第一篇：初三數學三角形知識點總結歸納

三角形的定義

三角形是多邊形中邊數最少的一種。它的定義是：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。

三條線段不在同一條直線上的條件，如果三條線段在同一條直線上，我們認為三角形就不存在。另外三條線段必須首尾順次相接，這說明三角形這個圖形一定是封閉的。三角形中有三條邊，三個角，三個頂點。

三角形中的主要線段

三角形中的主要線段有：三角形的角平分線、中線和高線。這三條線段必須在理解和掌握它的定義的基礎上，通過作圖加以熟練掌握。并且對這三條線段必須明確三點：

（1）三角形的角平分線、中線、高線均是線段，不是直線，也不是射線。

（2）三角形的角平分線、中線、高線都有三條，角平分線、中線，都在三角形內部。而三角形的高線在當△ABC是銳角三角形時，三條高都是在三角形內部，鈍角三角形的高線中有兩個垂足落在邊的延長線上，這兩條高在三角形的外部，直角三角形中有兩條高恰好是它的兩條直角邊。

（3）在畫三角形的三條角平分線、中線、高時可發現它們都交于一點。在以后我們可以給出具體證明。今后我們把三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內心，三條中線的交點叫做三角形的重心，三條高的交點叫做三角形的垂心。三角形的按邊分類

三角形的三條邊，有的各不相等，有的有兩條邊相等，有的三條邊都相等。所以三角形按 的相等關系分類如下：

等邊三角形是等腰三角形的一種特例。判定三條邊能否構成三角形的依據

△ ABC的三邊長分別是a、b、c，根據公理“連接兩點的所有線中，線段最短”。可知： △ ③a+b＞c，①a+c＞b，②b+c＞a △ 定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊。△ 由②、③得 b―a＜c，且b―a＞―c △ 故|a―b|＜c，同理可得|b―c|＜a，|a―c|＜b。從而得到推論：

三角形任意兩邊的差小于第三邊。

上述定理和推論實際上是一個問題的兩種敘述方法，定理包含了推論，推論也可以代替定理。另外，定理和推論是判定三條線段能否構成三角形的依據。如：三條線段的長分別是5、4、3便能構成三角形，而三條線段的長度分別是5、3、1，就不能構成三角形。判定三條邊能否構成三角形

對于某一條邊來說，如一邊a，只要滿足|b-c|＜a＜b+c，則可構成三角形。這是因為|b-c|＜a，即b-c＜a，且b-c＞-a.也就是a+c＞b且a+b＞c，再加上b+c＞a，便滿足任意兩邊之和大于第三邊的條件。反過來，只要a、b、c三條線段滿足能構成三角形的條件，則一定有|b-c|＜a＜b+c。

在特殊情況下，如果已知線段a最大，只要滿足b+c>a就可判定a、b、c三條線段能夠構成三角形。同時如果已知線段a最小，只要滿足|b-c|＜a，就能判定三條線段a、b、c構成三角形。

證明三角形的內角和定理

除了課本上給出的證明方法外還有多種證法，這里再介紹兩種證法的思路： 方法1 如圖，過頂點A作DE‖BC，運用平行線的性質，可得∠B＝∠2，∠C＝∠1，從而證得三角形的內角 和等于平角∠DAE。

方法2 如圖，在△ABC的邊BC上任取 一點D，過D作DE‖AB，DF‖AC，分別交AC、AB于E、F，再運用平行 線的性質可證得△ABC的內角和等于平角∠BDC。三角形按角分類

根據三角形的內角和定理可知，三角形的任一個內角都小于180°，其內角可能都是銳角，也可能有一個直角或一個鈍角。三角形按角可分類如下：

根據三角形的內角和定理可有如下推論： 推論1 直角三角形的兩個銳角互余。

推論2 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。推論3 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。同時我們還很容易得到如下幾條結論：（1）一個三角形最多有一個直角或鈍角。（2）一個三角形至少有兩個內角是銳角。

（3）一個三角形至少有一個角等于或小于60°（否則，若三個內角都大于60°；則這個三角形的內角和大于180°，這與定理矛盾）。(4)三角形有六個外角，其中兩兩是對頂角相等，所以三角形的三個外角和等于360°。全等三角形的性質

全等三角形的兩個基本性質

（1）全等三角形的對應邊相等。（2）全等三角形的對應角相等。

確定兩個全等三角形的對應邊和對應角

怎樣根據已知條件準確迅速地找出兩個全等三角形的對應邊和對應角？其方法主要可歸結為：

（1）若兩個角相等，這兩個角就是對應角，對應角的對邊是對應邊。（2）若兩條邊相等，這兩條邊就是對應邊，對應邊的對角是對應角。（3）兩個對應角所夾的邊是對應邊。（4）兩個對應邊所夾的角是對應角。由全等三角形的定義判定三角形全等

由全等三角形的定義知，要判定兩個三角形全等，需要知道三條邊，三個角對應相等，但在應用中，利用定義判定兩個三角形全等卻是十分麻煩的，因而需要找到能完全確定一個三角形的條件，以便用較少的條件，簡便的方法來判定兩個三角形的全等。判定兩個三角形全等的邊、角、邊公理

內容：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（即SAS）。

這個判定方法是以公理形式給出的，我們可以通過實踐操作去驗證它，但驗證不等于證明，這點要區分開來。

公理中的題設條件是三個元素：邊、角、邊，意指兩條邊和這兩條邊所夾的角對應相等。不能理解成兩邊和其中一個角相等。否則，這兩個三角形就不一定全等。例如 在△ABC和△A′B′C′中，如右圖，AB=A′B′，∠A=∠A′，BC=A′C′，但是△ABC不全等于 △A′B′C′。又如，右圖，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B=∠B′，AC＝A′C′，但△ABC和△A′B′C′不全等。

原因就在于兩邊和一角對應相等不是 公理中所要求的兩邊和這兩條邊的夾 角對應相等的條件。

說明：從以上兩例可以看出，SAS≠SSA。判定兩個三角形全等的第二個公理

內容：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（即ASA）。這個公理也應該通過畫圖和實驗去進一步理解它。

公理強調了兩角和這兩角的夾邊對應相等，這里實質上包含了一個順序關系。千萬不能理解成為在其中一個三角形中是兩角和其夾邊，而在另一個三角形中卻是兩角和其中一角的對邊。

如右圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB＝A′C′，但這兩個三角形顯然不全等。原因就是 沒有注意公理中“對應”二字。

公理一中的邊、角、邊，其順序是不能改變的，即SAS不能改為SSA或ASS。而ASA 公理卻能改變其順序，可改變為AAS或SAA，但兩個三角形之間的“對應”二字不能變。同時這個公理反映出有兩個角對應相等，實質上是在兩個三角形中有三個角對應相等，故在應用過程中只須注意有一條對應邊相等就行了。

由公理二可知，有一個銳角與一條邊對應相等的兩個直角三角形全等 判定兩個三角形全等的邊、邊、邊公理

公理：三條邊對應相等的兩個三角形全等（即邊、邊、邊公理）。

邊、邊、邊公理在判定兩個三角形全等時，其對應邊就是相等的兩條邊。

這個公理告訴我們，只要一個三角形的三邊長度確定了，則這個三角形的形狀就完全確定了。這就是三角形的穩定性。判定兩個三角形全等

通過以上三個公理的學習，可以知道，在判定兩個三角形全等時，無需根據定義去判定兩個三角形的三角和三邊對應相等，而只需要其中三對條件。

三個角和三條邊這六個條件中任取三個條件進行組合。無非有如下情況：（1）三邊對應相等。（2）兩邊和一角對應相等。（3）一邊和兩角對應相等。（4）三角對應相等。

HL公理

我們知道，滿足邊、邊、角對應相等的兩個三角形不一定全等。

但是，對于兩個直角三角形來說，這個結論卻一定成立。

斜邊、直角邊公理：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（簡寫為HL）。這個公理的題設實質上也是三個元素對應相等，其本身包含了一個直角相等。這種邊、邊、角對應相等的兩個三角形全等成立的核心是有一個角是直角的條件。由于直角三角形是一種特殊的三角形，所以過去學過的四種判定方法對于直角三角形照常適用。角平分線的性質定理和逆定理

性質定理：在角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

逆定理：到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。點在角平分線上點到這個角的兩邊距離相等。用符號語言表示角平分線的性質定理和逆定理 性質定理：

∵P在∠AOB的平分線上 PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD＝PE 逆定理：

∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB ∴點P在∠AOB的平分線上。

角平分線定義

如果一條射線把一個角分成兩個相等的角，那么這條射線叫做這個角的平分線。角的平分線是到角兩邊距離相等的所有點的集合。三角形角平分線性質

三角形三條平分線交于一點，并且交點到三邊距離相等。互逆命題

在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題，如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。

原命題和逆命題的真假性

每個命題都有逆命題，但原命題是真命題，而它的逆命題不一定是真命題，原命題和逆命題的真假性一般有四種情況：真、假；真、真；假、假；假、真。互逆定理

如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個叫做另一個的逆定理。

每個命題都有逆命題，但不是所有的定理都有逆定理 尺規作圖

限定用直尺（沒有刻度）和圓規的作圖方法叫尺規作圖。基本作圖

最基本最常見的尺規作圖稱之為基本作圖，主要有以下幾種：（1）作一個角等于已知角；（2）平分已知角；

（3）過一點作已知直線的垂線；（4）作已知線段的垂直平分線；

（5）過直線外一點作已知直線的平行線。有關概念

有兩邊相等的三角形稱為等腰三角形。

三邊都相等的三角形稱為等邊三角形，又稱為正三角形。有一個直角的等腰三角形稱為等腰直角三角形。

等邊三角形和等腰直角三角形都是等腰三角形的特例。等腰三角形的有關概念

等腰三角形中，相等的兩邊稱為腰，另一邊稱為底邊，兩腰的夾角稱為頂角，底邊上的兩個角稱為底角。

等腰三角形的主要性質 兩底角相等。

如圖，ΔABC中AB＝AC，取BC中點D，連結AD，容易證明：ΔABD≌ΔACD，∴∠B＝∠C。如圖，ΔABC中為等邊三角形，那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C，由CA＝CB，得∠A＝∠B，于是∠A＝∠B＝∠C，但∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°

如圖，ΔABC中AB＝AC，且AD平分∠BAC，那么由ΔABD≌ΔACD，可得BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，但∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝90°，從而AD⊥BC，由此又可得到另外兩個重要推論。

兩個重要推論

等腰三角形頂角的平分線垂直且平分底邊； 等邊三角形各內角相等，且都等于60°。等腰三角形性質及其推論的另一種論述方法 三角形中，相等的邊所對的角相等。

等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和高三線合而為一。

等腰三角形的判定定理及其兩個推論的核心都可概括為等角對等邊。它們都是證明兩條線段相等的重要方法。推論3 在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

容易證明：這個推論的逆命題也是正確的。即：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°。運用

利用等腰三角形的判定定理和性質定理容易證明結論：“在一個三角形內，如果兩條邊不等，那么它們所對的角也不等，大邊所對的角也較大；反過來，在一個三角形中，如果兩個角不等，那么它們所對的邊也不等，大角所對的邊較大。” 對稱軸及中心

線段的垂直平分線把線段分為相等的兩部分。

線段的中點就是它的中心，今后要學習“線段是關于中點對稱的中心圖形”。線段是以它的中垂線為對稱軸的圖形。三線合一的定理的逆定理

如圖所示，線段中垂線的性質定理的幾何語言為：，于是可以用來判定等腰三角形，其定理實質上是 三線合一定理的逆定理。

“距離”不同，“心”也不同

“線段垂直平分線的性質定理與逆定理中的“距離”是指“兩點間的距離”，而角平分線的性質定理與逆定理中的“距離”是指“點到直線的距離”。三角形三條角平分線相交于一點，這點到三邊的距離相等(這點稱為三角形的內心)。

三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這點到三個頂點的距離相等(這點稱為三角形的外心)。

重要的軌跡

圖(A）所示。到角的兩邊OA、OB的距 離相等的點P1、P2，P3…組成一條射 線OP，即點的集合。

如圖(B)所示，到線段AB的兩端點的距離 相等的所有點P1、P2、P3…組成一條直 線P1P2，因此這條直線可以看成動點形 成的“軌跡”。

第十三節軸線稱和軸對稱圖形 軸對稱

把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么這兩個圖形叫做關于這條直線對稱，也稱軸對稱。

根據定義，兩個圖形和如果關于直線l軸對稱，則：（1）和這兩個圖形的大小及形狀完全相同。

（2）把其中一個圖形沿l翻折后，和應完全重合，自然兩個圖形中的有關對應點也應重合。事實上，直線l是兩個軸對稱圖形中對應點連線的垂直平分線。所以容易得到如下性質： 性質1 關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。

性質2 如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線。

性質3 兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點必在對稱軸上。不難看出，如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱。軸對稱圖形

如果一個圖形沿著一條直線翻折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形。

軸對稱和軸對稱圖形的區別和聯系

區別

①軸對稱是指兩個圖形關于某條直線對稱，而軸對稱圖形是一個圖形關于某條直線對稱。②軸對稱的對應點分別在兩個圖形上，而軸對稱圖形中的對應點都在這一個圖形上。

③軸對稱中的對稱軸可能在兩個圖形的外邊，而軸對稱圖形中的對稱軸一定過這個圖形。聯系

①都是沿著某一條直線翻折后兩邊能夠完全重合。

②如果把軸對稱的兩個圖形看成是一個整體，那么這個整體反映出的圖形便是一個 軸對稱圖形；反過來，如果把一個軸對稱圖形中關于對稱軸的兩邊部分看成是兩個 圖形，那么這兩部分對應的兩個圖形則關于這條對稱軸而成軸對稱。第十四節 勾股定理

直角三角形

直角三角形中，兩銳角互余，夾直角的兩邊叫直角邊，直角的對邊叫斜邊，斜邊最長。等腰直角三角形

等腰直角三角形是直角三角形中的特例。也是等腰三角形中的特例。等腰直角三角形的兩個底角都等于45°，頂角等于90°，相等的兩條直角邊是腰。

勾股定理

直角三角形中，兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即，這就是勾股定理。判定直角三角形

如果ΔABC的三邊長為a、b、c，且滿足，那么ΔABC是直角三角形，其中∠C＝90°。第十五節勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理

勾股定理是直角三角形的性質定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。即：在△ABC中，若a2＋b2＝c2，則△ABC為Rt△。如何判定一個三角形是否是直角三角形 首先求出最大邊（如c）。

驗證c2與a2＋b2是否具有相等關系。

若c2＝a2＋b2，則△ABC是以∠C＝90°的直角三角形。若c2≠a2＋b2，則△ABC不是直角三角形。

********************** *****攻關秘技**** 方法1： 證明“文字敘述的幾何命題”的方法

這類題目證明起來較一般幾何題要難，但還是有一定的思路和方法，一般先對題目進行總體分析，分析內容大致分為以下四點，然后逐步解決。

（1）分析命題的題設和結論；

（2）結合題設和結論畫出圖形；

（3）綜合題設結論和圖形寫出已知、求證；

（4）進行證題分析。

方法2： 等腰三角形的邊角求值法

在解等腰三角形的邊角求值題時，應考慮到各種可能的情況，還要排除不能構成三角形的情形。特別在解決線段或角的和差倍半關系時，常利用合成法或分解法，借助添加輔助線來完成。

方法3： 判定一個三角形是

直角三角形的方法

判定一個直角三角形可利用勾股定理的逆定理、線段的垂直平分線性質或直角三角形的定義等，這些方法都要求掌握并能靈活運用。

方法4： 作圖題

幾何作圖題的每一步都必須有根有據，所以就要求我們掌握好已學過的公理、定理等。要掌握好尺規作圖，還要多畫多練。

知識點： 全等三角形的判定與性質

方

法： 分析法

能

力： 分析與解決問題的能力

難

度： 中等

知識點： 全等三角形；角平分線

方

法： 合成法；分解法

能

力： 分析與解決問題的能力；

邏輯推理能力

難

度： 中等偏難

知識點： 等腰直角三角形的性質；

線段的垂直平分線性質；勾股定理

方

法： 綜合法

能

力： 分析與解決問題的能力

難

度： 中等偏難

知識點： 線段的性質

方

法： 數形結合法

能

力： 空間想象能力；

分析與解決問題的能力

難

度： 中等偏難

專題1： 一題多問、一題多圖和多題一解

提高分析問題和解決問題能力的方法是多種多樣的，而認真的設計課本中例題、習題的變式，挖掘其潛能也是方法之一。課本中的例題、習題為中考命題提供了豐富的源泉，它們具有豐富的內涵，在由知識轉化為能力上具有示范性和啟發性，在解題思路和方法上具有典型性和代表性。如果我們不以得到解答為滿足，而是在解完之后，深入其中作進一步的挖掘和多方位探索，不僅可得到一系列的新命題，也可從“題海”中解脫出來，達到事半功倍的效果。而且通過不同角度、不同方位去思考問題，探索不同的解答方案，從而拓寬了思路，培養了思維的靈活性和應變能力。

專題2： 利用擴、剖、串、改提高解題能力

學習幾何時，感到例題好學易懂，但對稍加變化拓寬引申的問題束手無策，原因是把例題的學習看成是孤立的學一道題，學完就了事，致使解題時缺乏應變能力，但如果平時能重視對題目的擴充、剖解、串聯和改編，就能較好地解決這一問題。1．擴充：將原題條件拓展，使結論更加豐富充分。

2．剖解：分析原題，將較復雜的圖形肢解為若干個基本圖形，使問題化隱為顯。3．串聯：由例題的形式（條件、結論等），聯想與它相似、相近、相反的問題。4．改編：改變原題的條件形式，探索結論是否成立？

專題3： 分析、綜合、輔助線

我們研究不等式的有關問題時，會發現很多巧妙的方法，還會不斷學習掌握類比的數學思想，形數結合的思想，從未知向已知轉化的化歸思想，通過研究這些不斷變化的問題，全面把握不等式及不等式組的解法，從而提高我們分析問題、解決問題的能力。

專題4： 不等式的若干應用

在平面幾何里，證題思路主要有：（1）分析法，即從結論入手，逐步逆推，直至達到已知事實后為止。（2）綜合法，先從已知條件入手，運用已學過的公式、定理、性質等推出證明的結論。（3）兩頭湊，就是將綜合法和分析法有機地結合起來思考：一方面“從已知推可知”，從已知看可以推出哪些結論；另一方面“由未知看需知”，從所求結論逆推看需要什么條件，一旦可知與需知溝通，證題思路即有了。添加輔助線是證明幾何題的重要手段，也是學習中的難點之一。

專題5： 幾何證題的基本方法有兩種：

一種是從條件出發，通過一系列已確立的命題逐步向前推演，直到達到證題目的，簡言之，這是由因導果的方法，我們稱之為直接證法或綜合法，綜合法證題的程序如下：欲證AB，由于AC，CD，…，x，而xB，故AB.另一種則反過來，先假定命題的結論成立，考慮達到目的需具備什么條件，通過一系列的逆推直到回朔到已知條件為止。簡言之，這是執果索因的方法，我們稱之為分析法，分析法證題的程序如下：欲證“AB”，也就是BA，若能分析出BC，CD，…，x，而xA，則斷言BA，也就是AB。

在實際操作上，往往把這兩種方法結合起來，先分析探求鋪路，再綜合解題成功，簡言之就是“倒著推，順著走”。

—平移、旋轉、對稱

在幾何證題中，常需要將一個圖形進行適當的變換，常見的幾何變換有全等變換，等積變換和相似變換。

本章只講全等變換，也就是不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形位置的變換。常見的全等變換的形式有三：

1．平移：將圖形中的某些線段乃至整個圖形平行移動到某一適當位置，作出輔助圖形，使問題得

到解決。平移的基本特點是：任一線段在平移過 程中，其長度保持不變。

2．旋轉：將平面圖形繞平面內一定點M旋轉一個定角α得到與原來形狀和大小相同的圖形，這樣 的變換叫做旋轉變換，M叫旋轉中心，α角叫旋 轉角。

旋轉變換的主要性質：（1）變換后的圖形與原圖形全等；（2）原圖中任一線段與旋轉后的對應線段所成的角等于旋轉角。

3．對稱：將一個圖形（或它的一部分）繞著一條直線翻轉180°，得一個與原來形狀、大小完全相同的圖形，這種變換稱為軸對稱變換，軸對稱變換的主要特點是：對稱軸是一切翻轉前后對應點連線的垂直平分線。

除軸對稱外，還有中心對稱，這一點我們將在下一章四邊形中講到。

方法總結：

復雜的圖形都是由較簡單的基本圖形組成，故可將復雜的圖形分解成幾個基本圖形這樣使問題顯而易見。

當直接證題有困難時，常通過添加輔助線構造基本圖形以達到解題的目的。綜合法是從已知條件出發探索解題途徑的方法。

分析法是從結論出發，用倒推來尋找證明思路的方法。

兩頭“湊”的方法，也就是綜合運用以上兩種方法才能找到證明思路。（又叫分析――綜合法）。轉化思想就是將復雜問題轉化、分解為簡單的問題；或將陌生的問題轉化為熟悉的問題來處理的一種思想。

第二篇：初三數學知識點總結和歸納

小編整理了關于初三數學知識點總結和歸納，包括三角形的定義、實數的概念運算、圓的知識點、代數、函數等有關知識點，初三數學知識點以供同學們參考和學習!

初三數學知識點 第一章 實數

★重點★ 實數的有關概念及性質，實數的運算

☆內容提要☆

一、重要概念

1.數的分類及概念

數系表：

說明：“分類”的原則：1)相稱(不重、不漏)

2)有標準

2.非負數：正實數與零的統稱。(表為：x≥0)

常見的非負數有：

性質：若干個非負數的和為0，則每個非負擔數均為0。

3.倒數： ①定義及表示法

②性質：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.01;a>1時，1/a<1;D.積為1。

4.相反數： ①定義及表示法

②性質：A.a≠0時，a≠-a;B.a與-a在數軸上的位置;C.和為0,商為-1。

5.數軸：①定義(“三要素”)

②作用：A.直觀地比較實數的大小;B.明確體現絕對值意義;C.建立點與實數的一一對應關系。

6.奇數、偶數、質數、合數(正整數—自然數)

定義及表示：

奇數：2n-1

偶數：2n(n為自然數)

7.絕對值：①定義(兩種)：

代數定義：

幾何定義：數a的絕對值頂的幾何意義是實數a在數軸上所對應的點到原點的距離。

②│a│≥0,符號“││”是“非負數”的標志;③數a的絕對值只有一個;④處理任何類型的題目，只要其中有“││”出現，其關鍵一步是去掉“││”符號。

二、實數的運算

1.運算法則(加、減、乘、除、乘方、開方)

2.運算定律(五個—加法[乘法]交換律、結合律;[乘法對加法的]

分配律)

3.運算順序：A.高級運算到低級運算;B.(同級運算)從“左”

到“右”(如5÷ 35);C.(有括號時)由“小”到“中”到“大”。

三、應用舉例(略)

附：典型例題

1.已知：a、b、x在數軸上的位置如下圖，求證：│x-a│+│x-b│

=b-a.2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判斷a、b的符號。

初三數學知識點 第二章 代數式

★重點★代數式的有關概念及性質，代數式的運算

☆內容提要☆

一、重要概念

分類：

1.代數式與有理式

用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫做代數式。單獨

的一個數或字母也是代數式。

整式和分式統稱為有理式。

2.整式和分式

含有加、減、乘、除、乘方運算的代數式叫做有理式。

沒有除法運算或雖有除法運算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法運算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.單項式與多項式

沒有加減運算的整式叫做單項式。(數字與字母的積—包括單獨的一個數或字母)

幾個單項式的和，叫做多項式。

說明：①根據除式中有否字母，將整式和分式區別開;根據整式中有否加減運算，把單項式、多項式區分開。②進行代數式分類時，是以所給的代數式為對象，而非以變形后的代數式為對象。劃分代數式類別時，是從外形來看。如，=x, =│x│等。

4.系數與指數

區別與聯系：①從位置上看;②從表示的意義上看

5.同類項及其合并

條件：①字母相同;②相同字母的指數相同

合并依據：乘法分配律

6.根式

表示方根的代數式叫做根式。

含有關于字母開方運算的代數式叫做無理式。

注意：①從外形上判斷;②區別：、是根式，但不是無理式(是無理數)。

7.算術平方根

⑴正數a的正的平方根([a≥0—與“平方根”的區別]);

⑵算術平方根與絕對值

① 聯系：都是非負數，=│a│

②區別：│a│中，a為一切實數;中，a為非負數。

8.同類二次根式、最簡二次根式、分母有理化

化為最簡二次根式以后，被開方數相同的二次根式叫做同類二次根式。

滿足條件：①被開方數的因數是整數，因式是整式;②被開方數中不含有開得盡方的因數或因式。

把分母中的根號劃去叫做分母有理化。

9.指數

⑴(—冪，乘方運算)

① a>0時，>0;②a<0時，>0(n是偶數)，<0(n是奇數)

⑵零指數： =1(a≠0)

負整指數： =1/(a≠0,p是正整數)

二、運算定律、性質、法則

1.分式的加、減、乘、除、乘方、開方法則

2.分式的性質

⑴基本性質： =(m≠0)

⑵符號法則：

⑶繁分式：①定義;②化簡方法(兩種)

3.整式運算法則(去括號、添括號法則)

4.冪的運算性質：① 2 =;② ÷ =;③ =;④ =;⑤

技巧：

5.乘法法則：⑴單3單;⑵單3多;⑶多3多。

6.乘法公式：(正、逆用)

(a+b)(a-b)=

(a±b)=

7.除法法則：⑴單÷單;⑵多÷單。

8.因式分解：⑴定義;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分組分解法;E.求根公式法。

9.算術根的性質： =;;(a≥0,b≥0);(a≥0,b>0)(正用、逆用)

10.根式運算法則：⑴加法法則(合并同類二次根式);⑵乘、除法法則;⑶分母有理化：A.;B.;C..11.科學記數法：(1≤a<10,n是整數=

三、應用舉例(略)

四、數式綜合運算(略)初三數學知識點：第三章 統計初步

★重點★

☆ 內容提要☆

一、重要概念

1.總體：考察對象的全體。

2.個體：總體中每一個考察對象。

3.樣本：從總體中抽出的一部分個體。

4.樣本容量：樣本中個體的數目。

5.眾數：一組數據中，出現次數最多的數據。

6.中位數：將一組數據按大小依次排列，處在最中間位置的一個數(或最中間位置的兩個數據的平均數)

二、計算方法

1.樣本平均數：⑴;⑵若，?，,則(a—常數，，?，接近較整的常數a);⑶加權平均數：;⑷平均數是刻劃數據的集中趨勢(集中位置)的特征數。通常用樣本平均數去估計總體平均數，樣本容量越大，估計越準確。

2.樣本方差：⑴;⑵若 , ,?, ,則(a—接近、、?、的平均數的較“整”的常數);若、、?、較“小”較“整”，則;⑶樣本方差是刻劃數據的離散程度(波動大小)的特征數，當樣本容量較大時，樣本方差非常接近總體方差，通常用樣本方差去估計總體方差。

3.樣本標準差：

三、應用舉例(略)

初三數學知識點：第四章 直線形

★重點★相交線與平行線、三角形、四邊形的有關概念、判定、性質。

☆ 內容提要☆

一、直線、相交線、平行線

1.線段、射線、直線三者的區別與聯系

從“圖形”、“表示法”、“界限”、“端點個數”、“基本性質”等方面加以分析。

2.線段的中點及表示

3.直線、線段的基本性質(用“線段的基本性質”論證“三角形兩邊之和大于第三邊”)

4.兩點間的距離(三個距離：點-點;點-線;線-線)

5.角(平角、周角、直角、銳角、鈍角)

6.互為余角、互為補角及表示方法

7.角的平分線及其表示

8.垂線及基本性質(利用它證明“直角三角形中斜邊大于直角邊”)

9.對頂角及性質

10.平行線及判定與性質(互逆)(二者的區別與聯系)

11.常用定理：①同平行于一條直線的兩條直線平行(傳遞性);②同垂直于一條直線的兩條直線平行。

12.定義、命題、命題的組成 13.公理、定理

14.逆命題二、三角形

分類：⑴按邊分;

⑵按角分

1.定義(包括內、外角)

2.三角形的邊角關系：⑴角與角：①內角和及推論;②外角和;③n邊形內角和;④n邊形外角和。⑵邊與邊：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。⑶角與邊：在同一三角形中，3.三角形的主要線段

討論：①定義②33線的交點—三角形的3心③性質

① 高線②中線③角平分線④中垂線⑤中位線

⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等邊三角形

4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形)的判定與性質

5.全等三角形

⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)

⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②專用方法

6.三角形的面積

⑴一般計算公式⑵性質：等底等高的三角形面積相等。

7.重要輔助線

⑴中點配中點構成中位線;⑵加倍中線;⑶添加輔助平行線

8.證明方法

⑴直接證法：綜合法、分析法

⑵間接證法—反證法：①反設②歸謬③結論

⑶證線段相等、角相等常通過證三角形全等

⑷證線段倍分關系：加倍法、折半法

⑸證線段和差關系：延結法、截余法

⑹證面積關系：將面積表示出來三、四邊形

分類表：

1.一般性質(角)

⑴內角和：360°

⑵順次連結各邊中點得平行四邊形。

推論1：順次連結對角線相等的四邊形各邊中點得菱形。

推論2：順次連結對角線互相垂直的四邊形各邊中點得矩形。

⑶外角和：360°

2.特殊四邊形

⑴研究它們的一般方法:

⑵平行四邊形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定義、性質和判定

⑶判定步驟：四邊形→平行四邊形→矩形→正方形

┗→菱形——↑

⑷對角線的紐帶作用：

3.對稱圖形

⑴軸對稱(定義及性質);⑵中心對稱(定義及性質)

4.有關定理：①平行線等分線段定理及其推論1、2

②三角形、梯形的中位線定理

③平行線間的距離處處相等。(如，找下圖中面積相等的三角形)

5.重要輔助線：①常連結四邊形的對角線;②梯形中常“平移一腰”、“平移對角線”、“作高”、“連結頂點和對腰中點并延長與底邊相交”轉化為三角形。

6.作圖：任意等分線段。

四、應用舉例(略)初三數學知識點 第五章 方程(組)

★重點★一元一次、一元二次方程，二元一次方程組的解法;方程的有關應用題(特別是行程、工程問題)

☆ 內容提要☆

一、基本概念

1.方程、方程的解(根)、方程組的解、解方程(組)

2.分類：

二、解方程的依據—等式性質

1.a=b←→a+c=b+c

2.a=b←→ac=bc(c≠0)

三、解法

1.一元一次方程的解法：去分母→去括號→移項→合并同類項→

系數化成1→解。

2.元一次方程組的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法

②加減法四、一元二次方程

1.定義及一般形式：

2.解法：⑴直接開平方法(注意特征)

⑵配方法(注意步驟—推倒求根公式)

⑶公式法：

⑷因式分解法(特征：左邊=0)

3.根的判別式：

4.根與系數頂的關系：

逆定理：若，則以 為根的一元二次方程是：。

5.常用等式：

五、可化為一元二次方程的方程

1.分式方程

⑴定義

⑵基本思想：

⑶基本解法：①去分母法②換元法(如，)

⑷驗根及方法

2.無理方程

⑴定義

⑵基本思想：

⑶基本解法：①乘方法(注意技巧！)②換元法(例，)⑷驗根及方法

3.簡單的二元二次方程組

由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組都可用代入法解。

初三數學知識點

六、列方程(組)解應用題

一概述

列方程(組)解應用題是中學數學聯系實際的一個重要方面。其具體步驟是：

⑴審題。理解題意。弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相等關系是什么。

⑵設元(未知數)。①直接未知數②間接未知數(往往二者兼用)。一般來說，未知數越多，方程越易列，但越難解。

⑶用含未知數的代數式表示相關的量。

⑷尋找相等關系(有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關系給出)，列方程。一般地，未知數個數與方程個數是相同的。

⑸解方程及檢驗。

⑹答案。

綜上所述，列方程(組)解應用題實質是先把實際問題轉化為數學問題(設元、列方程)，在由數學問題的解決而導致實際問題的解決(列方程、寫出答案)。在這個過程中，列方程起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應用題的關鍵。

二常用的相等關系

1.行程問題(勻速運動)

基本關系：s=vt

⑴相遇問題(同時出發)：

+ =;

⑵追及問題(同時出發)：

若甲出發t小時后，乙才出發，而后在B處追上甲，則

⑶水中航行：;

2.配料問題：溶質=溶液3濃度

溶液=溶質+溶劑

3.增長率問題：

4.工程問題：基本關系：工作量=工作效率3工作時間(常把工作量看著單位“1”)。

5.幾何問題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關比例性質等。

三注意語言與解析式的互化

如，“多”、“少”、“增加了”、“增加為(到)”、“同時”、“擴大為(到)”、“擴大了”、??

又如，一個三位數，百位數字為a，十位數字為b，個位數字為c，則這個三位數為：100a+10b+c，而不是abc。

四注意從語言敘述中寫出相等關系。

如，x比y大3，則x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x與y的差為3，則x-y=3。五注意單位換算

如，“小時”“分鐘”的換算;s、v、t單位的一致等。

七、應用舉例(略)

初三數學知識點：第六章 一元一次不等式(組)

★重點★一元一次不等式的性質、解法

☆ 內容提要☆

1.定義：a>b、a

2.一元一次不等式：ax>b、ax

3.一元一次不等式組：

4.不等式的性質：⑴a>b←→a+c>b+c

⑵a>b←→ac>bc(c>0)

⑶a>b←→ac

⑷(傳遞性)a>b,b>c→a>c

⑸a>b,c>d→a+c>b+d.5.一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6.一元一次不等式組的解、解一元一次不等式組(在數軸上表示解集)

7.應用舉例(略)初三數學知識點 第七章 相似形

★重點★相似三角形的判定和性質

☆內容提要☆

一、本章的兩套定理

第一套(比例的有關性質)：

涉及概念：①第四比例項②比例中項③比的前項、后項，比的內項、外項④黃金分割等。

第二套：

注意：①定理中“對應”二字的含義;

②平行→相似(比例線段)→平行。

二、相似三角形性質

1.對應線段?;2.對應周長?;3.對應面積?。

三、相關作圖

①作第四比例項;②作比例中項。

四、證(解)題規律、輔助線

1.“等積”變“比例”，“比例”找“相似”。

2.找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來。⑴

⑵

⑶

3.添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。

4.對比例問題，常用處理方法是將“一份”看著k;對于等比問題，常用處理辦法是設“公比”為k。

5.對于復雜的幾何圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來的辦法處理。

五、應用舉例(略)

初三數學知識點 第八章 函數及其圖象

★重點★正、反比例函數，一次、二次函數的圖象和性質。

☆ 內容提要☆

一、平面直角坐標系

1.各象限內點的坐標的特點

2.坐標軸上點的坐標的特點

3.關于坐標軸、原點對稱的點的坐標的特點

4.坐標平面內點與有序實數對的對應關系

二、函數

1.表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶圖象法。

2.確定自變量取值范圍的原則：⑴使代數式有意義;⑵使實際問題有

意義。

3.畫函數圖象：⑴列表;⑵描點;⑶連線。

三、幾種特殊函數

(定義→圖象→性質)

1.正比例函數

⑴定義：y=kx(k≠0)或y/x=k。

⑵圖象：直線(過原點)

⑶性質：①k>0，?②k<0，?

2.一次函數

⑴定義：y=kx+b(k≠0)

⑵圖象：直線過點(0,b)—與y軸的交點和(-b/k,0)—與x軸的交點。

⑶性質：①k>0,?②k<0,?

⑷圖象的四種情況：

3.二次函數

⑴定義：

特殊地，都是二次函數。

⑵圖象：拋物線(用描點法畫出：先確定頂點、對稱軸、開口方向，再對稱地描點)。用配方法變為，則頂點為(h,k);對稱軸為直線x=h;a>0時，開口向上;a<0時，開口向下。

⑶性質：a>0時，在對稱軸左側?，右側?;a<0時，在對稱軸左側?，右側?。

4.反比例函數

⑴定義： 或xy=k(k≠0)。

⑵圖象：雙曲線(兩支)—用描點法畫出。

⑶性質：①k>0時，圖象位于?，y隨x?;②k<0時，圖象位于?，y隨x?;③兩支曲線無限接近于坐標軸但永遠不能到達坐標軸。

四、重要解題方法

1.用待定系數法求解析式(列方程[組]求解)。對求二次函數的解析式，要合理選用一般式或頂點式，并應充分運用拋物線關于對稱軸對稱的特點，尋找新的點的坐標。如下圖：

2.利用圖象一次(正比例)函數、反比例函數、二次函數中的k、b;a、b、c的符號。

六、應用舉例(略)

初三數學知識點 第九章 解直角三角形

★重點★解直角三角形

☆ 內容提要☆ 一、三角函數

1.定義：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，則sinA=;cosA=;tgA=;ctgA=.2.特殊角的三角函數值：

0° 30° 45° 60° 90°

sinα

cosα

tgα /

ctgα /

3.互余兩角的三角函數關系：sin(90°-α)=cosα;?

4.三角函數值隨角度變化的關系

5.查三角函數表

二、解直角三角形

1.定義：已知邊和角(兩個，其中必有一邊)→所有未知的邊和角。

2.依據：①邊的關系：

②角的關系：A+B=90°

③邊角關系：三角函數的定義。

注意：盡量避免使用中間數據和除法。

三、對實際問題的處理

1.俯、仰角： 2.方位角、象限角： 3.坡度：

4.在兩個直角三角形中，都缺解直角三角形的條件時，可用列方程的辦法解決。

四、應用舉例(略)

初三數學知識點 第十章 圓

★重點★①圓的重要性質;②直線與圓、圓與圓的位置關系;③與圓有關的角的定理;④與圓有關的比例線段定理。

☆ 內容提要☆

一、圓的基本性質

1.圓的定義(兩種)

2.有關概念：弦、直徑;弧、等弧、優弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同心圓。

3.“三點定圓”定理

4.垂徑定理及其推論

5.“等對等”定理及其推論

5.與圓有關的角：⑴圓心角定義(等對等定理)

⑵圓周角定義(圓周角定理，與圓心角的關系)

⑶弦切角定義(弦切角定理)

二、直線和圓的位置關系

1.三種位置及判定與性質：

2.切線的性質(重點)

3.切線的判定定理(重點)。圓的切線的判定有⑴?⑵?

4.切線長定理

三、圓換圓的位置關系

1.五種位置關系及判定與性質：(重點：相切)

2.相切(交)兩圓連心線的性質定理

3.兩圓的公切線：⑴定義⑵性質

四、與圓有關的比例線段

1.相交弦定理

2.切割線定理

五、與和正多邊形

1.圓的內接、外切多邊形(三角形、四邊形)

2.三角形的外接圓、內切圓及性質

3.圓的外切四邊形、內接四邊形的性質

4.正多邊形及計算

中心角：

內角的一半：(右圖)

(解Rt△OAM可求出相關元素,、等)

六、一組計算公式

1.圓周長公式

2.圓面積公式

3.扇形面積公式

4.弧長公式

5.弓形面積的計算方法

6.圓柱、圓錐的側面展開圖及相關計算

七、點的軌跡

六條基本軌跡

八、有關作圖

1.作三角形的外接圓、內切圓

2.平分已知弧

3.作已知兩線段的比例中項

4.等分圓周：

4、8;

6、3等分

九、基本圖形

十、重要輔助線

1.作半徑

2.見弦往往作弦心距

3.見直徑往往作直徑上的圓周角

4.切點圓心莫忘連

5.兩圓相切公切線(連心線)

6.兩圓相交公共弦

第三篇：初三數學旋轉知識點總結

第23章

旋轉知識點總結

一、旋轉

1、定義

把一個圖形繞某一點O轉動一個角度的叫做旋轉，其中O叫做，叫做旋轉角。

2、性質

（1）對應點到的距離相等。

（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于。

二、中心對稱

1、定義

把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的。

2、性質

（1）關于中心對稱的兩個圖形是

形。

（2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱，并且被對稱中心。

（3）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。

3、判定

如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點，那么這兩個圖形關于這一點對稱。

三、坐標系中對稱點的特征

1、關于原點對稱的點的特征

兩個點關于原點對稱時，它們的坐標的符號，即點P（x，y）關于原點的對稱點為P’(,)

.2、關于x軸對稱的點的特征

兩個點關于x軸對稱時，它們的坐標中，x，y的符號，即點P（x，y）關于x軸的對稱點為P’(,)

.3、關于y軸對稱的點的特征

兩個點關于y軸對稱時，它們的坐標中，相等，的符號相反，即點P（x，y）關于y軸的對稱點為

P’(,)

.旋轉練習題

一、細心選一選（每題3分，共30分）

1．下面的圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是

（）

A．

B．

C．

D．

2．如果一個多邊形繞它的中心旋轉60°，才和原來的圖形重合，那么這個多邊形是

（）

A．正三角形

B．正四邊形

C．正五邊形

D．正六邊形

3．在線段，等腰梯形，平行四邊形，矩形，正五角星，圓，正方形，等邊三角形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的圖形有（）

A.3個

B.4個

C.5個

D.6個

4．如圖1，四邊形ABCD是正方形，ΔADE繞著點A旋轉900后到達ΔABF的位置，連接EF，則ΔAEF的形狀是（）

圖1

A．等腰三角形

B．直角三角形

C

D

B

E

A

C．等腰直角三角形

D．等邊三角形

5．如圖2，把ΔABC繞點C順時針旋轉90°得到ΔDEC，若∠A=25°，則∠CED=________.A、45°

B、55°

C、65°

D、75°圖2

6．在坐標系中，點（5，3）關于原點的對稱點坐標是（）

A、（-5，4）

B、（-5，-3）

C、（-3，-5）

D、（5，3）

7．下列命題中的真命題是

（）

A．全等的兩個圖形是中心對稱圖形.B關于中心對稱的兩個圖形全等.C．中心對稱圖形都是軸對稱圖形.D．軸對稱圖形都是中心對稱圖形.8.觀察下列圖案,其中旋轉角最大的是

（）

9.如圖將葉片圖案旋轉180°后，得到的圖案是

（）

葉片圖案

D

C

A

B

10.在藝術字中，有些字母是中心對稱圖形，下面的5個字母E、H、I、N、A是中心對稱圖形的有（）個。

A、5

B、5

C、3

D、2

二、填空題

11、如圖，ΔABC按順時針方向旋轉一個角后成為ΔADE.已知∠B＝93°，∠AED＝48°，則旋轉角等于　　___　°.12、在平面直角坐標系中，點關于原點對稱點的坐標是

．

13、鐘表上的分針繞其軸心旋轉，經過25分鐘后，分針轉過的角度是______________.14.如圖，鏡子中號碼的實際號碼是_____________.O15、如右圖

所示，五角星的頂點是一個正五邊形的五個頂點．這個五角星可以由一個基本圖形（圖中的陰影部分）繞中心O至少經過____________次旋轉而得到，每一次旋轉_______度．

16、已知平面直角坐標系上的三個點O(0,0),A(-1,1),B(-1,0),將△ABO繞點O

按順時針旋轉135°則點A,B的對應點A1,B1的坐標分別是A1(____,____),B1(____,____).三、解答題

17、如圖是某汽車的標志，它可以看作是由什么“基本圖案”通過怎樣旋轉得到的？每次旋轉了多少度？

18、如圖，△COD是△AOB繞點O順時針方向旋轉40°后所得的圖形，點C恰好在AB

上，∠AOD＝90°，求∠B的度數。

19.如圖8,在直角坐標系中,點P的坐標為(3,4),將OP

繞原點O逆時針旋轉90°得到線段OP′,(1)在圖中畫出線段OP′;

(2)求P′的坐標和PP′的長度.圖820、如圖是由若干個邊長為1的小正方形組成的網格，請在圖中作出將“蘑菇”ABCDE繞A點逆時針旋轉90°再向右平移2個單位的圖形（其中C、D為所在小正方形邊的中點）．

A

B

E

C

D

第四篇：初三數學圓知識點總結

初三數學

圓知識點總結

一、本章知識框架

二、本章重點

1．圓的定義：

(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓．

(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合．

2．判定一個點P是否在⊙O上．

設⊙O的半徑為R，OP＝d，則有

d>r點P在⊙O

外；

d＝r點P在⊙O

上；

d

內．

3．與圓有關的角

(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角．

圓心角的性質：圓心角的度數等于它所對的弧的度數．

(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．

圓周角的性質：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半．

②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．

③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角．

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．

⑤圓內接四邊形的對角互補；外角等于它的內對角．

(3)弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角．

弦切角的性質：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角．

弦切角的度數等于它夾的弧的度數的一半．

4．圓的性質：

(1)旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等．

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經過圓心的任一直線都是它的對稱軸．

垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．

(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．

(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧．

(4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．

(5)平行弦夾的弧相等．

5．三角形的內心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內心：是三角形三個角平分線的交點，它是三角形內切圓的圓心，在三角形內部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示．

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示．

(4)垂心：是三角形三邊高線的交點．

6．切線的判定、性質：

(1)切線的判定：

①經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．

②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．

(2)切線的性質：

①圓的切線垂直于過切點的半徑．

②經過圓心作圓的切線的垂線經過切點．

③經過切點作切線的垂線經過圓心．

(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長．

(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．

7．圓內接四邊形和外切四邊形

(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內接四邊形，圓內接四邊形對角互補，外角等于內對角．

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等．

8．直線和圓的位置關系：

設⊙O

半徑為R，點O到直線l的距離為d．

(1)直線和圓沒有公共點直線和圓相離d>R．

(2)直線和⊙O有唯一公共點直線l和⊙O相切d＝R．

(3)直線l和⊙O

有兩個公共點直線l和⊙O

相交d

9．圓和圓的位置關系：

設的半徑為R、r(R>r)，圓心距．

(1)沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部外離d>R＋r．

(2)沒有公共點，且的每一個點都在外部內含d

(3)有唯一公共點，除這個點外，每個圓上的點都在另一個圓外部外切d＝R＋r．

(4)有唯一公共點，除這個點外，的每個點都在內部內切d＝R－r．

(5)有兩個公共點相交R－r

10．兩圓的性質：

(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線．

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經過切點．

11．圓中有關計算：

圓的面積公式：，周長C＝2πR．

圓心角為n°、半徑為R的弧長．

圓心角為n°，半徑為R，弧長為l的扇形的面積．

弓形的面積要轉化為扇形和三角形的面積和、差來計算．

圓柱的側面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為，側面積為2πRl，全面積為．

圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側面積為πRl，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有．

【經典例題精講】

例1

如圖23-2，已知AB為⊙O直徑，C為上一點，CD⊥AB于D，∠OCD的平分線CP交⊙O于P，試判斷P點位置是否隨C點位置改變而改變？

分析：要確定P點位置，我們可采用嘗試的辦法，在上再取幾個符合條件的點試一試，觀察P點位置的變化，然后從中觀察規律．

解：

連結OP，P點為中點．

小結：此題運用垂徑定理進行推斷．

例2

下列命題正確的是（）

A．相等的圓周角對的弧相等

B．等弧所對的弦相等

C．三點確定一個圓

D．平分弦的直徑垂直于弦．

解：

A．在同圓或等圓中相等的圓周角所對的劣弧相等，所以A不正確．

B．等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此B正確．

C．三個點只有不在同一直線上才能確定一個圓．

D．平分弦(不是直徑)的直徑垂直于此弦．

故選B．

例3

四邊形ABCD內接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．

分析：圓內接四邊形對角之和相等，圓外切四邊形對邊之和相等．

解：

設∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．

x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．

∴∠D＝90°．

小結：此題可變形為：四邊形ABCD外切于⊙O，周長為20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的長．

例4

為了測量一個圓柱形鐵環的半徑，某同學采用如下方法：將鐵環平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，用如圖23-4所示方法得到相關數據，進而可以求得鐵環半徑．若測得PA＝5cm，則鐵環的半徑是__________cm．

分析：測量鐵環半徑的方法很多，本題主要考查切線長性質定理、切線性質、解直角三角形的知識進行合作解決，即過

P點作直線OP⊥PA，再用三角板畫一個頂點為A、一邊為AP、大小為60°的角，這個角的另一邊與OP的交點即為圓心O，再用三角函數知識求解．

解：

．

小結：應用圓的知識解決實際問題，應將實際問題變成數學問題，建立數學模型．

例5

已知相交于A、B兩點，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB＝16，求兩圓的圓心距．

解：分兩種情況討論：

(1)若位于AB的兩側(如圖23-8)，設與AB交于C，連結，則垂直平分AB，∴．

又∵AB＝16

∴AC＝8．

在中，．

在中，．

故．

(2)若位于AB的同側(如圖23-9)，設的延長線與AB交于C，連結．

∵垂直平分AB，∴．

又∵AB＝16，∴AC＝8．

在中，．

在中，．

故．

注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個點到圓上各點的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時，要注意雙解或多解問題．

三、相關定理：

1.相交弦定理

圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經過圓內一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）

說明：幾何語言：　　若弦AB、CD交于點P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

例1．

已知P為⊙O內一點，⊙O半徑為，過P任作一弦AB，設，則關于的函數關系式為。

解：由相交弦定理得，即，其中

2.切割線定理

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

說明：幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC^2=PA·PB

例2．

已知PT切⊙O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長。

解：設TD=，BP=，由相交弦定理得：

即，（舍）

由切割線定理，由勾股定理，∴

∴

∴

四、輔助線總結

1.圓中常見的輔助線

1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等．

2）．作弦心距，利用垂徑定理進行證明或計算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關系進行證明．

3）．作半徑和弦心距，構造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進行計算．

4）．作弦構造同弧或等弧所對的圓周角．

5)．作弦、直徑等構造直徑所對的圓周角——直角．

6)．遇到切線，作過切點的弦，構造弦切角．

7)．遇到切線，作過切點的半徑，構造直角．

8)．欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點時，常連結公共點和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑．

9)．遇到三角形的外心常連結外心和三角形的各頂點．

10)．遇到三角形的內心，常作：(1)內心到三邊的垂線；(2)連結內心和三角形的頂點．

11)．遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線．

12)．遇兩圓相切，常過切點作兩圓的公切線．

13)．求公切線時常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊．

2、圓中較特殊的輔助線

1)．過圓外一點或圓上一點作圓的切線．

2)．將割線、相交弦補充完整．

3)．作輔助圓．

例1如圖23-10，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長為（）

A．2

B．3

C．4

D．5

分析：連結OC，由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB知CD＝DE．設AE＝x，則在Rt△CEO中，即，則，(舍去)．

答案：A．

例2如圖23-11，CA為⊙O的切線，切點為A，點B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于（）

A．35°

B．90°

C．110°

D．120°

分析：由弦切角與所夾弧所對的圓心角的關系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．

例3

如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那么側面積等于（）

A．

B．

C．

D．

分析：圓柱的側面展開圖是矩形，這個矩形的一邊長等于圓柱的高，即圓柱的母線長；另一邊長是底面圓的周長，所以圓柱的側面積等于底面圓的周長乘以圓柱的高，即．答案：B．

例4

如圖23-12，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點，延長CM交⊙O于E，且EM>MC，連結OE、DE，．

求：EM的長．

簡析：(1)由DC是⊙O的直徑，知DE⊥EC，于是．設EM＝x，則AM·MB＝x(7－x)，即．所以．而EM>MC，即EM＝4．

例5如圖23-13，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點B，PA交⊙O于點C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關于x的方程(其中m為實數)的兩根．

(1)求證：BE＝BD；

(2)若，求∠A的度數．

簡析：(1)由BE、BD是關于x的方程的兩根，得，則m＝－2．所以，原方程為．得．故BE＝BD．

(2)由相交弦定理，得，即．而PB切⊙O于點B，AB為⊙O的直徑，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易證∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，則，所以，所以．在Rt△ACB中，故∠A＝60°．

第五篇：初三數學上冊知識點總結

九年級數學上冊知識點

（為重中之重）

第一章

二次根式

二次根式：形如()的式子為二次根式；

性質：（）是一個非負數；

。

二次根式的乘除：

。

二次根式的加減：二次根式加減時，先將二次根式華為最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并。

二次根式的混合運算

第二章

一元二次方程

一元二次方程：等號兩邊都是整式，且只有一個未知數，未知數的最高次是2的方程。

一元二次方程的解法

①

配方法：將方程的一邊配成完全平方式，然后兩邊開方；

②

公式法：（其中當△=＞0時，方程有兩個不同的實數根：；當△==0時方程有兩個相等的實數根：；當△=＜0時，方程無實數根）

③

因式分解法：左邊是兩個因式的乘積，右邊為零。

一元二次方程在實際問題中的應用

韋達定理：設是方程的兩個根，那么有

第三章

旋轉

圖形的旋轉

旋轉：把一個平面圖形繞著平面內某一點O轉動一個角度，就叫做圖形的旋轉。

性質：①對應點到旋轉中心的距離相等；

②對應點與旋轉中心所連的線段的夾角等于旋轉角

③旋轉前后的圖形全等。

會畫出一個圖形順時針或逆時針旋轉30°、60°、90°后的圖形。

中心對稱：把一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形中心對稱。

中心對稱圖形：把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。

會畫出一個圖形關于原點對稱得圖形，也就是中心對稱圖形。

關于原點對稱的點的坐標

已知點P的坐標是（x，y）：關于原點對稱的點的坐標是（-x,-y）

關于x軸對稱的點的坐標是（x,-y)

關于y軸對稱的點的坐標是（-x,y)

第四章

圓

圓、圓心、半徑、直徑、圓弧、弦、半圓的定義

垂直于弦的直徑

圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸；

垂直于弦的直徑平分弦，并且平方弦所對的兩條弧；

平分弦的直徑垂直弦，并且平分弦所對的兩條弧。

弧、弦、圓心角

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。

圓周角

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90度的圓周角所對的弦是直徑。

點和圓的位置關系

點在圓外

點在圓上

d=r

點在圓內

d

定理：不在同一條直線上的三個點確定一個圓。

三角形的外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，外接圓的圓心是三角形的三條邊的垂直平分線的交點，叫做三角形的外心。

6直線和圓的位置關系

相交

d

相切

d=r

相離

d>r

切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑；

切線的判定定理：經過圓的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

三角形的內切圓：和三角形各邊都相切的圓為它的內切圓，圓心是三角形的三條角平分線的交點，為三角形的內心。

圓和圓的位置關系

外離

d>R+r

外切

d=R+r

相交

R-r

內切

d=R-r

內含

d

正多邊形和圓

正多邊形的中心：外接圓的圓心

正多邊形的半徑：外接圓的半徑

正多邊形的中心角：沒邊所對的圓心角

正多邊形的邊心距：中心到一邊的距離

弧長和扇形面積

弧長

扇形面積：

圓錐的側面積和全面積

側面積：

全面積

（附加）相交弦定理、切割線定理

第五章

概率初步

概率意義：在大量重復試驗中，事件A發生的頻率穩定在某個常數p附近，則常數p叫做事件A的概率。

用列舉法求概率

一般的，在一次試驗中，有n中可能的結果，并且它們發生的概率相等，事件A包含其中的m中結果，那么事件A發生的概率就是p（A）=

用頻率去估計概率