第一篇：初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和歸納

小編整理了關(guān)于初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和歸納，包括三角形的定義、實(shí)數(shù)的概念運(yùn)算、圓的知識(shí)點(diǎn)、代數(shù)、函數(shù)等有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)以供同學(xué)們參考和學(xué)習(xí)!

初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn) 第一章 實(shí)數(shù)

★重點(diǎn)★ 實(shí)數(shù)的有關(guān)概念及性質(zhì)，實(shí)數(shù)的運(yùn)算

☆內(nèi)容提要☆

一、重要概念

1.數(shù)的分類及概念

數(shù)系表：

說明：“分類”的原則：1)相稱(不重、不漏)

2)有標(biāo)準(zhǔn)

2.非負(fù)數(shù)：正實(shí)數(shù)與零的統(tǒng)稱。(表為：x≥0)

常見的非負(fù)數(shù)有：

性質(zhì)：若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每個(gè)非負(fù)擔(dān)數(shù)均為0。

3.倒數(shù)： ①定義及表示法

②性質(zhì)：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.01;a>1時(shí)，1/a<1;D.積為1。

4.相反數(shù)： ①定義及表示法

②性質(zhì)：A.a≠0時(shí)，a≠-a;B.a與-a在數(shù)軸上的位置;C.和為0,商為-1。

5.數(shù)軸：①定義(“三要素”)

②作用：A.直觀地比較實(shí)數(shù)的大小;B.明確體現(xiàn)絕對(duì)值意義;C.建立點(diǎn)與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

6.奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)(正整數(shù)—自然數(shù))

定義及表示：

奇數(shù)：2n-1

偶數(shù)：2n(n為自然數(shù))

7.絕對(duì)值：①定義(兩種)：

代數(shù)定義：

幾何定義：數(shù)a的絕對(duì)值頂?shù)膸缀我饬x是實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

②│a│≥0,符號(hào)“││”是“非負(fù)數(shù)”的標(biāo)志;③數(shù)a的絕對(duì)值只有一個(gè);④處理任何類型的題目，只要其中有“││”出現(xiàn)，其關(guān)鍵一步是去掉“││”符號(hào)。

二、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

1.運(yùn)算法則(加、減、乘、除、乘方、開方)

2.運(yùn)算定律(五個(gè)—加法[乘法]交換律、結(jié)合律;[乘法對(duì)加法的]

分配律)

3.運(yùn)算順序：A.高級(jí)運(yùn)算到低級(jí)運(yùn)算;B.(同級(jí)運(yùn)算)從“左”

到“右”(如5÷ 35);C.(有括號(hào)時(shí))由“小”到“中”到“大”。

三、應(yīng)用舉例(略)

附：典型例題

1.已知：a、b、x在數(shù)軸上的位置如下圖，求證：│x-a│+│x-b│

=b-a.2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判斷a、b的符號(hào)。

初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn) 第二章 代數(shù)式

★重點(diǎn)★代數(shù)式的有關(guān)概念及性質(zhì)，代數(shù)式的運(yùn)算

☆內(nèi)容提要☆

一、重要概念

分類：

1.代數(shù)式與有理式

用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫做代數(shù)式。單獨(dú)

的一個(gè)數(shù)或字母也是代數(shù)式。

整式和分式統(tǒng)稱為有理式。

2.整式和分式

含有加、減、乘、除、乘方運(yùn)算的代數(shù)式叫做有理式。

沒有除法運(yùn)算或雖有除法運(yùn)算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法運(yùn)算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式

沒有加減運(yùn)算的整式叫做單項(xiàng)式。(數(shù)字與字母的積—包括單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母)

幾個(gè)單項(xiàng)式的和，叫做多項(xiàng)式。

說明：①根據(jù)除式中有否字母，將整式和分式區(qū)別開;根據(jù)整式中有否加減運(yùn)算，把單項(xiàng)式、多項(xiàng)式區(qū)分開。②進(jìn)行代數(shù)式分類時(shí)，是以所給的代數(shù)式為對(duì)象，而非以變形后的代數(shù)式為對(duì)象。劃分代數(shù)式類別時(shí)，是從外形來看。如，=x, =│x│等。

4.系數(shù)與指數(shù)

區(qū)別與聯(lián)系：①?gòu)奈恢蒙峡?②從表示的意義上看

5.同類項(xiàng)及其合并

條件：①字母相同;②相同字母的指數(shù)相同

合并依據(jù)：乘法分配律

6.根式

表示方根的代數(shù)式叫做根式。

含有關(guān)于字母開方運(yùn)算的代數(shù)式叫做無理式。

注意：①?gòu)耐庑紊吓袛?②區(qū)別：、是根式，但不是無理式(是無理數(shù))。

7.算術(shù)平方根

⑴正數(shù)a的正的平方根([a≥0—與“平方根”的區(qū)別]);

⑵算術(shù)平方根與絕對(duì)值

① 聯(lián)系：都是非負(fù)數(shù)，=│a│

②區(qū)別：│a│中，a為一切實(shí)數(shù);中，a為非負(fù)數(shù)。

8.同類二次根式、最簡(jiǎn)二次根式、分母有理化

化為最簡(jiǎn)二次根式以后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。

滿足條件：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式;②被開方數(shù)中不含有開得盡方的因數(shù)或因式。

把分母中的根號(hào)劃去叫做分母有理化。

9.指數(shù)

⑴(—冪，乘方運(yùn)算)

① a>0時(shí)，>0;②a<0時(shí)，>0(n是偶數(shù))，<0(n是奇數(shù))

⑵零指數(shù)： =1(a≠0)

負(fù)整指數(shù)： =1/(a≠0,p是正整數(shù))

二、運(yùn)算定律、性質(zhì)、法則

1.分式的加、減、乘、除、乘方、開方法則

2.分式的性質(zhì)

⑴基本性質(zhì)： =(m≠0)

⑵符號(hào)法則：

⑶繁分式：①定義;②化簡(jiǎn)方法(兩種)

3.整式運(yùn)算法則(去括號(hào)、添括號(hào)法則)

4.冪的運(yùn)算性質(zhì)：① 2 =;② ÷ =;③ =;④ =;⑤

技巧：

5.乘法法則：⑴單3單;⑵單3多;⑶多3多。

6.乘法公式：(正、逆用)

(a+b)(a-b)=

(a±b)=

7.除法法則：⑴單÷單;⑵多÷單。

8.因式分解：⑴定義;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分組分解法;E.求根公式法。

9.算術(shù)根的性質(zhì)： =;;(a≥0,b≥0);(a≥0,b>0)(正用、逆用)

10.根式運(yùn)算法則：⑴加法法則(合并同類二次根式);⑵乘、除法法則;⑶分母有理化：A.;B.;C..11.科學(xué)記數(shù)法：(1≤a<10,n是整數(shù)=

三、應(yīng)用舉例(略)

四、數(shù)式綜合運(yùn)算(略)初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：第三章 統(tǒng)計(jì)初步

★重點(diǎn)★

☆ 內(nèi)容提要☆

一、重要概念

1.總體：考察對(duì)象的全體。

2.個(gè)體：總體中每一個(gè)考察對(duì)象。

3.樣本：從總體中抽出的一部分個(gè)體。

4.樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目。

5.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)。

6.中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最中間位置的一個(gè)數(shù)(或最中間位置的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))

二、計(jì)算方法

1.樣本平均數(shù)：⑴;⑵若，?，,則(a—常數(shù)，，?，接近較整的常數(shù)a);⑶加權(quán)平均數(shù)：;⑷平均數(shù)是刻劃數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)(集中位置)的特征數(shù)。通常用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù)，樣本容量越大，估計(jì)越準(zhǔn)確。

2.樣本方差：⑴;⑵若 , ,?, ,則(a—接近、、?、的平均數(shù)的較“整”的常數(shù));若、、?、較“小”較“整”，則;⑶樣本方差是刻劃數(shù)據(jù)的離散程度(波動(dòng)大小)的特征數(shù)，當(dāng)樣本容量較大時(shí)，樣本方差非常接近總體方差，通常用樣本方差去估計(jì)總體方差。

3.樣本標(biāo)準(zhǔn)差：

三、應(yīng)用舉例(略)

初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：第四章 直線形

★重點(diǎn)★相交線與平行線、三角形、四邊形的有關(guān)概念、判定、性質(zhì)。

☆ 內(nèi)容提要☆

一、直線、相交線、平行線

1.線段、射線、直線三者的區(qū)別與聯(lián)系

從“圖形”、“表示法”、“界限”、“端點(diǎn)個(gè)數(shù)”、“基本性質(zhì)”等方面加以分析。

2.線段的中點(diǎn)及表示

3.直線、線段的基本性質(zhì)(用“線段的基本性質(zhì)”論證“三角形兩邊之和大于第三邊”)

4.兩點(diǎn)間的距離(三個(gè)距離：點(diǎn)-點(diǎn);點(diǎn)-線;線-線)

5.角(平角、周角、直角、銳角、鈍角)

6.互為余角、互為補(bǔ)角及表示方法

7.角的平分線及其表示

8.垂線及基本性質(zhì)(利用它證明“直角三角形中斜邊大于直角邊”)

9.對(duì)頂角及性質(zhì)

10.平行線及判定與性質(zhì)(互逆)(二者的區(qū)別與聯(lián)系)

11.常用定理：①同平行于一條直線的兩條直線平行(傳遞性);②同垂直于一條直線的兩條直線平行。

12.定義、命題、命題的組成 13.公理、定理

14.逆命題二、三角形

分類：⑴按邊分;

⑵按角分

1.定義(包括內(nèi)、外角)

2.三角形的邊角關(guān)系：⑴角與角：①內(nèi)角和及推論;②外角和;③n邊形內(nèi)角和;④n邊形外角和。⑵邊與邊：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。⑶角與邊：在同一三角形中，3.三角形的主要線段

討論：①定義②33線的交點(diǎn)—三角形的3心③性質(zhì)

① 高線②中線③角平分線④中垂線⑤中位線

⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等邊三角形

4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形)的判定與性質(zhì)

5.全等三角形

⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)

⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②專用方法

6.三角形的面積

⑴一般計(jì)算公式⑵性質(zhì)：等底等高的三角形面積相等。

7.重要輔助線

⑴中點(diǎn)配中點(diǎn)構(gòu)成中位線;⑵加倍中線;⑶添加輔助平行線

8.證明方法

⑴直接證法：綜合法、分析法

⑵間接證法—反證法：①反設(shè)②歸謬③結(jié)論

⑶證線段相等、角相等常通過證三角形全等

⑷證線段倍分關(guān)系：加倍法、折半法

⑸證線段和差關(guān)系：延結(jié)法、截余法

⑹證面積關(guān)系：將面積表示出來三、四邊形

分類表：

1.一般性質(zhì)(角)

⑴內(nèi)角和：360°

⑵順次連結(jié)各邊中點(diǎn)得平行四邊形。

推論1：順次連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)得菱形。

推論2：順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)得矩形。

⑶外角和：360°

2.特殊四邊形

⑴研究它們的一般方法:

⑵平行四邊形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定義、性質(zhì)和判定

⑶判定步驟：四邊形→平行四邊形→矩形→正方形

┗→菱形——↑

⑷對(duì)角線的紐帶作用：

3.對(duì)稱圖形

⑴軸對(duì)稱(定義及性質(zhì));⑵中心對(duì)稱(定義及性質(zhì))

4.有關(guān)定理：①平行線等分線段定理及其推論1、2

②三角形、梯形的中位線定理

③平行線間的距離處處相等。(如，找下圖中面積相等的三角形)

5.重要輔助線：①常連結(jié)四邊形的對(duì)角線;②梯形中常“平移一腰”、“平移對(duì)角線”、“作高”、“連結(jié)頂點(diǎn)和對(duì)腰中點(diǎn)并延長(zhǎng)與底邊相交”轉(zhuǎn)化為三角形。

6.作圖：任意等分線段。

四、應(yīng)用舉例(略)初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn) 第五章 方程(組)

★重點(diǎn)★一元一次、一元二次方程，二元一次方程組的解法;方程的有關(guān)應(yīng)用題(特別是行程、工程問題)

☆ 內(nèi)容提要☆

一、基本概念

1.方程、方程的解(根)、方程組的解、解方程(組)

2.分類：

二、解方程的依據(jù)—等式性質(zhì)

1.a=b←→a+c=b+c

2.a=b←→ac=bc(c≠0)

三、解法

1.一元一次方程的解法：去分母→去括號(hào)→移項(xiàng)→合并同類項(xiàng)→

系數(shù)化成1→解。

2.元一次方程組的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法

②加減法四、一元二次方程

1.定義及一般形式：

2.解法：⑴直接開平方法(注意特征)

⑵配方法(注意步驟—推倒求根公式)

⑶公式法：

⑷因式分解法(特征：左邊=0)

3.根的判別式：

4.根與系數(shù)頂?shù)年P(guān)系：

逆定理：若，則以 為根的一元二次方程是：。

5.常用等式：

五、可化為一元二次方程的方程

1.分式方程

⑴定義

⑵基本思想：

⑶基本解法：①去分母法②換元法(如，)

⑷驗(yàn)根及方法

2.無理方程

⑴定義

⑵基本思想：

⑶基本解法：①乘方法(注意技巧！)②換元法(例，)⑷驗(yàn)根及方法

3.簡(jiǎn)單的二元二次方程組

由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的二元二次方程組都可用代入法解。

初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

六、列方程(組)解應(yīng)用題

一概述

列方程(組)解應(yīng)用題是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的一個(gè)重要方面。其具體步驟是：

⑴審題。理解題意。弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相等關(guān)系是什么。

⑵設(shè)元(未知數(shù))。①直接未知數(shù)②間接未知數(shù)(往往二者兼用)。一般來說，未知數(shù)越多，方程越易列，但越難解。

⑶用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。

⑷尋找相等關(guān)系(有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關(guān)系給出)，列方程。一般地，未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)是相同的。

⑸解方程及檢驗(yàn)。

⑹答案。

綜上所述，列方程(組)解應(yīng)用題實(shí)質(zhì)是先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題(設(shè)元、列方程)，在由數(shù)學(xué)問題的解決而導(dǎo)致實(shí)際問題的解決(列方程、寫出答案)。在這個(gè)過程中，列方程起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。

二常用的相等關(guān)系

1.行程問題(勻速運(yùn)動(dòng))

基本關(guān)系：s=vt

⑴相遇問題(同時(shí)出發(fā))：

+ =;

⑵追及問題(同時(shí)出發(fā))：

若甲出發(fā)t小時(shí)后，乙才出發(fā)，而后在B處追上甲，則

⑶水中航行：;

2.配料問題：溶質(zhì)=溶液3濃度

溶液=溶質(zhì)+溶劑

3.增長(zhǎng)率問題：

4.工程問題：基本關(guān)系：工作量=工作效率3工作時(shí)間(常把工作量看著單位“1”)。

5.幾何問題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關(guān)比例性質(zhì)等。

三注意語言與解析式的互化

如，“多”、“少”、“增加了”、“增加為(到)”、“同時(shí)”、“擴(kuò)大為(到)”、“擴(kuò)大了”、??

又如，一個(gè)三位數(shù)，百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為c，則這個(gè)三位數(shù)為：100a+10b+c，而不是abc。

四注意從語言敘述中寫出相等關(guān)系。

如，x比y大3，則x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x與y的差為3，則x-y=3。五注意單位換算

如，“小時(shí)”“分鐘”的換算;s、v、t單位的一致等。

七、應(yīng)用舉例(略)

初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：第六章 一元一次不等式(組)

★重點(diǎn)★一元一次不等式的性質(zhì)、解法

☆ 內(nèi)容提要☆

1.定義：a>b、a

2.一元一次不等式：ax>b、ax

3.一元一次不等式組：

4.不等式的性質(zhì)：⑴a>b←→a+c>b+c

⑵a>b←→ac>bc(c>0)

⑶a>b←→ac

⑷(傳遞性)a>b,b>c→a>c

⑸a>b,c>d→a+c>b+d.5.一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6.一元一次不等式組的解、解一元一次不等式組(在數(shù)軸上表示解集)

7.應(yīng)用舉例(略)初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn) 第七章 相似形

★重點(diǎn)★相似三角形的判定和性質(zhì)

☆內(nèi)容提要☆

一、本章的兩套定理

第一套(比例的有關(guān)性質(zhì))：

涉及概念：①第四比例項(xiàng)②比例中項(xiàng)③比的前項(xiàng)、后項(xiàng)，比的內(nèi)項(xiàng)、外項(xiàng)④黃金分割等。

第二套：

注意：①定理中“對(duì)應(yīng)”二字的含義;

②平行→相似(比例線段)→平行。

二、相似三角形性質(zhì)

1.對(duì)應(yīng)線段?;2.對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)?;3.對(duì)應(yīng)面積?。

三、相關(guān)作圖

①作第四比例項(xiàng);②作比例中項(xiàng)。

四、證(解)題規(guī)律、輔助線

1.“等積”變“比例”，“比例”找“相似”。

2.找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來。⑴

⑵

⑶

3.添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。

4.對(duì)比例問題，常用處理方法是將“一份”看著k;對(duì)于等比問題，常用處理辦法是設(shè)“公比”為k。

5.對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來的辦法處理。

五、應(yīng)用舉例(略)

初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn) 第八章 函數(shù)及其圖象

★重點(diǎn)★正、反比例函數(shù)，一次、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

☆ 內(nèi)容提要☆

一、平面直角坐標(biāo)系

1.各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)

2.坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)

3.關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)

4.坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

二、函數(shù)

1.表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶圖象法。

2.確定自變量取值范圍的原則：⑴使代數(shù)式有意義;⑵使實(shí)際問題有

意義。

3.畫函數(shù)圖象：⑴列表;⑵描點(diǎn);⑶連線。

三、幾種特殊函數(shù)

(定義→圖象→性質(zhì))

1.正比例函數(shù)

⑴定義：y=kx(k≠0)或y/x=k。

⑵圖象：直線(過原點(diǎn))

⑶性質(zhì)：①k>0，?②k<0，?

2.一次函數(shù)

⑴定義：y=kx+b(k≠0)

⑵圖象：直線過點(diǎn)(0,b)—與y軸的交點(diǎn)和(-b/k,0)—與x軸的交點(diǎn)。

⑶性質(zhì)：①k>0,?②k<0,?

⑷圖象的四種情況：

3.二次函數(shù)

⑴定義：

特殊地，都是二次函數(shù)。

⑵圖象：拋物線(用描點(diǎn)法畫出：先確定頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向，再對(duì)稱地描點(diǎn))。用配方法變?yōu)椋瑒t頂點(diǎn)為(h,k);對(duì)稱軸為直線x=h;a>0時(shí)，開口向上;a<0時(shí)，開口向下。

⑶性質(zhì)：a>0時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)?，右側(cè)?;a<0時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)?，右側(cè)?。

4.反比例函數(shù)

⑴定義： 或xy=k(k≠0)。

⑵圖象：雙曲線(兩支)—用描點(diǎn)法畫出。

⑶性質(zhì)：①k>0時(shí)，圖象位于?，y隨x?;②k<0時(shí)，圖象位于?，y隨x?;③兩支曲線無限接近于坐標(biāo)軸但永遠(yuǎn)不能到達(dá)坐標(biāo)軸。

四、重要解題方法

1.用待定系數(shù)法求解析式(列方程[組]求解)。對(duì)求二次函數(shù)的解析式，要合理選用一般式或頂點(diǎn)式，并應(yīng)充分運(yùn)用拋物線關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的特點(diǎn)，尋找新的點(diǎn)的坐標(biāo)。如下圖：

2.利用圖象一次(正比例)函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)中的k、b;a、b、c的符號(hào)。

六、應(yīng)用舉例(略)

初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn) 第九章 解直角三角形

★重點(diǎn)★解直角三角形

☆ 內(nèi)容提要☆ 一、三角函數(shù)

1.定義：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，則sinA=;cosA=;tgA=;ctgA=.2.特殊角的三角函數(shù)值：

0° 30° 45° 60° 90°

sinα

cosα

tgα /

ctgα /

3.互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：sin(90°-α)=cosα;?

4.三角函數(shù)值隨角度變化的關(guān)系

5.查三角函數(shù)表

二、解直角三角形

1.定義：已知邊和角(兩個(gè)，其中必有一邊)→所有未知的邊和角。

2.依據(jù)：①邊的關(guān)系：

②角的關(guān)系：A+B=90°

③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義。

注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法。

三、對(duì)實(shí)際問題的處理

1.俯、仰角： 2.方位角、象限角： 3.坡度：

4.在兩個(gè)直角三角形中，都缺解直角三角形的條件時(shí)，可用列方程的辦法解決。

四、應(yīng)用舉例(略)

初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn) 第十章 圓

★重點(diǎn)★①圓的重要性質(zhì);②直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系;③與圓有關(guān)的角的定理;④與圓有關(guān)的比例線段定理。

☆ 內(nèi)容提要☆

一、圓的基本性質(zhì)

1.圓的定義(兩種)

2.有關(guān)概念：弦、直徑;弧、等弧、優(yōu)弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同心圓。

3.“三點(diǎn)定圓”定理

4.垂徑定理及其推論

5.“等對(duì)等”定理及其推論

5.與圓有關(guān)的角：⑴圓心角定義(等對(duì)等定理)

⑵圓周角定義(圓周角定理，與圓心角的關(guān)系)

⑶弦切角定義(弦切角定理)

二、直線和圓的位置關(guān)系

1.三種位置及判定與性質(zhì)：

2.切線的性質(zhì)(重點(diǎn))

3.切線的判定定理(重點(diǎn))。圓的切線的判定有⑴?⑵?

4.切線長(zhǎng)定理

三、圓換圓的位置關(guān)系

1.五種位置關(guān)系及判定與性質(zhì)：(重點(diǎn)：相切)

2.相切(交)兩圓連心線的性質(zhì)定理

3.兩圓的公切線：⑴定義⑵性質(zhì)

四、與圓有關(guān)的比例線段

1.相交弦定理

2.切割線定理

五、與和正多邊形

1.圓的內(nèi)接、外切多邊形(三角形、四邊形)

2.三角形的外接圓、內(nèi)切圓及性質(zhì)

3.圓的外切四邊形、內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

4.正多邊形及計(jì)算

中心角：

內(nèi)角的一半：(右圖)

(解Rt△OAM可求出相關(guān)元素,、等)

六、一組計(jì)算公式

1.圓周長(zhǎng)公式

2.圓面積公式

3.扇形面積公式

4.弧長(zhǎng)公式

5.弓形面積的計(jì)算方法

6.圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖及相關(guān)計(jì)算

七、點(diǎn)的軌跡

六條基本軌跡

八、有關(guān)作圖

1.作三角形的外接圓、內(nèi)切圓

2.平分已知弧

3.作已知兩線段的比例中項(xiàng)

4.等分圓周：

4、8;

6、3等分

九、基本圖形

十、重要輔助線

1.作半徑

2.見弦往往作弦心距

3.見直徑往往作直徑上的圓周角

4.切點(diǎn)圓心莫忘連

5.兩圓相切公切線(連心線)

6.兩圓相交公共弦

第二篇：初三數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第23章

旋轉(zhuǎn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、旋轉(zhuǎn)

1、定義

把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的叫做旋轉(zhuǎn)，其中O叫做，叫做旋轉(zhuǎn)角。

2、性質(zhì)

（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到的距離相等。

（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于。

二、中心對(duì)稱

1、定義

把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的。

2、性質(zhì)

（1）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是

形。

（2）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱，并且被對(duì)稱中心。

（3）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。

3、判定

如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱。

三、坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的特征

1、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的特征

兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)的符號(hào)，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P’(,)

.2、關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征

兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，x，y的符號(hào)，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P’(,)

.3、關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征

兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，相等，的符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為

P’(,)

.旋轉(zhuǎn)練習(xí)題

一、細(xì)心選一選（每題3分，共30分）

1．下面的圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是

（）

A．

B．

C．

D．

2．如果一個(gè)多邊形繞它的中心旋轉(zhuǎn)60°，才和原來的圖形重合，那么這個(gè)多邊形是

（）

A．正三角形

B．正四邊形

C．正五邊形

D．正六邊形

3．在線段，等腰梯形，平行四邊形，矩形，正五角星，圓，正方形，等邊三角形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的圖形有（）

A.3個(gè)

B.4個(gè)

C.5個(gè)

D.6個(gè)

4．如圖1，四邊形ABCD是正方形，ΔADE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)900后到達(dá)ΔABF的位置，連接EF，則ΔAEF的形狀是（）

圖1

A．等腰三角形

B．直角三角形

C

D

B

E

A

C．等腰直角三角形

D．等邊三角形

5．如圖2，把ΔABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ΔDEC，若∠A=25°，則∠CED=________.A、45°

B、55°

C、65°

D、75°圖2

6．在坐標(biāo)系中，點(diǎn)（5，3）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A、（-5，4）

B、（-5，-3）

C、（-3，-5）

D、（5，3）

7．下列命題中的真命題是

（）

A．全等的兩個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形.B關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等.C．中心對(duì)稱圖形都是軸對(duì)稱圖形.D．軸對(duì)稱圖形都是中心對(duì)稱圖形.8.觀察下列圖案,其中旋轉(zhuǎn)角最大的是

（）

9.如圖將葉片圖案旋轉(zhuǎn)180°后，得到的圖案是

（）

葉片圖案

D

C

A

B

10.在藝術(shù)字中，有些字母是中心對(duì)稱圖形，下面的5個(gè)字母E、H、I、N、A是中心對(duì)稱圖形的有（）個(gè)。

A、5

B、5

C、3

D、2

二、填空題

11、如圖，ΔABC按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角后成為ΔADE.已知∠B＝93°，∠AED＝48°，則旋轉(zhuǎn)角等于　　___　°.12、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是

．

13、鐘表上的分針繞其軸心旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過25分鐘后，分針轉(zhuǎn)過的角度是______________.14.如圖，鏡子中號(hào)碼的實(shí)際號(hào)碼是_____________.O15、如右圖

所示，五角星的頂點(diǎn)是一個(gè)正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)．這個(gè)五角星可以由一個(gè)基本圖形（圖中的陰影部分）繞中心O至少經(jīng)過____________次旋轉(zhuǎn)而得到，每一次旋轉(zhuǎn)_______度．

16、已知平面直角坐標(biāo)系上的三個(gè)點(diǎn)O(0,0),A(-1,1),B(-1,0),將△ABO繞點(diǎn)O

按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°則點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1,B1的坐標(biāo)分別是A1(____,____),B1(____,____).三、解答題

17、如圖是某汽車的標(biāo)志，它可以看作是由什么“基本圖案”通過怎樣旋轉(zhuǎn)得到的？每次旋轉(zhuǎn)了多少度？

18、如圖，△COD是△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)40°后所得的圖形，點(diǎn)C恰好在AB

上，∠AOD＝90°，求∠B的度數(shù)。

19.如圖8,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4),將OP

繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OP′,(1)在圖中畫出線段OP′;

(2)求P′的坐標(biāo)和PP′的長(zhǎng)度.圖820、如圖是由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，請(qǐng)?jiān)趫D中作出將“蘑菇”ABCDE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°再向右平移2個(gè)單位的圖形（其中C、D為所在小正方形邊的中點(diǎn)）．

A

B

E

C

D

第三篇：初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

初三數(shù)學(xué)

圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、本章知識(shí)框架

二、本章重點(diǎn)

1．圓的定義：

(1)線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓．

(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合．

2．判定一個(gè)點(diǎn)P是否在⊙O上．

設(shè)⊙O的半徑為R，OP＝d，則有

d>r點(diǎn)P在⊙O

外；

d＝r點(diǎn)P在⊙O

上；

d

內(nèi)．

3．與圓有關(guān)的角

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角．

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)．

(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．

圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半．

②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等．

③90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角．

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．

⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角．

(3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角．

弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對(duì)的圓周角．

弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半．

4．圓的性質(zhì)：

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心．

在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等．

(2)軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸．

垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．

(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．

(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧．

(4)平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．

(5)平行弦夾的弧相等．

5．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示．

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示．

(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn)．

6．切線的判定、性質(zhì)：

(1)切線的判定：

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．

②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．

(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn)．

③經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心．

(3)切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng)．

(4)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．

7．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角．

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等．

8．直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)⊙O

半徑為R，點(diǎn)O到直線l的距離為d．

(1)直線和圓沒有公共點(diǎn)直線和圓相離d>R．

(2)直線和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線l和⊙O相切d＝R．

(3)直線l和⊙O

有兩個(gè)公共點(diǎn)直線l和⊙O

相交d

9．圓和圓的位置關(guān)系：

設(shè)的半徑為R、r(R>r)，圓心距．

(1)沒有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部外離d>R＋r．

(2)沒有公共點(diǎn)，且的每一個(gè)點(diǎn)都在外部?jī)?nèi)含d

(3)有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部外切d＝R＋r．

(4)有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，的每個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部?jī)?nèi)切d＝R－r．

(5)有兩個(gè)公共點(diǎn)相交R－r

10．兩圓的性質(zhì)：

(1)兩個(gè)圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓連心線．

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn)．

11．圓中有關(guān)計(jì)算：

圓的面積公式：，周長(zhǎng)C＝2πR．

圓心角為n°、半徑為R的弧長(zhǎng)．

圓心角為n°，半徑為R，弧長(zhǎng)為l的扇形的面積．

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算．

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l的圓柱的體積為，側(cè)面積為2πRl，全面積為．

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為πRl，全面積為，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有．

【經(jīng)典例題精講】

例1

如圖23-2，已知AB為⊙O直徑，C為上一點(diǎn)，CD⊥AB于D，∠OCD的平分線CP交⊙O于P，試判斷P點(diǎn)位置是否隨C點(diǎn)位置改變而改變？

分析：要確定P點(diǎn)位置，我們可采用嘗試的辦法，在上再取幾個(gè)符合條件的點(diǎn)試一試，觀察P點(diǎn)位置的變化，然后從中觀察規(guī)律．

解：

連結(jié)OP，P點(diǎn)為中點(diǎn)．

小結(jié)：此題運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行推斷．

例2

下列命題正確的是（）

A．相等的圓周角對(duì)的弧相等

B．等弧所對(duì)的弦相等

C．三點(diǎn)確定一個(gè)圓

D．平分弦的直徑垂直于弦．

解：

A．在同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的劣弧相等，所以A不正確．

B．等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此B正確．

C．三個(gè)點(diǎn)只有不在同一直線上才能確定一個(gè)圓．

D．平分弦(不是直徑)的直徑垂直于此弦．

故選B．

例3

四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．

分析：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角之和相等，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等．

解：

設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．

x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．

∴∠D＝90°．

小結(jié)：此題可變形為：四邊形ABCD外切于⊙O，周長(zhǎng)為20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的長(zhǎng)．

例4

為了測(cè)量一個(gè)圓柱形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用如下方法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個(gè)銳角為30°的三角板和一個(gè)刻度尺，用如圖23-4所示方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可以求得鐵環(huán)半徑．若測(cè)得PA＝5cm，則鐵環(huán)的半徑是__________cm．

分析：測(cè)量鐵環(huán)半徑的方法很多，本題主要考查切線長(zhǎng)性質(zhì)定理、切線性質(zhì)、解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行合作解決，即過

P點(diǎn)作直線OP⊥PA，再用三角板畫一個(gè)頂點(diǎn)為A、一邊為AP、大小為60°的角，這個(gè)角的另一邊與OP的交點(diǎn)即為圓心O，再用三角函數(shù)知識(shí)求解．

解：

．

小結(jié)：應(yīng)用圓的知識(shí)解決實(shí)際問題，應(yīng)將實(shí)際問題變成數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型．

例5

已知相交于A、B兩點(diǎn)，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB＝16，求兩圓的圓心距．

解：分兩種情況討論：

(1)若位于AB的兩側(cè)(如圖23-8)，設(shè)與AB交于C，連結(jié)，則垂直平分AB，∴．

又∵AB＝16

∴AC＝8．

在中，．

在中，．

故．

(2)若位于AB的同側(cè)(如圖23-9)，設(shè)的延長(zhǎng)線與AB交于C，連結(jié)．

∵垂直平分AB，∴．

又∵AB＝16，∴AC＝8．

在中，．

在中，．

故．

注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個(gè)點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時(shí)，要注意雙解或多解問題．

三、相關(guān)定理：

1.相交弦定理

圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）

說明：幾何語言：　　若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

例1．

已知P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，⊙O半徑為，過P任作一弦AB，設(shè)，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為。

解：由相交弦定理得，即，其中

2.切割線定理

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)

說明：幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC^2=PA·PB

例2．

已知PT切⊙O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長(zhǎng)。

解：設(shè)TD=，BP=，由相交弦定理得：

即，（舍）

由切割線定理，由勾股定理，∴

∴

∴

四、輔助線總結(jié)

1.圓中常見的輔助線

1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等．

2）．作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關(guān)系進(jìn)行證明．

3）．作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算．

4）．作弦構(gòu)造同弧或等弧所對(duì)的圓周角．

5)．作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角——直角．

6)．遇到切線，作過切點(diǎn)的弦，構(gòu)造弦切角．

7)．遇到切線，作過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角．

8)．欲證直線為圓的切線時(shí)，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連結(jié)公共點(diǎn)和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長(zhǎng)等于圓的半徑．

9)．遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn)．

10)．遇到三角形的內(nèi)心，常作：(1)內(nèi)心到三邊的垂線；(2)連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)．

11)．遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線．

12)．遇兩圓相切，常過切點(diǎn)作兩圓的公切線．

13)．求公切線時(shí)常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊．

2、圓中較特殊的輔助線

1)．過圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)作圓的切線．

2)．將割線、相交弦補(bǔ)充完整．

3)．作輔助圓．

例1如圖23-10，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長(zhǎng)為（）

A．2

B．3

C．4

D．5

分析：連結(jié)OC，由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB知CD＝DE．設(shè)AE＝x，則在Rt△CEO中，即，則，(舍去)．

答案：A．

例2如圖23-11，CA為⊙O的切線，切點(diǎn)為A，點(diǎn)B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于（）

A．35°

B．90°

C．110°

D．120°

分析：由弦切角與所夾弧所對(duì)的圓心角的關(guān)系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．

例3

如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長(zhǎng)為5cm，那么側(cè)面積等于（）

A．

B．

C．

D．

分析：圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)等于圓柱的高，即圓柱的母線長(zhǎng)；另一邊長(zhǎng)是底面圓的周長(zhǎng)，所以圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長(zhǎng)乘以圓柱的高，即．答案：B．

例4

如圖23-12，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CM交⊙O于E，且EM>MC，連結(jié)OE、DE，．

求：EM的長(zhǎng)．

簡(jiǎn)析：(1)由DC是⊙O的直徑，知DE⊥EC，于是．設(shè)EM＝x，則AM·MB＝x(7－x)，即．所以．而EM>MC，即EM＝4．

例5如圖23-13，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點(diǎn)B，PA交⊙O于點(diǎn)C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關(guān)于x的方程(其中m為實(shí)數(shù))的兩根．

(1)求證：BE＝BD；

(2)若，求∠A的度數(shù)．

簡(jiǎn)析：(1)由BE、BD是關(guān)于x的方程的兩根，得，則m＝－2．所以，原方程為．得．故BE＝BD．

(2)由相交弦定理，得，即．而PB切⊙O于點(diǎn)B，AB為⊙O的直徑，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易證∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，則，所以，所以．在Rt△ACB中，故∠A＝60°．

第四篇：初三數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

（為重中之重）

第一章

二次根式

二次根式：形如()的式子為二次根式；

性質(zhì)：（）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

。

二次根式的乘除：

。

二次根式的加減：二次根式加減時(shí)，先將二次根式華為最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。

二次根式的混合運(yùn)算

第二章

一元二次方程

一元二次方程：等號(hào)兩邊都是整式，且只有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次是2的方程。

一元二次方程的解法

①

配方法：將方程的一邊配成完全平方式，然后兩邊開方；

②

公式法：（其中當(dāng)△=＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根：；當(dāng)△==0時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：；當(dāng)△=＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根）

③

因式分解法：左邊是兩個(gè)因式的乘積，右邊為零。

一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用

韋達(dá)定理：設(shè)是方程的兩個(gè)根，那么有

第三章

旋轉(zhuǎn)

圖形的旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)：把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。

性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；

②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連的線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角

③旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

會(huì)畫出一個(gè)圖形順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°、60°、90°后的圖形。

中心對(duì)稱：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形中心對(duì)稱。

中心對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。

會(huì)畫出一個(gè)圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得圖形，也就是中心對(duì)稱圖形。

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y）：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x,-y）

關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x,-y)

關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x,y)

第四章

圓

圓、圓心、半徑、直徑、圓弧、弦、半圓的定義

垂直于弦的直徑

圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸；

垂直于弦的直徑平分弦，并且平方弦所對(duì)的兩條弧；

平分弦的直徑垂直弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

弧、弦、圓心角

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。

圓周角

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；

半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

點(diǎn)在圓外

點(diǎn)在圓上

d=r

點(diǎn)在圓內(nèi)

d

定理：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

三角形的外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，外接圓的圓心是三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。

6直線和圓的位置關(guān)系

相交

d

相切

d=r

相離

d>r

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；

切線的判定定理：經(jīng)過圓的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；

切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

三角形的內(nèi)切圓：和三角形各邊都相切的圓為它的內(nèi)切圓，圓心是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)，為三角形的內(nèi)心。

圓和圓的位置關(guān)系

外離

d>R+r

外切

d=R+r

相交

R-r

內(nèi)切

d=R-r

內(nèi)含

d

正多邊形和圓

正多邊形的中心：外接圓的圓心

正多邊形的半徑：外接圓的半徑

正多邊形的中心角：沒邊所對(duì)的圓心角

正多邊形的邊心距：中心到一邊的距離

弧長(zhǎng)和扇形面積

弧長(zhǎng)

扇形面積：

圓錐的側(cè)面積和全面積

側(cè)面積：

全面積

（附加）相交弦定理、切割線定理

第五章

概率初步

概率意義：在大量重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，則常數(shù)p叫做事件A的概率。

用列舉法求概率

一般的，在一次試驗(yàn)中，有n中可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的概率相等，事件A包含其中的m中結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率就是p（A）=

用頻率去估計(jì)概率

第五篇：初三數(shù)學(xué)三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納

三角形的定義

三角形是多邊形中邊數(shù)最少的一種。它的定義是：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。

三條線段不在同一條直線上的條件，如果三條線段在同一條直線上，我們認(rèn)為三角形就不存在。另外三條線段必須首尾順次相接，這說明三角形這個(gè)圖形一定是封閉的。三角形中有三條邊，三個(gè)角，三個(gè)頂點(diǎn)。

三角形中的主要線段

三角形中的主要線段有：三角形的角平分線、中線和高線。這三條線段必須在理解和掌握它的定義的基礎(chǔ)上，通過作圖加以熟練掌握。并且對(duì)這三條線段必須明確三點(diǎn)：

（1）三角形的角平分線、中線、高線均是線段，不是直線，也不是射線。

（2）三角形的角平分線、中線、高線都有三條，角平分線、中線，都在三角形內(nèi)部。而三角形的高線在當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，三條高都是在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的高線中有兩個(gè)垂足落在邊的延長(zhǎng)線上，這兩條高在三角形的外部，直角三角形中有兩條高恰好是它的兩條直角邊。

（3）在畫三角形的三條角平分線、中線、高時(shí)可發(fā)現(xiàn)它們都交于一點(diǎn)。在以后我們可以給出具體證明。今后我們把三角形三條角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。三角形的按邊分類

三角形的三條邊，有的各不相等，有的有兩條邊相等，有的三條邊都相等。所以三角形按 的相等關(guān)系分類如下：

等邊三角形是等腰三角形的一種特例。判定三條邊能否構(gòu)成三角形的依據(jù)

△ ABC的三邊長(zhǎng)分別是a、b、c，根據(jù)公理“連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短”。可知： △ ③a+b＞c，①a+c＞b，②b+c＞a △ 定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊。△ 由②、③得 b―a＜c，且b―a＞―c △ 故|a―b|＜c，同理可得|b―c|＜a，|a―c|＜b。從而得到推論：

三角形任意兩邊的差小于第三邊。

上述定理和推論實(shí)際上是一個(gè)問題的兩種敘述方法，定理包含了推論，推論也可以代替定理。另外，定理和推論是判定三條線段能否構(gòu)成三角形的依據(jù)。如：三條線段的長(zhǎng)分別是5、4、3便能構(gòu)成三角形，而三條線段的長(zhǎng)度分別是5、3、1，就不能構(gòu)成三角形。判定三條邊能否構(gòu)成三角形

對(duì)于某一條邊來說，如一邊a，只要滿足|b-c|＜a＜b+c，則可構(gòu)成三角形。這是因?yàn)閨b-c|＜a，即b-c＜a，且b-c＞-a.也就是a+c＞b且a+b＞c，再加上b+c＞a，便滿足任意兩邊之和大于第三邊的條件。反過來，只要a、b、c三條線段滿足能構(gòu)成三角形的條件，則一定有|b-c|＜a＜b+c。

在特殊情況下，如果已知線段a最大，只要滿足b+c>a就可判定a、b、c三條線段能夠構(gòu)成三角形。同時(shí)如果已知線段a最小，只要滿足|b-c|＜a，就能判定三條線段a、b、c構(gòu)成三角形。

證明三角形的內(nèi)角和定理

除了課本上給出的證明方法外還有多種證法，這里再介紹兩種證法的思路： 方法1 如圖，過頂點(diǎn)A作DE‖BC，運(yùn)用平行線的性質(zhì)，可得∠B＝∠2，∠C＝∠1，從而證得三角形的內(nèi)角 和等于平角∠DAE。

方法2 如圖，在△ABC的邊BC上任取 一點(diǎn)D，過D作DE‖AB，DF‖AC，分別交AC、AB于E、F，再運(yùn)用平行 線的性質(zhì)可證得△ABC的內(nèi)角和等于平角∠BDC。三角形按角分類

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知，三角形的任一個(gè)內(nèi)角都小于180°，其內(nèi)角可能都是銳角，也可能有一個(gè)直角或一個(gè)鈍角。三角形按角可分類如下：

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可有如下推論： 推論1 直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

推論2 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。推論3 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。同時(shí)我們還很容易得到如下幾條結(jié)論：（1）一個(gè)三角形最多有一個(gè)直角或鈍角。（2）一個(gè)三角形至少有兩個(gè)內(nèi)角是銳角。

（3）一個(gè)三角形至少有一個(gè)角等于或小于60°（否則，若三個(gè)內(nèi)角都大于60°；則這個(gè)三角形的內(nèi)角和大于180°，這與定理矛盾）。(4)三角形有六個(gè)外角，其中兩兩是對(duì)頂角相等，所以三角形的三個(gè)外角和等于360°。全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的兩個(gè)基本性質(zhì)

（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等。（2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

確定兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角

怎樣根據(jù)已知條件準(zhǔn)確迅速地找出兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角？其方法主要可歸結(jié)為：

（1）若兩個(gè)角相等，這兩個(gè)角就是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角的對(duì)邊是對(duì)應(yīng)邊。（2）若兩條邊相等，這兩條邊就是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊的對(duì)角是對(duì)應(yīng)角。（3）兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊。（4）兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角。由全等三角形的定義判定三角形全等

由全等三角形的定義知，要判定兩個(gè)三角形全等，需要知道三條邊，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，但在應(yīng)用中，利用定義判定兩個(gè)三角形全等卻是十分麻煩的，因而需要找到能完全確定一個(gè)三角形的條件，以便用較少的條件，簡(jiǎn)便的方法來判定兩個(gè)三角形的全等。判定兩個(gè)三角形全等的邊、角、邊公理

內(nèi)容：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（即SAS）。

這個(gè)判定方法是以公理形式給出的，我們可以通過實(shí)踐操作去驗(yàn)證它，但驗(yàn)證不等于證明，這點(diǎn)要區(qū)分開來。

公理中的題設(shè)條件是三個(gè)元素：邊、角、邊，意指兩條邊和這兩條邊所夾的角對(duì)應(yīng)相等。不能理解成兩邊和其中一個(gè)角相等。否則，這兩個(gè)三角形就不一定全等。例如 在△ABC和△A′B′C′中，如右圖，AB=A′B′，∠A=∠A′，BC=A′C′，但是△ABC不全等于 △A′B′C′。又如，右圖，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B=∠B′，AC＝A′C′，但△ABC和△A′B′C′不全等。

原因就在于兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等不是 公理中所要求的兩邊和這兩條邊的夾 角對(duì)應(yīng)相等的條件。

說明：從以上兩例可以看出，SAS≠SSA。判定兩個(gè)三角形全等的第二個(gè)公理

內(nèi)容：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（即ASA）。這個(gè)公理也應(yīng)該通過畫圖和實(shí)驗(yàn)去進(jìn)一步理解它。

公理強(qiáng)調(diào)了兩角和這兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等，這里實(shí)質(zhì)上包含了一個(gè)順序關(guān)系。千萬不能理解成為在其中一個(gè)三角形中是兩角和其夾邊，而在另一個(gè)三角形中卻是兩角和其中一角的對(duì)邊。

如右圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB＝A′C′，但這兩個(gè)三角形顯然不全等。原因就是 沒有注意公理中“對(duì)應(yīng)”二字。

公理一中的邊、角、邊，其順序是不能改變的，即SAS不能改為SSA或ASS。而ASA 公理卻能改變其順序，可改變?yōu)锳AS或SAA，但兩個(gè)三角形之間的“對(duì)應(yīng)”二字不能變。同時(shí)這個(gè)公理反映出有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，實(shí)質(zhì)上是在兩個(gè)三角形中有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，故在應(yīng)用過程中只須注意有一條對(duì)應(yīng)邊相等就行了。

由公理二可知，有一個(gè)銳角與一條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 判定兩個(gè)三角形全等的邊、邊、邊公理

公理：三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（即邊、邊、邊公理）。

邊、邊、邊公理在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，其對(duì)應(yīng)邊就是相等的兩條邊。

這個(gè)公理告訴我們，只要一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)度確定了，則這個(gè)三角形的形狀就完全確定了。這就是三角形的穩(wěn)定性。判定兩個(gè)三角形全等

通過以上三個(gè)公理的學(xué)習(xí)，可以知道，在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，無需根據(jù)定義去判定兩個(gè)三角形的三角和三邊對(duì)應(yīng)相等，而只需要其中三對(duì)條件。

三個(gè)角和三條邊這六個(gè)條件中任取三個(gè)條件進(jìn)行組合。無非有如下情況：（1）三邊對(duì)應(yīng)相等。（2）兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等。（3）一邊和兩角對(duì)應(yīng)相等。（4）三角對(duì)應(yīng)相等。

HL公理

我們知道，滿足邊、邊、角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等。

但是，對(duì)于兩個(gè)直角三角形來說，這個(gè)結(jié)論卻一定成立。

斜邊、直角邊公理：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)寫為HL）。這個(gè)公理的題設(shè)實(shí)質(zhì)上也是三個(gè)元素對(duì)應(yīng)相等，其本身包含了一個(gè)直角相等。這種邊、邊、角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等成立的核心是有一個(gè)角是直角的條件。由于直角三角形是一種特殊的三角形，所以過去學(xué)過的四種判定方法對(duì)于直角三角形照常適用。角平分線的性質(zhì)定理和逆定理

性質(zhì)定理：在角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

逆定理：到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。點(diǎn)在角平分線上點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等。用符號(hào)語言表示角平分線的性質(zhì)定理和逆定理 性質(zhì)定理：

∵P在∠AOB的平分線上 PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD＝PE 逆定理：

∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB ∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上。

角平分線定義

如果一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，那么這條射線叫做這個(gè)角的平分線。角的平分線是到角兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。三角形角平分線性質(zhì)

三角形三條平分線交于一點(diǎn)，并且交點(diǎn)到三邊距離相等。互逆命題

在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。

原命題和逆命題的真假性

每個(gè)命題都有逆命題，但原命題是真命題，而它的逆命題不一定是真命題，原命題和逆命題的真假性一般有四種情況：真、假；真、真；假、假；假、真。互逆定理

如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)叫做另一個(gè)的逆定理。

每個(gè)命題都有逆命題，但不是所有的定理都有逆定理 尺規(guī)作圖

限定用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)的作圖方法叫尺規(guī)作圖。基本作圖

最基本最常見的尺規(guī)作圖稱之為基本作圖，主要有以下幾種：（1）作一個(gè)角等于已知角；（2）平分已知角；

（3）過一點(diǎn)作已知直線的垂線；（4）作已知線段的垂直平分線；

（5）過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線。有關(guān)概念

有兩邊相等的三角形稱為等腰三角形。

三邊都相等的三角形稱為等邊三角形，又稱為正三角形。有一個(gè)直角的等腰三角形稱為等腰直角三角形。

等邊三角形和等腰直角三角形都是等腰三角形的特例。等腰三角形的有關(guān)概念

等腰三角形中，相等的兩邊稱為腰，另一邊稱為底邊，兩腰的夾角稱為頂角，底邊上的兩個(gè)角稱為底角。

等腰三角形的主要性質(zhì) 兩底角相等。

如圖，ΔABC中AB＝AC，取BC中點(diǎn)D，連結(jié)AD，容易證明：ΔABD≌ΔACD，∴∠B＝∠C。如圖，ΔABC中為等邊三角形，那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C，由CA＝CB，得∠A＝∠B，于是∠A＝∠B＝∠C，但∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°

如圖，ΔABC中AB＝AC，且AD平分∠BAC，那么由ΔABD≌ΔACD，可得BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，但∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝90°，從而AD⊥BC，由此又可得到另外兩個(gè)重要推論。

兩個(gè)重要推論

等腰三角形頂角的平分線垂直且平分底邊； 等邊三角形各內(nèi)角相等，且都等于60°。等腰三角形性質(zhì)及其推論的另一種論述方法 三角形中，相等的邊所對(duì)的角相等。

等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和高三線合而為一。

等腰三角形的判定定理及其兩個(gè)推論的核心都可概括為等角對(duì)等邊。它們都是證明兩條線段相等的重要方法。推論3 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

容易證明：這個(gè)推論的逆命題也是正確的。即：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°。運(yùn)用

利用等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理容易證明結(jié)論：“在一個(gè)三角形內(nèi)，如果兩條邊不等，那么它們所對(duì)的角也不等，大邊所對(duì)的角也較大；反過來，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不等，那么它們所對(duì)的邊也不等，大角所對(duì)的邊較大。” 對(duì)稱軸及中心

線段的垂直平分線把線段分為相等的兩部分。

線段的中點(diǎn)就是它的中心，今后要學(xué)習(xí)“線段是關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱的中心圖形”。線段是以它的中垂線為對(duì)稱軸的圖形。三線合一的定理的逆定理

如圖所示，線段中垂線的性質(zhì)定理的幾何語言為：，于是可以用來判定等腰三角形，其定理實(shí)質(zhì)上是 三線合一定理的逆定理。

“距離”不同，“心”也不同

“線段垂直平分線的性質(zhì)定理與逆定理中的“距離”是指“兩點(diǎn)間的距離”，而角平分線的性質(zhì)定理與逆定理中的“距離”是指“點(diǎn)到直線的距離”。三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三邊的距離相等(這點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心)。

三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等(這點(diǎn)稱為三角形的外心)。

重要的軌跡

圖(A）所示。到角的兩邊OA、OB的距 離相等的點(diǎn)P1、P2，P3…組成一條射 線OP，即點(diǎn)的集合。

如圖(B)所示，到線段AB的兩端點(diǎn)的距離 相等的所有點(diǎn)P1、P2、P3…組成一條直 線P1P2，因此這條直線可以看成動(dòng)點(diǎn)形 成的“軌跡”。

第十三節(jié)軸線稱和軸對(duì)稱圖形 軸對(duì)稱

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形叫做關(guān)于這條直線對(duì)稱，也稱軸對(duì)稱。

根據(jù)定義，兩個(gè)圖形和如果關(guān)于直線l軸對(duì)稱，則：（1）和這兩個(gè)圖形的大小及形狀完全相同。

（2）把其中一個(gè)圖形沿l翻折后，和應(yīng)完全重合，自然兩個(gè)圖形中的有關(guān)對(duì)應(yīng)點(diǎn)也應(yīng)重合。事實(shí)上，直線l是兩個(gè)軸對(duì)稱圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。所以容易得到如下性質(zhì)： 性質(zhì)1 關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。

性質(zhì)2 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。

性質(zhì)3 兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)必在對(duì)稱軸上。不難看出，如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。軸對(duì)稱圖形

如果一個(gè)圖形沿著一條直線翻折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形。

軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系

區(qū)別

①軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，而軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱。②軸對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別在兩個(gè)圖形上，而軸對(duì)稱圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都在這一個(gè)圖形上。

③軸對(duì)稱中的對(duì)稱軸可能在兩個(gè)圖形的外邊，而軸對(duì)稱圖形中的對(duì)稱軸一定過這個(gè)圖形。聯(lián)系

①都是沿著某一條直線翻折后兩邊能夠完全重合。

②如果把軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成是一個(gè)整體，那么這個(gè)整體反映出的圖形便是一個(gè) 軸對(duì)稱圖形；反過來，如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形中關(guān)于對(duì)稱軸的兩邊部分看成是兩個(gè) 圖形，那么這兩部分對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圖形則關(guān)于這條對(duì)稱軸而成軸對(duì)稱。第十四節(jié) 勾股定理

直角三角形

直角三角形中，兩銳角互余，夾直角的兩邊叫直角邊，直角的對(duì)邊叫斜邊，斜邊最長(zhǎng)。等腰直角三角形

等腰直角三角形是直角三角形中的特例。也是等腰三角形中的特例。等腰直角三角形的兩個(gè)底角都等于45°，頂角等于90°，相等的兩條直角邊是腰。

勾股定理

直角三角形中，兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即，這就是勾股定理。判定直角三角形

如果ΔABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，且滿足，那么ΔABC是直角三角形，其中∠C＝90°。第十五節(jié)勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理

勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。即：在△ABC中，若a2＋b2＝c2，則△ABC為Rt△。如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形 首先求出最大邊（如c）。

驗(yàn)證c2與a2＋b2是否具有相等關(guān)系。

若c2＝a2＋b2，則△ABC是以∠C＝90°的直角三角形。若c2≠a2＋b2，則△ABC不是直角三角形。

********************** *****攻關(guān)秘技**** 方法1： 證明“文字?jǐn)⑹龅膸缀蚊}”的方法

這類題目證明起來較一般幾何題要難，但還是有一定的思路和方法，一般先對(duì)題目進(jìn)行總體分析，分析內(nèi)容大致分為以下四點(diǎn)，然后逐步解決。

（1）分析命題的題設(shè)和結(jié)論；

（2）結(jié)合題設(shè)和結(jié)論畫出圖形；

（3）綜合題設(shè)結(jié)論和圖形寫出已知、求證；

（4）進(jìn)行證題分析。

方法2： 等腰三角形的邊角求值法

在解等腰三角形的邊角求值題時(shí)，應(yīng)考慮到各種可能的情況，還要排除不能構(gòu)成三角形的情形。特別在解決線段或角的和差倍半關(guān)系時(shí)，常利用合成法或分解法，借助添加輔助線來完成。

方法3： 判定一個(gè)三角形是

直角三角形的方法

判定一個(gè)直角三角形可利用勾股定理的逆定理、線段的垂直平分線性質(zhì)或直角三角形的定義等，這些方法都要求掌握并能靈活運(yùn)用。

方法4： 作圖題

幾何作圖題的每一步都必須有根有據(jù)，所以就要求我們掌握好已學(xué)過的公理、定理等。要掌握好尺規(guī)作圖，還要多畫多練。

知識(shí)點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)

方

法： 分析法

能

力： 分析與解決問題的能力

難

度： 中等

知識(shí)點(diǎn)： 全等三角形；角平分線

方

法： 合成法；分解法

能

力： 分析與解決問題的能力；

邏輯推理能力

難

度： 中等偏難

知識(shí)點(diǎn)： 等腰直角三角形的性質(zhì)；

線段的垂直平分線性質(zhì)；勾股定理

方

法： 綜合法

能

力： 分析與解決問題的能力

難

度： 中等偏難

知識(shí)點(diǎn)： 線段的性質(zhì)

方

法： 數(shù)形結(jié)合法

能

力： 空間想象能力；

分析與解決問題的能力

難

度： 中等偏難

專題1： 一題多問、一題多圖和多題一解

提高分析問題和解決問題能力的方法是多種多樣的，而認(rèn)真的設(shè)計(jì)課本中例題、習(xí)題的變式，挖掘其潛能也是方法之一。課本中的例題、習(xí)題為中考命題提供了豐富的源泉，它們具有豐富的內(nèi)涵，在由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力上具有示范性和啟發(fā)性，在解題思路和方法上具有典型性和代表性。如果我們不以得到解答為滿足，而是在解完之后，深入其中作進(jìn)一步的挖掘和多方位探索，不僅可得到一系列的新命題，也可從“題海”中解脫出來，達(dá)到事半功倍的效果。而且通過不同角度、不同方位去思考問題，探索不同的解答方案，從而拓寬了思路，培養(yǎng)了思維的靈活性和應(yīng)變能力。

專題2： 利用擴(kuò)、剖、串、改提高解題能力

學(xué)習(xí)幾何時(shí)，感到例題好學(xué)易懂，但對(duì)稍加變化拓寬引申的問題束手無策，原因是把例題的學(xué)習(xí)看成是孤立的學(xué)一道題，學(xué)完就了事，致使解題時(shí)缺乏應(yīng)變能力，但如果平時(shí)能重視對(duì)題目的擴(kuò)充、剖解、串聯(lián)和改編，就能較好地解決這一問題。1．?dāng)U充：將原題條件拓展，使結(jié)論更加豐富充分。

2．剖解：分析原題，將較復(fù)雜的圖形肢解為若干個(gè)基本圖形，使問題化隱為顯。3．串聯(lián)：由例題的形式（條件、結(jié)論等），聯(lián)想與它相似、相近、相反的問題。4．改編：改變?cè)}的條件形式，探索結(jié)論是否成立？

專題3： 分析、綜合、輔助線

我們研究不等式的有關(guān)問題時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)很多巧妙的方法，還會(huì)不斷學(xué)習(xí)掌握類比的數(shù)學(xué)思想，形數(shù)結(jié)合的思想，從未知向已知轉(zhuǎn)化的化歸思想，通過研究這些不斷變化的問題，全面把握不等式及不等式組的解法，從而提高我們分析問題、解決問題的能力。

專題4： 不等式的若干應(yīng)用

在平面幾何里，證題思路主要有：（1）分析法，即從結(jié)論入手，逐步逆推，直至達(dá)到已知事實(shí)后為止。（2）綜合法，先從已知條件入手，運(yùn)用已學(xué)過的公式、定理、性質(zhì)等推出證明的結(jié)論。（3）兩頭湊，就是將綜合法和分析法有機(jī)地結(jié)合起來思考：一方面“從已知推可知”，從已知看可以推出哪些結(jié)論；另一方面“由未知看需知”，從所求結(jié)論逆推看需要什么條件，一旦可知與需知溝通，證題思路即有了。添加輔助線是證明幾何題的重要手段，也是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)之一。

專題5： 幾何證題的基本方法有兩種：

一種是從條件出發(fā)，通過一系列已確立的命題逐步向前推演，直到達(dá)到證題目的，簡(jiǎn)言之，這是由因?qū)Ч姆椒ǎ覀兎Q之為直接證法或綜合法，綜合法證題的程序如下：欲證AB，由于AC，CD，…，x，而xB，故AB.另一種則反過來，先假定命題的結(jié)論成立，考慮達(dá)到目的需具備什么條件，通過一系列的逆推直到回朔到已知條件為止。簡(jiǎn)言之，這是執(zhí)果索因的方法，我們稱之為分析法，分析法證題的程序如下：欲證“AB”，也就是BA，若能分析出BC，CD，…，x，而xA，則斷言BA，也就是AB。

在實(shí)際操作上，往往把這兩種方法結(jié)合起來，先分析探求鋪路，再綜合解題成功，簡(jiǎn)言之就是“倒著推，順著走”。

—平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱

在幾何證題中，常需要將一個(gè)圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，常見的幾何變換有全等變換，等積變換和相似變換。

本章只講全等變換，也就是不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形位置的變換。常見的全等變換的形式有三：

1．平移：將圖形中的某些線段乃至整個(gè)圖形平行移動(dòng)到某一適當(dāng)位置，作出輔助圖形，使問題得

到解決。平移的基本特點(diǎn)是：任一線段在平移過 程中，其長(zhǎng)度保持不變。

2．旋轉(zhuǎn)：將平面圖形繞平面內(nèi)一定點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)一個(gè)定角α得到與原來形狀和大小相同的圖形，這樣 的變換叫做旋轉(zhuǎn)變換，M叫旋轉(zhuǎn)中心，α角叫旋 轉(zhuǎn)角。

旋轉(zhuǎn)變換的主要性質(zhì)：（1）變換后的圖形與原圖形全等；（2）原圖中任一線段與旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)線段所成的角等于旋轉(zhuǎn)角。

3．對(duì)稱：將一個(gè)圖形（或它的一部分）繞著一條直線翻轉(zhuǎn)180°，得一個(gè)與原來形狀、大小完全相同的圖形，這種變換稱為軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱變換的主要特點(diǎn)是：對(duì)稱軸是一切翻轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。

除軸對(duì)稱外，還有中心對(duì)稱，這一點(diǎn)我們將在下一章四邊形中講到。

方法總結(jié)：

復(fù)雜的圖形都是由較簡(jiǎn)單的基本圖形組成，故可將復(fù)雜的圖形分解成幾個(gè)基本圖形這樣使問題顯而易見。

當(dāng)直接證題有困難時(shí)，常通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形以達(dá)到解題的目的。綜合法是從已知條件出發(fā)探索解題途徑的方法。

分析法是從結(jié)論出發(fā)，用倒推來尋找證明思路的方法。

兩頭“湊”的方法，也就是綜合運(yùn)用以上兩種方法才能找到證明思路。（又叫分析――綜合法）。轉(zhuǎn)化思想就是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化、分解為簡(jiǎn)單的問題；或?qū)⒛吧膯栴}轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來處理的一種思想。