2023衡水名師原創數學專題卷

考試時間：120分鐘

滿分：150分

說明：請將選擇題正確答案填寫在答題卡上，主觀題寫在答題紙上

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。

在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）

1.下列函數中,定義域與值域相同的有（）

①；

②；

③；

④.A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

2.已知函數，則的值為（）

A.B.C.D.3.函數的定義域是（）

A.B.C.D.4.已知函數，則（）

A.的圖象關于點對稱,B.的圖象關于直線對稱,C.在上單調遞減,D.在上單調遞減，在上單調遞增.5.已知函數是上的增函數，則的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

6.若奇函數在區間上為增函數，且有最小值0，則它在區間上（）

A.是減函數，有最小值0

B.是增函數，有最小值0

C.是減函數，有最大值0

D.是增函數，有最大值0

7.若定義在的奇函數在單調遞減，且，則滿足的的取值范圍是（）

A.B.C.D.8.設函數，則（）

A.是偶函數，且在單調遞增

B.是奇函數，且在單調遞減

C.是偶函數，且在單調遞增

D.是奇函數，且在單調遞減

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。

在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。）

9.已知函數是上的偶函數，對于任意，都有成立，當，且時，都有，給出下列命題，其中所有正確命題為（）

A.B.直線是函數的圖象的一條對稱軸

C.函數在上為增函數

D.函數在上有四個零點

10.下列函數中,既是偶函數,又在上單調遞增的是（）

A.B.C.D.11.下列函數,在定義域內單調遞增且圖象關于原點對稱的是（）

A.B.C.D.12.下列函數中,在上單調遞增的是（）

A.B.C.D.第II卷（非選擇題）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。

）

13.若函數的定義域為R，則實數m的取值范圍是______．

14.設是定義在R上且周期為2的函數,在區間上,其中.若,則的值是__________.15.已知函數是定義域為R的偶函數，都有,當時，則__________.16.已知函數為奇函數，則__________.四、解答題（本題共6小題，共70分。

）

17.（本題滿分10分）設二次函數

(且)滿足條件:①當時,;②當時,;③在上的最小值為0.求函數的解析式

18.（本題滿分12分）已知二次函數（為常數），對任意實數x都有成立，且

（1）求的解析式；

（2）若關于x的不等式在區間上有解，求實數m的取值范圍.19.（本題滿分12分）定義在R上的單調函數滿足，且對任意都有．

（1）求證:為奇函數；

（2）若對任意恒成立，求實數k的取值范圍．

20.（本題滿分12分）設函數是定義在R上的奇函數，對任意實數x都有成立.(1)證明是周期函數，并指出其周期.(2)若，求的值.(3)若，且是偶函數，求實數a的值.21.（本題滿分12分）已知定義域為R的函數是奇函數

（1）求的值．

（2）判斷的單調性，并用定義證明

（3）若存在，使成立，求k的取值范圍．

22.（本題滿分12分）已知函數是定義在上的奇函數，且．

（1）求函數的解析式；

（2）判斷函數在上的單調性，并用定義證明；

（3）解關于t的不等式．

參考答案及解析

1.答案：A

解析：函數的定義域為,值域為,故①錯誤：函數的定義域為,值域為,故②錯誤；函數的定義域為,值域為,故③錯誤；的定義域為,值域為,故④正確.故定義域與值域相同的函數有1個.2.答案：A

解析：，則．

故選：A．

3.答案：B

解析：∵函數，∴；

解得，∴函數的定義域是.故選：D.4.答案：A

解析：,則函數定義域為，即,有關于點對稱的可能,進而推測為奇函數，關于原點對稱，,定義域為,奇函數且單調遞增,∴為向右平移兩個單位得到，則函數在單調遞增,關于點對稱

5.答案：D

解析：根據題意,函數是上的增函數，則有，解可得，即的取值范圍是；

故選：D.6.答案：D

解析：由奇函數的性質，∵奇函數在上為增函數，∴奇函數在上為增函數，又奇函數在上有最小值0，∴奇函數在上有最大值0

故應選D.7.答案：D

解析：通解

由題意知在，單調遞減，且.當時，令，得，；當時，令，得，又，；當時，顯然符合題意.綜上，原不等式的解集為，選D.優解

當時，符合題意，排除B；當時，此時不符合題意，排除選項A，C.故選D.8.答案：D

解析：由得函數的定義域為，其關于原點對稱，因為，所以函數為奇函數，排除A，C.當時，易知函數單調遞增，排除B.當時，易知函數單調遞減，故選D.9.答案：ABD

解析：A：對于任意,都有成立,令,則,又因為是上的偶函數,所以.B：由A知,所以的周期為6，又因為是上的偶函數,所以，而的周期為6,所以，所以：,所以直線是函數的圖象的一條對稱軸。

C：當,且時,都有

所以函數在上為增函數，因為是上的偶函數,所以函數在上為減函數

而的周期為6,所以函數在上為減函數。

D：的周期為6，所以：，函數在上有四個零點。

故答案為：ABD

10.答案：BC

解析：對于A,設.則

又的定義域為R,所以為奇函數,故A不符合題意;對于B,設,顯然為偶函數，當時，故在上單調遞增,故B

符合題意;對于C易知是偶函數,且在上單調遞增,故C符合題意;

對于D,易知在上不單調,故D不符合題意,故選BC

11.答案：AD

解析：由函數的圖象關于原點對稱知函數為奇函數,由函數在定義域內單調遞增,知在定義域內其導函數大于等于0.A中,為奇函數，故A滿足題意;B中,函數的定義域為,其圖象不關于原點對稱,故B不滿足題意;C中，所以函數為偶函數,故C不滿足題意;D中，通過判斷可知在定義域內單調遞增,又,所以在定義域內單調遞增且圖象關于原點對稱,故D滿足題意.故選AD.12.答案：BC

解析：A中，令,∵在上單調遞減,∴.∵在上單調遞增,∴在上單調遞減.B中，令,∵在上單調遞增,∴.∵在上單調遞增,∴在上單調遞增.C中,在上單調遞增.D中,圖象的對稱軸為直線,所以函數在上單調遞增,在上單調遞減.故選BC.13.答案：

解析：依題意，當時，恒成立．

當時，；

當時，則，即

解得．

綜上，實數m的取值范圍是．

故答案為:．

14.答案：

解析：由題意得，則，因此.15.答案：5

解析：由題知,函數為偶函數且周期為2,.16.答案：

解析：

因為為奇函數,所以，即即，所以。所以，即.當時，無意義，故舍去.當時，其定義域為滿足題意

17.答案：由，即

得函數的圖象的對稱軸為

再結合③知

當時，令，得

代入，得

解析：

18.答案：（1）由題意可知，解得

由，可知，化簡得，因為上式對任意的實數x恒成立，所以

所以，所以

（2）由在區間上有解，即在區間上有解，令，則原問題等價于，又在上單調遞減

所以

所以，解得

∴

實數m的取值范圍是

解析：

19.答案：（1）證明：，①

令，代入①式，得，即

．

令，代入①式，得，又，則有．即對任意成立，所以是奇函數．

（2）解：，即，又在R上是單調函數，所以在R上是增函數

又由1知是奇函數．，對任意成立．

令，問題等價于

令，其對稱軸，對任意恒成立．

當即時，符合題意；

當時，對任意恒成立

綜上所述當時，對任意

解得R恒成立．

解析：

20.答案：(1)由且，知，所以是周期函數，且是其一個周期.(2)因為為定義在R上的奇函數，所以，且，又是的一個周期，所以

(3)因為是偶函數，且，所以為偶函數.故為偶函數，即恒成立，于是恒成立.于是恒成立，所以.解析：

21.答案：（1）∵是R上的奇函數，∴

即

∴

即

經驗證符合題意．∴

（2）

在R上是減函數，證明如下：

任取，且，∵

∴即

∴在R上是減函數．

（3）∵是奇函數．

∴

又∵是減函數，∴∴

設，∴問題轉化為，∴

解析：

22.答案：（1）由奇函數的性質可知,，∴，∵,∴,（2）函數在上是增函數．

證明：任取,則

所以函數在上是增函數；

（3）由，∴．

故不等式的解集為

解析：2023衡水名師原創數學專題卷

說明：請將選擇題正確答案填寫在答題卡上，主觀題寫在答題紙上

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。

在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）

1.已知，則的值為（）

A．

B．

C．

D．

2.已知,則（）

A.B.C.D.3.（）

A.B.C.D.4.（）

A.B.C.D.5.已知,且,則下列結論正確的是（）

A.B.C.D.6.已知,則（）

A.B.C.D.7.的內角的對邊分別為.已知，則（）

A.B.C.D.8.的內角的對邊分別為,已知,則（）。

A.6

B.5

C.4

D.3

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。

在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。）

9.下列各式中，值為的是（）

A.B.C.D.10.在中，,則下列結論正確的是（）

A.B.C.D.11.下列說法正確的有（）

A.在中，B.在中，若，則為等腰三角形

C.中，是的充要條件

D.在中，若，則

12.在中，角的對邊分別為，下列結論中正確的選項有（）

A.若，則

B.若，則可能為等腰三角形或直角三角形

C.若，則定為直角三角形

D.若且該三角形有兩解，則的取值范圍是

第II卷（非選擇題）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。

）

13.已知，則________.14.計算________.15.在中，角的對邊分別為，且角為銳角，則面積的最大值為_________.16.已知中,角的對邊分別為,若,則_______.四、解答題（本題共6小題，共70分。

）

17.（本題滿分10分）已知.(1)求的值;

(2)已知,且角的終邊是由角的終邊逆時針旋轉得到的,求的值.18.（本題滿分12分）在中，求：

（1）的值；

（2）的值.19.（本題滿分12分）已知，求的值.20.（本題滿分12分）在中,角的對邊分別為。

(1)若,求的值；

(2)若,求的值。

21.（本題滿分12分）在平面四邊形中。

(1)求；

(2)若,求。

22.（本題滿分12分）在中,內角所對的邊分別為,且。

(1)求角的大??；

(2)若,角的平分線,求的值。

參考答案及解析

1.答案：D

解析：，.，故選：D

2.答案：B

解析：由，得,又，所以,所以,故選B.3.答案：B

解析：，故選B.4.答案：A

解析：

.5.答案：A

解析：,由,得,則,又,函數在區間上單調遞增,所以即,故選A.6.答案：D

解析：由,得

則,故，故選D

7.答案：A

解析：由題意，∴由正弦定理得，即解得

8.答案：A

解析：由題意及正弦定理得，所以由余弦定理得,化簡得。

9.答案：CD

解析：因為，所以A不正確；

因為，所以B不正確；

因為，所以C正確；

因為，所以D正確.故選：CD.10.答案：BD

解析：因為,所以,B正確.因為,所以.因為,所以,所以角A為銳角,所以,A錯誤，C錯誤，D正確.11.答案：AC

解析：由正弦定理

可得：

即成立，故選項A正確；

由可得或，即或，則是等腰三角形或直角三角形，故選項B錯誤；

在中，由正弦定理可得，則是的充要條件，故選項C正確；

在中，若，則或，故選項D錯誤.故選：AC.12.答案：ABCD

解析：對于A選項，由正弦定理得，故A選項正確.對于B選項，由于，由于是三角形的內角，所以或，即或，所以可能為等腰三角形或直角三角形，故B選項正確.對于C選項，由以及正弦定理得，即，所以，由于，所以，所以，故定為直角三角形.故C選項正確.對于D選項，且該三角形有兩解，所以，即，也即，故D選項正確.故選：ABCD.13.答案：

解析：因為，所以，即.14.答案：

解析：

15.答案：

解析：在中，，由正弦定理得，由，可得，即，∵角為銳角，由余弦定理得，，即，當且僅當時，等號成立，面積的最大值為

16.答案：6

解析：由及正弦定理,得.設,則.由余弦定理,得.整理,得,即,解得或(舍去).所以.17.答案：(1)解法一

由題意得,故,所以,所以.解法二

由題意得,故,所以.(2)由題意得，所以.由1知，所以,即.因為，所以.又,所以,所以,所以.解析：

18.答案：（1），為三角形的一個內角

由得

又

.（2）由（1）和

解析：

19.答案：將條件式兩邊平方得

.因為，所以

所以原式，這道題的關鍵就是第一步平方，因為所求式子中出現了二倍角，只能通過升次和倍角公式才能得到所以用平方來升次.解析：

20.答案：(1)因為,由余弦定理得，即。所以。

(2)因為,由正弦定理,得,所以。

從而,即,故。

因為,所以,從而。

因此。

解析：

21.答案：(1)在中,由正弦定理得。

由題設知，所以。

由題設知，所以。

(2)由題設及(1)知,。

在中,由余弦定理得。

所以。

解析：

22.答案：(1)由及正弦定理得，,。

又。

(2)在中，角的平分線,由正弦定理得,。。

由余弦定理得,。

解析：