2013年中考數學專題復習第十七講

三角形與全等三角形

【基礎知識回顧】

三角形的概念：

1、由

直線上的三條線段

組成的圖形叫三角形

2、三角形的基本元素：三角形有

條邊

個頂點

個內角二、三角形的分類：

按邊可分為

三角形和

三角形，按角可分為

三角形

三角形

三角形

【趙老師提醒：等邊三角形屬于特殊的三角形，銳角三角形和鈍角三角形有事稱為

三角形】

三、三角形的性質：

1、三角形的內角和是

三角形的任意一個外角

和它不相得兩個內角的和三角形的一個外角

任意一個和它不相鄰的內角

2、三角形任意兩邊之和

第三邊，任意兩邊之差

第三邊

3、三角形具有

性

【趙老師提醒：1、三角形的外角是指三角形一邊和另一邊的組成的角，三角形有

個外角，三角形的外角和事，是其中

各外角的和

2、三角形三邊關系定理是確定三條線段否構成三角形和判斷限度間不等關系的主要依據】

四、三角形中的主要線段：

1、角平分線：三角形的三條角平分線都在三角形

部

且交于一點，這些是三角形的心

它到

得距離相等

2、中線：三角形的三條中線都在三角形

部，且交于一點

3、高線：不同三角

形的三

條高線位置不同，銳角三角形三條高都連三角形

直角三角形有一條高線在部，另兩條河

重合，鈍角三角形有一條高線在三角形

部，兩條在三角形

部

4、中位線：連接三角形任意兩邊的線段叫做三角形的中位線。

定理：三角形的中位線

第三邊且等于第三邊的【趙老師提醒：三角形的平分線、中線、高線、中位線都是

且都有

條】

五、全等三角形的概念和性質：

1、的兩個三角形叫做全等三角形

2、性質：全等三角形的、分別相等，全等三角形的對應線段（角平分線、中線、高線）周長、面積分別對應

【趙老師提醒：全等三角形的性質是證明線段、角等之間數量關系的最主要依據】

一、全等三角形的判定：

1、一般三角形的全等判定方法：①邊角邊，簡記為

②角邊角：簡記為

③角角邊：簡記為

④邊邊邊：簡記為

2、直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的所有方法以外，還可以用

來判定

【趙老師提醒：1、判定全等三角形的條件中，必須至少有一組

對應相等，用SAS判定全等，切記角為兩邊的2、判定全等三角形的有關條件要特別注意對應兩個字】

【重點考點例析】

考點一：三角形內角、外角的應用

例1

（2012?南通）如圖，△ABC中，∠C=70°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2=（）

A．360°

B．250°

C．180°

D．140°

思路分析：先利用三角形內角與外角的關系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根據三角形內角和定理即可得出結果．

解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．

故選B．

點評：此題主要考查了三角形內角和定理及外角的性質，三角形內角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個內角之和．

對應訓練

1．（2012?泉州）如圖，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，點D、E分別在BC、AC的延長線上，則∠1=

°．

1．80

分析：先根據三角形內角和定理求出∠ACB的度數，再根據對頂角相等求出∠1的度數即可．

解：∵△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-60°-40°=80°，∴∠1=∠ACB=80°．

故答案為：80．

點評：本題考查的是三角形的內角和定理，即三角形內角和是180°．

考點二：三角形三邊關系

例2

（2012?瀘州）已知三角形兩邊的長分別是3和6，第三邊的長是方程x2-6x+8=0的根，則這個三角形的周長等于（）

A．13

B．11

C．11

或13

D．12或15

2．分析：首先從方程x2-6x+8=0中，確定第三邊的邊長為2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否構成三角形，從而求出三角形的周長．

解：由方程x2-6x+8=0，得：

解得x1=2或x2=4，當第三邊是2時，2+3＜6，不能構成三角形，應舍去；

當第三邊是4時，三角形的周長為4+3+6=13．

故選A．

點評：考查了三角形三邊關系，求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養成檢驗三邊長能否成三角形的好習慣，不符合題意的應棄之．

對應訓練

1．（2012?義烏市）如果三角形的兩邊長分別為3和5，第三邊長是偶數，則第三邊長可以是（）

A．2

B．3

C．4

D．8

思路分析：根據三角形三邊關系，可令第三邊為X，則5-3＜X＜5+3，即2＜X＜8，又因為第三邊長為偶數，所以第三邊長是4，6．問題可求．

解：由題意，令第三邊為X，則5-3＜X＜5+3，即2＜X＜8，∵第三邊長為偶數，∴第三邊長是4或6．

∴三角形的三邊長可以為3、5、4．

故選：C．

點評：此題主要考查了三角形三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解決此類問題的關鍵．

考點三：三角形全等的判定

例3

（2012?樂山）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，有下列結論：

①△DFE是等腰直角三角形；

②四邊形CEDF不可能為正方形；

③四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發生變化；

④點C到線段EF的最大距離為．

其中正確結論的個數是（）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

思路分析：①作常規輔助線連接CD，由SAS定理可證△CDF和△ADE全等，從而可證∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；

②當E為AC中點，F為BC中點時，四邊形CEDF為正方形；

③由割補法可知四邊形CDFE的面積保持不變；

④△DEF是等腰直角三角形DE=

EF，當DF與BC垂直，即DF最小時，FE取最小值2，此時點C到線段EF的最大距離．

解：①如圖，連接CD；

∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；

∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF；

∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；

∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△DFE是等腰直角三角形．故此選項正確；

②當E、F分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形，故此選項錯誤；

③如圖2所示，分別過點D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于點M，N，可以利用割補法可知四邊形CDFE的面積等于正方形CMDN面積，故面積保持不變；故此選項錯誤；

④△DEF是等腰直角三角形DE=EF，當EF∥AB時，即EF取最小值2，此時點C到線段EF的最大距離為．故此選項正確；

故正確的有2個，故選：B．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質等知識，根據圖形利用割補法可知四邊形CDFE的面積等于正方形CMDN面積是解題關鍵．

例4

（2012?珠海）如圖，把正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉45°得到正方形A′B′CD′（此時，點B′落在對角線AC上，點A′落在CD的延長線上），A′B′交AD于點E，連接AA′、CE．

求證：（1）△ADA′≌△CDE；

（2）直線CE是線段AA′的垂直平分線．

思路分析：（1）根據正方形的性質可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，則∠A′DE=90°，再計算出∠A′ED=45°，根據等角對等邊可得AD=ED，即可利用SAS證明△AA′D≌△CED；

（2）首先由AC=A′C，可得點C在AA′的垂直平分線上；再證明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，進而得到點E也在AA′的垂直平分線上，再根據兩點確定一條直線可得直線CE是線段AA′的垂直平分線．

證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∴∠A′DE=90°，根據旋轉的方法可得：∠EA′D=45°，∴∠A′ED=45°，∴A′D=DE，在△AA′D和△CED中：

AD=CD，∠ADA′=∠EDC，A′D=ED，∴△AA′D≌△CED（SAS）；

（2）∵AC=A′C，∴點C在AA′的垂直平分線上，∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠CAE=45°，∵AC=A′C，CD=CB′，∴AB′=A′D，在△AEB′和△A′ED中：∠EAB′=∠EA′D，∠AEB′=∠A′ED，AB′=A′D，∴△AEB′≌△A′ED，∴AE=A′E，∴點E也在AA′的垂直平分線上，∴直線CE是線段AA′的垂直平分線．

點評：此題主要考查了正方形的性質，以及旋轉的性質，關鍵是熟練掌握正方形的性質：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；找準旋轉后相等的線段．

對應訓練

3．（2012?雞西）Rt△ABC中，AB=AC，點D為BC中點．∠MDN=90°，∠MDN繞點D旋轉，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點．下列結論：①（BE+CF）=

BC；②S△AEF≤S△ABC；③S四邊形AEDF=AD?EF；④AD≥EF；⑤AD與EF可能互相平分，其中正確結論的個數是（）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

3．分析：先由ASA證明△AED≌△CFD，得出AE=CF，再由勾股定理即可得出BE+CF=AB=

BC，從而判斷①；

設AB=AC=a，AE=CF=x，先由三角形的面積公式得出S△AEF=-（x-a）2+a2，S△ABC=×a2=a2，再根據二次函數的性質即可判斷②；

由勾股定理得到EF的表達式，利用二次函數性質求得EF最小值為a，而AD=a，所以EF≥AD，從而④錯誤；

先得出S四邊形AEDF=S△ADC=AD，再由EF≥AD得到AD?EF≥AD2，∴AD?EF＞S四邊形AEDF，所以③錯誤；

如果四邊形AEDF為平行四邊形，則AD與EF互相平分，此時DF∥AB，DE∥AC，又D為BC中點，所以當E、F分別為AB、AC的中點時，AD與EF互相平分，從而判斷⑤．

解：∵Rt△ABC中，AB=AC，點D為BC中點，∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，∵∠MDN=90°，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF．

在△AED與△CFD中，∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE=CF，在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB=．

故①正確；

設AB=AC=a，AE=CF=x，則AF=a-x．

∵S△AEF=AE?AF=x（a-x）=-（x-a）2+a2，∴當x=a時，S△AEF有最大值a2，又∵S△ABC=×a2=a2，∴S△AEF≤S△ABC．

故②正確；

EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2（x-a）2+1

a2，∴當x=a時，EF2取得最小值a2，∴EF≥a（等號當且僅當x=

a時成立），而AD=a，∴EF≥AD．

故④錯誤；

由①的證明知△AED≌△CFD，∴S四邊形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=1

AD2，∵EF≥AD，∴AD?EF≥AD2，∴AD?EF＞S四邊形AEDF

故③錯誤；

當E、F分別為AB、AC的中點時，四邊形AEDF為正方形，此時AD與EF互相平分．

故⑤正確．

綜上所述，正確的有：①②⑤，共3個．

故選C．點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，圖形的面積，函數的性質等知識，綜合性較強，有一定難度．

4．（2012?肇慶）如圖，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC與BD交于O，AC=BD．

求證：（1）BC=AD；

（2）△OAB是等腰三角形．

4．分析：（1）根據AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC與△BAD是直角三角形，再根據AC=BD，AB=BA，得出△ABC≌△BAD，即可證出BC=AD，（2）根據△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，從而證出OA=OB，△OAB是等腰三角形．

證明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ABC與△BAD是直角三角形，在△ABC和△BAD中，∵

AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠ADB，∴△ABC≌△BAD，∴BC=AD，（2）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB，∴△OAB是等腰三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定及性質；用到的知識點是全等三角形的判定及性質、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重點，本題是道基礎題，是對全等三角形的判定的訓練．

考點四：全等三角形開放性問題

例5

（2012?義烏市）如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，作射線AD，在線段AD及其延長線上分別取點E、F，連接CE、BF．添加一個條件，使得△BDF≌△CDE，并加以證明．你添加的條件是

．（不添加輔助線）．

思路分析：由已知可證∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因為三角形全等條件中必須是三個元素，并且一定有一組對應邊相等．故添加的條件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）；

解：（1）添加的條件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．

（2）證明：在△BDF和△CDE中

∵，∴△BDF≌△CDE．

點評：三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．

對應訓練

5．（2012?衡陽）如圖，AF=DC，BC∥EF，請只補充一個條件，使得△ABC≌△DEF，并說明理由．

5．分析：首先由AF=DC可得AC=DF，再由BC∥EF根據兩直線平行，內錯角相等可得∠EFD=∠BCA，再加上條件EF=BC即可利用SAS證明△ABC≌△DEF．

解：補充條件：EF=BC，可使得△ABC≌△DEF．理由如下：

∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即：AC=DF，∵BC∥EF，∴∠EFD=∠BCA，在△EFD和△BCA中，EF=BC

∠EFD=∠BCA

EF=BC，∴△EFD≌△BCA（SAS）．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定，關鍵是熟練掌握判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS，HL．

【聚焦山東中考】

1.（2012?煙臺）一副三角板疊在一起如圖放置，最小銳角的頂點D恰好放在等腰直角三角板的斜邊AB上，BC與DE交于點M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD為

度．

1.85

分析：先根據∠ADF=100°求出∠MDB的度數，再根據三角形內角和定理得出∠BMD的度數即可．解答：解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，∴∠MDB=180°-∠ADF-∠EDF=180°-100°-30°=50°，∴∠BMD=180°-∠B-∠MDB=180°-45°-50°=85°．

故答案為：85．點評：本題考查的是三角形內角和定理，即三角形內角和是180°．

2．（2012?聊城）將一副三角板按如圖所示擺放，圖中∠α的度數是（）

A．75°

B．90°

C．105°

D．120°

2．分析：先根據直角三角形的性質得出∠BAE及∠E的度數，再由三角形內角和定理及對頂角的性質即可得出結論．解答：解：∵圖中是一副直角三角板，∴∠BAE=45°，∠E=30°，∴∠AFE=180°-∠BAE-∠E=105°，∴∠α=105°．

故選C．

點評：本題考查的是三角形內角和定理，即三角形內角和是180°．

3．（2012?德州）不一定在三角形內部的線段是（）

A．三角形的角平分線

B．三角形的中線

C．三角形的高

D．三角形的中位線

3．分析：根據三角形的高、中線、角平分線的性質解答．解答：

解：因為在三角形中，它的中線、角平分線一定在三角形的內部，而鈍角三角形的高在三角形的外部．

故選C．

點評：本題考查了三角形的高、中線和角平分線，要熟悉它們的性質方可解答．

4．（2012?濟寧）用直尺和圓規作一個角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據是（）

A．SSS

B．ASA

C．AAS

D．角平分線上的點到角兩邊距離相等

4．分析：連接NC，MC，根據SSS證△ONC≌△OMC，即可推出答案．

解：如圖，連接NC，MC，在△ONC和△OMC中，∴△ONC≌△OMC（SSS），∴∠AOC=∠BOC，故選A．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定的應，主要考查學生運用性質進行推理的能力，題型較好，難度適中．

5．（2012?濱州）如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，則∠C=

．

5．40°

分析：先根據等腰三角形的性質及三角形內角和定理可求出∠B的度數，再根據三角形外角的性質可求出∠ADC的度數，再由三角形內角和定理解答即可．

解：∵AB=AD，∠BAD=20°，∴∠B==80°，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，∵AD=DC，∴∠C==40°．

點評：本題涉及到三角形的內角和定理、三角形外角的性質及等腰三角形的性質，屬較簡單題目．

6．（2012?濰坊）如圖所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，請你添加一個適當的條件，使△ABC≌△DBE．（只需添加一個即可）

6．∠BDE=∠BAC

分析：根據∠ABD=∠CBE可以證明得到∠ABC=∠DBE，然后根據利用的證明方法，“角邊角”“邊角邊”“角角邊”分別寫出第三個條件即可．

解：∵∠ABD=∠CBE，∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠ABC=∠DBE，∵AB=DB，∴①用“角邊角”，需添加∠BDE=∠BAC，②用“邊角邊”，需添加BE=BC，③用“角角邊”，需添加∠ACB=∠DEB．

故答案為：∠BDE=∠BAC或BE=BC或∠ACB=∠DEB．（寫出一個即可）

點評：本題考查了全等三角形的判定，根據已知條件有一邊與一角，根據不同的證明方法可以選擇添加不同的條件，需要注意，不能使添加的條件符合“邊邊角”，這也是本題容易出的地方．

7．（2012?臨沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一點E，使EC=BC，過點E作EF⊥AC交CD的延長線于點F，若EF=5cm，則AE=

cm．

7．3

分析：根據直角三角形的兩銳角互余的性質求出∠ECF=∠B，然后利用“角邊角”證明△ABC和△FEC全等，根據全等三角形對應邊相等可得AC=EF，再根據AE=AC-CE，代入數據計算即可得解．

解：∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠ECF=∠B，在△ABC和△FEC中，∠ECF=∠B

EC=BC

∠ACB=∠FEC=90°，∴△ABC≌△FEC（ASA），∴AC=EF，∵AE=AC-CE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=5-2=3cm．

故答案為：3．點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，根據直角三角形的性質證明得到∠ECF=∠B是解題的關鍵．

8．（2012?濟寧）如圖，在等邊三角形ABC中，D是BC邊上的一點，延長AD至E，使AE=AC，∠BAE的平分線交△ABC的高BF于點O，則tan∠AEO=

．

8．分析：根據等邊三角形性質和三線合一定理求出∠BAF=30°，推出AB=AE，根據SAS證△BAO≌△EAO，推出∠AEO=∠ABO=30°即可．解答：解：∵△ABC是等邊三角形，∠ABC=60°，AB=BC，∵BF⊥AC，∴∠ABF=∠ABC=30°，∵AB=AC，AE=AC，∴AB=AE，∵AO平分∠BAE，∴∠BAO=∠EAO，∵在△BAO和△EAO中

∵

AB=AE，∠BAO=∠EAO，AO=AO，∴△BAO≌△EAO，∴∠AEO=∠ABO=30°，∴tan∠AEO=tan30°=，故答案為：．點評：本題考查了等邊三角形性質，全等三角形的性質和判定，特殊角的三角函數值等知識點的應用，關鍵是證出∠AEO=∠ABO，題目比較典型，難度適中．

【備考真題過關】

一、選擇題

1．（2012?云南）如圖，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分線，則∠CAD的度數為（）

A．40°

B．45°

C．50°

D．55°

1．分析：首先利用三角形內角和定理求得∠BAC的度數，然后利用角平分線的性質求得∠CAD的度數即可．

解：∵∠B=67°，∠C=33°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80°

∵AD是△ABC的角平分線，∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°

故選A．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，屬于基礎題，比較簡單．三角形內角和定理在小學已經接觸過．

2．（2012?梅州）如圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，若∠A=75°，則∠1+∠2=（）

A．150°

B．210°

C．105°

D．75°

2．分析：先根據圖形翻折變化的性質得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根據三角形內角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度數，然后根據平角的性質即可求出答案．

解：∵△A′DE是△ABC翻折變換而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°，∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°．

故選A．

點評：本題考查的是圖形翻折變換的性質，即折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．

3．（2012?漳州）將一副直角三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠α的度數是（）

A．45°

B．60°

C．75°

D．90°

3．分析：根據直角三角形的兩銳角互余求出∠1的度數，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解．

解：如圖，∠1=90°-60°=30°，所以，∠α=45°+30°=75°．

故選C．

點評：本題主要考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，直角三角形兩銳角互余的性質，是基礎題，熟記性質是解題的關鍵．

4．（2012?廣東）已知三角形兩邊的長分別是4和10，則此三角形第三邊的長可能是（）

A．5

B．6

C．11

D．16

4．分析：設此三角形第三邊的長為x，根據三角形的三邊關系求出x的取值范圍，找出符合條件的x的值即可．

解：設此三角形第三邊的長為x，則10-4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四個選項中只有11符合條件．

故選C．

點評：本題考查的是三角形的三邊關系，即任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．

5．（2012?郴州）以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（）

A．1cm，2cm，4cm

B．4cm，6cm，8cm

C．5cm，6cm，12cm

D．2cm，3cm，5cm

5．分析：根據三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進行分析．

解：根據三角形的三邊關系，知

A、1+2＜4，不能組成三角形；

B、4+6＞8，能夠組成三角形；

C、5+6＜12，不能組成三角形；

D、2+3=5，不能組成三角形．

故選B．

點評：此題考查了三角形的三邊關系．判斷能否組成三角形的簡便方法是看較小的兩個數的和是否大于第三個數．

6．（2012?玉林）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC≠BD，則圖中全等三角形有（）

A．4對

B．6對

C．8對

D．10對

6．分析：根據菱形四邊形等，對角線互相垂直且平分，結合全等三角形的判定即可得出答案．

解：圖中全等三角形有：△ABO≌△ADO、△ABO≌△CDO，△ABO≌△CBO；

△AOD≌△COD，△AOD≌△COB；

△DOC≌△BOC；

△ABD≌△CBD，△ABC≌△ADC，共8對．

故選C．

點評：此題考查了全等三角形的判定及菱形的性質，注意掌握全等三角形的幾個判定定理，在查找時要有序的進行，否則很容易出錯．

7．（2012?貴陽）如圖，已知點A、D、C、F在同一條直線上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，還需要添加一個條件是（）

A．∠BCA=∠F

B．∠B=∠E

C．BC∥EF

D．∠A=∠EDF

7．分析：全等三角形的判定方法SAS是指有兩邊對應相等，且這兩邊的夾角相等的兩三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其兩邊的夾角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．

解：A、根據AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本選項錯誤；

B、∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故本選項正確；

C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA，根據AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本選項錯誤；

D、根據AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本選項錯誤．

故選B．

點評：本題考查了對平行線的性質和全等三角形的判定的應用，注意：有兩邊對應相等，且這兩邊的夾角相等的兩三角形才全等，題目比較典型，但是一道比較容易出錯的題目．

三、填空題

8．（2012?呼和浩特）如圖，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，則∠AEC=

．

8．66.5°

分析：根據三角形內角和定理、角平分線的定義以及三角形外角定理求得∠DAC+

ACF=（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=

；最后在△AEC中利用三角形內角和定理可以求得∠AEC的度數．

解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；

又∵∠B=47°（已知），∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形內角和定理），∴∠DAC+

ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）=（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=（外角定理），∴∠AEC=180°-（∠DAC+ACF）=66.5°；

故答案是：66.5°．

點評：本題考查了三角形內角和定理、三角形外角性質．解題時注意挖掘出隱含在題干中已知條件“三角形內角和是180°”．

9．（2012?婁底）如圖，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO=28°，則∠MFE=

度．

9．56

分析：先根據平行線的性質得出∠NOE=∠FEO，再根據角平分線的性質得出∠NOE=∠EOF，由三角形外角的性質即可得出結論．

解：∵FE∥ON，∠FEO=28°，∴∠NOE=∠FEO=28°，∵OE平分∠MON，∴∠NOE=∠EOF=28°，∵∠MFE是△EOF的外角，∴∠MFE=∠NOE+∠EOF=28°+28°=56°．

故答案為：56．

點評：本題考查的是三角形外角的性質，即三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內角的和．

10．（2012?白銀）如圖，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，則∠A=

度．

10．50

分析：根據等角對等邊的性質可得∠A=∠B，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解．

解：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠A+∠B=∠ACE，∴∠A=∠ACE=×100°=50°．

故答案為：50．

點評：本題主要考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，等邊對等角的性質，是基礎題，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．

11．（2012?綏化）若等腰三角形兩邊長分別為3和5，則它的周長是

．

11．11或13

分析：題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．解答：解：有兩種情況：①腰長為3，底邊長為5，三邊為：3，3，5可構成三角形，周長=3+3+5=11；

②腰長為5，底邊長為3，三邊為：5，5，3可構成三角形，周長=5+5+3=13．

故答案為：11或13．點評：本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．

12．（2012?柳州）如圖，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，已知∠ABC=80°，則∠DBC=

°．

12．40

分析：根據角平分線的性質得出∠ABD=∠DBC進而得出∠DBC的度數．解答：解：∵BD是∠ABC的角平分線，∠ABC=80°，∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=×80°=40°，故答案為：40．

點評：此題主要考查了角平分線的性質，根據角平分線性質得出∠ABD=∠DBC是解題關鍵．

13．（2012?綿陽）如圖，BC=EC，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEC，則應添加的一個條件

為

．（答案不唯一，只需填一個）．

13．AC=CD

分析：根據∠1=∠2，求出∠BCA=∠ECD，根據SAS證明亮三角形全等即可．解答：解：添加的條件是AC=CD，理由是：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，∴∠BCA=∠ECD，∵在△ABC和△DCE中，∴△ABC≌△DCE，故答案為：AC=CD．

點評：本題考查了全等三角形的判定的應用，通過做此題培養了學生的發散思維能力，本題題型較好，是一道具有開放性的題目，答案不唯一．

三、解答題

14．（2012?銅仁地區）如圖，E、F是四邊形ABCD的對角線BD上的兩點，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求證：△ADE≌△CBF．

14．考點：全等三角形的判定．專題：證明題．分析：首先利用平行線的性質得出∠AED=∠CFB，進而得出DE=BF，利用SAS得出即可．

證明：∵AE∥CF

∴∠AED=∠CFB，∵DF=BE，∴DF+EF=BE+EF，即DE=BF，在△ADE和△CBF中，AE=CF

∠AED=∠CFB

DE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS）．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定，利用兩邊且夾角對應相等得出三角形全等是解題關鍵．

15．（2012?赤峰）如圖所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．

（1）尺規作圖：過頂點A作△ABC的角平分線AD；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在AD上任取一點E，連接BE、CE．求證：△ABE≌△ACE．

15．分析：（1）以A為圓心，以任意長為比較畫弧，分別交AB和AC于一點，分別以這兩點為圓心，以大于這兩點之間的距離為半徑畫弧，兩弧交于一點，過這點和A作射線，交BC于D，則，AD為所求；

（2）推出∠BAE=∠CAE，根據SAS證△BAE和△CAE全等即可．

（1）解：如圖所示：

（2）證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵在△ABE和△ACE中

AB=AC

∠BAE=∠CAE

AE=AE，∴△ABE≌△ACE（SAS）．

點評：本題考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，作圖-基本作圖的應用，主要考查學生的動手操作能力和推理能力．

16．（2012?重慶）已知：如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求證：BC=ED．

16．分析：由∠1=∠2可得：∠EAD=∠BAC，再有條件AB=AE，∠B=∠E可利用ASA證明△ABC≌△AED，再根據全等三角形對應邊相等可得BC=ED．

證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即：∠EAD=∠BAC，在△EAD和△BAC中：∠B=∠E，AB=AE，∠BAC=∠EAD，∴△ABC≌△AED（ASA），∴BC=ED．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，關鍵是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．

1．（2012?揚州）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足為E．求證：BE=DE．

考點：

全等三角形的判定與性質；矩形的判定與性質。810360

專題：

證明題。

分析：

作CF⊥BE，垂足為F，得出矩形CFED，求出∠CBF=∠A，根據AAS證△BAE≌△CBF，推出BE=CF即可．

解答：

證明：作CF⊥BE，垂足為F，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∴∠FED=∠D=∠CFE=90°，∠CBE+∠ABE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴四邊形EFCD為矩形，∴DE=CF，在△BAE和△CBF中，有∠CBE=∠BAE，∠BFC=∠BEA=90°，AB=BC，∴△BAE≌△CBF，∴BE=CF=DE，即BE=DE．

點評：

本題考查了全等三角形的性質和判定，矩形的判定和性質的應用，關鍵是求出△BAE≌△CBF，主要考查學生運用性質進行推理的能力．

2．（2012?鎮江）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在邊BC上，且∠GDF=∠ADF．

（1）求證：△ADE≌△BFE；

（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關系并說明理由．

考點：

全等三角形的判定與性質。810360

專題：

證明題。

分析：

（1）由AD與BC平行，利用兩直線平行內錯角相等，得到一對角相等，再由一對對頂角相等及E為AB中點得到一對邊相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；

（2）∠GDF=∠ADE，以及（1）得出的∠ADE=∠BFE，等量代換得到∠GDF=∠BFE，利用等角對等邊得到GF=GD，即三角形GDF為等腰三角形，再由（1）得到DE=FE，即GE為底邊上的中線，利用三線合一即可得到GE與DF垂直．

解答：

（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，∵E為AB的中點，∴AE=BE，在△AED和△BFE中，∴△AED≌△BFE（AAS）；

（2）解：EG與DF的位置關系是EG⊥DF，理由為：連接EG，∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，∴∠GDF=∠BFE，由（1）△AED≌△BFR得：DE=EF，即GE為DF上的中線，∴GE⊥DF．

點評：

此題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，以及等腰三角形的判定與性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．

3．（2012?佛山）如圖，已知AB=DC，DB=AC

（1）求證：∠ABD=∠DCA．注：證明過程要求給出每一步結論成立的依據．

（2）在（1）的證明過程中，需要作輔助線，它的意圖是什么？

考點：

全等三角形的判定與性質。810360

分析：

（1）連接AD，證明三角形BAD和三角形CAD全等即可得到結論；

（2）作輔助線的意圖是構造全等的三角形．

解答：

證明：（1）連接AD，在△BAD和△CDA中

∴△BAD≌△CDA（SSS）

∴∠ABD=∠DCA（全等三角形對應角相等）

（2）作輔助線的意圖是構造全等的三角形即兩個三角形的公共邊．

點評：

本題考查了全等三角形的判定與性質，屬于基礎題，相對比較簡單．

4．（2012?濱州）如圖1，l1，l2，l3，l4是一組平行線，相鄰2條平行線間的距離都是1個單位長度，正方形ABCD的4個頂點A，B，C，D都在這些平行線上．過點A作AF⊥l3于點F，交l2于點H，過點C作CE⊥l2于點E，交l3于點G．

（1）求證：△ADF≌△CBE；

（2）求正方形ABCD的面積；

（3）如圖2，如果四條平行線不等距，相鄰的兩條平行線間的距離依次為h1，h2，h3，試用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面積S．

考點：

全等三角形的判定與性質；平行線之間的距離；正方形的性質。810360

專題：

幾何綜合題。

分析：

（1）直接根據HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB；

（2）由ASA定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根據S正方形ABCD=4S△ABH+SH正方形EGF即可得出結論；

（3）由△AFD≌△CEB可得出h1=h3，再根據（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，可知S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF，進而得出結論．

解答：

（1）證明：在Rt△AFD和Rt△CEB中，∵AD=BC，AF=CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB；

（2）解：∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，∴∠CBE=∠BAH

又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°

∴△ABH≌△BCE，同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF

=4××2×1+1×1

=5；

（3）解：由（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3，由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF

=4×（h1+h2）?h1+h22=2h12+2h1h2+h22．

點評：

本題考查的是全等三角形的判定與性質，正方形的性質及平行線之間的距離，熟知判定全等三角形的SSS、SAS、ASA及HL定理是解答此題的關鍵．

5．（2012?長春）感知：如圖①，點E在正方形ABCD的邊BC上，BF⊥AE于點F，DG⊥AE于點G，可知△ADG≌△BAF．（不要求證明）

拓展：如圖②，點B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，點E、F在∠MAN內部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求證：△ABE≌△CAF．

應用：如圖③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．點D在邊BC上，CD=2BD，點E、F在線段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面積為9，則△ABE與△CDF的面積之和為　6?。?/p>

考點：

全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；正方形的性質。810360

分析：

拓展：利用∠1=∠2=∠BAC，利用三角形外角性質得出∠4=∠ABE，進而利用AAS證明△ABE≌△CAF；

應用：首先根據△ABD與△ADC等高，底邊比值為：1：2，得出△ABD與△ADC面積比為：1：2，再證明△ABE≌△CAF，即可得出△ABE與△CDF的面積之和為△ADC的面積得出答案即可．

解答：

拓展：

證明：∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，∴∠BAC=∠ABE+∠3，∴∠4=∠ABE，∴，∴△ABE≌△CAF（AAS）．

應用：

解：∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD=2BD，∴△ABD與△ADC等高，底邊比值為：1：2，∴△ABD與△ADC面積比為：1：2，∵△ABC的面積為9，∴△ABD與△ADC面積分別為：3，6；

∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，∴∠BAC=∠ABE+∠3，∴∠4=∠ABE，∴，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴△ABE與△CAF面積相等，∴△ABE與△CDF的面積之和為△ADC的面積，∴△ABE與△CDF的面積之和為6，故答案為：6．

點評：

此題主要考查了三角形全等的判定與性質以及三角形面積求法，根據已知得出∠4=∠ABE，以及△ABD與△ADC面積比為：1：2是解題關鍵．

6．（2012?阜新）（1）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．

①當點D在AC上時，如圖1，線段BD、CE有怎樣的數量關系和位置關系？直接寫出你猜想的結論；

②將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉α角（0°＜α＜90°），如圖2，線段BD、CE有怎樣的數量關系和位置關系？請說明理由．

（2）當△ABC和△ADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個條件時，使線段BD、CE在（1）中的位置關系仍然成立？不必說明理由．

甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；

乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；

丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．

考點：

全等三角形的判定與性質。810360

專題：

幾何綜合題。

分析：

（1）①BD=CE，BD⊥CE．根據全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的對應邊相等證得BD=CE、對應角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形內角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF；

②BD=CE，BD⊥CE．根據全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的對應邊相等證得BD=CE、對應角相等∠ABF=∠ECA；作輔助線（延長BD交AC于F，交CE于H）BH構建對頂角∠ABF=∠HCF，再根據三角形內角和定理證得∠BHC=90°；

（2）根據結論①、②的證明過程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）時，該結論成立了，所以本條件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合適．

解答：

解：（1）①結論：BD=CE，BD⊥CE；

②結論：BD=CE，BD⊥CE…1分

理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAD﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE…1分

在Rt△ABD與Rt△ACE中，∵

∴△ABD≌△ACE…2分

∴BD=CE…1分

延長BD交AC于F，交CE于H．

在△ABF與△HCF中，∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC

∴∠CHF=∠BAF=90°

∴BD⊥CE…3分

（2）結論：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°…2分

點評：

本題考查了全等三角形的判定與性質．SSS，SAS，ASA，AAS，HL均可作為判定三角形全等的定理．

注意：在全等的判定中，沒有AAA（角角角）和SSA（邊邊角）（特例：直角三角形為HL，因為勾股定理，只要確定了斜邊和一條直角邊，另一直角邊也確定，屬于SSS），因為這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀；另外三條中線（或高、角平分線）分別對應相等的兩個三角形也全等．

7．（2012?內江）已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時針排列），使∠DAF=60°，連接CF．

（1）如圖1，當點D在邊BC上時，求證：①BD=CF；②AC=CF+CD；

（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數量關系，并說明理由；

（3）如圖3，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數量關系．

考點：

全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；菱形的性質。810360

專題：

幾何綜合題。

分析：

（1）根據已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；

（2）求出∠BAD=∠CAF，根據SAS證△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可；

（3）畫出圖形后，根據SAS證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．

解答：

（1）證明：∵菱形AFED，∴AF=AD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，即①BD=CF，②AC=CF+CD．

（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之間存在的數量關系是AC=CF﹣CD，理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，即AC=CF﹣CD．

（3）AC=CD﹣CF．理由是：

∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC，即AC=CD﹣CF．

點評：

本題考查了全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質，菱形的性質的應用，主要考查學生的推理能力，注意：證明過程類似，題目具有一定的代表性，難度適中．