證題思路即有了。添加輔助線是證明幾何題的重要手段，也是學習中的難點之一。 專題5： 幾何證題的基本方法有兩種： 一種是從條件出發，通過一系列已確立的命題逐步向前推演，直到達到證題目的，簡言之，這是由因導果的方法，我們稱之為直接證法或綜合法，綜合法證題的程序如下：欲證AB，由于AC，CD，…，x，而xB，故AB.另一種則反過來，先假定命題的結論成立，考慮達到目的需具備什么條件，通過一系列的逆推直到回朔到已知條件為止。簡言之，這是執果索因的方法，我們稱之為分析法，分析法證題的程序如下：欲證“AB”，也就是BA，若能分析出BC，CD，…，x，而xA，則斷言BA，也就是AB。 在實際操作上，往往把這兩種方法結合起來，先分析探求鋪路，再綜合解題成功，簡言之就是“倒著推，順著走”。 —平移、旋轉、對稱 在幾何證題中，常需要將一個圖形進行適當的變換，常見的幾何變換有全等變換，等積變換和相似變換。 本章只講全等變換，也就是不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形位置的變換。常見的全等變換的形式有三： 1．平移：將圖形中的某些線段乃至整個圖形平行移動到某一適當位置，作出輔助圖形，使問題得 到解決。平移的基本特點是：任一線段在平移過 程中，其長度保持不變。 2．旋轉：將平面圖形繞平面內一定點M旋轉一個定角α得到與原來形狀和大小相同的圖形，這樣 的變換叫做旋轉變換，M叫旋轉中心，α角叫旋 轉角。 旋轉變換的主要性質：（1）變換后的圖形與原圖形全等；（2）原圖中任一線段與旋轉后的對應線段所成的角等于旋轉角。 3．對稱：將一個圖形（或它的一部分）繞著一條直線翻轉180°，得一個與原來形狀、大小完全相同的圖形，這種變換稱為軸對稱變換，軸對稱變換的主要特點是：對稱軸是一切翻轉前后對應點連線的垂直平分線。 除軸對稱外，還有中心對稱，這一點我們將在下一章四邊形中講到。 方法總結： 復雜的圖形都是由較簡單的基本圖形組成，故可將復雜的圖形分解成幾個基本圖形這樣使問題顯而易見。 當直接證題有困難時，常通過添加輔助線構造基本圖形以達到解題的目的。綜合法是從已知條件出發探索解題途徑的方法。 分析法是從結論出發，用倒推來尋找證明思路的方法。 兩頭“湊”的方法，也就是綜合運用以上兩種方法才能找到證明思路。（又叫分析――綜合法）。轉化思想就是將復雜問題轉化、分解為簡單的問題；或將陌生的問題轉化為熟悉的問題來處理的一種思想。第三篇：人教版初三數學知識點總結
第四篇：初三數學知識點整式總結
第五篇：初三數學三角形知識點總結歸納
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