第一篇：高中數學函數對稱性和周期性小結

高中數學函數對稱性和周期性小結

一、函數對稱性：

1.2.3.4.5.6.7.8.f(a+x)= f(a-x)==> f(x)關于x=a對稱

f(a+x)= f(b-x)==> f(x)關于 x=(a+b)/2 對稱 f(a+x)=-f(a-x)==> f(x)關于點（a，0）對稱 f(a+x)=-f(a-x)+ 2b ==> f(x)關于點（a，b）對稱

f(a+x)=-f(b-x)+ c ==> f(x)關于點 [（a+b）/2，c/2] 對稱 y = f(x)與 y = f(-x)關于 x=0 對稱 y = f(x)與 y =-f(x)關于 y=0 對稱 y =f(x)與 y=-f(-x)關于點(0,0)對稱

例1：證明函數 y = f(a+x)與 y = f(b-x)關于 x=(b-a)/2 對稱。

【解析】求兩個不同函數的對稱軸，用設點和對稱原理作解。

證明：假設任意一點P（m，n）在函數y = f(a+x)上，令關于 x=t 的對稱點Q（2t – m，n），那么n =f(a+m)= f[ b –(2t – m)] ∴ b – 2t =a，==> t =(b-a)/2，即證得對稱軸為 x=(b-a)/2.例2：證明函數 y = f(ax)上，令關于 x=t 的對稱點Q（2t – m，n），那么n =f(a-m)= f[(2t – m)– b] ∴ 2ta)= 1 – 2/[f(x)+1]，等式右邊通分得f(xa)= [1 + f(x)]/[f(x)– 1]，即

/[f(xf(x)] ∴

/[f(x1/f(x)= f(x2a)==> f(x)= f(x + 4a)∴

函數最小正周期 T=|4a|

第二篇：小結函數對稱性

小 結 函 數 對 稱 性

數學組

劉宏博

函數是中學數學教學的主線，是中學數學的核心內容，也是整個高中數學的基礎.函數的性質是競賽和高考的重點與熱點，函數的對稱性是函數的一個基本性質，對稱關系不僅廣泛存在于數學問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關系還充分體現了數學之美.本文擬通過函數自身的對稱性和不同函數之間的對稱性這兩個方面來小結與函數對稱有關的性質.一、函數自身的對稱性

定理1.函數 y = f(x)的圖像關于點A(a ,b)對稱的充要條件是

f(x)+ f(2a－x)= 2b 證明：（必要性）設點P(x ,y)是y = f(x)圖像上任一點，∵點P(x ,y)關于點A(a ,b)的對稱點P‘（2a－x，2b－y）也在y = f(x)圖像上，∴ 2b－y = f(2a－x)即y + f(2a－x)=2b故f(x)+ f(2a－x)= 2b，必要性得證.（充分性）設點P(x0,y0)是y = f(x)圖像上任一點，則y0 = f(x0)∵ f(x)+ f(2a－x)=2b∴f(x0)+ f(2a－x0)=2b，即2b－y0 = f(2a－x0).故點P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f(x)圖像上，而點P與點P‘關于點A(a ,b)對稱，充分性得征.推論：函數 y = f(x)的圖像關于原點O對稱的充要條件是f(x)+ f(－x)= 0 定理2.函數 y = f(x)的圖像關于直線x = a對稱的充要條件是

f(a +x)= f(a－x)即f(x)= f(2a－x)（證明留給讀者）推論：函數 y = f(x)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f(x)= f(－x)定理3.①若函數y = f(x)圖像同時關于點A(a ,c)和點B(b ,c)成中心對稱（a≠b），則y = f(x)是周期函數，且2| a－b|是其一個周期.②若函數y = f(x)圖像同時關于直線x = a 和直線x = b成軸對稱（a≠b），則y = f(x)是周期函數，且2| a－b|是其一個周期.③若函數y = f(x)圖像既關于點A(a ,c)成中心對稱又關于直線x =b成軸對稱（a≠b），則y = f(x)是周期函數，且4| a－b|是其一個周期.①②的證明留給讀者，以下給出③的證明： ∵函數y = f(x)圖像既關于點A(a ,c)成中心對稱，∴f(x)+ f(2a－x)=2c，用2b－x代x得： f(2b－x)+ f [2a－(2b－x)] =2c………………（*）又∵函數y = f(x)圖像直線x =b成軸對稱，∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：

f(x)= 2c－f [2(a－b)+ x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2(a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b)+ x]代入（**）得：

f(x)= f [4(a－b)+ x],故y = f(x)是周期函數，且4| a－b|是其一個周期.二、不同函數之間的對稱性

定理4.函數y = f(x)與y = 2b－f(2a－x)的圖像關于點A(a ,b)成中心對稱.定理5.①函數y = f(x)與y = f(2a－x)的圖像關于直線x = a成軸對稱.②函數y = f(x)與a－x = f(a－y)的圖像關于直線x +y = a成軸對稱.③函數y = f(x)與x－a = f(y + a)的圖像關于直線x－y = a成軸對稱.定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現證定理5中的③

設點P(x0 ,y0)是y = f(x)圖像上任一點，則y0 = f(x0)。記點P(x ,y)關于直線x－y = a的軸對稱點為P‘（x1，y1），則x1 = a + y0 , y1 = x0－a，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f(x0)之中得x1－a = f(a + y1)∴點P‘（x1，y1）在函數x－a = f(y + a)的圖像上.同理可證：函數x－a = f(y + a)的圖像上任一點關于直線x－y = a的軸對稱點也在函數y = f(x)的圖像上。故定理5中的③成立.推論：函數y = f(x)的圖像與x = f(y)的圖像關于直線x = y 成軸對稱.三、函數對稱性應用舉例 例1：定義在R上的非常數函數滿足：f(10+x)為偶函數，且f(5－x)= f(5+x),則f(x)一定是（）

(B)是偶函數，但不是周期函數

(D)是奇函數，但不是周期函數(A)是偶函數，也是周期函數(C)是奇函數，也是周期函數

解：∵f(10+x)為偶函數，∴f(10+x)= f(10－x).∴f(x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10，因此f(x)是以10為其一個周期的周期函數，∴x =0即y軸也是f(x)的對稱軸，因此f(x)還是一個偶函數.故選(A)

例2.設f(x)是定義在R上的偶函數，且f(1+x)= f(1－x),當－1≤x≤0時，f(x)= －1x，則f(8.6)= _________

2解：∵f(x)是定義在R上的偶函數∴x = 0是y = f(x)對稱軸；

又∵f(1+x)= f(1－x)∴x = 1也是y = f(x)對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數，∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(－0.6)= 0.3 例3.設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x+2)= －f(x),當0≤x≤1時，f(x)= x，則f(7.5)=（）

(A)

0.5(B)－0.5

(C)1.5

(D)－1.5 解：∵y = f(x)是定義在R上的奇函數，∴點（0，0）是其對稱中心；

又∵f(x+2)= －f(x)= f(－x)，即f(1+ x)= f(1－x)，∴直線x = 1是y = f(x)對稱軸，故y = f(x)是周期為2的周期函數.∴f(7.5)= f(8－0.5)= f(－0.5)= －f(0.5)=－0.5 故選(B)

第三篇：函數的對稱性和周期性復習教案

函數的對稱性和周期性

株洲家教：***

函數的對稱性和周期性

一.明確復習目標

1.理解函數周期性的概念，會用定義判定函數的周期；

2.理解函數的周期性與圖象的對稱性之間的關系，會運用函數的周期性處理一些簡單問題。3.掌握常見的函數對稱問題

二、建構知識網絡

一、兩個函數的圖象對稱性

y?f(x)與y??f(x)關于x軸對稱。

換種說法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)??g(x)，即它們關于y?0對稱。

2、y?f(x)與y?f(?x)關于Y軸對稱。

換種說法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(?x)，即它們關于x?0對稱。

1、y?f(x)與y?f(2a?x)關于直線x?a對稱。

換種說法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(2a?x)，即它們關于x?a對稱。

4、y?f(x)與y?2a?f(x)關于直線y?a對稱。

換種說法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(x)?2a，即它們關于y?a對稱。

5、y?f(x)與y?2b?f(2a?x)關于點(a,b)對稱。

換種說法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(2a?x)?2b，即它們關于點(a,b)對稱。

a?b6、y?f(a?x)與y?(x?b)關于直線x?對稱。

23、二、單個函數的對稱性 性質1：函數證明：在函數y?f(x)滿足f(a?x)?f(b?x)時，函數y?f(x)的圖象關于直線x?y?f(x)上任取一點(x1,y1)，則y1?f(x1)，點(x1,y1)關于直線

a?b對稱。2x?a?b的對稱點(a?b?x1,y1)，當x?a?b?x1時 2f(a?b?x1)?f[a?(b?x1)]?f[b?(b?x1)]?f(x1)?y1

y?f(x)圖象上。故點(a?b?x1,y1)也在函數由于點(x1,y1)是圖象上任意一點，因此，函數的圖象關于直線x?（注：特別地，a=b=0時，該函數為偶函數。）

性質2：函數證明：在函數（a?b對稱。2a?bc，）對稱。22y?f(x)滿足f(a?x)?f(b?x)?c時，函數y?f(x)的圖象關于點（y?f(x)上任取一點(x1,y1)，則y1?f(x1)，點(x1,y1)關于點

a?bc，）的對稱點（a?b?x1，c－y1），當x?a?b?x1時，22f(a?b?x1)?c?f[b?(b?x1)]?c?f(x1)?c?y1 即點（a?b?x1，c－y1）在函數y?f(x)的圖象上。

由于點(x1,y1)為函數函數y?f(x)圖象上的任意一點可知

a?bc，）對稱。（注：當a=b=c=0時，函數為奇函數。）22b?a性質3：函數y?f(a?x)的圖象與y?f(b?x)的圖象關于直線x?對稱。

2y?f(x)的圖象關于點（證明：在函數y1）。y?f(a?x)上任取一點(x1,y1)，則y1?f(a?x1)，點(x1,y1)關于直線x?b?a對稱點（b?a?x1，2f[b?(b?a?x1)]?f[b?b?a?x1]?f(a?x1)?y1 故點（b?a?x1，y1）在函數y?f(b?x)上。由于

函數的對稱性和周期性

株洲家教：*** 由點(x1,y1)是函數因此y?f(a?x)圖象上任一點

y?f(a?x)與y?f(b?x)關于直線x?b?a對稱。

2三、周期性

1、一般地，對于函數么函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(x?T)?f(x)，那f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期。說明：周期函數定義域必是無界的。

推廣：若f(x?a)?f(x?b)，則f(x)是周期函數，b?a是它的一個周期

?0,k?Z)也是周期，所有周期中最小的正數叫最小正周期。一般所說的周期是指函數的最小2.若T是周期，則kT(k正周期。

說明：周期函數并非都有最小正周期。如常函數

3、對于非零常數證明：

f(x)?C；

A，若函數y?f(x)滿足f(x?A)??f(x)，則函數y?f(x)必有一個周期為2A。

f(x?2A)?f[x?(x?A)]??f(x?A)??[?f(x)]?f(x)∴函數y?f(x)的一個周期為2A。

14、對于非零常數A，函數y?f(x)滿足f(x?A)?，則函數y?f(x)的一個周期為2A。

f(x)證明：f(x?2A)?f(x?A?A)?1?f(x)。

f(x?A)1，則函數y?f(x)的一個周期為2A。f(x)

5、對于非零常數A，函數y?f(x)滿足f(x?A)??證明：f(x?2A)?f(x?A?A)??A，函數y?f(x)滿足

6、對于非零常數

1?f(x)。

f(x?A)A1?f(x)A1?f(x)f(x?)?或f(x?)?21?f(x)21?f(x)則函數

y?f(x)的一個周期為2A。

證明：先看第一個關系式

3A)3AAf(x?2A)?f(x? ?)?3A221?f(x?)2A1?1?f(x?A)1?f(x?A?)1?f(x?A)2????f(x?A)A1?f(x?A)1?f(x?A?)1?21?f(x?A)f(x?2A)??f(x?A)f(x?A)?f(x)?f(x)?f(x?2A)

1?f(x?第二個式子與第一的證明方法相同

f(x)的定義域為N，且對任意正整數x

都有f(x)?f(x?a)?f(x?a)(a?0)則函數的一個周期為6a 證明：f(x)?f(x?a)?f(x?a)

（1）

f(x?a)?f(x)?f(x?2a)

（2）兩式相加得：f(x?a)??f(x?2a)

f(x)??f(x?3a)?f(x?6a)

四、對稱性和周期性之間的聯系

7、已知函數性質1：函數y?f(x)滿足f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)(a?b)，求證：函數y?f(x)是周期函數。

函數的對稱性和周期性

株洲家教：***

f(a?x)?f(a?x)得f(x)?f(2a?x)

f(b?x)?f(b?x)得f(x)?f(2b?x)∴f(2a?x)?f(2b?x)∴f(x)?f(2b?2a?x)

∴函數y?f(x)是周期函數，且2b?2a是一個周期。

性質2：函數y?f(x)滿足f(a?x)?f(a?x)?c和f(b?x)?f(b?x)?c(a?b)時，函數y?f(x)是周期函證明：∵數。（函數y?f(x)圖象有兩個對稱中心（a，cc）、（b，）時，函數y?f(x)是周期函數，且對稱中心距離的兩倍，22是函數的一個周期）

證明：由f(a?x)?f(a?x)?c?f(x)?f(2a?x)?c)?f(b?x)??cf(x)?f(2b?x)? c

f(b?x

得f(2a?x)?f(2b?x)

得f(x)?f(2b?2a?x)

∴函數y?f(x)是以2b?2a為周期的函數。性質3：函數y?f(x)有一個對稱中心（a，c）和一個對稱軸x?b（a≠b）時，該函數也是周期函數，且一個周期是4(b?a)。

f(a?x)?f(a?x)?2c?f(x)?f(2a?x)?2c

f(b?x)?f(b?x)?f(x)?f(2b?x)

f(4(b?a)?x)?f(2b?(4a?2b?x))

f(4a?2b?x)?f(2a?(2b?2a?x))?2c?f(2b?2a?x)

?2c?f(2b?(2a?x))?2c?f(2a?x)

?2c?(2c?f(x))?2c?2c?f(x)?f(x)

推論：若定義在R上的函數f(x)的圖象關于直線x?a和點(b,0)(a?b)對稱，則f(x)是周期函數，4(b?a)是證明：它的一個周期

證明：由已知f(x)?f(2a?x),f(x)??f(2b?x).?f(x)?f(2a?x)??f[2b?(2a?x)]??f[2(b?a)?x] ??f[2a?2(b?a)?x]??f[2(2a?b)?x]?f[2b?2(2a?b)?x]?f[4(b?a)?x],周期為4(b?a).舉例:y?sinx等.性質4：若函數f(x)對定義域內的任意x滿足：f(x?a)?f(x?a),則2a為函數f(x)的周期。（若f(x)滿足f(x?a)?f(x?a)則f(x)的圖象以x?a為圖象的對稱軸，應注意二者的區別)證明：?f(x?a)?f(x?a)?f(x)?f(x?2a)

性質5：已知函數y?f?x?對任意實數x,都有f?a?x??f?x??b，則y?f?x?是以

2a為周期的函數 證明：f(a?x)?b?f(x)

f(x?2a)?f((x?a)?a)?b?f(x?a)?b?(b?f(x))?f(x)

五、典型例題

例1（2005·福建理）f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數，且f(2)?0，則方程f(x)?0在區間（0，6）內解的個數的最小值是（）A．2

B．3 解：

C．4

D．5)f(x)是R上的奇函數，則f(0?)0，由f(x?3?f(2)?0?f(?1)?0?f(1)?0

∴f(4)?0 ∴x=1，2，3，4，5時，f(x)?0

這是答案中的五個解。

?但是

f(?1?5)?f(f(x得)f(3)?0，f(2)?0?f(5)?0

1?5?3)?f(1 ?)?f?(1 5)f(1?5)?0 又

f(?1?5?知?5)?f(1?5?3?)f(? 4而

0?f(1知 x?1.5,x?4.5,f(x)?0也成立，可知：在（0，6）內的解的個數的最小值為7。例3 已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x?2)??f(x)，則f(6)的值為（）(A)－1

(B)0

(C)

(D)2

函數的對稱性和周期性

株洲家教：*** 解：因為所以所以f(x)是定義在R上的奇函數

f(0)?0，又f(x?4)??f(x?2)?f(x)，故函數，f(x)的周期為4 f(6)?f(2)??f(0)?0，選B

f(x)滿足f(x?2)??f(x),且x?(0,1)時,f(x)?2x,則f(log118)的值為。

2例4．已知奇函數解：?f(x?2)??f(x)?f?x???f(x?2)?f(x?4)

89f(log118)?f(?log218)?f(4?log218)?f(log2)?f(?log2)

9829log299??f(log2)??28??

88例5 已知f(x)是以2為周期的偶函數，且當x?(0,1)時，f(x)?x?1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

解法1：

從解析式入手，由奇偶性結合周期性，將要求區間上問題轉化為已知解析式的區間上

∵x?(1,2), 則?x?(?2,?1)

∴2?x?(0,1), ∵ T?2，是偶函數

∴ f(x)?f(?x)?f(2?x)?2?x?1?3?x

x?(1,2)

解法2：

f(x)?f(x?2)

如圖：x?(0,1), f(x)?x?1.∵是偶函數 ∴x?(?1,0)時f(x)?f(?x)??x?1

又周期為2，x?(1,2)時x?2?(?1,0)∴f(x)?f(x?2)??(x?2)?1?3?x

例6 f(x)的定義域是R，且f(x?2)[1?f(x)]?1?f(x),若f(0)?2008（從圖象入手也可解決，且較直觀）求 f(2008)的值。

f(x?4)?1?1f(x?2)?1f(x?4)?1?1???f(x?8)解：f(x)?f(x?2)?1f(x?4)?1?1f(x?4)f(x?4)?1周期為8，?f(2008)?f(0)?2008

1例7 函數f?x?對于任意實數x滿足條件f?x?2??，若f?1???5,則f?f?5???

f?x?_______________。解：由f?x?2??1f?x?得

f?x?4??1?f(x)f?x?2?，所以

f(5)?f(1)??5，則

11??

f(?1?2)5例8 若函數f(x)在R上是奇函數，且在??1，0?上是增函數，且f(x?2)??f(x).①求f(x)的周期；

②證明f(x)的圖象關于點(2k,0)中心對稱;關于直線x?2k?1軸對稱,(k?Z);③討論f(x)在(1,2)上的單調性； f?f?5???f(?5)?f(?1)?

解: ①由已知f(x)??f(x?2)?f(x?2?2)?f(x?4)，故周期T?4.②設P(x,y)是圖象上任意一點,則y?f(x),且P關于點(2k,0)對稱的點為P1(4k?x,?y).P關于直線x?2k?1對稱的點為P2(4k?2?x,y)

函數的對稱性和周期性

株洲家教：***

f(4k?x)?f(?x)??f(x)??y,∴點P1在圖象上,圖象關于點(2k,0)對稱.又f(x)是奇函數,f(x?2)??f(x)?f(?x)∴f(4k?2?x)?f(2?x)?f(x)?y

x?2k?1對稱.∴點P2在圖象上,圖象關于直線∵x1?x2?2，則?2??x2??x1??1，0?2?x2?2?x1?1

∵f(x)在(?1,0)上遞增, ∴f(2?x1)?f(2?x2)……(*)又f(x?2)??f(x)?f(?x)

∴f(2?x1)?f(x1),f(2?x2)?f(x2).所以：f(x2)?f(x1)，f(x)在(1,2)上是減函數.例9 已知函數y?f(x)是定義在R上的周期函數，周期T?5，函數y?f(x)(?1?x?1)是奇函數.又知y?f(x)在[0,1]上是一次函數，在[1,4]上是二次函數，且在x?2時函數取得最小值?5.（1）證明：f(1)?f(4)?0；

（2）求y?f(x),x?[1,4]的解析式；（3）求y?f(x)在[4,9]上的解析式.解：∵f(x)是以5為周期的周期函數，且在[?1,1]上是奇函數，∴f(1)??f(?1)??f(5?1)??f(4)，∴f(1)?f(4)?0.2②當x?[1,4]時，由題意可設f(x)?a(x?2)?5(a?0)，22由f(1)?f(4)?0得a(1?2)?5?a(4?2)?5?0，∴a?2，f(x)?2(x?2)2?5(1?x?4).③∵y?f(x)(?1?x?1)是奇函數，∴f(0)?0，又知y?f(x)在[0,1]上是一次函數，∴可設f(x)?kx(0?x?1)∴③設1?f(1)?2(1?2)2?5??3，∴k??3，∴當0?x?1時，f(x)??3x，從而?1?x?0時，f(x)??f(?x)??3x，故?1?x?1時，f(x)??3x.∴當4?x?6時，有?1?x?5?1，∴f(x)?f(x?5)??3(x?5)??3x?15.當6?x?9時，1?x?5?4，22∴f(x)?f(x?5)?2[(x?5)?2]?5?2(x?7)?5

??3x?15,4?x?6∴f(x)??.2?2(x?7)?5,6?x?9而

第四篇：高中數學函數單調性周期性寶典

臨平三中2013屆畢業典禮主持稿開場白

撰稿人：曹嘉懿

男：三年前，當我們踏入學校的時候，就決定了有今天這樣一個特殊的日子。

女：此時此刻，我們每個人帶著興奮喜悅的心情，帶著絲絲離別的傷感和愁緒，忍著離別的淚水，相聚在這里。

男：如果說我們當初相見是為了尋求知識，積蓄力量。那么我們今天相別則是為了實現理想，大展宏圖。

女：學校雖是寧靜的港灣，我們終究要駛向廣闊的大海，學校雖是安全的機場，我們終究要飛向藍天。

男：親愛的老師，謝謝您，為我們插入騰飛的翅膀。

女：可愛的母校，感謝您，為我們揚起遠航的風帆。

男：我們無悔于自己的青春年華，我們無愧于三中這個大家庭，我們已經為三年的初中生活畫上了圓滿的句號。

女：我們就要畢業了，滿載多年采擷的累累碩果。我們就要走了，滿載著母校師生的切切深情。男：我們即將在人生的征途上跨出新的一步，我們應該為自己而自豪！為母校驕傲！

合：現在我宣布：臨平三中2013屆初中畢業典禮現在開始。

第五篇：高考數學函數的周期性

函數的周期性與對稱性、函數的圖象變換、函數應用問題

一.教學內容：

函數的周期性與對稱性、函數的圖象變換、函數應用問題

二.教學要求：

1.理解周期函數的定義，會求簡單周期函數的周期。

2.理解函數圖象關于點對稱或關于直線對稱的定義，會解決一些較簡單的對稱問題。

3.熟悉常見的抽象函數及其性質。

4.會識圖，即通過給定的函數圖象分析函數的有關性質（如：范圍，對稱性，周期性，有界性等）。

5.掌握圖象變換的基本方法，會進行較基本的圖象變換。

6.熟悉解應用問題的步驟，能建立較簡單的數學模型。

三.知識串講：

1.周期函數：

對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得對定義域內的任意一個x，總有f(x+T)=f(x)成立，則稱f(x)是周期函數。T叫做這個函數的一個周期，其中最小正數T叫做最小正周期。

（定義的實質，是存在一個常數T，（T≠0），使f(x+T)=f(x)恒成立，即自變量每增加一個T后，函數值就會重復出現一次）

關于函數的周期性，有如下結論：

（1）若T為函數f(x)的一個周期，則kT(k?Z且k?0)也是f(x)的周期，即

f(x?kT)?f(x)。

（2）若f(x)是一個以T為周期的函數，則f(ax?b)(a?0)是一個以T為周a期的函數。

證明：（證明的方向f[a(x?T)?b]?f(ax?b)）a

T)?b]?f[(ax?b)?T]a

由T是f(x)的周期設u?ax?bf(u?T)f(u)?f(ax?b)

T?是函數f(ax?b)的周期a

f[a(x?

如：y?sinx的周期為T?2?，則y?sin(?x??)(??0)的周期為2??

（3）若f(x)滿足f(x?a)?f(x?b)恒成立，a,b為常數且a?b，則T?a?b

是f(x)的一個周期。

這是因為f(x?a?b)?f[(x?b)?a]?f[(x?b)?b]?f(x)

?T?a?b

（4）若f(x)滿足f(x?a)??f(x?b)，則f(x)以T?2(a?b)為一個周期。

證明：f[x?2(a?b)]?f[(x?2b?a)?a]

??f[(x?2b?a)?b]??f[(x?b)?a]

??[?f(x?b?b)]?f(x)

?T?2(a?b)

推論：f(x?a)??f(x)

則f(x)以T?2a為一個周期

（只要令上式中的b=0即可）

2.對稱問題：

（1）若函數f(x)滿足f(a?x)?f(b?x)恒成立，（a,b為常數）則f(x)的圖a?b對稱。2

a?x?b?xa?b這是因為：?，又f(a?x)?f(b?x)，即函數圖象上縱坐2

2象關于直線x?標相等的兩個點（a?x，f(a?x)），（b?x，f(b?x)）連線的中點都在直線x?a?ba?b上，所以f(x)的圖象關于直線x?對稱。22 y P P’ 0 a-x b+x x a?b 2

x?a對稱

當a?b時，即f(a?x)?f(a?x)，則f(x)圖象關于直線

若f(2a?x)?f(x)，則f(x)圖象關于直線x?a對稱

（2）若函數f(x)滿足f(a?x)??f(a?x)恒成立，則f(x)的圖象關于點（a,0）對稱。

y a-x 0（a,0）x

3.函數圖象變換：

（1）平移變換：

右平移a（a>0）f（x－a）圖象 f（x）圖象 左平移a（a>0）f（x＋a）圖象 上平移b（fx）＋b圖象 f（x）圖象 下平移b（fx）－b圖象

（2）對稱變換：

?f(?x)圖象關于y軸對稱???f(x)圖象關于x軸對稱?f(x)圖象與??f(?x)圖象關于原點對稱?f(2a?x)圖象關于x?a對稱??1??f(x)圖象關于y?x對稱

（3）伸縮變換：設A?0，??0

橫坐標縮短(??1)f(x)圖象???????????????f(?x)圖象1或伸長(0???1)到原來的倍?

縱坐標伸長(A?1)f(x)圖象???????????????Af(x)圖象或縮短（0?A?1）到原來的A倍

（4）翻折變換：

將x軸下方部分f(x)圖象??????????|f(x)|圖象作關于x軸對稱

保留圖象的x?0部分，去掉f(x)圖象???????????????f(|x|)圖象x?0部分，再作關于y軸對稱

4.函數的應用問題：

解答數學應用問題的關鍵有兩點：一是認真讀題，縝密審題，明確問題的實際背景，然后進行概括，歸納為相應的數學問題；二是合理選取參變數，設定變元后，尋找等量（或不等量）關系，建立相應的數學模型，求解數學模型，使問題獲解。即

讀題建模求解反饋???（數學語言）（數學計算）（檢驗作答）

（文字語言）

【典型例題】

2（1）函數f(x)?x?bx?c對任意實數x，均有f(1?x)?f(1?x)，比較

例1.f(0)，f(1)，f(3)的大小；

2（2）若函數y?f(x)的圖象關于x?1對稱，且x?1時f(x)?x?1，則當x?

1時，求f(x)的表達式。

解：（1）由f(1?x)?f(1?x)，可知函數f(x)的圖象關于x?1對稱，又函數圖

象是開口向上的拋物線，所以f(3)?f(0)?f(1)。

（2）當x?1時，有2?x?1

所以f(2?x)?(2?x)?1?x?4x?5 22

又由于y?f(x)圖象關于x?1對稱

?f(2?x)?f(x)

所以當x?1時，f(x)?x?4x?5

注：（2）題也可以根據圖象的對稱性，確定頂點坐標，直接寫出解析式。

例2.偶函數f(x)的定義域為R，若f(x?1)?f(x?1)對任意實數都成立，又當0

2?x?1時，f(x)?2x?1。

（1）求證f(x)是周期函數，并確定周期。

（2）求當1?x?2時，求f(x)的解析式。

解：（1）令t?x?1，則x?1?t?2

由x?R時f(x?1)?f(x?1)恒成立

得t?R時f(t)?f(t?2)恒成立

因此f(x)是周期函數，且2k(k?Z且k?0)為其周期

（2）任取1?x?2

則?1?x?2?0x0??x?2?1

?0?x?1時，f(x)?2?1

?x?2?f(?x?2)?2?1

又f(x)的周期為2，且為偶函數

?f(?x?2)?f(?x)?f(x)

?x?2?1?x?2時，f(x)?2?1

點評：本題的解抓住兩個關鍵條件，一個是f(x)為偶函數，另一個是f(x)為周期函數。一般求f(x)在哪個區間上的解析式，就令x屬于該區間，再通過平移（周期性），對稱（奇偶性）變換到已知區間內，進而代入，求出解析式，再利用周期性，奇偶性化簡為f(x)。

例3.已知函數y=f(x)的圖象關于直線x=a，x=b（a≠b）都對稱，且定義域為實數集R，證明y=f(x)是周期函數，且T=2(b—a)為一個周期。

證明：由題意有f(a?x)?f(a?x)x-2 x-1 0 1 2 x-x+2 f(b?x)?f(b?x)

則f[x?2(b?a)]?f[(x?b?2a)?b]?f[b?(x?b?2a)]?f[?x?2a]?f[(?x?a)?a]

?f[a?(?x?a)]?f(x)

?f(x)為周期函數，且T?2(b?a)為一個周期

點評：（1）若題目中沒有指出T=2(b—a)是f(x)的一個周期，可以作草圖分析，猜測出T是該函數周期，再去證明。如圖。

y 0 x a b b?a 2

（2）由本題可知f(x)，x∈R，若f(x)的圖象有兩條對稱軸，則f(x)為周期函數，周期為兩條對稱軸距離的2倍。

思考：若f(x)是偶函數且有一條對稱軸x=a，那么f(x)是周期函數嗎？若是，周期為何？

例4.（1）定義在R上的函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，則f(x)是________（奇、偶）函數；f(0)=____________。

（2）定義在R上的函數f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y)，則f(x)是___________（奇、偶）函數；f(1)=__________。

解析：（1）令x?y?0

?f(0?0)?f(0)?f(0)

令y??x

?f(?x)??f(x)

（2）令x?y??f(1?1)?f(1)?f(1)?f(0)?0

?f(0)?f(x)?f(?x)?0

?f(x)為奇函數

?f(1)?0

f(x?x)?f[(?x)(?x)]?f(?x)?f(?x)?2f(?x)

又f(x?x)?f(x)?f(x)?2f(x)

?f(?x)?f(x)?f(x)為偶函數

2x?1的圖象，并根據圖象回答函數的單調區間，值域。x?1

例5.作出函數y?

解：?x??1

?函數定義域為(??，?1)?(?1，??)

由y?2x?12(x?1)?11??2?x?1x?1x?1

?圖象為中心O'(?1，2)的雙曲線

直線x??1，y?2是雙曲線的兩條漸近線

區間(??，?1)，(?1，??)分別為函數的增區間；值域為{y|y?R，且y?2} y O’ 2-1 0 x

例6.（1）函數y?log4(1?2x?x)的圖象經過怎樣的變換可得到y?log2|x|的

2圖象？

（2）將函數y?log1x的圖象沿x軸向右平移1個單位，得圖象C。圖象C'與2C關于原點對稱，圖象C''與C'關于直線y?x對稱，求C''對應的解析式。

左平移1個單位22（1）?y?log(1?2x?x)?log(x?1)?log|x?1|????????? 4

42解：|?log|2x?1)?12x|

y?log|(2?將函數y?log(1?2x?x)的圖象向左平移1個單位，得到函數y?log2|x| 4的圖象

沿x軸向右平移1個單位（2）y?log1x圖象????????????

關于原點對稱C：y?log1(x?1)圖象????????

關于直線y?x對稱C'：y??log(?x?1)圖象??????????1

1?xxC''：x??log(?y?1)，即y??()?1??2?1122

32設f(x)?ax?bx?cx?d的圖象如圖，則b屬于（例7.）

A.(??，0)B.(0，1)C.(1，2)D.[2，??)

y 0 1 2 x

?f(0)?0?d?0??由圖象得?f(1)?0??a?b?c?0?f(2)?0?8a?4b?2c?0??

解析一：

b2解得a??，c??b，d?03b2b?f(x)??x3?bx2?bx??x(x?1)(x?2)333

圖象可知x?0時，f(x)?0

又x?1?0，x?2?0

故選A

解析二：由圖象知x=0，1，2是方程f(x)=0的三個實根，設f(x)=ax(x—1)(x—2)

當x?2時，f(x)?0

?a?0??b?03?b?0?f(x)?ax3?3ax2?2ax

32又?f(x)?ax?bx?cx?d

?b??3a?0 ?選A

21關于函數f(x)?sin2x?()|x|?，有下面四個結論：32

例8.（1）f(x)是奇函數；

（2）當x>2003時，f(x)>1/2恒成立；

（3）f(x)的最大值是3/2；

（4）f(x)的最小值是－1/2。

其中正確結論的是___________。

212（1）?f(x)?sinx?()|x|?32

解析：

顯然f(?x)??f(x)?（1）錯（是偶函數）

2（2）當x?2003時，?()|x|?0?3

而sinx?[?1，1]

2當sin2x?0時，f(x)?（3）如果f(x)?12?（2）錯

32，則sin2x?()|x|?123

22?sinx?1?()|x|，顯然“?”不成立3

?（3）錯

2（4）當x?0時，sin2x?0最小，且?()|x|??13

11?f(x)?0?1???22

1?最小值為??（4）對2

綜上，只有（4）正確

例9.某工廠有一段舊墻長14m，現利用這段舊墻為一面建造平面圖形為矩形，面積為126m2

a的廠房，工程條件是（1）建1m新墻的費用為a元；（2）修1m舊墻費用是4元；（3）拆去1ma舊墻，用所得的材料建1m新墻的費用為2元。經討論有兩種方案：（1）利用舊墻的一段xm（x<14）為矩形廠房一面的邊長；（2）矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14，問如何利用舊墻，即x為多少米時，建墻費用最省？（1）（2）兩種方案哪個更好？

分析：利用舊墻為一面矩形邊長為xm，則矩形的另一面邊長為126m。x

解：（1）利用舊墻的一段xm（x?14）為矩形一面邊長，則修舊墻的費用為 aa元，將剩余的舊墻拆得的材料建新墻的費用為(14?x)?元，其余新墻的費用422?126為(2x??14)?a元，故總費用為x x14?x2?126x36y??a??a?(2x??14)a?7a(??1)（0?x?14）42x4x

x?

?y?7a[2當且僅當x36??1]?35a4x

x36?，即x?12m時，ymin?35a4x

x 126126 xx

a7（2）若利用舊墻的一面矩形邊長x?14，則修舊墻的費用為?14?a元，42

2?126建新墻的費用為(2x??14)a元，故總費用為x

72?1267126y?a?(2x??14)a?a?2a(x??7)（x?14）2x2x

x 14

設14?x1?x2，則(x1?xx?126126126)?(x2?)?(x1?x2)12x1x2x1x2

?14?x1?x2

?x1?x2?0，x1x2?126

126在[14，??)上為增函數x

7126?x?14時，ymin?a?2a(14??7)?355.a214

?y?x?

綜上，采用方案（1）利用12m舊墻為矩形的一面邊長時，建墻總費用最省，為35a元。

【模擬試題】

一.選擇題：

1.二次函數f(x)滿足f(2?x)?f(2?x)，又f(x)在[0，2]上是增函數，且f(a)?f(0)，則實數a的取值范圍是（）

A.a?0

B.a?0 D.a?0或a?4

C.0?a?4

2.設f(x)是R上的奇函數，當x?(0，??)時為增函數，且f(1)=0，則不等式f(x?1)?0的解集為（）

A.(??，?1)?(1，??)

C.(??，?1)?（0，1）

B.(??，0)?(1，2)

D.(?1，0)?(0，1)

x

3.將函數y=f(x)的圖象向左、向下分別平移2個單位，得到y=2的圖象，則（）

A.f(x)?2x?2?2

xB.f(x)?2x?2?2

x?2f(x)?2?

2C.x?2f(x)?2?2 D.4.已知函數f(x)的圖象與g(x)?2?1的圖象關于點（0，1）對稱，則f(x)=（）

A.?2?3 x

1?()x?32B.1()x?1D.2

C.2?1 x

?1x?()（x?0）f(x)??2??x2（x?0）?

5.已知函數，給出代號為a,b,c的三個圖象，再給出序號為1，2，3的三個函數，那么圖象與函數能建立對應關系的是（用序號和代數表示）（）y y y 1 1 1 0 x 0 x-1 0 x a b c 1.y=f(|x|)2.y=|f(x)| 3.y=f(x+1)

A.a?2

B.a?

1C.a?2

D.a?3

b?1b?2c?3 c?3

b?3b?2c?1 c?1

6.已知某林場森林積蓄量每年平均比上一年增長10.4%，經過x年可增長到原來的y倍，則函數y?f(x)圖象大致為（）

y y y y 1 1 0 x 0 1 x 0 1 x 0 x A B C D

二.填空題：

7.設f(x)是定義在R上的奇函數，且滿足f(x?3)?f(x?3)，則f(3)?f(6)=____。

8.設定義在R上的函數y=f(x)，在（0，2）上是減函數，且y?f(x?2)為偶函數，則51f(3)，f()，f()22的大小順序為____________。

9.函數y?f(|x?3|)的圖象關于_____________對稱。

10.建一個容積為8000m，深6m的長方體蓄水池（無蓋），池壁造價為a元/m2，池底造價為2a元/m2，把總造價y元表示為底的一邊長xm的函數，其解析式為___________，定義域為3___________，底邊長為________m時，總造價最低是___________元。

三.解答題：

11.如圖，A、B、C、D為四個村莊，恰好座落在邊長為2km的正方形頂點上，現修公路網，它由一條中心路和4條支路組成，要求四條支路長度相等。

（1）若道路網的總長不超過5.5km，試求中心路長的取值范圍；

（2）問中心路長為何值時，道路網的總長度最短。

A B 中 心 路 C D

【試題答案】

1.C 2.B 3.C

4.A

5.A

6.D

7.0（?f(x)是R上的奇函數

令x?3

令x?0

?f(3)?0）

?f(0)?0

?f(6)?f(0)?0 f(3)?f(?3)??f(3)

15f()?f(3)?f()22

8.9.x?3

10.y?12a(x?80008000208000)?a，x?(0，??)，x?3，16030a?a6x333

11.設中心路長為2x km

22（1）則2x?41?(1?x)?55.?48x?40x?7?0

?17?x?412

222

（2）y?2x?41?(1?x)?(平方)12x?(4y?32)x?32?y?0

?x?(0，??)又y?0

???0?y?3?23317?[，]??3412 ymin?3?23，此時x?1?