2023衡水名師原創數學專題卷

考試時間：120分鐘

滿分：150分

說明：請將選擇題正確答案填寫在答題卡上，主觀題寫在答題紙上

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。

在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）

1.在下列圖象中，函數的圖象可能是（）

A.B.C.D.2.函數的圖象可能為（）

A．

B．

C．

D．

3.我國著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休．”在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來分析函數的圖像的特征，如函數的圖像大致是（）

A．

B．

C．

D．

4.函數的圖象大致為（）

A.B.C.D.5.已知函數（其中）的圖象如圖所示，則函數的圖象（）

A．

B．

C．

D．

6.函數的零點個數是（）

A．

B．2

C．1

D．0

7.已知函數在上有兩個零點，則的取值范圍是（）

A.B.C.D.8.已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，函數是最小正周期為2的偶函數，且當時，若函數有3個零點，則實數的取值范圍是（）

A.B.C.D.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。

在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。）

9.空氣質量指數是反映空氣質量狀況的指數，指數值越小，表明空氣質量越好，其對應關系如下表：

指數

0-50

51-100

101-150

151-200

201-300

空氣質量

優

良

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴重污染

下圖是某市12月1日～20日指數變化趨勢

下列敘述正確的是（）

A．這20天中指數值的中位數略高于100

B．這20天中的中度污染及以上的天數占

C．該市12月的前半個月的空氣質量越來越好

D．總體來說，該市12月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好

10.若函數,其中,其.則函數在同一坐標系的大致圖象可能是（）

A.B.C.D.11.已知函數，則下列結論中正確的是（）

A.若在區間上的最大值與最小值分別為，則

B.曲線與直線相切

C.若為增函數，則a的取值范圍為

D.在R上最多有3個零點

12.設函數,若函數有三個零點,則下列說法正確的是（）

A.b的值為-2

B.c的值為1

C.a的值無法確定

D.第II卷（非選擇題）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。

）

13.已知定義在上的奇函數滿足,且在區間上是增函數,若方程在區間上有四個不同的跟則________.14.函數有且只有一個零點，則實數的取值范圍為：_________

15.用二分法求方程在上的近似解,取中點,則下一個有根區間為_________.16.已知函數

（，是自然對數的底數）.若有且僅有3個負整數，使得，，則的最小值是________.四、解答題（本題共6小題，共70分。

）

17.（本題滿分10分）已知函數，（且），．

（1）求函數和的解析式；

（2）在同一坐標系中畫出函數和的圖象；

（3）如果，請直接寫出x的取值范圍

18.（本題滿分12分）畫出函數與函數的圖象，并比較兩者在上的大小關系.19.（本題滿分12分）已知二次函數，且是函數的零點.（1）求解析式，并解不等式;

（2）若求函數的值域.20.（本題滿分12分）已知函數.（1）討論函數的單調性；

（2）設，當時，有兩個不同實數根，求實數m的取值范圍.21.（本題滿分12分）已知函數.（1）討論函數的單調性；

（2）當函數有兩個零點，求實數a的取值范圍.22.（本題滿分12分）由歷年市場行情知，從11月1日起的30天內，某商品每件的銷售價格（元）與時間t（天）的函數關系是，日銷售量

(件)與時間t

(天)的函數關系是

.（1）設該商品的日銷售額為y元，請寫出y與t的函數關系式；

（商品的日銷售額=該商品每件的銷售價格×日銷售量）

（2）求該商品的日銷售額的最大值，并指出哪一天的銷售額最大？

參考答案及解析

1.答案：D

解析：由函數的概念可知，任意一個自變量的值對應因變量的唯一的值，∴可作直線從左向右在定義域內移動，看直線與曲線圖象的交點個數是否唯一，顯然，A，B，C均不滿足，而D滿足，故選D

2.答案：A

解析：．根據題意，圖數

有，即函數為奇函數，排除B、D

C．在區間上，有，且,則，排除C

故選：A．

3.答案：A

解析：,故函數為奇函數，其圖象關于原點對稱，故排除BD；

又，故排除C.故選：A.4.答案：A

解析：解法一

令，顯然，為奇函數，排除C，D，由，排除B，故選A.解法二

令，由，故選A.5.答案：A

解析：由函數的圖象知：，∴函數在定義域R上是減函數，∴選項不正確，,∴B選項不正確

綜上所述，答案選擇：A

6.答案：B

解析：畫出函數的圖像可得其圖像與x軸有兩個交點，則函數有2個零點

7.答案：B

解析：函數在上有兩個零點,等價于與,有兩個不同的交點?,恒過,設與相切時切點為,因為,所以,解得,此時切線斜率為有函數圖像可知：函數在上有兩個零點,則實數的取值范圍是

?故選B.8.答案：B

解析：由函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，得，函數是最小正周期為2的偶函數，當時，函數有3個零點，即有3個不同根，畫出函數與的圖象如圖：

要使函數與的圖象有3個交點，則，且，即∴實數k的取值范圍是．

故選：B．

9.答案：ABD

解析：A.20天中AQI指數值有10個低于100，10個高于100，其中位數略高于100，A正確；

B.20天中AQI指數值高于150的天數為4，即占總天數的，B正確；

C.該市10月的前4天的空氣質量越來越好，從第5天到第15天，空氣質量越來越差，C錯誤；

D.總體來說，該市10月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量要好些，D正確。

10.答案：AD

解析：由題意知是指數函數,是對數函數,且是一個偶函數,當時,單調遞減,在上遞減,此時A選項符合題意,當時,單調遞增,在上單調遞增,此時D選項符合題意,故選AD.11.答案：ACD

解析：因為對于任意，都有，所以為奇函數，其圖象關于原點對稱，故A正確.，令，得，因為，所以方程無實數解，即曲線的所有切線的斜率都不可能為，故B錯誤.若為增函數，則，即，因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，故C正確.令，得或.設，則，令，則.當時，當時，當時，所以函數為增函數，且，所以當時，從而單調遞增.又因為對于任意，都有，所以為偶函數，其圖象關于y軸對稱.綜上，在上單調遞減，在上單調遞增，則直線與最多有2個交點，所以在R上最多有3個零點，故D正確.故選ACD.12.答案：ABC

解析：作出函數的大致圖像如圖所示,由圖可得關于x的方程的根有兩個或三個(時有三個,時有兩個),所以關于t的方程只能有一個根(若有兩個根,則關于x的方程有四個或五個根),由根與系數的關系得，得,所以A,B正確;不妨設,令,可得得值分別為1,2,3,則,由,得,故a的值無法確定,所以C正確,D錯誤.故選ABC.13.答案：-8

解析：∵定義在上的奇函數滿足,又∵是奇函數,∴,∴

函數圖像關于直線對稱且,由知,∴

函數是以8為周期的周期函數。

又∵在區間上是增函數,∴在區間上也是增函數,如圖所示,那么方程在區間上有四個不同的根不妨設,由對稱性知.14.答案：

解析：

∵函數有且只有一個零點，∴函數與的圖象有且只有一個交點，作函數與的圖象如下，結合圖象知，當時成立，當時，相切時成立，故；

故；

故；

綜上所述,實數的取值范圍為

故答案為：

15.答案：

解析：令.,.因為,故，所以下一個有根區間是.16.答案：

解析：由可得．

令，是極小值點，的圖象如圖所示．

顯然，當時滿足的負整數x有無數個，因此．

此時必須滿足，即，解得．

故答案為：．

17.答案：（1），所以，所以，（2）

（3）

解析：

18.答案：函數與的圖象如圖所示.根據圖象易得：

當時，當時，當時，.解析：

19.答案：（1）是的零點的兩根為

解不等式的或，不等式的解集為

(2)

又的值域為

解析：

20.答案：（1），當時，在上單調遞增；

當時，令，則，則時，單調遞減，時，單調遞增.綜上，當時，在上單調遞增；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）由題意知，當時，有兩個不同實數根，則，記，則.由（1）知，當時，在上單調遞增，即，當時，當時，在上單調遞增，在上單調遞減，又當時，當時，.實數m的取值范圍為.解析：

21.答案：（1）解：由題意得

①當時，令，則；令，則，∴在上單調遞減，在上單調遞增；

②當時，令，則或，（ⅰ）當時，令，則或；令，則，∴在和上單調遞增，在上單調遞減；

（ⅱ）當時，∴在上單調遞增；

（ⅲ）當時，令，則或；令，則，∴在和上單調遞增，在上單調遞減；

（2）由1得當時，在和上單調遞增，在上單調遞減，∴在處取得極大值，∵，∴此時不符合題意；

當時，在上單調遞增，∴此時不符合題意；

當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；

∴的處取得極大值，∵，∴此時不符合題意；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增，∵，∴在上有一個零點，（ⅰ）當時，令，當時，∵，∴在上有一個零點，∴此時符合題意；

（ⅱ）當時，當時，∴在上沒有零點，此時不符合題意；

綜上所述，實數a的取值范圍為.解析：

22.答案：（1）設日銷售額為y元，則，所以．

即：

（2）．

當時，；

當時，．

故所求日銷售金額的最大值為900元，11月10日日銷售金額最大

解析：2023衡水名師原創數學專題卷

說明：請將選擇題正確答案填寫在答題卡上，主觀題寫在答題紙上

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。

在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）

1.已知，則的值為（）

A．

B．

C．

D．

2.已知,則（）

A.B.C.D.3.（）

A.B.C.D.4.（）

A.B.C.D.5.已知,且,則下列結論正確的是（）

A.B.C.D.6.已知,則（）

A.B.C.D.7.的內角的對邊分別為.已知，則（）

A.B.C.D.8.的內角的對邊分別為,已知,則（）。

A.6

B.5

C.4

D.3

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。

在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。）

9.下列各式中，值為的是（）

A.B.C.D.10.在中，,則下列結論正確的是（）

A.B.C.D.11.下列說法正確的有（）

A.在中，B.在中，若，則為等腰三角形

C.中，是的充要條件

D.在中，若，則

12.在中，角的對邊分別為，下列結論中正確的選項有（）

A.若，則

B.若，則可能為等腰三角形或直角三角形

C.若，則定為直角三角形

D.若且該三角形有兩解，則的取值范圍是

第II卷（非選擇題）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。

）

13.已知，則________.14.計算________.15.在中，角的對邊分別為，且角為銳角，則面積的最大值為_________.16.已知中,角的對邊分別為,若,則_______.四、解答題（本題共6小題，共70分。

）

17.（本題滿分10分）已知.(1)求的值;

(2)已知,且角的終邊是由角的終邊逆時針旋轉得到的,求的值.18.（本題滿分12分）在中，求：

（1）的值；

（2）的值.19.（本題滿分12分）已知，求的值.20.（本題滿分12分）在中,角的對邊分別為。

(1)若,求的值；

(2)若,求的值。

21.（本題滿分12分）在平面四邊形中。

(1)求；

(2)若,求。

22.（本題滿分12分）在中,內角所對的邊分別為,且。

(1)求角的大小；

(2)若,角的平分線,求的值。

參考答案及解析

1.答案：D

解析：，.，故選：D

2.答案：B

解析：由，得,又，所以,所以,故選B.3.答案：B

解析：，故選B.4.答案：A

解析：

.5.答案：A

解析：,由,得,則,又,函數在區間上單調遞增,所以即,故選A.6.答案：D

解析：由,得

則,故，故選D

7.答案：A

解析：由題意，∴由正弦定理得，即解得

8.答案：A

解析：由題意及正弦定理得，所以由余弦定理得,化簡得。

9.答案：CD

解析：因為，所以A不正確；

因為，所以B不正確；

因為，所以C正確；

因為，所以D正確.故選：CD.10.答案：BD

解析：因為,所以,B正確.因為,所以.因為,所以,所以角A為銳角,所以,A錯誤，C錯誤，D正確.11.答案：AC

解析：由正弦定理

可得：

即成立，故選項A正確；

由可得或，即或，則是等腰三角形或直角三角形，故選項B錯誤；

在中，由正弦定理可得，則是的充要條件，故選項C正確；

在中，若，則或，故選項D錯誤.故選：AC.12.答案：ABCD

解析：對于A選項，由正弦定理得，故A選項正確.對于B選項，由于，由于是三角形的內角，所以或，即或，所以可能為等腰三角形或直角三角形，故B選項正確.對于C選項，由以及正弦定理得，即，所以，由于，所以，所以，故定為直角三角形.故C選項正確.對于D選項，且該三角形有兩解，所以，即，也即，故D選項正確.故選：ABCD.13.答案：

解析：因為，所以，即.14.答案：

解析：

15.答案：

解析：在中，，由正弦定理得，由，可得，即，∵角為銳角，由余弦定理得，，即，當且僅當時，等號成立，面積的最大值為

16.答案：6

解析：由及正弦定理,得.設,則.由余弦定理,得.整理,得,即,解得或(舍去).所以.17.答案：(1)解法一

由題意得,故,所以,所以.解法二

由題意得,故,所以.(2)由題意得，所以.由1知，所以,即.因為，所以.又,所以,所以,所以.解析：

18.答案：（1），為三角形的一個內角

由得

又

.（2）由（1）和

解析：

19.答案：將條件式兩邊平方得

.因為，所以

所以原式，這道題的關鍵就是第一步平方，因為所求式子中出現了二倍角，只能通過升次和倍角公式才能得到所以用平方來升次.解析：

20.答案：(1)因為,由余弦定理得，即。所以。

(2)因為,由正弦定理,得,所以。

從而,即,故。

因為,所以,從而。

因此。

解析：

21.答案：(1)在中,由正弦定理得。

由題設知，所以。

由題設知，所以。

(2)由題設及(1)知,。

在中,由余弦定理得。

所以。

解析：

22.答案：(1)由及正弦定理得，,。

又。

(2)在中，角的平分線,由正弦定理得,。。

由余弦定理得,。

解析：